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  • 周期性函数可以在傅里叶级数中展开,也就是说,如果给定了各个频率分量的幅度和相位,则可以确定原信号频谱信号的一种图形表示方法,它将各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来,用来说明信号的特性。...

    周期性函数可以在傅里叶级数中展开,也就是说,如果给定了各个频率分量的幅度和相位,则可以确定原信号。频谱是信号的一种图形表示方法,它将各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来,用来说明信号的特性。并且后续可以给信号处理带来很多便利。

    频谱图由两个部分组成:振幅频谱相位频谱

    • 振幅频谱用来表示信号含有的各个频率分量的幅度,其横坐标为频率,纵坐标为各个对应频率分量的幅度;

    • 相位频谱用来表示含有各个频率分量的相位。其横坐标为频率,纵坐标为各个对应频率分量的相位。

    傅里叶级数分为实数形式的傅里叶级数以及复数形式的傅里叶级数,因此,傅里叶级数的频谱对应的也有两种形式。

    本篇文章中所用到的图像来自于东南大学孟桥老师的课件,感谢老师对学生的耐心讲解。

    1. 实数形式傅里叶级数对应的频谱

    由实数形式傅里叶级数:
    f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ A n c o s ( n Ω t + φ n ) A n = a n 2 + b n 2 , φ n = − a r c t a n b n a n \begin{aligned} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}A_ncos(n\Omega t + \varphi_n) \\A_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \\\varphi_n &= -arctan\frac{b_n}{a_n} \end{aligned} f(t)Anφn=2a0+n=1+Ancos(nΩt+φn)=an2+bn2 ,=arctananbn
    其对应的频谱图示意图如下:

    由于这种形式的傅里叶级数中的级数 n n n一定大于等于,因此这种频谱的横坐标仅有正数,这种频谱也称为单边频谱

    比如周期性方波的频谱,其傅里叶级数为:
    f ( t ) = 4 π [ s i n ( Ω t ) + 1 3 s i n ( 3 Ω t ) + 1 5 s i n ( 5 Ω t ) + ⋯ + 1 n s i n ( n Ω t ) ] , n 为 奇 数 f(t) = \frac{4}{\pi}[sin(\Omega t)+\frac{1}{3}sin(3\Omega t)+\frac{1}{5}sin(5\Omega t)+\cdots + \frac{1}{n}sin(n\Omega t)], n为奇数 f(t)=π4[sin(Ωt)+31sin(3Ωt)+51sin(5Ωt)++n1sin(nΩt)],n
    即:
    a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s ( n Ω t ) d t = 0 a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n\Omega t)dt=0 an=T20Tf(t)cos(nΩt)dt=0

    b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n ( n Ω t ) d t = { 4 n π ,    n 为 奇 数 0 ,    n 为 偶 数 b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\Omega t)dt=\left\{ \begin{aligned} &\frac{4}{n\pi}&, \space \space &n为奇数 \\&0&, \space \space &n为偶数 \end{aligned} \right. bn=T20Tf(t)sin(nΩt)dt=nπ40,  ,  nn

    所以:
    A n = a n 2 + b n 2 = { 4 n π     当 n 为 奇 数 0     当 n 为 偶 数 A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}=\left\{ \begin{aligned} &\frac{4}{n\pi}\space \space \space&当n为奇数 \\&0\space \space \space&当n为偶数 \\ \end{aligned} \right. An=an2+bn2 =nπ4   0   nn

    φ n = − a r c t a n b n a n = { − π 2     当 n 为 奇 数 0     当 n 为 偶 数 \varphi_n = -arctan\frac{b_n}{a_n}=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{\pi}{2}\space \space \space&当n为奇数 \\&0\space \space \space&当n为偶数 \\ \end{aligned} \right. φn=arctananbn=2π   0   nn

    由此可以做出其频谱:

    在频谱中,横坐标表示的谐波的次数,但是更常见的,横坐标使用各个正弦分量的实际频率来表示。

    单边频谱的特点

    1. 在横坐标为0的点上,即直流分量上,幅度频谱中表示的直流分量幅值是真实信号幅值的两倍。即:频谱上在 ω = 0 \omega=0 ω=0的点上信号的实际的直流分量幅值应该是频谱中显示的幅值的一半
    2. 如果仅观察幅值随频率的变化趋势,则无考虑。

    2. 复指数形式傅里叶级数对应的频谱

    由复指数形式的傅里叶级数:
    f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ C n ⋅ e j ( n Ω t ) ] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[C_n\cdot e^{j(n\Omega t)}] f(t)=n=+[Cnej(nΩt)]
    其中:
    C n = ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ ( e j n Ω t ) ∗ ∫ t 1 t 2 ( e j n Ω t ) ( e j n Ω t ) ∗ = 1 T ∫ t 1 t 2 f ( t ) e − j n Ω t d t C_n=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot (e^{j{n\Omega t}})^*}{\int_{t_1}^{t_2}(e^{j{n\Omega t}})(e^{j{n\Omega t}})^*} = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt Cn=t1t2(ejnΩt)(ejnΩt)t1t2f(t)(ejnΩt)=T1t1t2f(t)ejnΩtdt
    其对应的频谱的幅值和相位为:
    幅 值 : ∣ C n ∣ 相 位 : a n g ( C n ) \begin{aligned} &幅值:|C_n| \\&相位:ang(C_n) \end{aligned} Cnang(Cn)
    由于这种形式的傅里叶级数中的 n n n存在正值,也存在幅值,因此这种形式的频谱在 n ≥ 0   和 n < 0 n\geq0 \space 和 n<0 n0 n<0都有意义,这种频谱也称为双边频谱

