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  • 计算函数的级数展开的傅立叶系数,以及幅度谱和相位谱。 该脚本包含一些理论和 3 种不同的计算系数的方法。 用法Fourier_coeff(fun,t0,T) Fourier_coeff(fun,t0,T,M) Fourier_coeff(fun,t0,T,M,N) Fourier_coeff...
  • 在这一篇 BlogBlogBlog 中,博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前,请明确一件事情:对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。 文章目录一、什么样的...

    在这一篇 B l o g Blog Blog 中,博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前,请明确一件事情:对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。

    一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开?

    当时傅里叶的论文中有这样一句话:“所有的连续时间信号都能够表示成成谐波关系的复指数信号的加权和”。在当时引来了像拉普拉斯等人的强烈反对。傅里叶认为:对于周期方波信号,只要我取的正弦信号足够多,那么我就一定能够完美地拟合出来。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    但实际上并不是这样,无论我们的正弦信号取了多少,在原方波的间断点处不可避免地会出现震荡和超量。超量的幅度并不会随着我们所选取的正弦波的数量增多而减少,选取的正弦波的数量增多只会使得超量的震荡频率更大,并且朝着间断点处压缩。这就是所谓的 “吉布斯现象”。

    那么,到底什么样的连续时间信号才能够展开成傅里叶级数呢?我们下面给出三个条件(其中条件三是狄里克雷第一定理)。连续时间的周期信号只要满足三者之一,就可以展开成傅里叶级数:
    【条件一】:信号全部连续
    【条件二】:信号在一个周期内能量有限: 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt <∞ T01T0x(t)2dt<
    【条件三】:信号在一个周期内绝对可积: 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|<∞ T01T0x(t)<

    二、周期信号傅里叶级数的重要性质

    2.1 线性

    首先我们给出定义:

    连续时间信号傅里叶级数的线性性:若信号 x 1 ( t ) x_1(t) x1(t)的傅里叶级数是 a k a_k ak,信号 x 2 ( t ) x_2(t) x2(t) 的傅里叶级数是 b k b_k bk,那么,信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 的傅里叶级数就是 A a k + B b k Aa_k + Bb_k Aak+Bbk

    首先,我们先知道求傅里叶系数的过程就是一个积分的过程,如果我们用 ∫ \int 表示计算傅里叶系数(当然这样的写法不够准确,但是为了说明问题暂且先这样用)。

    所以,我们如果对信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 求傅里叶系数: ∫ A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) \int Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t),就可以这样变换: ∫ A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) = ∫ A x 1 ( t ) + ∫ B x 2 ( t ) = A ∫ x 1 ( t ) + B ∫ x 2 ( t ) \begin{aligned} &\int Ax_1(t) + Bx_2(t) = \int Ax_1(t) + \int Bx_2(t) = A\int x_1(t) + B\int x_2(t) \end{aligned} Ax1(t)+Bx2(t)=Ax1(t)+Bx2(t)=Ax1(t)+Bx2(t)
    而我们知道: a k = ∫ x 1 ( t ) a_k = \int x_1(t) ak=x1(t) b k = ∫ x 2 ( t ) b_k = \int x_2(t) bk=x2(t),所以信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 的傅里叶系数就是: A a k + B b k Aa_k+Bb_k Aak+Bbk

    2.2 时移特性

    我们同样先看定义:

    连续时间信号傅里叶级数的时移特性:假设 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶系数是 a k a_k ak,那么 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 的傅里叶系数就是 a k e − j k ω 0 t 0 a_ke^{-jkω_0t_0} akejkω0t0,也即是说,时移并不会改变傅里叶级数的幅度,改变的是傅里叶级数的相位。

