最近有朋友在知识星球上提问W和H模型的区别，现在就总结一下常见的三种测试模型。

V模型、W模型、H模型

测试模型的概念

随着测试过程的管理和发展，测试人员通过大量的实践，从而总结出了不少测试模型，如常见的V模型、W模型、H模型等。这些模型与开发紧密结合，对测试活动进行了抽象，成为了测试过程管理的重要参考依据。

V模型

V模型示意图：

V模型各环节：

1、单元测试

又称模块测诚，针对软件设计中的最小单位—程庄模块，进行正确性检查的测试工作。单元测试需要从程序的内部结构出发设计测试用例。多个模块可以平行地独立进行单元测试。
单元定义：C中指一个函数，Java中指一个类，在图形化的软件中，单元一般指1个窗口，1个菜单。

2、集成测试

又叫组装测试，通常在单元测试的基础上，将所有程序模块进行有序的、递增的测试。重点测试不同模块的接口部分。

3、系统测试(system testing)：
指的是将整个软件系统看为一个整体进行测试，包括对功能、性能、以及软件所运行的软硬件环境进行测试。
系统测试在系统集成完毕后进行测试，前期主要测试系统的功能是否满足需求，后期主要测试系统运行的性能是否满足需求，以及系统在不同的软硬件环境中的兼容性等。
4、验收测试
α测试：Alpha是内测版本，即现在所说的C8，比版本表示该软件仅仅是一个初步完成品，通常只在软件开发者内部交流，也有很少一部分发布给专业测试人员。一般而言，该版本软件的bug较多，普通用户最好不要安装。

β测试：Beta是公测版本，是对所有用户开放的测试版本。该版本相对于a颜已有了很大的改进，消除了严重的错误，但还是存在着一些陷需要经过大规模的发布试来进一步消除。这一版本通常由软件公司免费发布，用户可从相关的站点下载。通过一些专业爱好者的测试，将结果反馈给开发者，开发者们再进行有针对性的修改。该版本也不适合一般用户安装。

λ测试：Camma版本，指的是软件版本正式发行的候选版。该版本已经相当成熟了，与即将发行的正式版相差无几，成为正式反布的候选版本。

软件正式版本推出之前的几个版本，需要有人测试一下，看看是不是有问题。在开发该软件的公司内部的由该公司内部人员式的称为：Alpha测试，Alpha 测式主要看有没有功能缺失或系统错误，Alpha 测试完后一般不会有大问题了。然后巴软件拿给用户测试称为：beta 测试，主要是看用户对软件外观、使用方便等的反应。这么多的式版一方面为了最终产品尽可能地满足用户的需要，另一方面也尽量成少了软件中的bug。然后做过一些修改，成为正式发布的候选版本时，叫做gamma（现在叫做RC-ReleaseCandidate)。
简单来说，阿尔法测试主要是测试人员在开发环境下的测试，贝塔测试是在实际环境中的测试，或者公司内部人员在模拟真实环境中的测试。

V模型的优缺点：

1、优点：包含了底层测试（单元测试）和高层测试（系统测试）；

　　　　  清楚的标识了开发和测试的各个阶段；

　　　　  自上而下逐步求精，每个阶段分工明确，便于整体项目的把控。
2、缺点：自上而下的顺序导致了，测试工作在编码之后，就导致错误不能及时的进行修改；

　　         实际工作中，需求经常变化，导致v模型步骤，反复执行，返工量很大，灵活度较低。
　改良：每个步骤都可以进行小的迭代工作。

W模型

定义：开发一个v；测试一个v组合起来的模型（w模型也叫双v模型）

W模型示意图：

优点：

　　   开发伴随着整个开发周期，需求和设计同样要测试；
　　   更早的介入测试，可以发现初期的缺陷，修复成本低；
　　   分阶段工作，方便项目整体管理。
缺点：

　　   开发和测试依然是线性的关系，需求的变更和调整，依然不方便；
　　   如果没有文档，根本无法执行w模型；对于项目组成员的技术要求更高！

H模型

H模型示意图：

H模型的优点：
　　>开发的H模型揭示了软件测试除测试执行外，还有很多工作；
　　>软件测试完全独立，贯穿整个生命周期，且与其他流程并发进行；
　　>软件测试活动可以尽早准备、尽早执行，具有很强的灵活性；
　　>软件测试可以根据被测物的不同而分层次、分阶段、分次序的执行，同时也是可以被迭代的。

