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  • 首先回顾一下在信号与系统(10)-周期性信号的频谱中提及的方波脉冲信号,如果脉冲宽度τ\tauτ进行无线增大,则信号变为非周期信号,并且幅度频谱由离散谱变为连续频谱,如下所示: 周期性方波脉冲,即: f(t)={A,&...

    首先回顾一下在信号与系统(10)-周期性信号的频谱中提及的方波脉冲信号,如果脉冲宽度τ\tau进行无线增大,则信号变为非周期信号,并且幅度频谱由离散谱变为连续频谱,如下所示:

    周期性方波脉冲,即:
    f(t)={A,   τ2+kTtτ2+kT0,    f(t)=\left\{ \begin{aligned} A,\space \space \space & -\frac{\tau}{2}+kT \leq t\leq\frac{\tau}{2}+kT \\0, \space \space \space &其他 \end{aligned} \right.
    其图像如下所示:

    其中τ\tau是脉冲的宽度,T是周期,幅值是A。

    经过傅里叶级数展开后,其系数为:
    Cn=AτTSa(nΩτ2) C_n=\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2})

    其中Sa(x)=sinxxSa(x)=\frac{sinx}{x},是抽样函数。

    通过上式画出周期方波脉冲信号的频谱如下:

    改变周期方波信号的周期T,保持脉冲宽度,其频谱变化如下

    从上述频谱中可以观察出3点:

    • 谱线密度随着周期T的增加而增加,即随着T的增大,相邻谱线之间的间距越小。这是因为频率f=1Tf=\frac{1}{T},且Ω=2πT\Omega = \frac{2\pi}{T}的原因。很显然当T增加时,nΩn\Omega将变小,因此谱线之间的间距变小。
    • 谱线的幅值逐渐降低。观察Cn=AτTSa(nΩτ2)C_n=\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2})可知,当T增大时,其幅值AτT\frac{A\tau}{T}将减小。
    • 不论T增大还是减小,谱线的包络线形状上保持不变,因为Sa函数除幅值外没有变化。

    因此:非周期信号可以看成是周期信号的周期趋向无穷大时的极限

    下面将解释如何进行这种极限和积分运算。

    1. 由傅里叶级数的系数到傅里叶变换

    首先回顾在信号与系统(8)- 复指数形式的傅里叶级数傅里叶级数的系数求法,如下所示:

    信号f(t)f(t)通过复指数正交函数集展开为:
    f(t)=n=+[Cnej(nΩt)] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}]
    上式中系数CnC_n为:
    Cn=t1t2f(t)(ejnΩt)t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)=1Tt1t2f(t)ejnΩtdt C_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt
    其中Ω=2πT\Omega = \frac{2\pi}{T},且f(t)f(t)是周期为T的函数,以上便是周期函数的傅里叶级数展开。

    在周期信号的傅里叶级数展开中,由系数CnC_n关于nn或频率构成的图谱,称为幅度频谱,反应了构成信号f(t)f(t)的各个频率分量及各个频率分量的幅度。

    那对于连续非周期函数呢?什么样的幅度频谱可以反应一个非周期信号的频率组成成分呢?

    为了回答这个问题,首先要对信号f(t)f(t)系数CnC_n做如下变化:

    1. 将周期信号的周期T进行趋近无穷大,即TT\rightarrow \infty,使之变为一个非周期信号;由之前提到的方波周期信号可知,若TT\rightarrow \infty,频谱间隔将趋近无穷小,信号在各个频率点上都有信号分量,频率的取值变为连续取值。
    2. 由于TT\rightarrow \infty时,系数Cn0C_n\rightarrow 0,即在每一个频率点上的频率分量大小将趋近于零。为了解决这个问题,人为的将系数CnC_n乘以T,即

    CnT(2πCnΩ)=Tt1t2f(t)(ejnΩt)t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)=t1t2f(t)ejnΩtdt C_n\cdot T(2\pi \frac{C_n}{\Omega})=T\cdot \frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt

    由于当TT\rightarrow \infty时,Ω0\Omega \rightarrow 0,且nΩn\Omega将变为一个连续变量,用ω\omega表示,并且将TCnT\cdot C_nF(jω)F(j\omega)表示,而由于周期T趋近于无穷,因此积分限便从T=t2t1T=t_2-t_1变为了[,+][-\infty,+\infty],则上式变为:
    F(jω)=+f(t)ejωtdt F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
    上式便是著名的傅里叶变换

    问题:如何理解傅里叶变换的物理意义?