    首先根据定义,我们可以得到: a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt ak=T01T0x(t)ejkω0tdt
    下面我们对信号 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 求傅里叶级数:因为 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 只是时移,所以周期并不会改变,仍为 T 0 T_0 T0 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 t d t = e − j k ω 0 t 0 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 ( t − t 0 ) d ( t − t 0 ) = e − j k ω 0 t 0 1 T 0 ∫ x ( t ) e − j k ω 0 t d t \begin{aligned} \frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0t}dt &= e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0(t-t_0)}d(t-t_0)\\ &=e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t)e^{-jkω_0t}dt \end{aligned} T01x(tt0)ejkω0tdt=ejkω0t0T01x(tt0)ejkω0(tt0)d(tt0)=ejkω0t0T01x(t)ejkω0tdt
    注意:在最后一行我们做了变量代换:令 t = t − t 0 t = t-t_0 t=tt0

    2.3 尺度变换

    这个稍微难理解一点点,我们先推导,再给出定义:
    首先对于信号 x ( t ) x(t) x(t) ,我们有: a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt ak=T01T0x(t)ejkω0tdt
    而我们知道,尺度变换相当于对信号做拉伸或者压缩,自然会改变原信号的周期。例如,如果信号 x ( t ) x(t) x(t) 的周期是 T ,那么信号 x ( a t ) x(at) x(at) 的周期就是 T 1 = T a T_1 = \frac{T}{a} T1=aT。那么角频率就是 ω 1 = a ω 0 ω_1 = aω_0 ω1=aω0。好,下面我们计算 x ( a t ) x(at) x(at) 的傅里叶系数,根据定义,有:
    1 T 1 ∫ T 1 x ( a t ) e − j k ω 1 t d t = a T 0 ∫ T a x ( a t ) e − j k a ω 0 t d t \begin{aligned} \frac{1}{T_1}\int_{T_1}x(at)e^{-jkω_1t}dt&=\frac{a}{T_0}\int_{\frac{T}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt \end{aligned} T11T1x(at)ejkω1tdt=T0aaTx(at)ejkaω0tdt
    所以,我们对于计算带时移的周期信号的傅里叶级数,我们首先要做的就是明确这个信号和原本信号周期、角频率之间的关系。然后才能根据定义求解。

    那么,下面我们给出定义:对于带时移的周期信号 x ( a t ) x(at) x(at),其傅里叶级数表示为: b k = a T 0 ∫ T 0 a x ( a t ) e − j k a ω 0 t d t (1) b_k = \frac{a}{T_0}\int_{\frac{T_0}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt\tag{1} bk=T0aaT0x(at)ejkaω0tdt(1)
    更进一步讲,如果我们使用 τ τ τ 表示 a t at at,那么,因为我们的积分范围就是在一个周期 T 0 a \frac{T_0}{a} aT0 内,因此,我们知道, t t t 的取值范围是: 0 ≤ t ≤ T 0 a 0 ≤ t ≤ \frac{T_0}{a} 0taT0(当然这个范围并不唯一)。那么 τ τ τ 的取值范围就是 0 ≤ τ ≤ T 0 0 ≤ τ ≤ T_0 0τT0 下面我们就把 τ τ τ 带入(1) 式: b k = a T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d ( τ a )   = 1 a a T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d τ = 1 T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d τ = a k b_k = \frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}d(\frac{τ}{a})\\ \space\\ =\frac{1}{a}\frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = a_k bk=T0aT0x(τ)ejkω0τd(aτ) =a1T0aT0x(τ)ejkω0τdτ=T01T0x(τ)ejkω0τdτ=ak

    2.4 反转

    这里我们直接给出结论:对于周期信号 x ( t ) x(t) x(t),其傅里叶系数是 a k a_k ak。那么其反转信号 x ( − t ) x(-t) x(t) 的傅里叶系数就是 a − k a_{-k} ak,即也是对于 a k a_k ak 的反转。进一步讲,若 x ( t ) x(t) x(t) 是偶信号,那么 a k a_k ak 也是偶的。如果 x ( t ) x(t) x(t)是奇信号,那么 a − k = − a k a_{-k} = -a_k ak=ak

