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  • 周期序列傅里叶级数的Matlab实现 ** 周期序列离散傅里叶级数正变换: 周期序列离散傅里叶级数反变换: MATLAB实现: DFS式的矩阵形式: 周期序列的DFS定义,0≤n≤N-1,0≤k≤N-1 因此只需计算WN因子: 代码: ...

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    周期序列傅里叶级数的Matlab实现

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    周期序列离散傅里叶级数正变换:
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    周期序列离散傅里叶级数反变换:
    在这里插入图片描述
    MATLAB实现:
    DFS式的矩阵形式:在这里插入图片描述
    周期序列的DFS定义,0≤n≤N-1,0≤k≤N-1
    在这里插入图片描述
    因此只需计算WN因子:
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    代码:

    function [Xk] = DFS(xn)
    % 计算周期序列的离散傅里叶级数
    % 输入:
    %      xn 待变换的周期序列
    N = length(xn);
    n = 0:1:N-1;
    k = 0:1:N-1;          % 设定n和k
    WN = exp(-j*2*pi/N);  % 设定Wn因子
    nk = n'*k;
    WNnk = WN.^nk;        % 计算W矩阵
    Xk= xn*WNnk;          % 计算DFS的系数Xk
    %disp(xn);disp(Xk);   % 显示计算结果(系数)
    end
    
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  • 周期信号傅里叶级数的性质,高数与信号必修内容。
  • 周期序列的离散傅里叶级数,通过仿真,可以直观的得到周期与离散的对应关系。
  • 离散周期信号傅里叶级数

    千次阅读 2019-01-09 11:15:54
    连续信号通常是数学领域里的理论研究对象,而现实生活中我们遇到的信号往往是离散的,且计算机只能处理有限长度的离散信号。...和连续周期信号傅里叶级数基于一样的猜想,离散周期信号傅里叶级数是想寻...

    连续信号通常是数学领域里的理论研究对象,而现实生活中我们遇到的信号往往是离散的,且计算机只能处理有限长度的离散信号。所以为了让傅里叶分析解决实际问题,有必要将其推广到离散信号领域。

    连续周期信号和离散周期信号如上图所示:左图为连续周期正弦波\large x(t)=x(t+T),其中周期\large T=2\pi;右图为左图正弦波的周期离散采样,x[n]=x[x+N],其中周期N=10。

    和连续周期信号傅里叶级数基于一样的猜想,离散周期信号傅里叶级数是想寻得一组不同振幅、不同频率和不同相位的正弦离散函数以表达某离散周期函数。即:

    \large x[n]=C+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}sin(kw_{0}n)+\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}cos(kw_{0}n)

    其中\large w_{0}=\frac{2\pi}{N}。根据欧拉公式\large e^{ix}=cos(x)+isin(x)得:

    \large \left\{\begin{matrix} cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \end{matrix}\right.

    因此,上式可推导为:

    \large x[n]=C+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\frac{e^{ikw_{0}n}-e^{-ikw_{0}n}}{2i}+b_{k}\frac{e^{ikw_{0}n}+e^{-ikw_{0}n}}{2})\\ =C+\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{ia_{k}-b_{k}}{2}e^{ikw_{0}n}+\frac{-ia_{k}-b_{k}}{2}e^{-ikw_{0}n})

    \large A_{k}=\frac{ia_{k}-b_{k}}{2}\large B_{k}=\frac{-ia_{k}-b_{k}}{2},得到x[n]的傅里叶级数复数形式的表达式:

    \large x[n]=Ce^{i0w_{0}n}+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}e^{ikw_{0}n}+\sum_{k=1}^{\infty}B_{k}e^{-ikw_{0}n}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}D_{k}e^{ikw_{0}n}

    我们接着观察该级数中的单项\large e^{ikw_{0}n}

    \large \phi _{k}[n]=e^{ikw_{0}n}=e^{ik\frac{2\pi}{N}n},n=0,\pm 1,\pm 2,...