    傅里叶变换F(jω)F(j\omega)本质上本应该代表着信号中各个频率分量的幅度,但是由于系数CnC_n除以了周期T,因此在量纲上不符合幅度的量纲,而观察经过处理之后的系数,即CnTC_n\cdot T,如果将T=2πTT=\frac{2\pi}{T}带入,则CnTC_n\cdot T变为2πCnΩ2\pi \frac{C_n}{\Omega}。其CnT\frac{C_n}{T}可以理解为“单位频带内的信号分量的幅度",而2π2\pi是一个常数,所以F(jω)F(j\omega)可以被理解为频谱密度函数,它表示信号在该频率点上的分量相对大小。而绝对大小,由于周期趋于无穷,为0.

    除此之外,傅里叶变换于傅里叶级数同宗同源,因次也具备傅里叶级数的一部分性质。如果f(t)f(t)为实数函数,则F(jω)F(j\omega)的幅度是关于ω\omega的偶函数,而F(jω)F(j\omega)的相位是关于ω\omega的奇函数。

    2. 由周期性信号的傅里叶级数展开到傅里叶反变换

    上一部分对傅里叶级数系数进行了变化而得到了傅里叶变换,加下来的问题是,如何通过傅里叶变换,得到原函数呢?

    为解答这个问题,同样回顾傅里叶级数展开,如下所示:

    信号f(t)f(t)通过复指数正交函数集展开为:
    f(t)=n=+[Cnej(nΩt)] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}]
    为得到非周期信号f(t)f(t),将上式做如下变化:

    1. Cn=F(nΩt)TC_n=\frac{F(n\Omega t)}{T},这是因为在之前求解非周期信号的频率分量幅值时,为了避免幅值趋于无穷小,将系数乘以了周期,进而得到F(nΩt)F(n\Omega t)
    2. 由于这里研究的信号是非周期信号,所以需要将周期进行趋向无穷大,即:TT\rightarrow \infty
    3. TT\rightarrow \infty时,Ω0\Omega \rightarrow0,且离散的nΩn\Omega变为连续的ω\omega,求和\sum变为了积分\int

    通过上述变换,原函数f(t)f(t)变为了:
    f(t)=limTn=+[F(nΩt)Tej(nΩt)]=limΩ0n=+12πΩF(jnΩ)ej(nΩt)=12π+F(jω)ejωtdω \begin{aligned} f(t)&=\lim_{T\rightarrow \infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\frac{F(n\Omega t)}{T}\cdot e^{j(n\Omega t)}] \\&=\lim_{\Omega \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}\Omega F(jn\Omega)\cdot e^{j(n\Omega t)} \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\cdot e^{j\omega t}d\omega \end{aligned}
    上式
    f(t)=12π+F(jω)ejωtdω \begin{aligned} f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\cdot e^{j\omega t}d\omega \end{aligned}
    便是傅里叶反变换

    问题:如何理解傅里叶反变换的物理意义?

    傅里叶的反变换其实本质上就是将信号分解为一系列复数的三角函数的积分,而积分也是求和的一种。因此,傅里叶反变换就是针对非周期信号的”傅里叶级数展开“,只不过求和变为了积分,频率由离散变为了连续,由于将周期信号的周期进行趋向无穷大,因此多了系数12π\frac{1}{2\pi}

    由于傅里叶反变换同傅里叶级数展开同宗同源,因此同样,这样的变换存在的条件仍然是Direchlet条件。

    3. 傅里叶变换的总结

    1. 傅里叶变换和傅里叶级数的对比
    相关对比项 傅里叶级数 傅里叶变换
    对原信号f(t)f(t)的分解 f(t)=n=+[Cnej(nΩt)]f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] f(t)=12π+F(jω)ejωtdωf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\cdot e^{j\omega t}d\omega(傅里叶反变换)
    F(jω)F(j\omega)CnC_n F(jω)=+f(t)ejωtdtF(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt F(jω)=limT(TCn)=t1t2f(t)ejωtdtF(j\omega) =lim_{T\rightarrow \infty}(T\cdot C_n)= \int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-j\omega t}dt(傅里叶变换)
    频谱连续性 离散频谱 连续频谱
    收敛性 收敛 收敛
    谐波性 存在,仅出现在基波频率的整数倍的点上 不存在,频谱变成了连续频谱,且每一点频率都有对应的幅值
    适用条件 Direchlet条件 Direchlet条件

    4. 常见信号的傅里叶变换及其反变换

    函数名称 傅里叶变换 傅里叶反变换
    冲激函数 δ(t)\delta(t) 11
    单边指数信号 eαtu(t)e^{-\alpha t}u(t) 1α+jω\frac{1}{\alpha+j\omega}
    双边指数信号 eαte^{-\alpha \vert t\vert} 2αα2+ω2\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}
    门函数 GτG_{\tau} τSa(ωτ2)\tau\cdot Sa(\frac{\omega \tau}{2})
    阶跃信号 u(t)u(t) πδ(ω)+1jω\pi \cdot\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}
    直流信号 11 2πδ(ω)2\pi \cdot\delta(\omega)
    复正弦信号 ejωcte^{j\omega_c t} 2πδ(ωωc)2\pi \cdot\delta(\omega-\omega_c)