    2.5 时域相乘等价于频域卷积

    我们先给出结论:若 x ( t ) , y ( t ) x(t), y(t) x(t),y(t) 的傅里叶级数分别是 a k , b k a_k, b_k ak,bk,那么有: x ( t ) y ( t ) x(t)y(t) x(t)y(t) 的傅里叶级数就是: a k ∗ b k a_k*b_k akbk
    我们证明一下,直接用求傅里叶系数的公式即可: 1 T ∫ T x ( t ) y ( t ) e − j ω 0 k t d t = 1 T ∫ T ∑ l = − ∞ + ∞ a l e j ω 0 l t y ( t ) e − j ω 0 k t d t = ∑ l = − ∞ + ∞ a l 1 T ∫ T y ( t ) e − j ω 0 ( k − l ) t d t = ∑ l = − ∞ + ∞ a l b k − l = a k ∗ b k \begin{aligned} \frac{1}{T}\int_Tx(t)y(t)e^{-jω_0kt}dt &=\frac{1}{T}\int_T\sum_{l=-∞}^{+∞}a_le^{jω_0lt}y(t)e^{-jω_0kt}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_l\frac{1}{T}\int_Ty(t)e^{-jω_0(k-l)t}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_lb_{k-l} = a_k*b_k \end{aligned} T1Tx(t)y(t)ejω0ktdt=T1Tl=+alejω0lty(t)ejω0ktdt=l=+alT1Ty(t)ejω0(kl)tdt=l=+albkl=akbk

    2.6 周期卷积定理(和2.5 对偶)

    对于连续时间的、周期相同的周期信号 x ( t ) , y ( t ) x(t), y(t) x(t),y(t),我们在一个周期内的卷积,就等于它们对应的傅里叶级数相乘,再乘上周期。表述为: ∫ T x ( τ ) y ( t − τ ) d τ = T a k b k \int_Tx(τ)y(t-τ)dτ = Ta_kb_k Tx(τ)y(tτ)dτ=Takbk

    2.7 共轭以及共轭对称性

    首先我们看看第一个结论:假设周期信号 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak,那么,如果取 x ( t ) x(t) x(t) 的共轭: x ∗ ( t ) x^*(t) x(t),那么这个共轭信号 x ∗ ( t ) x^*(t) x(t) 的傅里叶系数就应该要对 a k a_k ak 取共轭,并且进行反转,即: a − k ∗ a^*_{-k} ak
    用数学语言表述即为: x ( t ) F S ↔ a k   x ∗ ( t ) F S ↔ a − k ∗ x(t) \quad\underleftrightarrow{FS} \quad a_k\\ \space\\ x^*(t)\quad \underleftrightarrow{FS}\quad a^*_{-k} x(t) FSak x(t) FSak

    更进一步:如果 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,即 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t) = x^*(t) x(t)=x(t),那么应有: a k = a − k ∗ a_k = a^*_{-k} ak=ak不过我们更常用的是: a k ∗ = a − k a_k^* = a_{-k} ak=ak

    下面的几个推导大家需要跟上,否则可能会造成混乱:
    【1】若 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,而且是偶函数,即 x ( t ) = x ( − t ) x(t) = x(-t) x(t)=x(t)。那么因为 x ( − t ) x(-t) x(t) 的傅里叶级数应该是 a − k a_{-k} ak。所以应有: a k = a − k a_k = a_{-k} ak=ak,同时,我们根据 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,又可以得到: a k = a − k ∗ a_k = a^*_{-k} ak=ak综上,我们得到了一串等式: a k = a − k = a − k ∗ a_k = a_{-k} = a^*_{-k} ak=ak=ak。前面一个等号说明 a k a_k ak 也是偶的、后面的等号说明 a k a_{k} ak 是实的。 即若 x ( t ) x(t) x(t) 是实偶函数,那么其频谱将会是实偶函数

    【2】若 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,同时又是奇函数 x ( t ) = − x ( − t ) x(t) = -x(-t) x(t)=x(t),因为 − x ( − t ) -x(-t) x(t) 的傅里叶级数是 − a − k -a_{-k} ak。所以我们也可以得到一串等式: a k = − a − k = a − k ∗ a_k = -a_{-k} = a^*_{-k} ak=ak=ak。前一个等号表示 a k a_k ak 是奇函数、后一个等号表示 a k a_k ak 是纯虚数,因此,若 x ( t ) x(t) x(t) 是实奇函数,那么其频谱 a k a_k ak 将会是纯虚奇函数。

