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  • 2021-11-14 20:36:32

    对于数字信号处理初学者来说,线性卷积、周期卷积、循环卷积的各种问法总是令人头疼,下文我将通过简单的例子来区分这三种卷积与对应的计算方法。

    一、线性卷积


    这是最常见的卷积方式,若被卷积序列x[n]与h[n]的序列长度分别为M和N,则卷积得到的y[n]序列长为L=M+N-1,计算线性卷积的简单方法为进位保留法。

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    二、循环卷积


    循环卷积与周期卷积最大的区别与联系在于循环卷积是取两周期序列主值进行区别于线性卷积的卷积后的结果,而周期卷积则是以此结果为主值进行周期延拓。循环卷积与周期卷积使用的卷积方法相较于线性卷积区别在于卷积结果的序列长度与被卷积序列长度相同,因此要求两被卷积序列的长度一致,长度较短的序列应该补零。计算循环卷积有两种较为简便的方法。

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    三、周期卷积

    如循环卷积部分讲述的二者关系,只需先计算出循环卷积,再进行N为周期的周期延拓即可。
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    线性卷积、周期卷积和循环卷积

    例题:已知序列x1(n)=[0,2,2,1] (n=0,1,2,3); x2(n)=[1,2,-1,1] (n=0,1,2,3).求解
    (1)计算线性卷积y1(n)=x1(n)✳x2(n);
    (2)计算周期卷积y2(n)=x1(n)⊛x2(n);(N=5)
    (3)计算循环卷积y3(n)=x1(n)⊗x2(n);(L=4)

    计算:
    (1)线性卷积长度为L=M+N-1;所以y1的长度就是4+4-1=7.七次计算即可得出y1
    线性卷积计算将x2(n)翻转,成为如下形式
    x2(n)翻转

    再与x1(n)相乘即可,每次乘完得到y1(n)中的一项。并将翻转后的x2(n)朝向右平移。具体计算如下图
    线性卷积计算
    即可得到线性卷积的最后计算结果
    y1(n)=[0,2,6,3,2,1,1] (n=0,1,2,3,4,5,6)


    (2)周期卷积,由于N=5,先将x1(n)和x2(n)进行周期为5的周期延拓。不够长度则用零代替如下图。
    周期延拓的序列
    最终结果与N取值相同,所以计算五次即可得到周期卷积后的序列y2。
    x2(n)周期移位
    根据每次x2(n)的平移来计算对应的y2(n),保持x1(n)(n取主值区间0-4,即02210)不变
    将每次平移后的x2(N)(N表示计算次数)与x1(n)相乘即可,算式如下:
    周期卷积结果
    所以y2(n)=[1,3,6,3,2] (n=0,1,2,3,4)


    (3)循环卷积
    利用矩阵乘法即可简单得到结果,这里取得是四点循环为例
    将x1(n)写为列向量的形式转置符号用^T代替

    x1(n)={0,2,2,1}^T

    x2(n)(1,2,-1,1)则写为一个4*4矩阵,注意矩阵第一行元素左起向行末再至行最左顺序书写即可,第二行则将第一行行首元素挪至第二行左起第二位,书写顺序与第一行顺序相同
    即将x2(n)写为

    对x1(n)处理
    计算两个矩阵相乘即可得到四点循环卷积的结果
    y3(n)
    即y3(n)=[2,3,7,3] (n=0,1,2,3)


    以上就是线性卷积,周期卷积,循环卷积计算的例题以及计算过程。当循环卷积不是取四点而是L点时,只需要仿照周期卷积的计算将矩阵x1(n)用零补齐成为L长度的列向量,x2(n)每一行用零补齐成为L*L的矩阵。加入的零元素和原先x2(n)元素合并为新元素书写顺序仍然保持不变,相乘即可得到L点循环卷积后的列向量,写成序列形式即可。
    特别的当循环卷积的长度L≥M+N-1时,得到的循环卷积结果将会与线性卷积结果一致。例如本例若取L=7,做七点循环卷积则有
    (矩阵a表示x2(n)补零后书写的矩阵,矩阵b表示补零后x1(n)的列向量,七点循环卷积结果即为矩阵a与矩阵b的乘积)
    矩阵a
    列向量b
    七点循环卷积结果
    对比(1)中的线性卷积结果可以得到,算出的七点循环卷积与线性卷积的结果是相同的。

