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  • 反过来讲,如果周长相等的三角形、正方形、圆形,哪个的面积最大呢?答案是圆形的面积最大。下面就让我们揭开这个谜。生活中有很多圆形的建筑或者物品,大草原上的羊圈、牛圈通常都圈成圆形的,牧民们的蒙古包也是...

                朗读者:魏俊祥(幸福六班)

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          从钉子截面不同的常识中,我们知道了,在面积相等的情况下,三角形、 正方形、圆形三者相比,圆的周长是最小的。反过来讲,如果周长相等的三角形、正方形、圆形,哪个的面积最大呢?答案是圆形的面积最大。 下面就让我们揭开这个谜。
           生活中有很多圆形的建筑或者物品,大草原上的羊圈、牛圈通常都圈成圆形的,牧民们的蒙古包也是圆形的,我们家中的水壶、油瓶、桌面、大烟囱,一般也会设计成圆形。那是因为用同样多的材料,把物体做成圆形能得到最大的面积。有的小朋友会问了:怎样证明是圆的面积最大呢?我们在一张大纸上面画上许多大小一样的小方格,拿一根细细的线绳,把两头接起来,让它变成一个封闭的图形,也就是一个线圈,保持线绳的长度不变,无论把它变化成什么形状,周长都是相等的,然后把线圈分别做成三角形、正方形、圆形,把不同形状的线绳分别放在小方格上,看看它们分别能圈下多少块小方格,那些不满一个小方格的部分可以拼起来计算。每个图形所圈住的小方格的数量就代表了这个图形的面职。结果显而易见,圆形圈住的小方格是最多的。由此证明,在周长都相等的情况可,圆形的面积是最大的。 

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  • A QUARK扯闲篇儿为什么同周长的图形中圆的面积最大想解决这个问题的话,一共分1定义,图形上不存在两点,能使图形的两部分落在这两点连线的同侧的图形,叫做外凸的图形反之,图形上存在两点,能使图形的两部分落在这...

    A QUARK

    扯闲篇儿

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    为什么同周长的图形中圆的面积最大

    0b441ad9fe8be6a9db2727800abce7e6.png

    想解决这个问题的话,

    一共分

    951ba7f5c628c9125d5d30fad61bfaf8.png

    1

    定义,图形上不存在两点,能使图形的两部分落在这两点连线的同侧的图形,叫做外凸的图形

    反之,图形上存在两点,能使图形的两部分落在这两点连线的同侧的图形,叫做内凹的图形

    求证:同周长的图形中,面积最大的一定是外凸的图形

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    解:

    设有一内凹的图形ABCDEFGH,图形在AC的同侧

    连接AC

    证:

    图形ABCDEFGH不是同周长的图形中面积最大的图形

    a10f9baa93af31be037159bd9c155850.png

    以AC为底边,在另一侧作图形AB'C≌图形ABC

    ∵图形AB'C≌图形ABC

    ∴线AB'C=线ABC

    ∴CABCDEFGH=CAB’CDEFGH

    ∵SABCDEFGH<SAB’CDEFGH

    ∴图形ABCDEFGH不是同周长的图形中面积最大的图形

    证毕

    2

    求证:同周长的图形中,如果将面积最大的图形周长二等分,那么这两点的连线也将该图形的面积二等分

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    解:

    设有图形ABCDEFGH,线ABCDE=线EFGHA

    设SABCDE<SEFGHA

    连接AE

    证:

    图形ABCDEFGH不是同周长的图形中面积最大的图形

    0afc065df60f0087f72d969c26178821.png

    以AE为底边,在另一侧作图形EF'G'H'A≌图形EFGHA

    ∵图形EF'G'H'A≌图形EFGHA

    ∴SEF'G'H'A=SEFGHA;线EF'G'H'A=线EFGHA

    ∴CABCDEFGH=CAH‘G'F'EFGH

    ∵SABCDE<SEFGHA

    ∴SABCDE<SEF'G'H'A

    ∴SABCDEFGH<SAH‘G'F'EFGH

    ∴图形ABCDEFGH不是同周长的图形中面积最大的图形

    证毕

    3

    求证:两端在同一直线上且周长相等的图形中,面积最大的是半圆

    e7365ca945906c4ede602a806dd65a08.png

    解:

    设有图形ABCDE,AE边为直线

    连接AC,CE

    证:

    当∠ACE=90°时,图形ABCDE面积最大

    ∵S△ACE=CE×hCE/2

    ∴S△ACE=CE×AC×sin∠ACE/2

    或S△ACE=CE×AC×sin(180°-∠ACE)/2

    ∵AC长度不变,如下图

    d3ede03ec9970278f7bfff3b37feadd8.png

    AC,CE不变,点A在⊙C上,AK⊥CE

    这时S△ACE=CE×AC×sin(180°-∠ACE)/2=CE×AI/2

    可知,当AK为直径时,AI最大

    (证明过程参照公众号菜单中的命题3.15)

    ∵CE不变

    ∴此时S△ACE最大

    此时点C,点I重合,∠ACE=90°

    39a2200343f8f8e7f361ba3dcf0132bf.png

    ∴可作弓形A’B'C‘≌弓形ABC,弓形C'D'E'≌弓形CDE,∠A’C‘E’=90°

    此时SABCDE<SA'B'C'D'E'

    ∵直角三角形斜边中线等于斜边的一半

    ∴线A'B'C'D'E'上任意一点到A'E'中点的距离都等于A'E'的一半

    ∴图形A'B'C'D'E'是半圆

    ∴两端在同一直线上且周长相等的图形中,面积最大的是半圆

    证毕

    结合第二个证明,我们知道,直线另一边,周长相等且面积最大的图形,也是个半圆。由此可知,同周长的图形中圆的面积最大(虽然这个证明是不太严格的)

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    END

    关注微信公众号:夸克欧氏几何

    Don't worry. Be happy!

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  • 现为实现耕地面积最大化,要求新建田埂总长度最小。请问如何规划?<!--more-->关于这个问题的三维问题,存在Plateau's laws。在这块田地是单位正方形,对于n=3,4,5, KeyTo9_Fans分别给出了...

    # 绪论

    在均分田地问题中,gxqcn提出了如下问题

    有一块田地需要分给n户家庭,要求各户分得面积都相等。田地内部不同家庭分得的区域将建田埂以分隔(原待分地已有田埂圈定)。现为实现耕地面积最大化,要求新建田埂总长度最小。请问如何规划?

    <!--more-->

    关于这个问题的三维问题,存在Plateau's laws。

    在这块田地是单位正方形,对于n=3,4,5, KeyTo9_Fans分别给出了很不错的结果:

    n=3时, 田埂总长度可以仅为

    =1.623278144157(我们可以搜索到法语论坛相关讨论得出了相同的结果)

    c00299d584543e8c1bf9141e9e9c4d29.png

    n=4时,田埂总长度可以仅为

    =1.975592884782 (我们可以搜索到意大利语相关讨论得出了相同的结果)

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    n=5时, 田埂总长度可以为

    =2.502112930427(可以网络找到Martin Gardner包含相同的结果)

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    对于单位圆形田地,在n=3时,从圆心发出三条两两夹角互为120°的半径就可以等分面积,总长度为3。

    在n=4时,我们给出了田埂总长为3.945702967267的方案

    ff56f8add24f239ce3527264bd9bcc80.png

    在n=5的圆形田地,我们找出了田埂总长为4.833846643527的方案

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    在n=6的圆形田地,我们找出了田埂总长为5.406796929952的对称方案。

    5caed9691717c05a33341bd7cc052575.png

    在n=7的圆形田地zgg__和数学星空指出在田地正中心使用正六边形,每个顶点向圆周引垂线可得田埂总长为6的方案。

    在帖子中,很早就有人发现每段田埂应该是直线段或者圆弧;在区域内部,三条田埂相交于一点时,交点处切向量两两夹角为120°;而且田埂和田地边界相遇时在相遇点的切线要和田地边界在相遇点的切线垂直。后文中,我们会直接用俩田埂的夹角为120°来表示俩田埂相遇于一个交点,而且在交点处的切向量夹角为120°;同样我们会直接用田埂和田地边界垂直代表田埂和田地边界相遇并且在相遇点两者切线相互垂直。