    【补充点】: x ( t ) x(t) x(t) 信号偶分量的傅里叶级数是 a k a_k ak 的实部,即: R e { a k } Re\{a_k\} Re{ak} x ( t ) x(t) x(t) 的奇分量的傅里叶级数是 a k a_k ak 的虚部,即: j I m { a k } j Im\{a_k\} jIm{ak}。下面给出信号奇分量和偶分量的求法: E v { x ( t ) } = x ( t ) + x ( − t ) 2   O d { x ( t ) } = x ( t ) − x ( − t ) 2 Ev\{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2} \\ \space\\ Od\{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2} Ev{x(t)}=2x(t)+x(t) Od{x(t)}=2x(t)x(t)

    2.8 微分性

    我们先给出结论: x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak,那么 ∂ x ( t ) ∂ t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} tx(t) 的傅里叶系数就是: a k j ω 0 t a_k jω_0t akjω0t

    下面给出证明:我们先从 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶展开表达式入手。由于: x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t} x(t)=k=+akejkω0t
    下面我们直接对等式两边求导,得: ∂ x ( t ) ∂ t = ∑ k = − ∞ + ∞ ( a k j k ω 0 )   e j k ω 0 t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} = \sum_{k=-∞}^{+∞}(a_kjkω_0)\space e^{jkω_0t} tx(t)=k=+(akjkω0) ejkω0t
    因此,新的傅里叶系数就是: a k j k ω 0 a_k jkω_0 akjkω0

    利用微分型,我们一样可以计算出连续时间周期矩形信号的频谱。这里不详细展开,但是提几个突破口:

    1. 对周期矩形信号求导,将会得到有上有下的单位冲激函数。
    2. 周期为 T 的单位冲激函数串的傅里叶系数的幅值都是 a k = 1 T a_k = \frac{1}{T} ak=T1
    3. 有上有下的单位冲激函数是可以写成单位冲激函数串右移 T 1 T_1 T1 和左移 T 1 T_1 T1 的差值。再利用傅里叶系数时移的特点,即可求出周期矩形信号的频谱。

    三、帕斯瓦尔定理

    这个定理的表示简单,但是证明是比较困难的。下面我们直接给出:
    对于一个周期信号的平均功率的计算,可以把它的所有傅里叶系数的平方加起来。
    1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∑ k = − ∞ + ∞ ∣ a k ∣ 2 \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2dt = \sum_{k=-∞}^{+∞}|a_k|^2 T1Tx(t)2dt=k=+ak2

    同时,我们也引入周期信号功率谱的概念:周期信号的 ∣ a k ∣ 2 |a_k|^2 ak2 随着 k ω 0 kω_0 kω0 变化的情况称为功率谱。 对应地,非周期信号还有功率谱密度,我们以后再来介绍。

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  • 连续周期信号傅里叶级数

    千次阅读 2019-01-08 19:58:39
    数学家傅里叶猜想任何一个周期函数均可分解为一系列不同振幅、不同频率和不同相位的正弦函数的组合(由此,复杂的周期函数可分解为若干简单的三角函数,易于分析和处理)。即: 其中,C是常数项,也可理解为振幅...

    数学家傅里叶猜想任何一个周期函数均可分解为一系列不同振幅、不同频率和不同相位的正弦函数的组合(由此,复杂的周期函数可分解为若干简单的三角函数,易于分析和处理)。即:

    f(t)=C+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}sin(kw_{0}t+\varphi_{k})

    其中,C是常数项,也可理解为振幅为0的三角函数,其频率和相位任意;A_{k}kw_{0}\varphi _{k}表示正弦函数k的振幅、角频率和相位(w_{0}为基频,即为角频率的最小单元)。k取值从1到无穷大。因此,傅里叶级数也就是一个无穷级数。