    同样以周期性方波的频谱为例:
    C n = − j b n 2 = { − j 2 n π     当 n 为 奇 数 0     当 n 为 偶 数 C_n=-j\frac{b_n}{2}=\left \{ \begin{aligned} &-j\frac{2}{n\pi} \space \space \space&当n为奇数 \\&0\space \space \space&当n为偶数 \end{aligned} \right. Cn=j2bn=jnπ2   0   nn
    其频谱如下:

    双边频谱的特点

    1. 从频谱图中观察可知:对于周期方波这个实数信号而言,其幅值是偶对称,而相位是奇对称。这与在信号与系统(9) 的分析吻合。单边频谱无法体现这一点。
    2. 通常来说,由于实数信号的幅度频谱具备对称性,因此只需要观察 n ≥ 0 n\geq0 n0部分即可,其幅值形状与单边频谱类似,但是幅值上是单边频谱显示幅值的一半,相位频谱与单边频谱相同。
    3. 单边频谱在物理上容易理解,而双边频谱对于信号处理会有计算上的优势,所以双边频谱是重点。
    4. 双边频谱在 ω = 0 \omega = 0 ω=0的点上的幅值,即直流信号,其大小直接表示了信号的直流分量的大小,不需要其他处理。这要比单边频谱更方便。

    3. 周期信号频谱有什么特点?

    1. 离散性:其线条不是连续的
    2. 谐波性:线条仅仅出现在基波频率 Ω \Omega Ω的整数倍点上
    3. 收敛性:实际信号的幅频特性总是随着频率趋向无穷大而趋向于零

    4. 周期信号的时域特性如何对应到频域特性?

    周期信号的时域特性也就是信号的周期、脉冲宽度、幅值等,如何反应到频域特性如幅值、相位、谱线间隔、收敛性等呢?由于上述周期性方波信号的傅里叶级数展开后,其频谱无法体现时域信号中的参数,因此这里引入新的例子:周期性方波脉冲,即:
    f ( t ) = { A ,     − τ 2 + k T ≤ t ≤ τ 2 + k T 0 ,     其 他 f(t)=\left\{ \begin{aligned} A,\space \space \space & -\frac{\tau}{2}+kT \leq t\leq\frac{\tau}{2}+kT \\0, \space \space \space &其他 \end{aligned} \right. f(t)=A,   0,   2τ+kTt2τ+kT
    其图像如下所示:

    其中 τ \tau τ是脉冲的宽度,T是周期,幅值是A。

    经过傅里叶级数展开后,其系数为:
    C n = { 2 A n Ω T s i n ( n Ω τ 2 )     n ≠ 0 2 A τ T     n = 0 C_n=\left\{ \begin{aligned} &\frac{2A}{n\Omega T}sin(\frac{n\Omega \tau}{2}) \space\space\space &n\neq0 \\&\frac{2A\tau}{T}\space \space\space&n=0 \end{aligned} \right. Cn=nΩT2Asin(2nΩτ)   T2Aτ   n=0n=0
    观察上式可知,系数 C n C_n Cn可以用抽样函数 n ≠ 0 n\neq0 n=0 n = 0 n=0 n=0统一起来,即:
    C n = { 2 A n Ω T s i n ( n Ω τ 2 )     n ≠ 0 2 A τ T     n = 0 } = A τ T S a ( n Ω τ 2 ) C_n= \left\{ \begin{aligned} &\frac{2A}{n\Omega T}sin(\frac{n\Omega \tau}{2}) \space\space\space &n\neq0 \\&\frac{2A\tau}{T}\space \space\space&n=0 \end{aligned} \right\} =\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2}) Cn=nΩT2Asin(2nΩτ)   T2Aτ   n=0n=0=TAτSa(2nΩτ)
    其中 S a ( x ) = s i n x x Sa(x)=\frac{sinx}{x} Sa(x)=xsinx,是抽样函数。

    通过上式画出周期方波脉冲信号的频谱如下:

    下面将通过改变时域中信号参数,观察频谱的变化,进而得出结论

    1. 改变周期方波信号的周期T,保持脉冲宽度,其频谱变化如下

      从上述频谱中可以观察出3点:

      • 谱线密度随着周期T的增加而增加,即随着T的增大,相邻谱线之间的间距越小。这是因为频率 f = 1 T f=\frac{1}{T} f=T1,且 Ω = 2 π T \Omega = \frac{2\pi}{T} Ω=T2π的原因。很显然当T增加时, n Ω n\Omega nΩ将变小,因此谱线之间的间距变小。
      • 谱线的幅值逐渐降低。观察 C n = A τ T S a ( n Ω τ 2 ) C_n=\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2}) Cn=TAτSa(2nΩτ)可知,当T增大时,其幅值 A τ T \frac{A\tau}{T} TAτ将减小。
      • 不论T增大还是减小,谱线的包络线形状上保持不变,因为Sa函数除幅值外没有变化。

