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  • } double Max_triangle(int cnt)//旋转卡壳法求面积最大的三角形 { double maxi=0; int j=1; int k=1; for(int i=1;i;i++) { while(fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[(k+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt...

    #include"string.h"

    #include"stdio.h"

    #include"iostream"

    #include"algorithm"

    #include"queue"

    #include"stack"

    #define M 100009

    #define N 100009

    #include"stdlib.h"

    #include"math.h"

    #define inf 10000000000000000LL

    #define INF 0x3f3f3f3f

    #define PI acos(-1.0)

    #define eps 1e-10

    using namespace std;

    struct node

    {

    double x,y;

    node(){}

    node(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}

    node operator +(node p)//向量加法

    {

    return node(x+p.x,y+p.y);

    }

    node operator -(node p)//向量减法

    {

    return node(x-p.x,y-p.y);

    }

    double operator *(node p)//向量叉乘

    {

    return x*p.y-y*p.x;

    }

    double operator ^(node p)//向量点乘

    {

    return x*p.x+y*p.y;

    }

    node operator /(double p)//向量除法

    {

    return node(x/p,y/p);

    }

    node operator *(double p)//向量乘法

    {

    return node(x*p,y*p);

    }

    }p[M],q[M];

    int cnt,n;

    double max(double x,double y)

    {

    return x>y?x:y;

    }

    double min(double x,double y)

    {

    return x

    }

    double cross(node a,node b,node c)//叉积

    {

    return (b-a)*(c-a);

    }

    double dot(node a,node b,node c)//点积

    {

    return (b-a)^(c-a);

    }

    double len(node a)//向量长吨

    {

    return sqrt(a^a);

    }

    double dis(node a,node b)//两点距离

    {

    return len(b-a);

    }

    int cmp(node a,node b)//极角排序

    {

    double temp=cross(p[0],a,b);//逆时针排序

    if(temp>0)

    return 1;

    else if(fabs(temp)

    return 1;

    else

    return 0;

    }

    void input(int n)//输入

    {

    for(int i=0;i

    scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);

    }

    void sort_point(int n)//凸包点集的输入即排序

    {

    int i,k;

    node start;

    start=p[0];

    k=0;

    for(i=1;i

    {

    if((start.y>p[i].y)||(fabs(start.y-p[i].y)p[i].x))

    {

    start=p[i];

    k=i;

    }

    }

    p[k]=p[0];

    p[0]=start;

    sort(p+1,p+n,cmp);

    }

    void be_weight(int val)

    {

    int temp=val;

    n=1;

    for(int i=1;i

    {

    if(fabs(p[i-1].x-p[i].x)

    continue;

    p[n++]=p[i];

    }

    }

    void Convex_hull(int n)//求凸包凸包上的点存在q中

    {

    int i;

    if(n==1)

    {

    q[0]=p[0];

    cnt=1;

    }

    else if(n==2)

    {

    q[0]=p[0];

    q[1]=p[1];

    q[2]=p[0];

    cnt=2;

    }

    else if(n>=3)

    {

    q[0]=p[n-1];

    q[1]=p[0];

    q[2]=p[1];

    cnt=2;

    for(i=2;i

    {

    while(cross(q[cnt-1],q[cnt],p[i])<0)

    cnt--;

    q[++cnt]=p[i];

    }

    }

    }

    double Perimeter(int cnt)//凸包周长

    {

    double sum=0;

    for(int i=1;i<=cnt;i++)

    sum+=dis(q[i-1],q[i]);

    return sum;

    }

    double Area(int cnt)//凸包面积

    {

    double sum=0;

    node p(0,0);

    for(int i=1;i<=cnt;i++)

    sum+=cross(p,q[i-1],q[i]);

    return fabs(sum/2.0);

    }

    node barycenter_cur(int n)//原多边形的重心

    {

    double sum=0;

    node ret(0.0,0.0);

    for(int i=2;i

    {

    double area=cross(p[0],p[i-1],p[i]);

    sum+=area;

    ret=ret+(p[0]+p[i-1]+p[i])/3.0*area;

    }

    ret=ret/sum;

    return ret;

    }

    node barycenter_now(int cnt)//凸包的重心

    {

    double sum=0;

    node ret(0.0,0.0);

    for(int i=2;i

    {

    double area=cross(q[0],q[i-1],q[i]);

    sum+=area;

    ret=ret+(q[0]+q[i-1]+q[i])/3.0*area;

    }

    ret=ret/sum;

    return ret;

    }

    double Diameter(int cnt)//旋转卡壳法求凸包的直径即最大的点对距离

    {

    double maxi=0;

    int j=1;

    for(int i=1;i<=cnt;i++)