    接着我们利用两角和公式sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)对上式做分解,得到:

    f(t)=C+\sum_{k=1}^{\infty }A_{k}cos(\varphi _{k})sin(kw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}sin(\varphi _{k})cos(kw_{0}t)

    A_{k}cos(\varphi _{k})=a_{k}A_{k}sin(\varphi _{k})=b_{k},得到f(t)的傅里叶级数表达式:

    f(t)=C+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}sin(kw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}t)

    如果上式中的系数C、ak和bk可解,则f(t)可分解为一系列简单的三角函数。

    我们选择正弦函数k中最大的周期max(\frac{2\pi}{kw_{0}})=\frac{2\pi}{w_{0}}作为积分区间(保证所有的三角函数在此区间内积分为0)。对f(t)的傅里叶级数表达式在[0,\frac{2\pi}{w_{0}}]内积分得:

    \int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)dt=\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}Cdt+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(kw_{0}t)dt+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}cos(kw_{0}t)dt\\ =C\frac{2\pi}{w_{0}}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}0+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}0\\ =C\frac{2\pi}{w_{0}}

    因此,系数C得解:

    C=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)dt

    接着f(t)的傅里叶级数表达式左右两边同时乘以cos(nw_{0}t),得到:

    cos(nw_{0}t)f(t)=Ccos(nw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}sin(kw_{0}t)cos(nw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}t)cos(nw_{0}t)

    对上式在[0,\frac{2\pi}{w_{0}}]内积分得:

    \int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}cos(nw_{0}t)f(t)dt=C\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}cos(nw_{0}t)dt+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(kw_{0}t)cos(nw_{0}t)dt+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}cos(kw_{0}t)cos(nw_{0}t)dt=\frac{b_{n}}{2}\frac{2\pi}{w_{0}}

    因此,系数b_{n}得解:

    b_{n}=\frac{w_{0}}{\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}cos(nw_{0}t)f(t)dt

    接着f(t)的傅里叶级数表达式左右两边同时乘以sin(nw_{0}t),得到:

    sin(nw_{0}t)f(t)=Csin(nw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}sin(kw_{0}t)sin(nw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}t)sin(nw_{0}t)

    对上式在[0,\frac{2\pi}{w_{0}}]内积分得:

    \int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(nw_{0}t)f(t)dt=C\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(nw_{0}t)dt+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(kw_{0}t)sin(nw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}t)sin(nw_{0}t)=\frac{a_{n}}{2}\frac{2\pi}{w_{0}}

    因此,系数an得解:

    a_{n}=\frac{w_{0}}{\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(nw_{0}t)f(t)dt

    至此,已经得到傅里叶级数中各系数的表达式(如下),只要它们可积分,即C、an和bn可解,那么就可得到了函数f(t)的傅里叶级数。

    f(t)=C+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}sin(kw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}t)

    \left\{\begin{matrix} C=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)dt\\ a_{n}=\frac{w_{0}}{\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}sin(nw_{0}t)f(t)dt\\ b_{n}=\frac{w_{0}}{\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}cos(nw_{0}t)f(t)dt\\ \end{matrix}\right.

    傅里叶级数的复数形式

    为此,我们需要引入欧拉公式。其构建了三角函数和复数之间的桥梁,如下:

    e_{ix}=cosx+isinx

    其中,i=\sqrt{-1}。替换上式中的x为-x,得到e_{-ix}=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx。得到:

    \left\{\begin{matrix} cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \end{matrix}\right.

    将上式代入三角函数形式的傅里叶级数中:

    f(t)=C+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}sin(kw_{0}t)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}t)\\ =Ce^{i0w_{0}t}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{b_{k}-ia_{k}}{2}e^{ikw_{0}t}+\sum_{j=-1}^{-\infty}\frac{b_{-j}+ia_{-j}}{2}e^{ijw_{0}t}

    观察上式,可以得到傅里叶级数的复数形式:

    f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{k}e^{ikw_{0}t}

    k\geqslant 1时:

    X_{k}=\frac{b_{k}-ia_{k}}{2}=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)(cos(kw_{0}t)-isin(kw_{0}t))dt=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)e^{-ikw_{0}t}dt

    k=0时:

    X_{k}=C=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)dt=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)e^{-i0w_{0}t}dt

    k\leqslant -1时,令j=-k:X_{k}=\frac{b_{-k}+ia_{-k}}{2}=\frac{b_{j}+ia_{j}}{2}=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)(cos(jw_{0}t)+isin(jw_{0}t))dt\\ \frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)e^{ijw_{0}t}dt=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)e^{-ikw_{0}t}dt

    至此,已经得到复数形式的傅里叶级数中系数的表达式(如下),只要它们可积分,即X_{k}可解,那么就得到了函数f(t)的复数形式的傅里叶级数。

    f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{k}e^{ikw_{0}t}

    其中,X_{n}=\frac{w_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{w_{0}}}f(t)e^{-inw_{0}t}dt

     

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  • 离散周期信号傅里叶级数

    千次阅读 2019-01-09 11:15:54
    连续信号通常是数学领域里的理论研究对象,而现实生活中我们遇到的信号往往是离散的,且计算机只能处理有限长度的离散信号。...和连续周期信号傅里叶级数基于一样的猜想,离散周期信号傅里叶级数是想寻...

    连续信号通常是数学领域里的理论研究对象,而现实生活中我们遇到的信号往往是离散的,且计算机只能处理有限长度的离散信号。所以为了让傅里叶分析解决实际问题,有必要将其推广到离散信号领域。

    连续周期信号和离散周期信号如上图所示:左图为连续周期正弦波\large x(t)=x(t+T),其中周期\large T=2\pi;右图为左图正弦波的周期离散采样,x[n]=x[x+N],其中周期N=10。

    和连续周期信号傅里叶级数基于一样的猜想,离散周期信号傅里叶级数是想寻得一组不同振幅、不同频率和不同相位的正弦离散函数以表达某离散周期函数。即:

    \large x[n]=C+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}sin(kw_{0}n)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}n)

    其中\large w_{0}=\frac{2\pi}{N}。根据欧拉公式\large e^{ix}=cos(x)+isin(x)得:

    \large \left\{\begin{matrix} cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \end{matrix}\right.

    因此,上式可推导为:

    \large x[n]=C+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\frac{e^{ikw_{0}n}-e^{-ikw_{0}n}}{2i}+b_{k}\frac{e^{ikw_{0}n}+e^{-ikw_{0}n}}{2})\\ =C+\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{ia_{k}-b_{k}}{2}e^{ikw_{0}n}+\frac{-ia_{k}-b_{k}}{2}e^{-ikw_{0}n})

    \large A_{k}=\frac{ia_{k}-b_{k}}{2}\large B_{k}=\frac{-ia_{k}-b_{k}}{2},得到x[n]的傅里叶级数复数形式的表达式:

    \large x[n]=Ce^{i0w_{0}n}+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}e^{ikw_{0}n}+\sum_{k=1}^{\infty}B_{k}e^{-ikw_{0}n}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}D_{k}e^{ikw_{0}n}

    我们接着观察该级数中的单项\large e^{ikw_{0}n}

    \large \phi _{k}[n]=e^{ikw_{0}n}=e^{ik\frac{2\pi}{N}n},n=0,\pm 1,\pm 2,...

    先说结论:\large \phi_{k}[n]=\phi_{k+r}N[n],其中\large k=0,\pm1,\pm2,...\large r=0,1,2,...、N为离散信号x[n]的变化周期。证明过程如下:

    \large \phi_{k+r}N[n]=e^{i(k+rN)\frac{2\pi}{N}n}=e^{ik\frac{2\pi}{N}n}e^{ir2\pi n}=e^{ik\frac{2\pi}{N}n}(e^{i2\pi})^{rn}\\ =e^{ik\frac{2\pi}{N}n}(cos(2\pi)+isin(2\pi))^{rn}\\ =e^{ik\frac{2\pi}{N}n}(1)^{rn}\\ =e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=\phi_{k}[n]

    因此,得到离散周期信号x[n]的傅里叶级数如下:

    \large x[n]=\sum_{k=<N>}X_{k}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}

     

    给出:

    \large \sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=\left\{\begin{matrix} N,k=0,\pm N,\pm 2N,...\\ 0,otherwise\\ \end{matrix}\right.