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  • 线性卷积、周期卷积、圆周卷积------一篇弄懂

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    谈到DSP,几个“卷积”总是要弄清楚的。

    谈到DSP,几个“卷积”总是要弄清楚的。这里我们讨论的是离散时间序列。本篇主要讲解几种“卷积”的定义及运算,定义理解上通俗易懂,例子也能举一反三。

    卷积

    • 什么是卷积?
      如(4)式,为卷积运算。我们设离散时间序列x(n)通过离散时间线性移不变系统(LSI系统)T,如图1,那么产生的响应y(n)=T[x(n)]。通过式(1)、(2)的运算,我们可以知道:
      • (1)式表示冲击序列δ(n)的定义
      • (2)式说明x(n)可以看作许多冲击序列的和,比如x(n)={1,2,3,4},则x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3),这个很好理解。
      • (3)式为卷积运算的推导,其中中T为系统,T[x(n)]即为输出,h(n)=T[δ(n)]为单位冲激响应。
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    图1

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    • 卷积有什么用?
      我们知道自然界有很多信号,信号携带着信息,那么如何获取这些有用的信息呢?答案是设计信号处理的系统。在设计之前,我们就必须弄明白信号与系统的关系。当然这些理论是完备的:对于线性移不变系统,输入序列总可以看作许多个冲击序列之和,通过运算,我们可以知道输入输出满足一个重要的关系:输出等于输入与系统单位冲激响应的卷积。说到底,卷积只是我们定义的一种运算,知道输入和系统单位冲激响应,我们就可以算出系统的输出。

    既然卷积运算作用这么大,那么它的计算方法也是很重要的,根据x(n)的是否是周期的,我们又定义了线性卷积、周期卷积、圆周卷积,它们的计算方法联系紧密。因为卷积这种运算具有普适性,我们就可以计算任意两个序列的卷积,在这里每一种卷积我列出常用的两种计算方法。在后面的例子当中,我们均以x1(n)={1,2,3,4},x2(n)={1,2,3}为例。

    线性卷积

    • 定义
      直接由(5)式计算即为线性卷积。适用范围:两个序列均为离散非周期序列。

    在这里插入图片描述

    • 适用范围
      两个序列均为离散非周期序列。

    • 图解法
      概括一下就是“翻褶”、“移位”、“相乘”、“相加”。下面是图解过程。

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    • 对位相乘法
      将两个序列右端对齐,对位相乘,然后相加,不进位。所得序列的起点位置由卷积的两个序列范围确定。运算过程如下:

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    周期卷积

    • 定义
      直接由(6)式计算即为周期卷积。顾名思义,两个周期序列才可以进行周期卷积,并且周期要一样。如果两个序列不是周期序列,我们就将其周期延拓。接下来我们作x1(n)和x2(n)四点的周期卷积。

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    • 图解法

    x1((m))表示周期延拓,我们只考虑一个周期里的运算,可以得到一个周期的y(n),将y(n)周期延拓便能得到最后结果。

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    • 利用线性卷积求解
      如下,将线性卷积结果第四位后面的值补到前面相加,得到一个周期内的值,将y(n)周期延拓便能得到最后结果。

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    圆周卷积

    • 定义
      直接由(7)式计算即为圆周卷积。其实很好理解,圆周卷积和是以L为周期的周期卷积和的主值序列。运算方法与周期卷积类似,它是具有隐含的周期性的。至于为什么叫“圆周”卷积?我们由周期卷积的图解法可以看出,x2(n-(m))主值区间里的几个数始终在循环移位,相当于在圆周上移位,所以如果只考虑一个周期的话,我们通过圆周翻褶和圆周移位同样可以达到周期卷积的效果。
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    • 运算方法
      参考周期卷积的运算方法,其中图解法不用作周期延拓只取主值区间计算。

    • 与线性卷积的关系
      圆周卷积可以利用线性卷积求解,当圆周卷积的长度大于等于线性卷积结果的长度,圆周卷积结果就可以代表线性卷积结果。

      
      