    其中阶跃信号和直流信号虽然不满足绝对可积条件,但是通过引入冲激函数,也可以计算出傅里叶变换。这里推荐记忆上述常见傅里叶变换的结果。

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  • 7 时域、周期性连续信号的傅里叶级数 7.1周期性、连续信号的傅里叶级数概述 时域上任意连续的、周期信号可以分解为无限多个、离散的、非周期的、正交的复指数信号之和,称之为傅里叶级数。 (1)时域信号...

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    1 时域周期性信号的频域傅里叶级数概述

    1.1 周线性、连续信号的傅里叶级数

    1.2 周期、离散信号的傅里叶级数

    2 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的频谱图表达

    2.1 周期性、连续信号的频谱图

    2.2 周期性、离散信号的频谱图

    3 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的三角函数表达式

    3.1 周期性、连续信号

    3.2 周期性、离散信号

    4 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的复指数表达式

    4.1 周期性、连续信号

    4.2 周期性、离散信号

    5 傅里叶级数参数的量化

    5.1 周期性、连续信号

    5.2 周期性、离散信号

    6 常见时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数案例



    1 时域周期性信号的频域傅里叶级数概述

    1.1 周线性、连续信号的傅里叶级数

    傅里叶分析认为:

    时间上连续的、任意周期的时域信号可以分解为无限多个离散的非周期的正交的复指数频域信号之和,称之为傅里叶级数

         

     

    为什么会有这个结论呢?

    从定性的角度来看,周期信号是有规律的复杂信号,而频率具有倍数关系的正弦信号序列cos(n*ωt)+ i*sin(n*ωt)是具有规律的基本信号。

    用无数个不同幅度的、有规律的、基本信号叠加,获得有规律复杂的周期信号,是可行的。

    1.2 周期、离散信号的傅里叶级数

    傅里叶分析认为:

    时间上离散的、任意周期的时域信号可以分解为无限多个离散的周期的正交的复指数频域信号之和,称之为离散傅里叶级数

    也就是说,周期性的离散信号,相对于周期性的连续信号而言,其频谱比连续信号的频谱更有规律性,也变成了周期信号。

    所谓频谱的周期性,是指不同频率分量的幅度呈现周期性特点,而不像周期连续信号,其频谱是没有周期的。

     

    1.3 非周期连续信号

                   

    傅里叶认为,时域非周期连续信号的频谱可以由周期连续信号的频谱推导而来。

    当时域信号的周期无穷大时,周期信号就变成了非周期信号。周期无限大,就意味着时域信号的频率小,也就意味着,基波频率就无限小,同时意味着两个相邻的谐波信号之间的间距就无限小,间距无穷小,就意味着谐波的频率变成了连续。

    也可以这样理解,周期信号是规律性信号,因此可以通过无限个、离散的、谐波信号组合而成,当变成无规律的非周期信号时,就需要更多的谐波信号组合而成,多到谐波频率在整个数轴空间是连续的!

     

    2 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的频谱图表达

    2.1 周期性、连续信号的频谱图

    周期连续信号有2个重要的参数:

    • 信号的周期T
    • 信号的持续时间τ

    T > τ

    (1)时域信号

    右边是时域信号,这里周期性的脉冲信号。

    (2)频域频谱

    右边是对应的傅里叶级数的频谱图,代表时域信号中包含的不同频率的复指数信号(正弦信号)的频率n*ωt以及其对应的幅度。

    • 其中n=0的幅度表示直流分量
    • 其中n=1的幅度表示基波频率分量
    • 其中n>1的幅度表示其他的谐波分量
    • 幅度是可以为负数的:如 -1 * cos(n*ωt) - i*sin(n*ωt
    • 频率是可以为负数的:频率为正数,表示逆时针旋转,频率为负数,表示顺时针旋转。

    关于复指数信号的负幅度和负频率,请参考:

    星星之火-35:为什么傅里叶分析需要引入负频率以及负频率的物理意义是什么?https://mp.csdn.net/editor/html/109914049

     

    2.2 周期性、离散信号的频谱图

    周期离散信号有2个重要的参数:

    • 信号周期内,全部采样的个数N
    • 信号周期内,有效信号的采样的个数N1

    N>N1.