H模型的缺点：
　　>管理型要求高：由于模型很灵活，必须要定义清晰的规则和管理制度，否则测试过程将非常难以管理和控制；
　　>技能要求高：H模型要求能够很好的定义每个迭代的规模，不能太大也不能太小；
　　>测试就绪点分析困难：测试很多时候，你并不知道测试准备到什么时候是合适的，就绪点在哪里，就绪点的标准是什么，这就对后续的测试执行的启动带来很大困难；
　　>对于整个项目组的人员要求非常高：在很好的规范制度下，大家都能高效的工作，否则容易混乱。例如：你分了一个小的迭代，但是因为人员技能不足，使得无法有效完成，那么整个项目就会受到很大的干扰。

总结：

　　v模型适用于中小企业；

　　w模型适用于中大型企业（因为人员要求高）；

　　h模型人员要求非常高，很少有公司使用。

软件开发经典流程图

在这里插入图片描述

一、瀑布模型

模型图

定义：瀑布模型(Waterfall Model)是将软件生存周期的各项活动规定为按固定顺序而连接的若干阶段工作，形如瀑布流水，最终得到软件产品。
地位：这是一种经典模型,提供了软件开发的基本框架。

• 优点:
  1）各阶段划分清晰
  2）强调计划与需求分析
  3）适合需求稳定的产品开发
• 缺点:
  1）单一流程，不可逆
  2）风险显露得晚，纠正机会少
  3）测试只是其中一个阶段，缺乏全过程测试思想

二、V 模型

模型图

定义：RAD (Rap Application Development,快速应用开发) 模型是软件开发过程中的一个重要模型，由于其模型构图形似字母V，所以又称软件开发的V模型。它通过开发和测试同时进行的方式来缩短开发周期，提高开发效率。

• 优点：相对于瀑布模型，V模型测试能够尽早的进入到开发阶段。
• 缺点：虽然测试尽早的进入到开发阶段，但是真正进行软件测试是在编码之后，这样忽视了测试对需求分析，系统设计的验证，时间效率上也大打折扣。

三、W 模型

模型图

定义：W模型，由Evolutif公司提出， 相对于V模型，W模型增加了软件开发各阶段中同步进行的验证和确认活动。如图所示，由两个V字型模型组成，分别代表测试与开发过程，图中明确表示出了测试与开发的并行关系。

• 优点：W 模型相对于 V 模型来说，测试更早的进入到开发阶段，与开发阶段是并行关系，更早的发现问题，能够及时解决问题，各个阶段分工明确，方便管理。
• 缺点：W 模型是顺序性的，不可逆，需求的变更和调整，依旧不方便。

四、敏捷开发模型

流程图

定义：从1990年代开始逐渐引起广泛关注,是一种以人为核心、快速迭代、循序渐进的开发方法。强调以人为本，专注于交付对客户有价值的软件。是一个用于开发和维持复杂产品的框架。就是把一个大项目分为多个相互联系，但也可独立运行的小项目，并分别完成，在此过程中软件一直处于可使用状态。

• 优点：敏捷确实是项目进入实质开发迭代阶段，用户很快可以看到一个基线架构版的产品。敏捷注重市场快速反应能力，也即具体应对能力，客户前期满意度高。
• 缺点：但敏捷注重人员的沟通，忽略文档的重要性，若项目人员流动大太，又给维护带来不少难度，特别项目存在新手比较多时，老员工比较累。需要项目中存在经验较强的人，要不大项目中容易遇到瓶颈问题。

refers：

https://www.cnblogs.com/qiaoli0726/p/14167524.html

一.幂零变换的约当标准形(9.7)

1.强循环子空间
(1)概念:


(2)将线性空间分解成强循环子空间:

定理1:设$\mathcal{B}$是域$F$上$r$维线性空间$W$上的幂零变换,其幂零指数为$l$,则$W$能分解成$dim{W}_0$个$\mathcal{B}-$强循环子空间的直和,其中$W_0$是$\mathcal{B}$的属于特征值0的特征子空间

2.幂零变换的约当标准形:

定理2:设$\mathcal{B}$是域$F$上$r$维线性空间$W$上的幂零变换,其幂零指数为$l$,则$W$中存在1个基,使得$\mathcal{B}$在此基下的矩阵$B$为1个约当形矩阵,其中每个约当块的主对角元都是0,且级数不超过$l$;约当块的总数等于$$\dim (Ker\mathcal{B})=r-rank(\mathcal{B})$$$t$级约当块的个数$$N(t)=rank({\mathcal{B}}^{t+1})+rank({\mathcal{B}}^{t-1})-2rank({\mathcal{B}}^t)(7)$$把$B$称为$\mathcal{B}$的约当标准形;除约当块的排列次序外,$\mathcal{B}$的约当标准形是唯一的