    KeyTo9_Fans最早指出田埂两两夹角为120°。他的思路是如下图,在仅考虑三条田埂相交于点P的情况,分别在三条田埂上各自选择充分接近P点的A、B、C三点。为了达到田埂总长最小值,P点应该移动到三角形ABC的费马点才会让AP+BP+CP取到最小值,由此得出AP、BP、CP两两夹角应该为120°。但是这里稍微有点不严密,因为图中这种移动P到P’的方式会改变周围三个区域的面积,而我们的问题中要求所有区域的面积要求是相等的。

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    zgg__最早指出,本问题等价于二维肥皂泡稳态问题],由此得出每段田埂都必须是圆弧或直线段,而且两两夹角为120°;hujunhua进一步指出利用肥皂泡模型可以说明和田地边界相遇的田埂必然垂直于田地边界;gxqcn紧接着指出在区域数目n充分大时,内部区域应该出现“蜂窝”状。

    我们对上面情况进行总结,并且尝试用数学方法进行证明:

    i)田埂每一段必然是圆弧或直线段(可以看成圆弧的退化情况)。

    ii)在内部,最多三个不同的田埂共点,这时田埂之间必然两两夹角相等

    iii)田埂和边界接触的地方必然同边界垂直

    其中性质i)可以直接用初等方法证明。我们可以利用一个大家所熟知的结论:面积一定的简单平面图形中,圆的周长最短。利用这个结论可以得出一侧为固定线段,另一侧为任意简单曲线围成的面积一定的图形中,在另一侧任意简单曲线为圆弧时,这条简单曲线长度达到最短。

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    如上图所示,对于围住的面积固定的曲线BAC和固定直线段BC,我们先以线段BC为弦作出和这个图形等面积的弓形BA’C并且补充弓形BA”C形成一个完整的圆BA’CA”。于是图形BACA”和图形BA’CA”等面积,于是我们根据等面积图形中圆的周长最小可以得出(BA"C) ̂+(BA'C) ̂≤(BA"C) ̂+(BAC),所以我们可以得出(BA'C) ̂≤(BAC),得出结论i)。 于是我们得出极值条件所有田埂都是圆弧或直线段(直线段是圆弧的退化情况)。

    后面我们均只需要考虑所有田埂都是直线段或圆弧的情况。

    对于其中任意一个三条田埂汇聚于一点的

    的情况,假设这三段田埂另一个端点分别为
    , 而三段圆弧和对应端点连线的有向夹角分别为
    (对应三段圆弧的弧度分别为
    )。 其中圆弧关于P点向顺时针方向凸出(也就是对应圆心落在对应直线段的逆时针位置时)对应的
    看成是正角度;而圆弧逆顺时针凸出时,对应的
    看成是负角度,比如图中所示
    为负角度,
    为正角度。另外需要注意的是,一段田埂在一个端点处的角度为
    ,那么在另外一个端点处的角度必然是

    ffebe95093f61f2ab3c383bd22dc5eee.png

    使用拉格朗日乘数法,选择A、B、C三点固定不动,仅让P点保持运动并且让P点周围三个区域的面积保持不变,要求三条田埂长度之和最小,可以得出一些约束方程,

    最后可以把极值约束条件化为

    (I)

    其中

    上面约束条件(I)中第一条方程代表三段圆弧(或直线段)有向曲率之和为0。而后面两条方程代表三段圆弧在P点处单位切线向量之和为零向量,所以它们两两夹角都相等,均为120°(P点同时为三个单位切线向量末端构成三角形的外心和重心,所以这是一个正三角形)。

    对于边界为直线段构成的凸田地,可以想象如果某个田埂的一个端点落在田地边界上,那么将整个田地和所有田埂关于这个边界线做对称图形,然后把原图形和对称图形合并在一起并且将仅被这条分界直线段分隔的区域相互合并,于是变成一个关于更大的田地更多区域的固定面积最优化问题,结果同样需要满足类似的约束条件。于是我们可以看出在原问题中,这个田埂必须垂直于田地边界才符合要求。

    另外我们推导了田地边界是圆弧构成的情况,同样得出了和边界相遇的田埂必须垂直于圆弧田地边界的条件。

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    如图,不妨设田地边界这一段圆弧为单位圆的圆弧,设田埂在边界上点为

    ,田埂另外一个端点为点
    ,圆弧和俩端点连线夹角为
    。并且设P点极坐标为
    , 得出的约束条件为

    (II)

    这个条件正好就是要求田埂(UP) ̂垂直单位圆田地边界于U点。

    利用上面分析结论我们使用计算机将正方形田地均分到最多14个区域并且将圆形田地均分到最多19个区域.