    如下是N=20, N1=2时的离散方波信号的频谱图:

    从上图可以看出,:

    • 频谱的离散性:

    这与周期连续信号一样,表明时域信号内含的谐波频率是离散的。

    • 频谱的周期性:

    这与周期连续信号不同,周期连续信号,各个频率分量的幅值是递减的,无周期性;

    而周期离散信号,各个频率分量的幅度是呈现周期性变化。

    周期的大小,取决于相邻两个采样点的时间间隔,

    采样的时间越小,离散的点越密集,

    采样的频率越大,当采样点无限密集,就接近周期连续信号,频谱的周期也就接近无穷大,即呈现周期连续信号的频谱的非周期性特点了。

     

    • 频谱的有限性:

    这与周期连续信号不同,周期连续信号,也就是在一个周期T内,连续信号的采样点相当于是无限的,因此其频谱,虽然是离散的,谐波分量的个数是无限的; 

    而周期离散信号, 在一个周期内的采样点的个数是有限的,因此其频谱也是有限的,有限性体现在其周期性上,频谱的谐波分量的个数,就是频谱周期内的谐波数。

    频谱的有限性是周期性离散信号的一个很重要的优点,通过有限的谐波频率,就可再现周期性离散信号,节省了网络带宽。

    时域的离散性是周期性离散信号的另一个很重要的优点,而累积和替代连续信号的积分,非常便于计算机处理。

    周期性离散信号是计算机数字通信中最重要的一种时域信号形式。

    在计算机数字信号处理中,对于连续信号,也先通过采样的手段,把连续信号先转换成离散信号。采样后,不仅仅利于计算机处理,还节省了恢复信号是所需的频谱资源。

     

    2.3 非周期、连续信号

    从频谱上看,时域上非周期、连续信号信号,其基波信号的频率是无限接近于0,相邻谐波信号的频率间隔接近于0,是频谱是连续的。

     

    2.4 非周期、离散信号

    时域的非周期性导致频域频谱的连续性,需要无线连续的谐波分量来组合没有规律的时域非周期信号。

    时域的离散性导致频域频谱的周期性,规律性,这是时域离散性带来的好处。

     

    3 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的三角函数表达式

    3.1 周期性、连续信号

    假设时域周期连续信号f(t)的周期为T

    x(t) = \sum_{n={-\infty}}^{\infty}}{}{[An.xcos(n*wt) + i*An.ysin(n*wt)]}

    此级数公式表明:时域信号f(t)可以由无数个频域的正弦信号组成。

     

    3.2 周期性、离散信号

    x(t) = \sum_{n={-\infty}}^{\infty}}{}{[An.xcos(n*wt) + i*An.ysin(n*wt)]}

     

    3.3 非周期、连续信号

    x(t) = \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}{[A.x*cos(wt) + i*A.y*sin(wt)] dw}

     

    3.4 非周期、离散信号

     

    4 时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数的复指数表达式

    4.1 周期性、连续信号

    x(t) = \sum_{n={-\infty}}^{\infty}}{}{An*e^{j*nwt}}

    此级数公式表明:时域信号f(t)可以由无数个频域的复指数信号组成。

    4.2 周期性、离散信号

    (1)傅里叶级数复指数信号集

    (2)傅里叶级数复指数表达

     

    4.3 非周期、连续信号

    上述数学表达式表示:

    时域上没有规律的非周期连续信号,由无限多个谐波信号\large e^{jwt}构成,每个信号的频率ω是一个挨着一个的、连续的,频率间隔无限小或者说没有间隔,因此n =》dω,用, 因此每个谐波信号的幅度也不在是离散的,而是连续的,用X(jw)表示,因为没有谐波频率之间没有时间间隔,因此了积分\tiny \int替代了累计和\tiny \sum

    4.4 非周期、离散信号

    非周期、离散信号可以由周期、离散信号演变而来,扩展周期离散信号的周期到无穷大。

     

    5 傅里叶级数参数的量化

    5.1 周期性、连续信号

    为了简化讨论,这里以正频率为例,负频率是与正频率对称的,有一个正频率ω,就有一个对应的负频率-ω

    (1)频率的量化:

    • 直流分量的频率 :n=0,  n*ω = 0;
    • 正弦基波的频率: n=1,  ω =  1* ω = 2πf = 2π/T;
    • 正弦谐波的频率: n>1,  ωn = n * ω = n* 2π/T

    (2)幅度的量化

    • 直流分量的幅度

        

    • 正弦谐波实信号幅度

    An.x = +1/T * \int_0^T x(t) *cos(nwt) ; n=0,1,2,3,4,5.....

     

    • 正弦谐波虚信号幅度

    An.y = -1/T * \int_0^T x(t) *sin(nwt); n=0,1,2,3,4,5.....

