傅里叶级数展开的定义
 
将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。
 周期信号$f(t)$的傅里叶级数展开式为：$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
 其中：
 $w_0:w_0=\frac{2\pi }{T}$，周期$T$确定了$w_0$就确定了
 
$c_k$:傅里叶系数，$c_0$就是直流分量
 
傅里叶级数展开的几何意义
 
傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为$w=k{w}_0$的旋转向量$c_k{e}^{jk{w}_{0}t}$来合成周期信号。旋转向量在$t=0$时刻对应的向量就是傅里叶系数$c_k$
 如下图所示：
 
 
傅里叶系数的计算公式
 
傅里叶系数的计算公式如下：$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
 这个公式是怎么得来的呢？
 
将傅里叶级数展开式中$k=m$那一项单独列出来：$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}=c_m{e}^{jm{w}_{0}t}+\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
两端乘以$e^{-jm{w}_{0}t}$:$$f(t)e^{-jm{w}_{0}t}=c_m{e}^{jm{w}_{0}t}{e}^{-jm{w}_{0}t}+\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}{e}^{-jm{w}_{0}t}=c_m+\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{j(k-m)w_{0}t}$$
在基波周期内对两端进行积分：$${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm{w}_{0}t}dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{c}_{m}dt+{\int }_{-T/2}^{T/2}\sum _{k=-\infty ,k\ne m}^{\infty }{c}_k{e}^{j(k-m)w_{0}t}dt$$
 根据复指数信号的正交性，上式中求和项的积分为0，因此：
 $${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm{w}_{0}t}dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{c}_{m}dt=c_{m}T$$
求出$c_m$:
 $$c_m=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm{w}_{0}t}dt$$
 
方波信号的傅里叶系数
 

 方波信号$x(t)$周期为$T$,幅度为1，脉宽为$\tau$,对方波来说，占空比为$1/2$,因此$T=2\tau$
 
-先求$c_0$
 $$c_0=\frac{1}{T}{\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}x(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}1dt=0.5$$
 
再来求$c_k$
 $$\begin{gathered} c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}(\cos k{w}_{0}t-j\sin k{w}_{0}t)dt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\cos k{w}_{0}tdt-j\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\sin k{w}_{0}tdt \\ =\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\cos k{w}_{0}tdt \\ =\frac{2}{k{w}_{0}T}{\int }_0^{T/2}\cos k{w}_{0}td(k{w}_{0}t) \\ =\frac{sin(k{w}_0\tau /2)}{k{w}_{0}T/2} \end{gathered}$$
 由：$w_0=2\pi /T$,得：$w_{0}T=2\pi$
 又因为：$T=2\tau$,所以：$w_{0}2\tau =2\pi$，得到：$w_0\tau =\pi$
 得：
 $$c_k=\frac{1}{2}\frac{sin(k\pi /2)}{k\pi /2}=\frac{1}{2}sinc(\frac{k}{2})$$
 
周期矩形信号的傅里叶级数
 
在方波信号的傅里叶系数推导过程中，我们用$\tau$表示脉冲的宽度，用$T$表示脉冲的周期，得出傅里叶系数的表达式：
 $$c_k=\frac{sin(k{w}_0\tau /2)}{k{w}_{0}T/2}$$
 回顾整个推导过程可以发现，这个结果对幅值为1，脉冲为$\tau$,周期为$T$的周期矩形信号也是适用的。
 因为：$w_0=2\pi /T$,所以：$w_0=2\pi$
 假定占空比为$1/n$,即：$T=n\tau$,所以：$w_{0}n\tau =2\pi$,得到：$w_0\tau =2\pi /n$,代入上面的傅里叶系数表达式，得到：
 $$c_k=\frac{1}{n}\frac{sin(k\pi /n)}{k\pi /n}=\frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n})$$

MATLAB小白，不足之处还请多指教！
 设周期函数的波形为:
 
 求该周期信号的傅里叶级数展开式，并画出傅里叶展开后的波形
 
我们通过信号与系统的学习可以知道，周期函数可以通过一系列的三角函数的线性组合来逼近，如下图所示：
 
 
首先我们可以通过三角函数的正交性计算出傅里叶级数中的系数
 

 则周期信号的傅里叶级数展开为
 
 通过求出傅里叶级数的系数，带入傅里叶级数展开式的式子，就可以求出周期信号的傅里叶级数展开式了。
 
MATLAB代码
 
function F=fourier
syms x;
T=input('T=');
n=10; %谐波的阶数
t=0:0.001:16;
%如果创建-1,+1的方波直接调用square即可
%50是50%占空比
f=max(square(pi*0.5*t,50),0);%创建方波最大值是1，最小值是0
plot(t,f);
grid on;
hold on;
axis([0 4*pi -0.5 1.5]);
A0=1/2;%可根据函数直接算出
F=0;
Fx=0;
for i=1:n
    As=int(2*cos(2*pi*i*x/T)/T,x,0,T/2);%傅里叶系数an
    Bs=int(2*sin(2*pi*i*x/T)/T,x,0,T/2);%傅里叶系数bn
    F=F+As*cos(2*pi*i*t/T)+Bs*sin(2*pi*i*t/T);%求傅里叶级数展开
    Fx=Fx+As*cos(2*pi*i*x/T)+Bs*sin(2*pi*i*x/T);
end
F=F+A0;
Fx=Fx+A0;
Fx
%figure(2)
plot(t,F)
 
运行结果如下
 
Fx =(2*sin((pi*x)/2))/pi + (2*sin((3*pi*x)/2))/(3*pi) + (2*sin((5*pi*x)/2))/(5*pi) + (2*sin((7*pi*x)/2))/(7*pi) + (2*sin((9*pi*x)/2))/(9*pi) + 1/2
 

非正弦周期信号的傅里叶级数展开式
 

 
 标准信号的生成
 方波：x1=square(2pi4t);
 Duty cycle is 50%(default);Frequency is 4Hz
 x2=square(2pi4t,75);Duty cycle is 75%;Frequency is 4Hz
 三角波：x=sawtooth(2pi3t);
 Peak at end of cycle(default);Frequency is 3Hz
 x=sawtooth(2pi3t,1/2);
 Peak half way through cycle;Frequency is 3Hz

实验三 周期信号的傅里叶级数展开分析
 
一、实验目的
 
1.掌握周期信号傅里叶级数分析的理论方法。
 2.用MATLAB实现周期信号的傅里叶级数分解与综合。
 3.用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。
 4.周期信号频谱与脉冲宽度和周期T之间的关系
 
二、实验内容
 

 
 
 
 

 
 
2、
 
 

 
 
三、实验总结
 
当脉冲信号周期不变，脉冲宽度变大时，相邻谱线间隔不变，频谱包络线的零点频率逐渐变小，反之则变大。另外频谱中各频率点谱线的幅值与脉宽有关；当信号周期不变时，脉宽越宽，频率点频谱的幅值越大。频谱图的格式错误，改程序后，结果正确。