    总结一下,周期卷积就是两周期序列的线性卷积,圆周卷积就是周期卷积取主值区间,引入“圆周”可以简化概念和运算。

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    参考:
    线性卷积、周期卷积、圆周卷积的异同
    三种常见的卷积概述(线性卷积周期卷积圆周卷积
    哈尔滨工程大学数字信号处理教程:第28讲,圆周卷积和线性卷积
    “卷积”其实没那么难以理解

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    1.连续函数的卷积

    图1

    1.1 将图1中的两个函数的表达式写出

    x ( t ) = { 1 ,   0 < t < 3 T 0 , 其 他 x(t)= \begin{cases} 1, & \ 0<t<3T\\ 0, &其他 \end{cases} x(t)={1,0, 0<t<3T
    h ( t ) = { t 2 T , 0 < t < 2 T 0 , 其 他 h(t)= \begin{cases} \cfrac t{2T} , &0<t<2T\\ 0, &其他 \end{cases} h(t)=2Tt,0,0<t<2T

    1.2 分类讨论

    情 况 1 情况1 1
    在这里插入图片描述
    显 然 y ( t ) = 0 。 显然 y(t)=0。 y(t)=0

    情 况 2 情况2 2
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    y ( t ) = ∫ 0 t x ( τ ) h ( t − τ ) d τ = 1 2 T ∫ 0 t ( t − τ ) d τ = t 2 4 T y(t)=\int_0^tx(\tau)h(t-\tau)d{\tau}=\cfrac1{2T}\int_0^t(t-\tau)d\tau=\cfrac {t^2}{4T} y(t)=0tx(τ)h(tτ)dτ=2T10t(tτ)dτ=4Tt2

    注 意 看 两 个 函 数 重 叠 部 分 , 此 时 t < 0 时 卷 积 结 果 为 0 , 所 以 积 分 下 限 为 0 , 积 分 上 限 为 不 断 移 动 的 函 数 h ( t − τ ) 注意看两个函数重叠部分,{此时t<0时}卷积结果为0,所以积分下限为0,积分上限为不断移动的函{数h(t-\tau)} t<000h(tτ)

    情 况 3 情况3 3
    在这里插入图片描述
    y ( t ) = ∫ t − 2 T t x ( τ ) h ( t − τ ) d τ = 1 2 T ∫ t − 2 T t ( t − τ ) d τ = T y(t)=\int_{t-2T}^tx(\tau)h(t-\tau)d{\tau}=\cfrac1{2T}\int_{t-2T}^t(t-\tau)d{\tau}=T y(t)=t2Ttx(τ)h(tτ)dτ=2T1t2Tt(tτ)dτ=T

    情 况 4 情况4 4
    在这里插入图片描述
    y ( t ) = ∫ t − 2 T 3 T x ( τ ) h ( t − τ ) d τ = 1 2 T ∫ t − 2 T 3 T ( t − τ ) d τ = 1 4 T ( − 5 T 2 + 6 t T − t 2 ) y(t)=\int_{t-2T}^{3T}x(\tau)h(t-\tau)d{\tau}=\cfrac1{2T}\int_{t-2T}^{3T}(t-\tau)d{\tau}=\cfrac1{4T}(-5T^2+6tT-t^2) y(t)=t2T3Tx(τ)h(tτ)dτ=2T1t2T3T(tτ)dτ=4T1(5T2+6tTt2)

    情 况 5 情况5 5
    在这里插入图片描述
    y ( t ) = 0 。 y(t)=0。 y(t)=0

    此 外 连 续 函 数 卷 积 还 可 以 借 助 傅 里 叶 变 换 、 拉 普 拉 斯 变 换 、 卷 积 的 各 种 性 质 求 解 。 此外连续函数卷积还可以借助傅里叶变换、拉普拉斯变换、卷积的各种性质求解。

    2.离散函数的卷积

    2.1 表格法(Papierstreifenmethode)

    在这里插入图片描述
    当 数 列 f n , h n 和 y n 的 长 度 分 别 为 L f , L h 和 L y 时 , 那 么 L y = L f + L h − 1 。 当数列f_n,h_n和y_n的长度分别为L_f,L_h和L_y时,那么L_y=L_f+L_h-1。 fn,hnynLf,LhLyLy=Lf+Lh1

