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  • 自相关函数和互相关函数的作用自相关和互相关的科普首先介绍一下协方差函数自相关与互相关公式以Logistic的混沌映射表达式为例Logistic表达式Logistic自相关函数仿真Logistic互相关函数仿真有关Logistic的收敛性推导...

    首先,自相关函数和互相关函数的作用

    自相关函数就是函数和函数本身的相关性,当函数中有周期性分量的时候
    自相关函数的极大值能够很大的体现这种周期性

    互相关函数就是两个函数之间的相似性,当两个函数都具有相同周期分量的时候,它的极大值同样能体现这种周期性的分量

    自相关和互相关的科普

    首先介绍一下协方差函数

    期望分别伪E[X]与E[Y]的两个实随机变量X与Y之间的协方差Cov(X,Y)定义:
    Cov(x,y)=E[(xE[x])(yE[y])]Cov(x,y)=E[(x-E[x])(y-E[y])]
    Cov(x,y)=E[xy]2E[y]E[x]+E[x]E[y]Cov(x,y) =E[xy]-2E[y]E[x]+E[x]E[y]
    Cov(x,y)=E[xy]E[x]E[y]Cov(x,y) =E[xy]-E[x]E[y]

    自相关与互相关公式

    互相关公式:
    在这里插入图片描述
    X=Y时,就变成了自相关公式

    以Logistic的混沌映射表达式为例

    Logistic表达式

    Xn+1X_{n+1}=α\alpha* XnX_n*(1-XnX_n取值范围:Xn(0,1)X_n\in(0,1) ,α(3.57,4)\alpha\in(3.57,4)
    这就是一个最简单的伪随机序列
    通过迭代可以产生一些随机的数,但是这些数是和原来的初始值有关的。
    也就是说,初始值定下后,这些看似随机的数也就定下来了
    那么,这种伪随机序列是可以用来作为密钥来进行数据加密等工作的。

    Logistic自相关函数仿真

    变量 初值
    α\alpha 3.99534539857
    X1X_1 0.35346481534686

    由图可以看出函数的自相关性很好
    在这里插入图片描述

    Logistic互相关函数仿真

    变量 初值
    α\alpha 3.99534539857
    X1X_1 0.35346481534686
    X1X_1‘ 0.35346481534685

    我们可以看出,初始值一个微小的变化就使得两个函数的互相关性很差,真的很伪随机哦,很适合当密码
    在这里插入图片描述

    有关Logistic的收敛性推导

    在这里插入图片描述

    工程数学中牛顿迭代法(随便复习一哈)

    在这里插入图片描述

    我签过保密协议,不能给大家分享代码了,哈哈!

    没有啦!!!分享了之后,我怕别人发论文抢先一步,让我无法毕业。。。
    其实代码也很简单,一个xcorr函数就搞定了

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  • 如果学习速率太小,则找到损失函数极小值点时可能需要许多轮迭代;如果太大,则算法可能会“跳过”极小值点并且因周期性的“跳跃”而永远无法找到极小值点。合适的学习速率,损失函数随时间下降,直

    梯度下降法

    梯度的输出向量表明了在每个位置损失函数增长最快的方向,可将它视为表示了在函数的每个位置向哪个方向移动函数值可以增长。

    学习速率

    概念

    梯度就是表明损失函数相对参数的变化率,对梯度进行缩放的参数被称为学习速率(learning rate)。它是一种超参数或对模型的一种手工可配置的设置需要为它指定正确的值。如果学习速率太小,则找到损失函数极小值点时可能需要许多轮迭代;如果太大,则算法可能会“跳过”极小值点并且因周期性的“跳跃”而永远无法找到极小值点。合适的学习速率,损失函数随时间下降,直到一个底部不合适的学习速率,损失函数可能会发生震荡。

    选取规则

    在调整学习速率时,既需要使其足够小,保证不至于发生超调,也要保证它足够大,以使损失函数能够尽快下降,从而可通过较少次数的迭代更快地完成学习。


    反向传播算法

    反向传播算法是一种高效计算数据流图中梯度的技术,每一层的导数都是后一层的导数与前一层输出之积,这正是链式法则的奇妙之处,误差反向传播算法利用的正是这一特点。

    前馈时,从输入开始,逐一计算每个隐含层的输出,直到输出层。

    然后开始计算导数,并从输出层经各隐含层逐一反向传播。为了减少计算量,还需对所有已完成计算的元素进行复用。这便是反向传播算法名称的由来。


    常见的优化函数

    优化器(optimizer)是编译模型的所需的两个参数之一。你可以先实例化一个优化器对象,然后将它传入model.compile(),或者你可以通过名称来调用优化器。在后一种情况下,将使用优化器的默认参数。