    先说结论:\large \phi_{k}[n]=\phi_{k+r}N[n],其中\large k=0,\pm1,\pm2,...\large r=0,1,2,...、N为离散信号x[n]的变化周期。证明过程如下:

    \large \phi_{k+r}N[n]=e^{i(k+rN)\frac{2\pi}{N}n}=e^{ik\frac{2\pi}{N}n}e^{ir2\pi n}=e^{ik\frac{2\pi}{N}n}(e^{i2\pi})^{rn}\\ =e^{ik\frac{2\pi}{N}n}(cos(2\pi)+isin(2\pi))^{rn}\\ =e^{ik\frac{2\pi}{N}n}(1)^{rn}\\ =e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=\phi_{k}[n]

    因此,得到离散周期信号x[n]的傅里叶级数如下:

    \large x[n]=\sum_{k=<N>}X_{k}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}

     

    给出:

    \large \sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=\left\{\begin{matrix} N,k=0,\pm N,\pm 2N,...\\ 0,otherwise\\ \end{matrix}\right.

    \large S=\sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n},过程如下:

    \large S(1^{\frac{k}{n}}-1)=e^{ik\frac{2\pi}{N}}S-S=e^{ik\frac{2\pi}{N}N}-e^{ik\frac{2\pi}{N}0}=e^{ik2\pi}-1=1^k-1=0

    由上式可知,当\large k\neq 0,\pm N,\pm 2N,...时:

    \large (1^{\frac{k}{N}}-1)\neq 0\small S=\sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=0

    \large k=0,\pm N,\pm 2N,...时:

    S=\sum_{n=<N>}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}=\sum_{n=<N>}(e^{i2\pi})^{\frac{k}{N}n}=\sum_{n=<N>}(1)^{rn}=N,r=0,\pm 1,\pm 2,...

    现在,对离散周期信号x[n]每时刻的信号求和,并乘以\small e^{-ir\frac{2\pi}{N}}得:

    \small \sum_{n=<N>}x[n]e^{-ir\frac{2\pi}{N}n}=\sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}X_{k}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=\sum_{k=<N>}X_{k}\sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}

    由上面给出的公式可以得到,当k-r=0时,\small \sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=N;当\small k-r\neq 0时,\small \sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=0。所以:

    \small \sum_{n=<N>}x[n]e^{-ir\frac{2\pi}{N}}=\sum_{k=<N>}X_{k}\sum_{n=<N>}e^{i(k-r)\frac{2\pi}{N}n}=X_{r}N

    即:

    \small X_{r}=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-ir\frac{2\pi}{N}n}

    至此,我们已经得到离散周期信号x[n]的傅里叶级数(如下):

    \small x[n]=\sum_{k=<N>}X_{k}e^{ik\frac{2\pi}{N}n}

    其中,\small X_{k}=\frac{1}{N}\sum_{n=N}x[n]e^{-ik\frac{2\pi}{N}n}

     

    https://blog.csdn.net/u012841922/article/details/84582198

     

     

     

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  • 信号与系统——周期信号的傅里叶级数表示(离散时间)

    注:本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写,主要是为了自己考研,准备专业课。

    转载于:(https://blog.csdn.net/Explorer_day/article/details/80098508)

    一、离散时间周期信号的傅里叶级数表示

    一个离散时间周期信号的傅里叶级数是有限项级数,而在连续时间周期情况下是一个无穷级数。

    一)成谐波关系的复指数信号的线性组合

    1、复指数是周期的,周期为N。而且,由下式
    在这里插入图片描述
    给出的所有离散时间复指数信号的集合都是周期的,且周期为N。上式中的全部信号,其基波频率都是2π/N的倍数,因此他们之间成谐波关系的。

    上式给出的信号集合中只有N个信号是不同的,具体而言:
    在这里插入图片描述
    其一般关系为:
    在这里插入图片描述
    当k变化一个N的整数倍时,就得到一个完全一样的序列。