    {

    while(fabs(cross(q[i-1],q[i],q[(j+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[i],q[j%cnt])))

    j++;

    maxi=max(maxi,dis(q[i-1],q[j%cnt]));

    maxi=max(maxi,dis(q[i],q[j%cnt]));

    }

    return maxi;

    }

    double Max_triangle(int cnt)//旋转卡壳法求面积最大的三角形

    {

    double maxi=0;

    int j=1;

    int k=1;

    for(int i=1;i<=cnt;i++)

    {

    while(fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[(k+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])))

    k++;

    maxi=max(maxi,fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])));

    while(fabs(cross(q[i-1],q[(j+1)%cnt],q[k%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])))

    j++;

    maxi=max(maxi,fabs(cross(q[i-1],q[j%cnt],q[k%cnt])));

    }

    return maxi/2.0;

    /*其思路是这样的,定点I,p,q,先I,p固定,让q旋转找到最大的面积三角形,之后,I,q固定,p旋转,

    找到最大的三角形面积,比较记录.然后i++;直到i遍历所有顶点.所求出来的三角形就是面积

    最大.这里的旋转卡壳思想就是固定,旋转.这样的.显然i++后,p,q两点不需要再从i+1,i+2开始,这

    个好形容,对p,q进行取模运算的时候,注意自己的SP栈指针多大.*/

    }

    void Min_rectangle(int cnt)//旋转卡壳法求面积和周长最小的环绕矩形

    {

    if(cnt<=2)//输出时注意的地方*****

    {

    if(cnt==1)

    printf("%.2lf %.2lf\n",0.0,0.0);

    else

    printf("%.2lf %.2lf\n",0.0,2*dis(p[0],p[1]));

    return;

    }

    double S=inf,C=inf;

    int j,k,r;

    double h,w;

    j=k=r=1;

    for(int i=1;i<=cnt;i++)

    {

    double L=dis(q[i-1],q[i]);

    while(fabs(cross(q[i-1],q[i],q[(j+1)%cnt]))>fabs(cross(q[i-1],q[i],q[j%cnt])))

    j++;

    h=fabs(cross(q[i-1],q[i],q[j%cnt]))/L;

    while(dot(q[i-1],q[i],q[(k+1)%cnt])>dot(q[i-1],q[i],q[k%cnt]))

    k++;

    if(i==1)

    r=k;

    while(dot(q[i-1],q[i],q[(r+1)%cnt])<=dot(q[i-1],q[i],q[r%cnt]))

    r++;

    w=(dot(q[i-1],q[i],q[k%cnt])-dot(q[i-1],q[i],q[r%cnt]))/L;

    S=min(S,w*h);

    C=min(C,(w+h)*2);

    }

    printf("%.2lf ",S);//输出时注意的地方*****

    printf("%.2lf\n",C);

    }

    int main()

    {

    while(scanf("%d",&n),n)

    {

    input(n);//输入

    sort_point(n);//极角排序

    be_weight(n);//去重

    Convex_hull(n);//求凸包

    Min_rectangle(cnt);

    }

    return 0;

    }

    展开全文
  • 他用尺量出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候,他发现他的材料只够围100米的篱笆,不够用。若要围成长40米,宽15米的羊圈,其周长将是....

    1 小欧拉改羊圈

    瑞士数学家(1707-1783)小时候一边放羊,一边读书。他读的书中,有不少数学书。他放的羊群渐渐增多了,达到了100只。原来的羊圈有点小了,他爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候,他发现他的材料只够围100米的篱笆,不够用。若要围成长40米,宽15米的羊圈,其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难,若要按原计划建造,就要再添10米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法,听了没有理他。小欧拉急了,大声说,只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头,心想:“世界上哪有这样便宜的事情?”但是,小欧拉却坚持说,他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了,站起身来,跑到羊圈旁。他以一个木桩为中心,将原来40米边长截短,缩短到25米。父亲着急了,说:“那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了。”小欧拉也不回答,跑到另一条边上,将原来15米边长延长,增加10米,变成25米。经这样一改,原来的羊圈变成了25米边长的正方形。然后,小欧拉很自信地对爸爸说:“现在,篱笆也够了,面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上篱笆,100米长篱笆真的够了,不多不少,全部用光。面积也足够了,而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明,真会动脑筋,将来一定大有出息。父亲感到,让这么聪明的孩子放羊实在是可惜了。后来,他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐,小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年,小欧拉13岁,是这所大学最年轻的大学生。