    2.2 借助冲激信号

    D i r a c − I m p l u s   δ k ( n ) = { 1 , n = 0 0 , 其 他 Dirac-Implus\ \delta_k(n)= \begin{cases} 1, & n=0\\ 0, &其他 \end{cases} DiracImplus δk(n)={1,0,n=0
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    2.3 借助Z变换

    单 边 Z 变 换 , F ( z ) = 单边Z变换,F(z)= ZF(z)= ∑ n = 0 ∞ \sum_{n=0}^\infty n=0 f n z − n f_nz^{-n} fnzn

    Z { δ ( n ) } = 1 , 延 迟 定 理 Z { f n − k } = z − k [ F ( z ) + Z\{\delta(n)\}=1,延迟定理Z\{f_{n-k}\}=z^{-k}[F(z)+ Z{δ(n)}=1,Z{fnk}=zk[F(z)+ ∑ m = 1 k f − m z m \sum_{m=1}^kf_{-m}z^m m=1kfmzm]
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    总 结 : 设 数 列 f n 和 h n 分 别 通 过 连 续 信 号 f ( t ) 和 h ( t ) 理 想 采 样 获 得 y ( t ) = f ( t ) ∗ h ( t ) ≠ y n = f n ∗ h n , 因 为 在 连 续 卷 积 中 , 采 样 点 之 间 的 函 数 值 也 会 影 响 结 果 。 总结:设数列f_n和h_n分别通过连续信号f(t)和h(t)理想采样获得y(t)=f(t)\ast h(t)\neq y_n=f_n\ast h_n,因为在连续卷积中,采样点之间的函数值也会影响结果。 fnhnf(t)h(t)y(t)=f(t)h(t)=yn=fnhn

    2.3 循环卷积(Zyklische Faltung)

    通 常 所 说 的 卷 积 都 为 线 性 卷 积 ( L i n e a r e   F a l t u n g ) 两 个 函 数 的 循 环 卷 积 是 由 他 们 的 周 期 延 伸 所 来 定 义 的 。 通常所说的卷积都为线性卷积(Lineare\ Faltung)两个函数的循环卷积是由他们的周期延伸所来定义的。 线Lineare Faltung 周 期 延 伸 意 思 是 把 原 本 的 函 数 平 移 某 个 周 期 T 的 整 数 倍 后 再 全 部 加 起 来 , 所 产 生 的 新 函 数 。 循 环 卷 积 要 借 周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来,所产生的新函数。循环卷积要借 T
    助 离 散 傅 里 叶 变 换 ( D F T ) 助离散傅里叶变换(DFT) (DFT)

    x ( n ) ∘ — ∙ X D F T ( k ) x(n){\circ—\bullet} X_{DFT}(k) x(n)XDFT(k)
    Δ Ω = 2 π N W N = e − j 2 π N \Delta\Omega=\cfrac{2\pi}N \qquad\qquad\qquad\qquad W_N=e^{-j\cfrac{2\pi}N} ΔΩ=N2πWN=ejN2π

    X D F T ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j Δ Ω k ⋅ n = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n                   只 在 k = 0 , 1 , . . . , N − 1 定 义 X_{DFT}(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\Delta\Omega k\cdot n}=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 只在k=0,1,...,N-1定义 XDFT(k)=n=0N1x(n)ejΔΩkn=n=0N1x(n)WNkn                 k=0,1,...,N1
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  • 在利用FFT计算线性卷积时,遇见长序列与短序列卷积时,FFT不一定具备简化计算的优势 #思路 分而治之的思想,可能很多情况下都使用,将大问题转为能解决的已知问题。既然一长一段不行,何不把短的分段 我们设两个序列...
  • 卷积神经网络原理与实例

    千次阅读 2018-01-17 15:05:04
    一、卷积神经网络是如何工作的?参考链接https://www.zhihu.com/question/39022858/answer/203073911参考链接https://www.cnblogs.com/charlotte77/p/7759802.html1、卷积层一个例子,现在有一个4*4的灰度图像,我们...

空空如也

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周期卷积计算例题