    2、利用
    在这里插入图片描述
    中的序列Øk[n]的线性组合来表示更为一般的周期序列,这样一个线性组合就有如下形式:
    在这里插入图片描述
    序列Øk[n]只在k的N个相继值得区间上是不同的,因此上式的求和仅仅需要包括N项。于是,上式的求和是当k在N个相继整数的区间上变化时,从任意k值开始对k进行的。为了指出这一点,特将求和限表示成k=,即
    在这里插入图片描述
    上式称为离散时间傅里叶级数,而系数ak则称为傅里叶级数系数

    二)周期信号傅里叶级数表示的确定

    1、离散时间傅里叶级数对的推导:
    教材P134

    2、离散时间傅里叶级数对:
    在这里插入图片描述
    其中式(3.94)称为综合公式,式(3.95)称为分析公式。离散时间傅里叶级数系数ak称为x[n]的频谱系数。这些系数说明x[n]可分解成N个成谐波关系的复指数信号之和。

    3、若k取任何一组N个相连的整数,则有
    在这里插入图片描述
    这就是说,假设考虑的k值多于N个,那么ak的值必定以N为周期,周期性重复。

    即离散时间傅里叶级数系数是以周期N重复的

    4、离散时间博里叶级数另一种表达式:

    1)x[N]是一个周期为N的实周期信号,其傅里叶级数系数为ak,设ak用笛卡尔坐标表示为
    在这里插入图片描述其中bk和ck都是实数

    若N为奇数,则有
    在这里插入图片描述
    若为偶数,则有
    在这里插入图片描述
    2)若ak的极坐标为AkejΘk,那么x[n]的傅里叶级数表示也能写成如下形式

    若N为奇数,则有
    在这里插入图片描述
    若N为偶数,则有
    在这里插入图片描述
    5、与连续时间情况相比,离散时间不存在任何收敛问题,也没有吉伯斯现象。

    二、离散时间博里叶级数性质

    1、离散时间博里叶级数性质
    在这里插入图片描述

    2、若x[n]是一个周期信号,周期为N,其博里叶级数系数记为ak,那么就写成
    在这里插入图片描述

    一)相乘

    在离散时间情况下,假设
    在这里插入图片描述
    x(t)、y(t)都是周期的,且周期为N,那么乘积x[n]y[n]也是一个周期为N的周期序列。
    其傅里叶系数dk为
    在这里插入图片描述
    上面这种类型的运算称为两个周期的傅里叶系数序列之间的周期卷积,而求和变量从-∞到∞这种卷积和的形式就称为非周期卷积

    二)一次差分(对应于连续时间中的微分性质)


    在这里插入图片描述
    则对应于x[n]一次差分的傅里叶系数可表示成
    在这里插入图片描述
    三)离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理

    1、离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理是
    在这里插入图片描述
    其中ak是x[n]的傅里叶级数系数,N是周期。
    上式左边是x[n]在一个周期内的平均功率而|ak|2是x[n]的第k此谐波的平均功率。

    帕斯瓦尔定理表明:一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的平均功率之和。

    当然,在离散时间中只有N个不同的谐波分量。同时,由于ak也是周期的,周期为N,所以上式右边的求和可以在任何k的N个相继值上进行。

    三、傅里叶级数与线性时不变系统

    1、一个线性时不变系统对一组复指数信号的线性组合的响应具有特别简单的形式。具体而言,

    1)在连续时间情况下,若x(t)=est是一个连续时间线性时不变系统的输入,那么其输出就为y(t)=H(s)est,其中H(s)为
    在这里插入图片描述
    其中h(τ)是该线性时不变系统的单位冲激响应。

    2)在离散时间情况下,若x[n]=zn是一个离散时间线性时不变系统的输入,那么其输出就为y[n]=H[z]zn,其中H(z)为
    在这里插入图片描述
    其中h[k]是该线性时不变系统的单位脉冲响应。