推论1:设$B$是域$F$上的$r$级幂零矩阵,其幂零指数为$l$,则$B$相似于1个约当形矩阵,其中每个约当块的主对角元为0,且级数不超过$l$,约当块的总数为$$r-rank(B)(13)$$$t$级约当块的个数$$N(t)=rank(B^{t+1})+rank(B^{t-1})-2rank(B^t)(14)$$这个约当形矩阵称为$B$的约当标准型;除去约当块的排列次序外,$B$的约当标准形是唯一的

二.线性变换的约当标准形(9.8)
1.线性变换的约当标准型

(1)线性变换的约当标准型:

定理3:设$\mathcal{A}$是域$F$上$n$维线性空间$V$上的线性变换,如果$\mathcal{A}$的最小多项式$m(\lambda )$在$F[\lambda ]$中的标准分解式为$$m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{l_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{l_2}...(\lambda -{\lambda }_s{)}^{l_s}(1)$$那么$V$中存在1个基,使得$\mathcal{A}$在此基下的矩阵$A$为约当形矩阵,其全部主对角元是$\mathcal{A}$的全部特征值,特征值${\lambda }_j$在主对角线上出现的次数等于${\lambda }_j$的代数重数,主对角元为${\lambda }_j$的约当块的总数$N_j$为$$N_j=n-rank(\mathcal{A}-{\lambda }_j\mathcal{I})(2)$$其中$t$级约当块$J_t({\lambda }_j)$的个数$N_j(t)$为$$N_j(t)=rank(\mathcal{A}-{\lambda }_j\mathcal{I}{)}^{t+1}+rank(\mathcal{A}-{\lambda }_j\mathcal{I}{)}^{t-1}-2rank(\mathcal{A}-{\lambda }_j\mathcal{I}{)}^t(3)$$其中$1\le t\le l_j(j=1,2...s)$;这个约当形矩阵$A$称为$\mathcal{A}$的约当标准形;除去约当块的排列次序外,$\mathcal{A}$的约当标准形是唯一的

(2)矩阵的约当标准型:

(定理3的)推论1:设$A$是域$F$上的$n$级矩阵,如果$A$的最小多项式$m(\lambda )$在$F[\lambda ]$中的标准分解式为$$m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{l_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{l_2}...(\lambda -{\lambda }_s{)}^{l_s}(10)$$那么$A$相似于1个约当形矩阵,该约当形矩阵的全部主对角元是$A$的全部特征值,特征值${\lambda }_j$在主对角线上出现的次数等于${\lambda }_j$的代数重数,主对角元为${\lambda }_j$的约当块的总数$N_j$为$$N_j=n-rank(A-{\lambda }_{j}I)(11)$$其中$t$级约当块$J_t({\lambda }_j)$的个数$N_j(t)$为$$N_j(t)=rank(A-{\lambda }_{j}I{)}^{t+1}+rank(A-{\lambda }_{j}I{)}^{t-1}-2rank(A-{\lambda }_{j}I{)}^t(12)$$其中$1\le t\le l_j(j=1,2...s)$;这个约当形矩阵$A$称为$A$的约当标准形;除去约当块的排列次序外,$A$的约当标准形是唯一的

(3)线性变换和矩阵有约当标准型的充要条件:

(定理3的)推论2:域$F$上$n$维线性空间$V$上的线性变换$\mathcal{A}$有约当标准形当且仅当$\mathcal{A}$的最小多项式$m(\lambda )$在$F[\lambda ]$中可分解成1次因式的乘积

(定理3的)推论3:域$F$上$n$维线性空间$V$上的线性变换$\mathcal{A}$有约当标准形当且仅当$\mathcal{A}$的特征多项式$f(\lambda )$在$F[\lambda ]$中可分解成1次因式的乘积

(定理3的)推论4:域$F$上的$n$级矩阵$A$相似于1个约当形矩阵当且仅当$A$的最小多项式$m(\lambda )$(或特征多项式$f(\lambda )$)在$F[\lambda ]$中可分解成1次因式的乘积

2.初等因子与相似矩阵
(1)定义:

(2)矩阵相似的充要条件:

(定理3的)推论5:设$A,B\in M_n(F)$,如果$A,B$都有约当标准形,那么$A$与$B$相似当且仅当它们有相同的初等因子

注:①本行也是矩阵相似的充要条件,也可使用本条件

(定理3的)推论6:2个$n$级复矩阵相似当且仅当它们有相同的初等因子

3.空间分解的方法:

