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  • 高数——隐函数参数方程求导

    千次阅读 多人点赞 2019-10-18 11:19:16
    函数 如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般...

    隐函数

    如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

    其实隐函数的知识并不难理解,我们以前学的因变量y在函数一边的叫做显函数;隐函数就是将y“隐藏”在一个式子里即和 自变量x在一边的函数。它的难点在于如何利用隐函数求导。接下来,我就和大家聊一聊隐函数的求导。

    在做题的时候我们经常会听到“对x求导”的说法,这个就是我们往往不好理解的地方,知道如何处理x却不知道如何处理y,下面我就主要围绕这个来展开。举个例子:
    在这里插入图片描述
    这个式子你当然可以将隐函数显化(就是先将隐函数转化成显函数,然后利用显函数进行求导)得出结果-⅔但是这样做题有些无法显化的函数就没法算了,所以我今天着重给大家讲一下它的通用解法:首先第一个x的导数是2这个大家都知道,可是y咱们也需要处理,怎么处理?无论函数是否可以显化,x是自变量y是因变量(y是关于x的函数)是一定的吧。之后呢?就是说在y这里对x求导就是对含有x的小函数求导(我这里说小函数是为了和原来的隐函数区分一下的),这回结果不就是y′(即dy/dx)吗?这么一变形,就出现了2+3dy/dx=0导数就是-2/3尽管答案一样但是这种思考方式就会在做题的时候给你带来好处。

    那么咱们换一个有点难度的,带平方的该如何计算呢?
    在这里插入图片描述
    求x=-3/5时的导数。
    那么我们就可以计算了:3+62ydy/dx=0,那么dy/dx=-3/12y由于我是随便出的例子,经过计算此时y等于零,导数不存在。但是无论什么题都是这么是思考的。

    最后还有一个对数求导法,是用来求幂指函数的。举个例子,
    在这里插入图片描述
    我们给它两边取对数那么左边就会变成lny右边就是lnx^cosx,根据我们高中学的定理,右边还等于cosxlnx所以,就有lny=cosxlnx,之后咱们再根据求导的法则来求它。
    左边就是还要把lny视作一个整体来看,右边要注意的事导数相乘时的运算。

    求导法则

    对于一个隐函数已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y’ 的一个方程,然后化简得到 y’ 的表达式。

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  • 宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成...

    宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。如等都是复合函数。而就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。由此可见,不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。[2]定义域编辑若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点:⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。[3]周期性编辑设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).单调(增减)性编辑决定因素依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减",可以简化为"同增异减"。基本步骤判断复合函数的单调性的步骤如下:⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。例题例如:讨论函数y=的单调性。解:函数定义域为R;令u=x2-4x+3,y=0.8u;指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;∴函数y=在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。复合函数求导编辑规则复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);复合函数的导数应用举例1、求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。解:设u=g(x)=3x+2;f(u)=u3+3;f'(u)=3u2=3(3x+2)2;g'(x)=3;f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;2、求f(x)=的导数。解:设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=;f'(a)==;p'(u)=2u=2(x-4);g'(x)=1;f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)==.复合函数求导法则链式法则(英文chainrule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=3x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3链式法则(chainrule)若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f'(g(x))g'(x)链式法则用文字描述,就是"由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里函数代入外函数的值之导数,乘以里边函数的导数。"证明证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 宜城教育资源网www.ychedu.com

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  • 含参积分求导/积分上限函数求导/

    千次阅读 2021-04-02 09:42:26
    定理: 设 f(x,y),fy(x,y)f(x,y),f_y(x,y)f(x,y),fy​(x,y) 都是闭矩形 [a,b]×[c,d][a,b]\times [c,d][a,b]×[c,d],上的连续函数,又设 a(y),b(y)a(y),b(y)a(y),b(y) 是在 [c,d][c,d][c,d] 上的可导函数,满足 a⩽a...

    定理: f ( x , y ) , f y ( x , y ) f(x,y),f_y(x,y) f(x,y),fy(x,y) 都是闭矩形 [ a , b ] × [ c , d ] [a,b]\times [c,d] [a,b]×[c,d],上的连续函数,又设 a ( y ) , b ( y ) a(y),b(y) a(y),b(y) 是在 [ c , d ] [c,d] [c,d] 上的可导函数,满足 a ⩽ a ( y ) ⩽ b , a ⩽ b ( y ) ⩽ b a\leqslant a(y)\leqslant b,a\leqslant b(y)\leqslant b aa(y)b,ab(y)b,则函数

    F ( y ) = ∫ a ( y ) b ( y ) f ( x , y ) d x F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm{d}x F(y)=a(y)b(y)f(x,y)dx