    但是很快我们发现英国数学家Simon Cox已经计算到42个区域以内的非常不错的结果。

    后来我们利用pari/gp计算出了圆形情况不超过43个区域下的50位精度的高精度结果。

    另外我们还继续计算得出将圆形划分44~52个区域时的不错结果,如下面是将圆形田地划分为44个区域的划分方案图:

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  • 上篇文章刚刚用举特例猜想长方形的周长一定,长与宽相等时,其面积最大,这篇文章就有了更加强劲有力的代数证明。看到他的状态如此上乘,任谁不为之动容呢?前几天,我用举特例的方法证明了周长一定时,长方形的长和...

    本文来自River教室 洋同学

    发明数学,创造数学

    像数学家一样思考  数学精彩观念的诞生

    数学可以越学越容易吗?贞元数学告诉你:当然可以!98cf0ae5881228dd89bdbf47c76ec9b7.png

    【编者按】

    洋同学的小脑瓜里每天都藏着多少的兴奋和好奇呢?上篇文章刚刚用举特例猜想长方形的周长一定,长与宽相等时,其面积最大,这篇文章就有了更加强劲有力的代数证明。看到他的状态如此上乘,任谁不为之动容呢?

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    前几天,我用举特例的方法证明了周长一定时,长方形的长和宽差距越大,面积越小,长和宽的差距越小则面积越大,这样的规律适用于所有的情况吗?其实我只是通过了几个事例发现了这种规律,它并不一定具有普遍性,还需要严谨的推理证明。今天我就来尝试着用代数式证明一下,如图:

    8623fe02bbf0786c58515376a9bc0ca1.png

    接下来我将一步一步解释我是如何做的。

    (1)先假设一个长方形和一个与它周长相等的正方形,如图:

    874ab5c7a2fa59c2dd7178892325916e.png

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    (2)正方形的边长用x来表示,则它的面积(16cf11416aa5c1dbae6efebd86c21737.png)是5e2ba72e1c5180b6cece2dd7e94a1b49.png长方形的长是b,宽是a,则它的面积(d5a2d435ebc40dfb38188d1d80b31d50.png)是ab。

    (3)为了验证正方形的面积是否大于长方形的面积,可以用16cf11416aa5c1dbae6efebd86c21737.png减去d5a2d435ebc40dfb38188d1d80b31d50.png,看结果是否大于0,如果大于0说明正方形面积大于长方形面积,小于0就说明我们的猜想错误

    但这时遇到了一个问题,x²-ab根本看不出来结果,这里有三组未知数。我想到了一个方法,可以把x用含有a和b的代数式来表示,这样就可以运算了。那么它们之间有什么联系呢?思考后发现2x不就是a+b吗?都是周长的一半,那么x=(a+b)÷2,所以x²就等于(a+b)÷2×[(a+b)÷2],也就等于807c7507e8f46b320f86b0d1a1f0b5bd.png×807c7507e8f46b320f86b0d1a1f0b5bd.png,得到了fa84914499bc4a668031314c6f8c46af.png这时,我试着将两个面积相减:fa84914499bc4a668031314c6f8c46af.png-ab,但也不知道结果是否大于0。

    可以继续将这个式子化简吗?首先把ab变成一个分数,且还要保持其大小不变,可以得到d59b2a4c943cdd6433f21909ffd8c8a8.png,但必须让它们的分母一样才可以,这很简单根据分数的基本性质,直接让d59b2a4c943cdd6433f21909ffd8c8a8.png的分子分母同时乘4就可以了,也就是2766b4faf570d04a7905830951e80ff3.png,这时a366d009a2d3a07b0bd94be210d8ee50.png-2766b4faf570d04a7905830951e80ff3.png就直接变成了70d7ca1efb30f2fae1e02b2b0e9ff5d3.png,只用把(a+b)²-4ab算出来就可以。我们可以吧(a+b)²拆分一下,(a+b)×(a+b)就等于a×(a+b)+b×(a+b),就是a²+2ab+b²,a²+2ab+b²-4ab=a²-2ab+b²,但这样还是不行,最终求助了大人,说再化简一下就是(a-b)²