    \large S=\sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n},过程如下:

    \large S(1^{\frac{k}{n}}-1)=e^{ik\frac{2\pi}{N}}S-S=e^{ik\frac{2\pi}{N}N}-e^{ik\frac{2\pi}{N}0}=e^{ik2\pi}-1=1^k-1=0

    由上式可知,当\large k\neq 0,\pm N,\pm 2N,...时:

    \large (1^{\frac{k}{N}}-1)\neq 0\small S=\sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=0

    \large k=0,\pm N,\pm 2N,...时:

    S=\sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=\sum_{n=<N>}(e^{i2\pi})^{\frac{k}{N}n}=\sum_{n=<N>}(1)^{rn}=N,r=0,\pm 1,\pm 2,...

    现在,对离散周期信号x[n]每时刻的信号求和,并乘以\small e^{-ir\frac{2\pi}{N}}得:

    \small \sum_{n=<N>}x[n]e^{-ir\frac{2\pi}{N}n}=\sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}X_{k}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=\sum_{k=<N>}X_{k}\sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}

    由上面给出的公式可以得到,当k-r=0时,\small \sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=N;当\small k-r\neq 0时,\small \sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=0。所以:

    \small \sum_{n=<N>}x[n]e^{-ir\frac{2\pi}{N}}=\sum_{k=<N>}X_{k}\sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=X_{r}N

    即:

    \small X_{r}=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-ir\frac{2\pi}{N}n}

    至此,我们已经得到离散周期信号x[n]的傅里叶级数(如下):

    \small x[n]=\sum_{k=<N>}X_{k}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}

    其中,\small X_{k}=\frac{1}{N}\sum_{n=N}x[n]e^{-ik\frac{2\pi}{N}n}

     

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  • 周期信号傅里叶级数

    千次阅读 2018-05-29 23:19:05
    周期信号傅里叶级数周期信号三角形式的傅里叶级数1.三角形式的傅里叶级数系数an, bn称为傅里叶系数2.狄里赫利(Dirichlet)条件:条件1:在一个周期内,函数连续或只有有限个第...

    周期信号的傅里叶级数

    周期信号三角形式的傅里叶级数

    1.三角形式的傅里叶级数

    系数an, bn称为傅里叶系数

    2.狄里赫利(Dirichlet)条件:

    条件1:在一个周期内,函数连续或只有有限个第一类间断点;

    条件2:在一个周期内,函数极大值和极小值的数目应为有限个;

    条件3:在一个周期内,函数绝对可积。

    3.余弦形式的傅里叶级数

    含义:周期信号可分解为直流和许多余弦分量

    例:将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数

    解:

    4.吉布斯现象

    用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时,在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的

    增多,振荡频率变高,并向间断点处压缩,从而使它所占有的能量减少。

    当选取的项数很大时,该超调量趋于一个常数,大约等于总跳变值的9%,并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。

    周期信号波形对称性和谐波特性

    1 . f(t)为偶函数——对称于纵轴 f(t) =f(-t)

    2 . f(t)为奇函数——对称于原点 f(t) =-f(-t)

    3 . f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)

    其傅里叶级数中只含奇次谐波分量,而不含偶次谐波分量,即:

    4 . f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2)

    其傅里叶级数中只含偶次谐波分量,而不含奇次谐波分量,即:

    指数形式的傅里叶级数

    三角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运算常感不便,因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

    指数形式的傅里叶级数

    复傅里叶系数

    表明:任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。

    Fn 是频率为nΩ的分量的系数,F0= A0/2为直流分量

    例:求如图所示周期信号的指数形式的傅里叶级数

    指数形式的傅里叶级数为:

    两种傅里叶级数展开形式的关系

    三角形式的傅里叶级数:

    指数形式的傅里叶级数:

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