    2、当s或z为一般复数是,H(s)和H(z)就称为该系统的系统函数

    1)对于连续时间信号与系统而言 现在考虑是的RE{s}=0这一种特殊情况,这样s=jw,est就具有ejwt的形式。这个输入是在频率w上的一个复指数。具有s=jw的系统函数[ 即H(jw)被看成w的函数 ]就称为该系统的频率响应,它由下式给出:
    在这里插入图片描述
    2)对于离散时间信号与系统而言 现在考虑的是|z|=1的z值上,这样z=ejwzn就具有ejwn的形式。对z局限在z=ejw形式的系统函数H(z)称为该系统的频率响应,它由下式给出:
    在这里插入图片描述
    3、利用系统的频率响应来表示一个线性时不变系统,对ejwt(连续时间)或ejwn(离散时间)这种形式的复指数信号的响应是特别简单的;而且,由于线性时不变系统具有叠加性质,因此一个线性时不变系统对复指数信号线性组合的响应也同样是简单和容易表示的。

    4、对于连续时间情况。令x(t)为一个周期信号,其傅里叶级数表示为
    在这里插入图片描述
    假设将信号加入单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统作为它的输入,那么其输出是
    在这里插入图片描述于是y(t)是周期的,与x(t)有相同的基波频率。

    若{ak}是输入x(t)的一组傅里叶级数系数,那么{ak H(jkw0)}就是输出y(t)的一组傅里叶级数系数。
    这就是说,线性时不变系统的作用就是通过乘以相应频率相应点上的频率响应值来逐个改变输入输入信号的每一个傅里叶系数。

    5、在离散时间情况下,令x[n]为一个周期信号,其傅里叶级数表示为
    在这里插入图片描述
    若将该信号加入单位脉冲响应为h[n]的线性时不变系统作为它的输入,那么输出就是
    在这里插入图片描述
    于是y[n]也是周期的,且与x[n]有相同的周期,y[n]的第k个傅里叶系数就是输入的第k个傅里叶系数与该系统在对应频率上的频率响应值在这里插入图片描述
    的乘积

    典型例题:

    例题一:
    在这里插入图片描述

    例题二:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    例题三:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    例题四:
    在这里插入图片描述

    例题五:
    在这里插入图片描述

    例题六:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 离散周期信号的傅里叶级数(DFS)

    万次阅读 多人点赞 2018-07-18 23:42:41
    这篇文章的思路是按照与连续时间周期信号的傅里叶级数一致的,看完这篇博文的基础上,再看离散时间复指数序列周期性质,了解了离散时间复指数序列周期性后,就可以很简单地理解离散周期信号的傅里叶级数了,这都...

    目录

    序言

    引入离散周期信号的傅里叶级数

    成谐波关系的离散周期复指数序列

    周期信号的傅里叶级数表示

    离散周期信号的傅里叶级数系数及其确定过程


    序言

    这篇文章的思路是按照与连续时间周期信号的傅里叶级数一致的,看完这篇博文的基础上,再看离散时间复指数序列的周期性质,了解了离散时间复指数序列的周期性后,就可以很简单地理解离散周期信号的傅里叶级数了,这都是一环套一环的,缺少了一样都会让自己变得迷糊!

    由于本博文是专门讲离散周期信号的傅里叶级数,所以下面可能会省略离散两个字,但也要默认为是离散的!

    说到傅里叶级数,我们以后就应该想到复指数信号,这是一个伟大的信号!

    由成谐波关系的复指数信号的线性组合可以表示任意一个周期信号!而这种表示称为傅里叶级数表示!

    傅里叶级数表示有两个重要的内容,一个是表示本身,另一个就是傅里叶级数系数!

    引入离散周期信号的傅里叶级数

    成谐波关系的离散周期复指数序列

    手稿:

    周期信号的傅里叶级数表示

    手稿:

    离散周期信号的傅里叶级数系数及其确定过程

    暂时就说这么多,需要补充的话再更新!

    记于2018/7/18  23:41

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周期序列的傅里叶级数

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