    正方形的面积减去长方形的面积就是f1e566da24cf3947120599920c6e17ea.png,那么大于0吗?a和b都是自然数(不等于0),a-b等于正数或者负数如果a-b大于0,其平方肯定大于0如果a-b小于0,负负得正,其平方还是大于0,因此f1e566da24cf3947120599920c6e17ea.png大于0,所以证明了16cf11416aa5c1dbae6efebd86c21737.pngd5a2d435ebc40dfb38188d1d80b31d50.png太棒了,我的猜想是正确的。  

    那么围成圆柱体的长方形的长和宽差距越大,所围成的圆柱体体积就越大,如果长方形的长和宽差距越小,那么体积就越小。这个猜想怎么证明?我目前还没有想出来,所以还不能说这是一定正确的,但是以后等到学了更多的知识,我还会继续证明的。

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    责任编辑/张红

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  • 题意:给定一个面积值,要求在单元网格上面能围成大于等于该面积值的最短周长所需多少步。围成的周长所用的边(也就是每一步的走法)只能沿着单元格的四条边或是单元格的对角线。 思路:题目要求大概可概括为给定...
  • 几个问题

    2011-09-23 09:18:03
    1. 顶贴问题 如 3 5 2 1 4 ,排序成1 2 3 4 5 , 每次操作只能够把一个数字放到...2. 为何周长相等的情况下,圆形的面积最大?这应该是井盖是圆形的一个原因   3. 最短路径问题,地铁的几条线路交叉,如何求2个站点
  • 【丙】搜索,回溯

    2020-09-11 20:37:30
    查找最大的连通面积2. 矩阵中的连通分量数目(岛屿数量)2.1 岛屿周长3. 好友关系的连通分量数目4. 填充封闭区域5. 能到达的太平洋和大西洋的区域6.被围绕的区域单词接龙矩阵中的最长递增路径字符串解码克隆图括号...
  • 岛屿问题模板C++

    2020-05-19 18:04:07
    岛屿的最大面积leetcode 934.最短的桥leetcode 1254. 统计封闭岛屿的数目leetcode 827. 最大人工岛 leetcode 200. 岛屿数量 题目 给你一个由 ‘1’(陆地)和 ‘0’(水)组成的的二维网格,请你计算网格中岛屿的...
  • LeetCode——DFS

    2019-12-20 22:22:43
    695.岛屿的最大面积 733.图像渲染 463.岛屿的周长 并查集 547.朋友圈 721.账户合并 684.冗余连接 494.目标和 回溯 491.递增子序列 473.火柴拼正方形 课程表 207.课程表 210.课程表II 其他 394.字符串解码 743.网络...
  • ACM算法模板和pku代码

    2010-11-09 16:15:16
    覆盖矩形周长统计 离散化矩形切割 灯光投影 搜索 导弹 Bfs+hash状态的抽象,模关系 Bfs变形,钥匙与门 双向广搜 迭代加深 优先队列搜索,过最少的门救人,建图 A*搜索 图论 差分约束 Intervals bellman_ford ...
  • 常用算法代码

    2017-09-11 11:26:53
    目录 目录 1 Graph 图论 3 | DAG 的深度优先搜索标记 3 | 无向图找桥 3 ...| 最大团问题 DP + DFS 3 ...| 有上下界的最小(最大)流 12 ...| DINIC 最大流 O(V^2 * E) 12 ...求矩形并的周长(线段树+离散化+扫描线) 44
  • 5.4.4 矩形并的周长 252 5.5 序列 255 5.5.1 第k小数 255 5.5.2 逆序对 256 5.5.3 最长公共子序列 257 5.5.4 最长公共上升子序列 259 第二部分 贴 士 第6章 代数 263 6.1 Bertrand猜想 263 6.2 差分序列 ...

空空如也

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周长最短面积最大