     

    5.2 周期性、离散信号

     

    5.3 非周期性、连续信号

    由于非周期连续信号的频谱是连续的,其幅度不再用Ak表示,是而是X(jω)表示,X是jω的复变函数。

     

    5.4 非周期性、离散信号

     

     

    6 常见时域、周期性、连续信号的频域傅里叶级数案例

    6.1 周期性连续信号

    (1)普通正弦函数的频谱图

    单一频率的正弦或余弦信号,又称为单音信号。

    可以用三角函数表示,此时的频谱是单一的正频率。

    正弦信号或余弦信号本身也可以用复指数表示:包括一对绝对值相等、符号相反的频率。

     

    (2)周期矩形脉冲信号

    • 脉冲宽度不变,周期变大

    脉冲宽度不变,时域信号的周期T变化,影响的频域信号的基波频率和各个谐波信号的频率。T越大,基波频率越小,谐波频率越密集。

    • 矩形脉冲周期不变,脉冲宽度变化小

    周期不变,时域信号脉冲宽度t, 影响的是时域信号在周期内T内的积分值。 t越大,一个周内内的能量越大,各个谐波分量的幅度就越大。

     

    (3)周期三角脉冲信号

     

    6.3 非周性连续信号

    (1)冲击脉冲信号

    时域上看,持续时间无穷小。

    频域上看,包含所有频率值的谐波,频率值是连续。每个谐波频率的幅度为1.

    也可以这样理解:脉冲信号,是瞬间发生、瞬间消失的脉冲信号,因此其频率变化无穷大,因此包含频率值从0到无穷大的所有的谐波分量。

     

    (2)直流分量

    时域上看:可以看成是周期无穷小的信号信号,导致其幅度值一直不变化。

    频域上看:因为信号的幅度一直变化,说明此时域信号不包含任何频率ω会发生变化的交流分量,说明只包含频率ω=0的分量,即直流分量。

    这就是为什么,频谱图上只看到ω=0处的幅度。

    (3)单位矩形脉冲

    很显然,单个的矩形脉冲与周期性的矩形矩形脉冲:

    相同点:图形的包络是相似的。都是sinc函数,即辛格函数。注意:不是sin函数。

    区别是:单个的矩形脉冲的频谱是连续的,周期性的矩形矩形脉冲的频谱是离散的。

     

     

    6.4 非周性离散信号

    (1)单位脉冲信号

    (2)矩形脉冲信号


    其他参考:

    (1)sinc函数

    sinc

    (2) 不同变换汇总

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 信号频谱分析

    2020-04-26 13:15:07
    一、信号的分类 1、从信号描述上分:确定...4、连续时间信号又可以分为 :动态信号(信号的幅值、相位、周期等特征参数随时间的变化而变化的信号)、静态信号 动态信号又可以分为:确定信号、非确定信号 ...

    一、信号的分类

    1、从信号描述上分:确定性信号(可以用明确数学关系来描述)、非确定性信号

    2、从分析域上分:时域信号、频域信号

    3、从信号波形分:连续时间信号、离散时间信号

    4、连续时间信号又可以分为 :动态信号(信号的幅值、相位、周期等特征参数随时间的变化而变化的信号)、静态信号

                    动态信号又可以分为:确定性信号非确定性信号

                                               确定性信号可以分为:周期信号(经过一定时间可以重复出现的信号)、非周期信号

                                               非确定性信号可以分为:平稳随机信号非平稳随机信号

                                                            周期信号分为:简单周期信号(单一频率)、复杂周期信号(多个频率)

                                                            非周期信号分为:准周期信号(由多个周期信号合成,但各信号频率不成公倍数)、瞬态信号

    二、时域分析与频域分析的概念

    1、时域描述:信号用幅值随时间的变化来表示,通常称为时域分析(波形分析)。

    时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简谐波外,很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

    2、频域分析:以频率为横坐标描述信号的频率结构和频率成分的幅值、相位关系。

    3、频域分析的目的:为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系,应对信号进行频谱分析,把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述,以频率为独立变量来表示信号。

    如图所示,对复杂信号进行频域分析,可以活得各频率分量的幅值和相位关系。

    三、频域分析实例

    1、方波信号

    2、用傅立叶级数展开该周期方波信号

    w0处的幅值为       4*A/(Π),相位为0,

    3*w0处的幅值为   4*A/(3*Π),相位为0,

    ……

    7*w0处的幅值为   4*A/(7*Π),相位为0,

    根据傅里叶级数展开表达式可得不同频率下的幅值和相位角,并绘制出幅频图(右上)和相频图(中下)。

    3、方波信号波德图


    4、周期信号的频谱分析

    定义:信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f),从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。

    对于任何一个周期为T、且定义在区间(- T/2, T/2)内的周期信号f(t),都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示:

    式中的系数为:

    将方波信号按照傅里叶级数展开可得,

    根据计算结果,可画出方波信号的幅频图和相频图

    工程上习惯将计算结果用图形方式表示,以ωn为横坐标,幅值、相位角为纵坐标画图,则称为幅值-相位谱。

    傅里叶展开式的另一种形式

    四、相位的概念

    1、什么是相位

    相位只要是针对交流电信号来讲的,是描述交流电信号的特征参数之一。相位是反映交流电任何时刻的状态的物理量

    例如,对于正弦交流电信号I=A*sin(2*Π*f*t)来说,y的大小和方向是随时间变化的

    I是交流电流的瞬时值,A是交流电流的最大值,f是交流电的频率,t是时间。随着时间t的变化,交流电流可以从零变到最大值,从最大值变到零,又从零变到负的最大值,从负的最大值变到零。在三角函数中2πft相当于角度,它反映了交流电任何时刻所处的状态,是在增大还是在减小,是正的还是负的等等。因此把2πft叫做相位,或者叫做相。

    如果t等于零的时候,I并不等于零,公式应该改成I=Isin(2πft+ψ)。那么2πft+ψ叫做相位,ψ叫做初相位,或者叫做初相。

    相位(phase)是对于一个波形来说,能反映它在特定的时刻的位置:一种它是否在波峰波谷或它们之间的某点的标度。是描述讯号波形变化的度量,通常以度(角度)作为单位,也称作相角。

    2、相位的超前与滞后

    如图所示的信号分别为y=sin(2*pi*t);y1=sin(2*pi*t+pi/2);

    y1的波峰滞后于y的波峰,我们称y1的相位滞后于y的相位,滞后的相位差为phi=(t2-t1)*360/T(T为周期)。也可以说y1超前于y,超前的相位差为360-phi。

    五、MATLAB之傅里叶变换函数FFT

    1、变换流程

    初始信号为y=10*sin(2*pi*1*t+phi),式中1为固有频率,phi为初相位。

    确定采集信号的序列长度:

    对连续信号的采样,确定采样频率fs=1000

    确定数据长度 N=512。

    横坐标t的从时域到频域的变换:

    其变换公式为:式中,采样时间为  ts,数据长度为 N,任意数字频率为 k,

    幅值y从时域到频域的变换:

    Y=fft(y,N); %对 y 进行傅里叶变换 ,N为数据长度

    幅频图Y的绘制

    plot(fk,Y)

    相频图phi的绘制

    phi=angle(Y(1:k+1))*180/pi %求得 k+1个幅值点对应的相位角

    plot(fk,phi)

    2、matlab代码

    clc
    clear
    A=10;
    fw=1;%固有频率
    phi=pi/3;%相位
    fs=1000; %采样频率
    t=0:1/fs:10*pi;%采样时间范围t   采样时间为ts=1/1000=1/step
    y=A*sin(2*pi*fw*t+phi);%正弦函数 y
    
    f=fs*(0:256)/512;%(0:256)表示257个谱线,512为数据长度 采样时间为ts=1/1000=1/step
    %采样时间范围>>对应工程频率(采样时间转换为频率) 
    subplot(3,1,1);%三行一列第一幅图
    plot(t,y);%绘制图形
    xlabel('t/s','fontsize',13);
    ylabel('y','fontsize',13);
    title('正弦函数曲线','fontsize',13);%显示标题
    Y=fft(y,512);%对 y 进行傅里叶变换 取512个数据
    subplot(3,1,2);%三行一列第二幅图
    plot(f,abs(Y(1:257)));%绘制图形 f为频域,Y(1:257)为幅频谱的257个点
    xlabel('f/Hz','fontsize',13);%横坐标显示 f/Hz,字号 13 
    ylabel('幅值','fontsize',13);%纵坐标显示幅值,字号 13 
    title('幅频特性曲线','fontsize',13);%显示标题 
    [value,index]=max(abs(Y));%将 abs(Y)最大值点的横
    
    subplot(3,1,3);%三行一列第三幅图
    plot(f,angle(Y(1:257))*180/pi);%绘制图形
    xlabel('f/Hz','fontsize',13);%横坐标显示 f/Hz,字号 13
    ylabel('相位/°','fontsize',13);%纵坐标显示相位/°,字号 13
    title('相位特性曲线','fontsize',13);%显示标题
    

     

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    前言:

    如果你对采样定理和奈奎斯特准则一知半解,本文将给茅塞顿开。

    如果你对为什么采样频率必须大于等于原始信号的带宽的2倍,本文将给你答案。


    目录

    1. 信号与系统的模型

    2. 为什么要对连续信号离散化?

