一、周期信号

信号 根据 " 周期性 " 进行分类 , 可以分为 " 周期信号 " 和 " 非周期信号 " ;

• 周期信号 : 信号 有周期规律 , 如 : 正弦波信号 ;

• 非周期信号 : 信号 没有周期规律 , 如 : 噪声信号 ;

二、周期信号的自相关函数

$x(n)$ 是 " 周期信号 " , 周期为 $N$ , 则 $x(n)$ 的自相关函数是 :

$$\begin{array}{lcl}{r}_x(m)& =& \underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }(n)x(n+m)\\ & & \\ & & \\ & =& \underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }(n)x(n+m+N)\\ & & \\ & & \\ & =& r_x(m+N)\end{array}$$

根据上述式子推导 , 周期信号的 " 自相关函数 " 具有 周期性 , 并且该 " 自相关函数 " 周期也是 $N$ ;

周期函数 能量 , 无限个周期 求和取平均 , 与 一个周期 求和取平均 的值是相等的 ;

因此 , " 周期信号 " 的 " 自先关函数 " , 也可以使用如下表示 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }(n)x(n+m)$$

在 " 噪声 " 中检测 " 信号 " , 就是使用了上述特性 ;

信号根据 " 能量 " 可以分为 " 能量信号 " 和 " 功率信号 " ;

• 信号能量定义 : 整个轴上的能量先进行平方 , 然后求积分 ; 如果 能量 小于 无穷 , 则该信号 是 能量信号 ; 有限区间内的信号称为能量信号 ;

• 信号功率定义 : 在一个信号周期内 , 进行积分求和操作 ; 如果 功率 小于 无穷 , 则该信号 是 功率信号 ; 周期信号 , 随机信号 是功率信号 ;

本篇博客中的 互相关函数 和 自相关函数 , 都是 " 功率信号 " 的 相关函数 ;

功率信号是能量无穷的信号 , 无法计算出能量值 , 这里只计算一个周期内的能量值 ;

一、功率信号的互相关函数

功率信号的 互相关函数 表示的是 两个不同的信号 之间的相关性 ;

$x(n)$ 与 $y(n)$ 的 " 互相关函数 " 如下 ,

$$r_{xy}(m)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{+N}{x}^{\ast }(n)y(n+m)$$

取一个周期中的序列元素 , 求 相关函数 值 , 然后取平均值 ;

其中 $y(n)$ 进行了移位 , 向左移动了 $m$ 单位 ,

该 " 互相关函数 " 求的是 $y(n)$ 移位 $m$ 后的序列 与 $x(n)$ 序列之间的关系 ;

注意这里的 $n$ 表示的是时刻 , $m$ 表示的是信号移动的间隔 ;

该 " 互相关函数 " 表示的是 $x(n)$ 信号 , 与 隔了 $m$ 时间后的 $y(n)$ 信号之间的关系 ;

这 $2$ 个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个 函数 , 函数的自变量是 $m$ 间隔 , 不是 $n$ ;

二、功率信号的自相关函数

功率信号的 自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :

$$r_x(m)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{+N}{x}^{\ast }(n)x(n+m)$$

取一个周期中的序列元素 , 求 相关函数 值 , 然后取平均值 ;

" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的 自己信号 " 之间的 相关性 ;

如果 $m=0$ 时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间 $m$ 后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是 信号的能量 ;

$$r_x(0)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n){|}^2=E$$

一、高斯白噪声 的 自相关函数 分析

高斯白噪声

$$N(n)$$

其自相关函数为

$$r_N(m)$$

该白噪声 方差为 $1$ , $r_N(0)=白噪声方差$ , 其余的 $r_N(m)$ 随着绝对值增加 , 都趋于 $0$ ;

由于 高斯白噪声是随机的 ,

噪声信号 是 功率信号 , 在 $m=0$ 时 , 是完全相关的 , 相关函数值就是功率值 ,

但是只要 $m$ 不为 $0$ , 噪声信号错开了一点 , 那就是完全不相关了 ,

自相关函数 与 功率谱密度 是一对 傅里叶变换对 , 如果自相关函数具备该特点 ,

在 $m=0$ 时 , 相当于 $\delta (n)$ 信号 , $\delta (n)$ 信号的傅里叶变换为 $1$ , 其在所有的频率上其 功率密度函数 都是 $1$ , 在所有的频率上都是有功率分布的 ;

下图是 " 高斯白噪声 " 与 " 自相关函数 " 的图 :

在 $m=0$ 时 , 高斯白噪声 的 " 自相关函数 " $r_N(0)$ 是该噪声的 功率 , 此时相关性最大 ;

一旦 高斯白噪声 错开一点 , 即 $m\ne 0$ , 那么其相关性就很小 会趋于 $0$ ;