    SGD:随机梯度下降优化器

    随机梯度下降优化器SGD和min-batch是同一个意思,抽取m个小批量(独立同分布)样本,通过计算他们平均梯度值。

    RMSprop

    RMSprop增加了一个衰减系数来控制历史信息的获取多少,RMSprop会对学习率进行衰减。

    建议使用优化器的默认参数(除了学习率lr,它可以被自由调节),这个优化器通常是训练循环神经网络RNN的不错选择。

    Adam

    1. Adam算法可以看做是修正后的Momentum+RMSProp算法。
    2. Adam通常被认为对超参数的选择相当鲁棒
    3. 学习率建议为0.001
    4. Adam是一种可以替代传统随机梯度下降过程的一阶优化算法,它能基于训练数据迭代地更新神经网络权重。
    5. Adam通过计算梯度的一阶矩估计和二阶矩估计而为不同的参数设计独立的自适应性学习率。

    编译部分修改,代码:

    model.compile(optimizer=tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.01),
                  loss='categorical_crossentropy',
                  metrics=['acc']
    )

    结果如下:


    网络容量

    可以认为与网络中的可训练参数成正比。

    网络中的神经元数越多,层数越多,神经网络的拟合能力越强。

    但是训练速度、难度越大 ,越容易产生过拟合。

    如何选择超参数?

    所谓超参数,也就是搭建神经网络中,需要我们自己如选择(不是通过梯度下降算法去优化)的那些参数。比如,中间层的神经元个数、学习速率。

    如何提高网络的拟合能力?

    增加网络容量:

    1. 增加层
    2. 增加隐藏神经元个数

    单纯的增加神经元个数对于网络性能的提高并不明显,增加层会大大提高网络的拟合能力,这也是为什么现在深度学习的层越来越深的原因。

    注意:单层的神经元个数不能太小,太小的话会造成信息瓶颈,使得模型欠拟合。

    增加两个隐藏层,增加了很多可训练参数。然后把学习率改为0.001,训练结果如下:

    可见训练结果准确率高达90%以上。说明增加隐藏层层数可以提高训练的准确率。

     

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    Actor-Critic核心在Actor

    以下分三个部分介绍Actor-Critic方法,分别为(1)基本的Actor算法(2)减小Actor的方差 (3)Actor-Critic。仅需要强化学习的基本理论和一点点数学知识。

    基本的Actor算法

    Actor基于策略梯度,策略被参数化为神经网络,用

    表示。

    迭代的方向是最大化周期奖励的期望,目标函数表示为:

    其中

    代表一个采样周期,

    代表序列出现的概率。求

    的梯度可得:

    其实仅是将

    写成了

    而已,目的是期望仍然为对采样序列的期望。

    表示序列的奖励和。

    那么关键的地方来了。

    代表整个序列出现的概率,整个序列的出现包括两个影响因素:策略

    和由环境决定的状态转移

    写成下式:

    很好理解,”初始状态的概率“乘以很多次(”动作选择概率“乘以”由环境决定的状态转移概率“),后两项需要连乘,直到周期结束。根据上面的式子,就可以求

    中出现的梯度项

    的值。在求

    时,上式中的

    由环境决定,与我们关注的策略变量

    无关(就是不管你采用什么策略,环境照样那么转移),因此在计算中被略去(如果这几项无法略去,那么在无环境(model-free)的情形下,将无法计算关于策略的梯度)。推导可得策略的梯度,如下:

    虽然式子看起来比较复杂,其实很好理解。(1)期望仍是对整个序列出现的期望,在强化学习中通过采样进行估计即可,例如Monte Carlo采样。(2)期望中第一项是

    取对数再求导后的结果,有关环境因素

    被消去,仅剩与策略

    相关的因素。(3)期望第二项是

    的展开,此处为了书写方便,仅使用所有奖励的和,在实际问题中可以使用average reward、discount reward等。

    以上公式与Monte Carlo算法结合起来便构成了”REINFORCE策略梯度“算法。该算法分为三个步骤:

    (1)采样

    个序列

    (只有采样才能估计梯度的期望,采样多了就估计准了)

    (2)计算策略梯度:

    。就是对每一个采样序列分别计算梯度随后取平均。

    (3)更新策略的参数:

    是学习率,由于是最大化

    ,因此是梯度上升。

    重复(1)(2)(3)三个步骤,直到收敛。可以看出,该算法是on-policy的。

    以上,便构造了一个基本的策略梯度算法。

    在实现中,需要根据实际情况设计策略网络来表示

    ,在给定状态下,输出动作选择的概率。分别讨论离散动作空间和连续动作空间下的网络设计。

    (1)在离散动作空间中,输入为状态的表示,输出节点与动作个数相等,后接Softmax层。

    (2)在连续动作空间中,输入为状态的表示,输出的设计方式有多种。一般假设每个动作的输出服从高斯分布,因此可以输出每个动作的均值。动作之间可以共用方差或各自分别学习方差。近期也有研究指出输出使用Beta分布比Gussian分布要好。