    2 正方形VS长方形

    当周长一定时,围成一个方形,两边的关系与两边形成的面积有何相关关系,我可以先讨论两边相等时(正方形),与两边不等时(长方形)形成的面积对比关系。

    设周长为C,正方形边长为a,长方形长为b、宽为c。

    ①根据正方形周长公式C=4a,则正方形边长a=C/4

    根据正方形面积公式S1=边长2,则正方形面积S1=(C/4)2=C2/16

    ②根据长方形周长公式C=(b+c)×2,则b+c=C/2

    根据长方形面积公式得S3=bc

    因为a=C/4,所以a=C/2×1/2=(b+c)×1/2=(b+c)/2

    则S1-S3

    =a2-bc

    =(b+c)2/4-bc

    =(b+c)2/4-4bc/4

    =【(b+c)2-4bc】/4

    =(b2+2bc+c2-4bc)/4

    =(b2-2bc+c2)/4

    =(b-c)2/4

    因为b≠c,所以(b-c)2>0

    则(b-c)2/4>0

    即S1-S3>0

    所以S1>S3

    所以周长相等的长方形和正方形,正方形的面积大于长方形的面积。

    类似地,可以看到,b和c越接近(也就是长方形越接近正方形),其周长一定时组成的面积最大。

    3 图形证明当周长一定时,正方形面积>长方形面积

    注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。

    设想周长=2*(a+b)时,所组成的方形的面积。

    长方形的面积=a*b=线段AB长的正方形的面积。

    可以看到,當周长=2*(a+b)、a和b相等时,也就是线段AB的长=(a+b)/2(圆半径)时,面积最大。几何平均值小于算术平均值:几何平均数(geometric mean)是指n个观察值连乘积的n次方根。是不等式中最重要和基础的等式。几何平均数体现了一个几何关系,即过一个圆的直径上任意一点做垂线,直径被分开的两部分为a,b,那么那个垂线在圆内的一半长度就是根号ab,并且(a+b)/2>=根号ab!这就是它的几何意思,也是称之为几何平均数的原因。

    (作一正方形,使其面积等于以a,b为长宽的矩形,则该正方形的边长即为a、b的几何平均数.)

    以下图形也可以直观地看到这种关系:

    4 正方形、圆面积比较

    设长度为a,若是正方形,边长是a/4,的面积是a2/16,而圆的半径是a/2π,面积则是a2/4π,π=3.14,面积约是a2/12,故周长一定时,圆的面积最大。

    5 正多边形、圆面积比较

    正N边形的所有顶点都在同一个外接圆上,将正N边型的顶点都与外接圆的圆心相连将正N边型分成N个全等等腰的三角形,等腰三角形的顶角为2π/N,可求得小等腰三角形的面积为0.5sin(2π/N)R2,再乘以等腰三角形的个数N即得。

    正弦定理对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形,有:

    sinA / a = sinB / b = sinC/c

    也可表示为:

    a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

    变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

    其中R是三角形的外接圆半径。

    它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

    三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积:

    S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

    正多邊形面積S=N*0.5sin(2π/N)R2,当N趋近于无穷大时,sin(2π/N)=2π/N(这是高数里面的等价无穷小),那么得到的就是圆的面积S=πR2。

    根据古典神话,公元前1193-1184年,泰雅国的公主黛多为逃避同胞哥哥的追杀,跟随一些卫士逃离了国家。他们坐船来到非洲,见到了非洲的雅布王。肯求雅布王给他一些土地。雅布王很同情她们,想给他们一些土地,但又怕他们所要更多的土地就想出了一个妙计。他给了黛多公主一块牛皮,说:“你们用这块牛皮圈土地,我会把圈到的土地给你们的。”卫士们一听,很生气。一张小小的牛皮能圈多大的土地?但是,黛多公主并不生气,带着卫士们圈地去了。雅布王暗喜,这下不会损失太多的土地了。可是,不一会儿,仆人来报告:“黛多公主圈的地已经有整个国家的三分之一大了”。雅布王大吃一惊,急忙赶去看,原来黛多公主并没有把牛皮直接铺在地上,而是把牛皮搓成牛皮绳,用牛皮绳沿着海岸线圈出了一块很大的半圆形土地。雅布王很佩服她的智慧,心甘情愿的给了她那块土地。

    结论:周长一定的平面封闭图形以圆的面积最大。

    .参考:http://wenku.baidu.com/view/49978201a6c30c2259019e89.html

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  • 中考数学之四边形周长最小值

    千次阅读 2021-01-14 01:11:15
    ‎ ‎(2)若点、的坐标分别为、,则当 时,四边形的周长最短.‎ ‎3. (2012南宁)已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点,设B(-1,y).‎ ‎(1)如图1,若点C(x,0)且-1,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系...