4.约当基
(1)定义:

(2)求解:

三.相抵标准形(9.8)
1.相抵标准形

(1)定义:

定理4:任意1个非零的$n$级$\lambda -$矩阵$A(\lambda )$一定相抵于对角$\lambda -$矩阵: d i a g   { d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) . . . d n ( λ ) } ( 1 ) diag\,\{d_1(λ),d_2(λ)...d_n(λ)\}\qquad(1) diag{d1​(λ),d2​(λ)...dn​(λ)}(1)其中$d_i(\lambda )|d_{i+1}(\lambda )(i=1,2...n-1)$;且对于任意1个非零的$d_i(\lambda )$,其首项系数为1.满足这些要求的对角$\lambda -$矩阵$(1)$称为$A(\lambda )$的1个相抵标准形或Smith标准形.将数域$K$换成任一域$F$,该定理仍成立

(2)不变因子与行列式因子:

定理5:相抵的$\lambda -$矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子

(3)唯一性:


(4)矩阵相抵的判定:

定理6:2个$n$级$\lambda -$矩阵相抵的充要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子

2.初等因子
(1)定义:

注意:这也就是 高等代数.线性映射(第9章)4.约当标准型.二.2 部分中定义1所定义的初等因子.今后把数域$K$上$n$级矩阵$A$的特征矩阵$\lambda I-A$的不变因子叫做$A$的不变因子,把复矩阵$A$的特征矩阵$\lambda I-A$的初等因子叫做$A$的初等因子

(2)矩阵相抵的判定:

定理7:$C[\lambda ]$上2个满秩的$n$级矩阵相抵的充要条件是它们有相同的初等因子

定理8:复数域上2个$n$级矩阵的特征矩阵相抵的充要条件是它们具有相同的不变因子或相同的初等因子

(3)满秩矩阵的初等因子:

定理9:设$A(\lambda )$是$C[\lambda ]$上的$n$级满秩矩阵,通过初等变换把$A(\lambda )$化成对角形,然后把主对角线上每个次数大于0的多项式都分解成互不相同的1次因式的乘积,则所有这些1次因式的方幂(相同的按出现次数计算)就是$A(\lambda )$的初等因子

因此,对$C[\lambda ]$上的$n$级满秩矩阵$A(\lambda )$,可直接求其初等因子,不需要先求不变因子

3.约当标准形

(1)矩阵相似的判定:

定理10:数域$K$上2个$n$级矩阵$A,B$相似的充要条件是它们的特征矩阵$\lambda I-A,\lambda I-B$相抵

定理11:数域$K$上2个$n$级矩阵$A,B$相似的充要条件是它们有相同的不变因子.2个$n$级复矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子或相同的初等因子

(2)约当标准形:

定理12:任意1个$n$级复矩阵$A$都与1个约当形矩阵相似,该约当形矩阵除去其中约当块的排列次序外被$A$唯一决定,称其为$A$的约当标准形


(定理12的)推论1:$n$级复矩阵$A$的最小多项式$m(\lambda )$等于$A$的最后1个不变因子$d_n(\lambda )$

(定理12的)推论2:数域$K$上$n$级矩阵$A$的最小多项式$m(\lambda )$等于$A$的最后1个不变因子$d_n(\lambda )$

由$(14)$,数域$K$上$n$级矩阵$A$的特征多项式$f(\lambda )=D_n(\lambda )=\prod _{i=1}^n{d}_i(\lambda )$
(定理12的)推论3:数域$K$上$n$级矩阵$A,B$相似当且仅当把它们看成复矩阵后相似

在上述讨论中,把数域$K$换成域$F$,把复数域换成包含$F$的代数封闭域,所有结论仍成立

附录1.定理10的证明

引理1:设$A$是域$F$上任一非零矩阵,$G(\lambda )$是任一$n$级$\lambda -$矩阵,则$\exists n$级$\lambda -$矩阵$H_1(\lambda ),H_2(\lambda )$和域$F$上的$n$级矩阵$T_1,T_2$,使得$$\begin{gathered} G(\lambda )=H_1(\lambda )(\lambda I-A)+T_1(21) \\ G(\lambda )=(\lambda I-A)H_2(\lambda )+T_2(22) \end{gathered}$$

定理10’:域$F$上2个$n$级矩阵$A,B$相似当且仅当$\lambda I-A,\lambda I-B$相抵