    减小Actor的方差

    Causality方法

    策略梯度的公式变为

    即后一项关于的奖励的累加只累加当前时间步

    之后的奖励,直观的理解是

    时刻策略的改变不会影响到

    之前时间步的奖励。在上式中,对

    使用的是Monte Carlo估计方法,这种方法方差大。将该项可以写成

    ,Q值代表未来的累计奖励的期望,可以使用值函数近似的方法来估计

    ,从而进一步减少方差。这是Actor-Critic的一种。此时策略梯度的公式变为:

    Baseline方法

    如果希望在上式的基础上,进一步减少方差,那么可以为

    添加baseline,将baseline记为

    ,则策略梯度的公式变为:

    可以证明,只有在

    与动作

    无关的情况下,上述改进才与之前的策略梯度公式等价。

    一般选择为状态

    的值函数,即

    Off-policy

    REINFORCE算法是一个on-policy算法,每次改变策略时都需要重新采集样本,因此样本利用效率低。使用importance Sampling方法可以将其转变为off-policy,这里不再赘述,转变后策略梯度的公式变为:

    其中,

    是采样策略的参数。importance sampling项的连乘范围从周期的开始一直到当前时间步

    Actor-Critic

    我们在baseline的基础上继续进行分析。当baseline是状态值函数时,策略梯度可以写成

    其中,

    称为Advantage Function。而

    如果不考虑状态转移概率,用采样的方式来估计状态转移,则在当前策略参数下,

    因此策略梯度公式可以进一步写成

    在上式中,我们需要估计状态值函数

    的值。用于估计

    的部分被称为Critic.

    熟悉Q学习的童鞋应该知道,估计状态值函数的方法有很多种,在此不再赘述。

    Actor-Critic的基本流程为:

    采样

    更新Critic参数

    根据Critic计算Advantage Function

    更新Actor参数

    Actor-Critic方法也存在问题。虽然减少了Actor在计算策略梯度中的方差,但是由于Critic开始时对V函数估计不准,会导致Actor对策略梯度的估计存在偏差。特别是在On-line更新中,仅通过单个样本来估计状态值函数是不现实的,因此有人提出了改进,用多个并行的Actor-Critic进行学习,就是大名鼎鼎的A3C算法。另外还有人对baseline进行研究,提出动作状态值函数也可以直接作为baseline,不过需要添加补偿项(Q-prop)。DDPG也是一种Actor-Critic算法,其特点为策略参数的更新的目标不是

    ,而是最大化

    值,使Q值最大化的策略可以使用确定性的策略,因此成为确定性策略梯度。

    在网络设计方面,Actor和Critic可以使用不同的网络,这样学习稳定。也可以使用同一个网络,共享底层的特征。

    以上。

    如有疏漏之处,欢迎指正。

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    坐标下降优化方法是一种非梯度优化算法。为了找到一个函数的局部极小值,在每次迭代中可以在当前点处沿一个坐标方向进行一维搜索。在整个过程中循环使用不同的坐标方向。一个周期的一维搜索迭代过程相当于一个梯度迭代。

    坐标下降法基于最小化多变量目标函数可以通过每次沿一个方向最小化目标函数来求解。与梯度方法的变化的梯度方向不同,坐标下降方法固定其他的梯度方向。例如,坐标方向为e1,e2,…,en。每次沿一个坐标方向最小化目标函数,循环地沿每个坐标方向进行计算。如果给定Xk,Xk+1的第i个坐标由如下给定:

    Coordinate <wbr>Descent <wbr>Optimization

    从初始值X0求取F的局部值,然后迭代的求取一个序列X0,X1,X2,…

    通过在每次迭代中进行一维搜索,可以有如下结论:

    Coordinate <wbr>Descent <wbr>Optimization

    It can be shown that this sequence has similar convergence properties as steepest descent. No improvement after one cycle of line search along coordinate directions implies a stationary point is reached.

    This process is illustrated below.

    Coordinate <wbr>Descent <wbr>Optimization
        其实,gradient descent 方法是利用目标函数的导数(梯度)来确定搜索方向的,而该梯度方向可能不与任何坐标轴平行。而coordinate descent方法是利用当前坐标系统进行搜索,不需要求目标函数的导数,只按照某一坐标方向进行搜索最小值。

    展开全文
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周期函数迭代法