    3. 连续信号离散化(采样)的模型

    3.1 采样的时域分析物理模型

    3.2 采样信号的频谱

    3.3 傅里叶运算的频移特性

    3.4 采样的时域分析数学模型

    3.5 采样信号的频域分析数学模型

    3.6 信号的还原

    4. 采样定理

    4.1 不同采样频率的频谱图

    4.2 奈奎斯特采样定理

    4.3 对采样定理的进一步解读


    1. 信号与系统的模型

    采样是“系统”的功能,采样的目的是对输入的连续信号进行离散化处理。


    2. 为什么要对连续信号离散化?

    在上述架构中,中间的离散系统,通常是微处理器构建的计算机系统。

    目的:

    用有限的、离散的、时域信号的幅度来替代时域上无限的、连续的时域信号幅度。

     

    采样的本质:脉冲编码调制PCM

    PCM采样的本质是:用离散的方波脉冲信号传输时域信号。

    PCM编码的本质是:用二进制传输离散的方波信号的幅度。

     

    优点:

    (1)数字化的信号便于计算机处理,离散化是连续信号数字化的前提。

    (2)离散信号的频谱具备周期性特点,即具备了一定的规律性。

    (3)信号的稳定性好、抗干扰性强、可靠性高

    (4)利于传输

    (5)处理灵活

    (6)便于对信号进行进一步的处理,包括前文介绍的傅里叶变换。


    3. 连续信号离散化(采样)的模型

    3.1 采样的时域分析物理模型

    采样器器,实际上是一一个脉冲式的开关,通过周期性的打开或关闭采样器的开关,从而获取时域连续信号的幅度。

    连通后,所有的时域信号的所有的谐波频率分量都会通过采样器,到达输出。

    这里有两个关键性的参数,采样输出信号的特性:

    (1)脉冲信号的持续时间τ:由于是脉冲信号,因此τ的大小趋近于0。

    (2)脉冲信号的周期T, 即采样周期!

    这个参数非常重要,要确保采样后的信号大体保留原信号的特征,或者说要能够正确地从采样后的信号中还原先的信号,对采样周期T是有要求的,这个采样周期不能太大,采样速率不能太慢。

    如果采样周期过大,采样速率太慢,就意味着获取到的时域信号的采样点个数太少,信息丢失较大。

    如果采样周期太小,采样速率太快,就意味着获取到的时域信号的采样点个数太多,多到与连续信号没有什么差别,就起不到采样的目的。

    在上图中,

    信号1:为直流信号,信号的频率为0,因此任意采样率都是可以的,多个采样点其实是多余的。

    信号2:为低频交流信号,采样率大于2倍的信号频率,能够反应信号的信息。

    信号3:为中频交流信号,采样率等于信号频率,每次采样到信号的最大幅度,也可能采样信号的任意幅度。因此这样采样率的采样是不可靠的。

    信号4:为高频交流信号,采样率小于信号的频率,那么每次采样到的信号的幅度值不是固定值,且肯定无法获取原信号的幅度特征,无法再现原先的信号!

     

    至于到底采样多大的采样率采样才合适呢?

    没有一个绝对的标准,这取决于时域信号内部的谐波分量的最大频率,根据奈奎斯特定理,这个采样的频率大约等于最大谐波频率的两倍。

    至于为什么是2倍的关系,需从频率分析的角度来分析。

     

    3.2 采样信号的频谱

    (1)非周期单脉冲的频谱

    特点:连续、全频谱、非周期

     

    (2)周期脉冲信号的频谱

    特点:离散、周期频谱

    频谱间隔ω取决于采样周期T。ω = 2π/T, 采样周期越小,频谱间隔越大!

     

     

    3.3 傅里叶运算的频移特性

    时域上:两个信号相乘 x(t) * \small e^{jw0t}

    频域上:把x(t)的频谱X(ω)搬移到ω0处。

    频移特性非常非常的重要!在移动通信和无线通信中,得到了及其广泛的应用。

    射频解调和调制,就是利用了傅里叶运算的频移特性!

    调制:把基带信号频谱搬移到载波信号的频谱周围。

    解调:把调制后信号的频谱,在反向搬移到0频附近,留下基带信号的频谱!

    这就是大名鼎鼎的频谱搬移!

    详解:《信号与系统》解读 第3章 强大的傅里叶时域频域分析工具-4:傅里叶运算的5大主要特性:https://mp.csdn.net/editor/html/109998323

     

    3.4 采样的时域分析数学模型

    对上述的物理模型,进行数学建模,模型如下:

    因此,采样的过程,实质上是两个信号相乘的过程:

    (1)一个是周线性、离散的采样信号, 它是有无数个离散的脉冲信号构成,每个脉冲信号是前一个脉冲信号的延时:n*T.