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    简介:‎1. (2011深圳)如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0).‎

    ‎(1)求抛物线的解析式

    ‎(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由.‎

    ‎(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.‎

    ‎2.(2013泉州质检)在平面直角坐标系中,、两点的坐标分别为,.‎

    ‎(1)若点的坐标为,当 时,的周长最短;‎

    ‎(2)若点、的坐标分别为、,则当 时,四边形的周长最短.‎

    ‎3. (2012南宁)已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点,设B(-1,y).‎

    ‎(1)如图1,若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系式;‎

    ‎(2)在(1)的条件下,y是否有最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由;‎

    ‎(3)如图2,当点B的坐标为(-1,1)时,在x轴上另取两点E,F,且EF=1.线段EF在x轴上平移,线段EF平移至何处时,四边形ABEF的周长最小?求出此时点E的坐标.‎

    ‎4.(2011乐山)已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).‎

    ‎(1)求抛物线的解析式; ‎

    ‎(2)如图(1),设C,D分别是轴、轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值;‎

    ‎(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.‎

    ‎①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围;‎

    ‎②在①的条件下,记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式,并求S的最大值。‎

    ‎ ‎

    ‎5.(2013•济南)如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A,C,与y轴相交于点B,连接AB,BC,点A的坐标为(2,0),tan∠BAO=2,以线段BC为直径作⊙M交AB于点D,过点B作直线l∥AC,与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E,F.‎

    ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎

    ‎(2)求点C的坐标和线段EF的长;‎

    ‎(3)如图2,连接CD并延长,交直线l于点N,点P,Q为射线NB上的两个动点(点P在点Q的右侧,且不与N重合),线段PQ与EF的长度相等,连接DP,CQ,四边形CDPQ的周长是否有最小值?若有,请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值;若没有,请说明理由.‎

    

    ‎6.(2013贵港市)如图,点A、B都在双曲线上,点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是( )‎

    A. B. C. D.‎

    ‎7.(2013阿坝州)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点C(1,﹣4),与x轴相交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴相交于点D.‎

    ‎(1)求抛物线的解析式;‎

    ‎(2)如图1,已知点M的坐标是(0,1)在抛物线上找一点N,使以A、B、M、N为顶点的四边形是梯形(写出一个符合条件的点N的坐标即可);‎

    ‎(3)如图2,设过A的直线与抛物线交于点E,与y轴相交于点F,点E的横坐标为2,直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的动点.那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形的周长是否有最小值?‎

    ‎8.(2014鞍山)如图,在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2先向右平移一个单位,在向下平移个单位,得到新的抛物线y=ax2+bx+c,该抛物线与y轴交点于点B,与x轴正半轴交于点C.‎

    ‎(1)求点B和点C的坐标;‎

    ‎(2)如图1,有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移,移动的速度为每秒1个单位,移动的时间为t秒,直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于点P,当点P在x轴上方时,求出使△PBC的面积为的t值;‎

    ‎(3)如图2,将直线BC绕点B逆时针旋转,与x轴交于点M(1,0),与抛物线y=ax2+bx+c

    交于点A,在y轴上有一点D(0,),在x轴上另取两点E、F(点E在点F的左侧)EF=2,线段EF在x轴上平移,当四边形ADEF的周长最小时,先简单描述如何确定... 更多>>

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  • 已知矩形面积,求最小周长

    千次阅读 2021-01-04 14:01:38
    一个矩形的面积为S,已知该矩形的边长都是整数,求所有满足条件的矩形中,周长的最小值。例如:S = 24,那么有{1 24} {2 12} {3 8} {4 6}这4种矩形,其中{4 6}的周长最小,为20。 输入 输入1个数S(1 <= S <= ...

    1283 最小周长
    1.0 秒 131,072.0 KB 20 分 初学者3级题
    一个矩形的面积为S,已知该矩形的边长都是整数,求所有满足条件的矩形中,周长的最小值。例如:S = 24,那么有{1 24} {2 12} {3 8} {4 6}这4种矩形,其中{4 6}的周长最小,为20。

    输入
    输入1个数S(1 <= S <= 10^9)。
    输出
    输出最小周长。
    输入样例
    24
    输出样例
    20

    题解:相信大家在小学或者初中,和蔼可亲的数学老师一定讲过一个结论:
    已知矩形面积,求最小周长,当矩形的长和宽越接近时(也就是差值越小时),其周长最小。
    代码:

    #include<bits/stdc++.h>//万能头
    using namespace std;
    int main()
    {
    	int s,n,m,c;//定义面积s,长、宽 n、m,周长c
    	cin>>s;
    	for(n=1;n<=s;n++)//令矩形的长自加
    	{	
    		m=s/n;//宽=面积/长(注意这里的运算结果都为整形)
    		if(s==m*n&&n>=m)//判断,当n>=m(即长和宽最接近时);由于上一步m的值为整数,所以这里加一个条件s=m*n(即满足面积=长*宽)
    			break;//结束循环		
    	}
    	c=2*(n+m);//周长=2*(长+宽)
    	cout<<c;//输出最小周长
    	return 0;
    } 
    
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周长最短面积最大