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周期信号的傅里叶级数展开
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将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。
周期信号的傅里叶级数展开式为:
其中:
,周期确定了就确定了:傅里叶系数,就是直流分量
傅里叶级数展开的几何意义
傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为的旋转向量来合成周期信号。旋转向量在时刻对应的向量就是傅里叶系数
如下图所示:
傅里叶系数的计算公式
傅里叶系数的计算公式如下:
这个公式是怎么得来的呢?- 将傅里叶级数展开式中那一项单独列出来:
- 两端乘以:
- 在基波周期内对两端进行积分:
根据复指数信号的正交性,上式中求和项的积分为0,因此:
- 求出:
方波信号的傅里叶系数
方波信号周期为,幅度为1,脉宽为,对方波来说,占空比为,因此-先求
- 再来求
由:,得:
又因为:,所以:,得到:
得:
周期矩形信号的傅里叶级数
在方波信号的傅里叶系数推导过程中,我们用表示脉冲的宽度,用表示脉冲的周期,得出傅里叶系数的表达式:
回顾整个推导过程可以发现,这个结果对幅值为1,脉冲为,周期为的周期矩形信号也是适用的。
因为:,所以:
假定占空比为,即:,所以:,得到:,代入上面的傅里叶系数表达式,得到:
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MATLAB实现周期信号的傅里叶级数的展开
2019-03-02 21:01:01求该周期信号的傅里叶级数展开式,并画出傅里叶展开后的波形 我们通过信号与系统的学习可以知道,周期函数可以通过一系列的三角函数的线性组合来逼近,如下图所示: 首先我们可以通过三角函数的正交性计算出傅里叶...MATLAB小白,不足之处还请多指教!
设周期函数的波形为:
求该周期信号的傅里叶级数展开式,并画出傅里叶展开后的波形我们通过信号与系统的学习可以知道,周期函数可以通过一系列的三角函数的线性组合来逼近,如下图所示:
首先我们可以通过三角函数的正交性计算出傅里叶级数中的系数
则周期信号的傅里叶级数展开为
通过求出傅里叶级数的系数,带入傅里叶级数展开式的式子,就可以求出周期信号的傅里叶级数展开式了。MATLAB代码
function F=fourier syms x; T=input('T='); n=10; %谐波的阶数 t=0:0.001:16; %如果创建-1,+1的方波直接调用square即可 %50是50%占空比 f=max(square(pi*0.5*t,50),0);%创建方波最大值是1,最小值是0 plot(t,f); grid on; hold on; axis([0 4*pi -0.5 1.5]); A0=1/2;%可根据函数直接算出 F=0; Fx=0; for i=1:n As=int(2*cos(2*pi*i*x/T)/T,x,0,T/2);%傅里叶系数an Bs=int(2*sin(2*pi*i*x/T)/T,x,0,T/2);%傅里叶系数bn F=F+As*cos(2*pi*i*t/T)+Bs*sin(2*pi*i*t/T);%求傅里叶级数展开 Fx=Fx+As*cos(2*pi*i*x/T)+Bs*sin(2*pi*i*x/T); end F=F+A0; Fx=Fx+A0; Fx %figure(2) plot(t,F)
运行结果如下
Fx =(2*sin((pi*x)/2))/pi + (2*sin((3*pi*x)/2))/(3*pi) + (2*sin((5*pi*x)/2))/(5*pi) + (2*sin((7*pi*x)/2))/(7*pi) + (2*sin((9*pi*x)/2))/(9*pi) + 1/2
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周期信号的傅里叶级数展开分析(利用MATLAB)
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