    [ c , d ] [c,d] [c,d] 上可导,并且在 [ c , d ] [c,d] [c,d] 上成立

    F ′ ( y ) = ∫ a ( y ) b ( y ) f y ( x , y ) d x + f ( b ( y ) , y ) b ′ ( y ) − f ( a ( y ) , y ) a ′ ( y ) F'(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f_y(x,y){\rm d}x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y) F(y)=a(y)b(y)fy(x,y)dx+f(b(y),y)b(y)f(a(y),y)a(y)


    说实话这个定理看起来容易让人迷惑,下面举个例子吧


    例:

    F ′ ( y ) = ∫ 0 y ln ⁡ ( 1 + x y ) x d x , y > 0 F'(y)=\int_0^y\frac{\ln(1+xy)}{x}\mathrm{d}x,\quad y>0 F(y)=0yxln(1+xy)dx,y>0

    F ′ ( y ) F'(y) F(y)

    F ′ ( y ) = ∫ 0 y 1 1 + x y d x + ln ⁡ ( 1 + y 2 ) y = ( ln ⁡ ( 1 + x y ) y ) ∣ 0 y + ln ⁡ ( 1 + y 2 ) y = 2 y ln ⁡ ( 1 + y 2 ) \begin{aligned} F'(y)&=\int_{0}^y\frac{1}{1+xy}\mathrm{d}x+\frac{\ln(1+y^2)}{y}\\ &=\left.\left(\frac{\ln(1+xy)}{y}\right)\right|_0^y+\frac{\ln(1+y^2)}{y}\\ &=\frac{2}{y}\ln(1+y^2) \end{aligned} F(y)=0y1+xy1dx+yln(1+y2)=(yln(1+xy))0y+yln(1+y2)=y2ln(1+y2)

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  • %参数方程求导的递归实现 % 调用格式: % y1 = paradiff(y, x, t, n) % 其中:y=f(t), x=g(t), t为参数, n为导数阶次 % % Examples: % 已知参数方程 y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3 % 求d3y/dx3 % MATLAB求解...
  • 积分变限函数求导的基本方法

    千次阅读 2020-12-29 07:57:22
    积分变限函数求导的基本方法秦琳【摘要】摘要:本文总结了积分变限函数的基本求导公式,研究了被积函数中含有参变量的积分变限函数求导问题,并结合实例做了详细演算,能帮助学生突破积分变限函数求导这一难点。...
  • 我们以下面这个函数为例:一阶一维(这里的阶是求几阶导函数的阶,维指的是函数表达式的变量个数):输入以下命令,其中diff(函数表达式名)是MATLAB内置的求导函数名。>> syms x;>> f(x)=sin(x)+x^2;>&...
  • 函数矩阵的求导

    千次阅读 2020-05-24 11:32:58
    1、函数对向量/矩阵求导 【实质:为标量对向量/矩阵】 2、向量/矩阵对变量求导 【实质:为向量/矩阵对标量】 3、函数由向量/矩阵构成的形式、向量/矩阵由其他向量矩阵构成的形式 1、函数、变量、数 都是属于标量 2、...
  • 我的公众号“每日晴天”,可关注领取我的笔记pdf版哦~ ------------------------------------------------------------------------... 所以 3、参数方程确定函数的导数: 设有参数方程:①x=φ(t);②y=ψ(t)。 则导数
  • 在做算法处理时经常需要推导一些公式,而这些公式基本上都是矩阵形式的,对矩阵的求导和普通函数求导不同,给出个简单的结果吧,查查算法、优化方面的书应该也挺多的 ----------------------------------------...
  • 变上限积分函数,简单来说就是积分的上限或下限中出现了变量。由于之前的学习并没有见过这一类函数,包括笔者在内的很多大学生刚开始接触它的...但不管是研究生入学考试还是高等数学竞赛都会出现变上限积分函数求导...
  • 针对符合规定的多项式表达式输出其符合格式规定的导函数多项式,格式错误输出WRONG FORMAT! 带符号整数 支持前导0的带符号整数,符号可省略,如: +02、-16>、19260817等。 幂函数 一般形式 由自变量x和指数...
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  • python对函数求导并得到具体导数 import sympy as sp # 使用这个库求导 import numpy as np x = sp.symbols('x') # 说明x是个自变量符号 # 假如x,y都是自变量符号,就写成这样x,y = sp.symbols('x y') # y是x的三次...
  • 求导计算器

    千次阅读 2021-06-16 01:54:23
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    2021-04-10 19:26:10
    本文参考了阮一峰大神的相关教程,总结了函数常见的知识点。 一、JS中的函数 1. 函数声明 (1)function命令声明 function f(){ //... } f(); (2)函数表达式 var f = function() { //... }; f(); 2. ...

空空如也

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含有参数的函数求导