    (2)一个是原始的被采样的信号,这样得到一个离散信号的集合。

    如上图所示,T为采样周期。时域信号采样后得到信号如下:

     

    3.5 采样信号的频域分析数学模型

    从上图可知,采样信号时域是离散周期脉冲信号。本质是周期、离散信号。

    其频谱如下:

    (1) 图形表示法

    P(jw):脉冲信号的频谱。

    X(jw):原始信号的频谱。

    根据傅里叶的频移特性,原始信号的频谱X(jw)被搬移到脉冲信号所有谐波分量的频谱上。

    原始信号的频谱搬移后,频谱的幅度被降低为原先的1/T倍。

    上图有两个带宽:

    • 采样信号的频谱间隔:Wsample = 2π/T,  T为采样周期,T越小,频谱间隔越大!
    • 原始信号的频谱带宽:原始信号的最大谐波频率Wm

     

    (3)数学表示法

     

    3.6 信号的还原

    根据采样信号的频谱图上,可以看出:

    (1)通过一个低通滤波器,可以还原出原先的信号,只是幅度降低为采样信号周期的1/T倍。

    (2)再通过一个放大器,对采样、滤波后的信号进行放大T倍,就可以得到原先的时域信号!

     

    4. 采样定理

    4.1 不同采样频率的频谱图

    在原始信号的最大频率(频谱带宽)确定的情况下,经过采样后,原始信号的频谱会被搬移到采样信号的各个谐波分量上。

    不同的采样频率,其采样后的信号的频谱图是不相同,如下图所示:

    (1)Ws > 2*Wm

    原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上,且搬移后的各个原始信号的频谱之间没有重叠 ,有一定的频率间隔,相互不干扰,因此很容容易通过低通带通滤波器把原始信号过滤出来。

    (2)Ws =  2*Wm

    原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上,且搬移后的各个原始信号的频谱之间没有重叠 ,没有的频率间隔,且相互不干扰,但由于之间紧密相邻,需要高性能的低通或带通滤波器,才能把原始信号过滤出来。

    (3)Ws < 2*Wm

    原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上,且搬移后的各个原始信号的频谱之间出现重叠,导致相互干扰,因此无法还原原先的信号。

     

    4.2 奈奎斯特采样定理

    经过上述的分析,再来看采样定理,就很容易理解了:

    采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的,在数字信号处理领域中,采样定理是连续时间信号(通常称为“模拟信号”)和离散时间信号(通常称为“数字信号”)之间的基本桥梁。

    该定理说明采样频率信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。 它为采样率建立了一个足够的条件,该采样率允许离散采样序列从有限带宽的连续时间信号中捕获所有信息。

    在进行模拟/数字信号的转换过程中,当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax),采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。

    一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56~4倍;采样定理又称奈奎斯特定理

     

    4.3 对采样定理的进一步解读

    4.3.1 从频域的频率搬移的角度看采样定理

    采样的本质是频率搬移,如果搬移后的信号的频域的频谱中谐波分量之间没有相互的干扰,根据傅里叶分析方法可以知道,时域的信号与原先的时域信号就是一致的。

    只有采样频率Ws足够大,大到Ws>2Wm, 才能保证原始信号的频谱被搬移后,相互不重叠,这就是采样定理的内在原因。

     

    4.3.2 从时域信号的角度看采样定理

    Ws>=2Wm只是必要条件,而不是充分条件。从时域的角度看,Ws>2Wm时,并不一定完全恢复原先的信号,实际上是有损失的。

    假设以时域信号中最高谐波分量为例, Ws = 2Wm

    (1)有损恢复

    如果,时域信号就是一个单一的正弦波,  且Ws = 2Wm。

    那么,按照上图的时序采样,采样后的信号,还原出来后,得到的是一个三角波。

    (2)无法恢复

    如果,时域信号就是一个单一的正弦波,  且Ws = 2Wm。

    那么,按照上图的时序采样,采用后的信号,还原出来后,得到的是0电平信号。很显然,无法恢复!

     

    从上图分析可以看出,Ws >= 2Wm,并不应一定能恢复出原先的信号,特别是单音信号(单一频率的信号)。

    那么为啥奈奎斯特还是说明Ws >= 2Wm,这是因为:

    在实际系统中,原始信号往往还包含其他更低频率的分量,即使遇到上图无法恢复的情形,也只是针对的是高频分量,对于低频分量,还是可以有损恢复的。

    时域的原始信号中的谐波分量,低频分量的占比越多,这个信号越容易恢复。即原始的时域信号,变化越缓慢,越容易恢复。

    另外,在实际应用中,通常的采样频率为信号最高频率的2.56~4倍,至于多少倍,取决于原始时域信号本身在时域上的变化的程度。

    时域中信号的变化程度,最终反映到时域信号中谐波分量的最高频率的大小。

     

     

     

     

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