      因此可以得出结论:信号周期加大,对增幅的收敛性没有影响,但是会使谱线的密度加大。当T趋近于无穷大时,信号成为非周期信号,谱线幅值无穷小,谱线密度加大,谱线称为连续谱线

    2. 改变周期方波信号的脉冲宽度 τ \tau τ,保持周期不变,其频谱变化如下

      观察谱线可以看出:

      • 随着脉冲宽度下降,由 C n = A τ T S a ( n Ω τ 2 ) C_n=\frac{A\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega \tau}{2}) Cn=TAτSa(2nΩτ)可知,Sa函数的尺度扩大,即零点的出现逐渐向后推迟。
      • 收敛性变差,这是因为Sa函数的尺度逐渐变大导致的。
      • 谱线的间隔不变,因为Sa函数中自变量的$n\Omega $没有改变。

      因此可以得出结论:信号的宽度变小,信号的收敛性变差,谱线的间隔不变,且信号的能量向高频扩散

    问题:什么是信号的频带?

    由于信号在频谱上的收敛性,可以将信号分量主要集中的频率区间作为主要研究对象,用来研究信号的特性,这部分频率区间称为信号的频带

    定义频带有很多种方式,如:

    1. 以信号最大幅度的1/10为限,其它部分忽略不计。
    2. 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限,零点以外部分忽略不计。
    3. 以包含信号总能量的90%处为限,其余部分忽略不计。

    如果信号的边沿变化的越快,则信号的频带越宽,也就是说包含的交流分量在幅值上随着频率的增加收敛的更慢。

    问题:周期方波脉冲的幅值为什么出现了负值?

    事实上,对于复指数形式的傅里叶级数的频谱而言,其幅值应该为 C n C_n Cn的绝对值,即 ∣ C n ∣ |C_n| Cn来表示。但是由复变函数相关的内容可知,虚数往往意味着旋转,通常在复平面上,纵轴为虚轴坐标,横轴为实数坐标。对于一个实数信号来说,其幅值为实数,其幅值对应的相位只可能出现在实数坐标上,即相位仅可能是 π \pi π − π -\pi π。因此,对于实数信号而言,仅需关心相位的符号即可。而Sa函数中,正好体现了幅值分量对应的相位符号。因此,可以用一副频谱图,体现相位、相位大小以及幅值大小等信息,无需再对相位进行求解。

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  • 信号与系统(3)——周期矩形脉冲信号频谱及特点

    万次阅读 多人点赞 2020-03-22 09:37:04
    由此式可得知,该信号频谱谱线大致按照采样函数(Sa(t))形状分布。 谱线及特点 周期矩形脉冲信号的频谱由下图所示: 观察该谱线可得如下特点: 频谱为离散谱线 谱线幅度以 Sa(kω0τ/2) 为包络线变化 在 ω = 2mπ...

    周期矩形脉冲

    周期矩形
    如图所示信号为脉冲宽度τ,脉冲幅度A,周期为T的周期矩形脉冲信号。

    傅里叶变换推导

    上述周期矩形脉冲信号的傅里叶系数推导方式如下:
    推导
    由此式可得知,该信号频谱谱线大致按照采样函数(Sa(t))形状分布。

    谱线及特点

    周期矩形脉冲信号的频谱由下图所示:
    幅度谱
    观察该谱线可得如下特点:
    频谱为离散谱线
    谱线幅度以 Sa(kω0τ/2) 为包络线变化
    在 ω = 2mπ/τ 处过零点
    主频带宽度为: Bω = 2π / τ

    变化关系

    1. T不变 τ减小时:

    在这里插入图片描述
    普线间距不变,但每两个零点间距离增大。

    2. τ一定 T增大

    在这里插入图片描述
    频谱变密,幅度减小。
    由此可推出,周期无限长时,信号变为非周期信号,谱线由离散谱变为连续谱。

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  • 基于MATLAB仿真的连续信号频谱分析.doc.doc实验十:基于MATLAB仿真的连续信号频谱分析一、实验目的1、学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶变换;2、学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图。二、实验原理1、周期...

    基于MATLAB仿真的连续信号频谱分析.doc.doc

    实验十:基于MATLAB仿真的连续信号频谱分析

    一、实验目的

    1、学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶变换;

    2、学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图。

    二、实验原理

    1、周期信号的分解

    根据傅里叶级数的原理,任何周期信号都可以表示为三角级数的组合称为f(t)的傅

    合成波形所包含的谐波分量越多,除间断点附近外,它越接近于原波形,在间断点附近,即使合成的波形所含谐波次数足够多,也仍存在约9%的偏【示例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz,幅度为3的MATLAB程序如下:

    clear all;

    fs=5000;

    t=0:1/fs:0.1;

    f0=50;sum=0;

    subplot(211)

    for n=1:2:9

    plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),'k');

    hold on;

    end

    title('信号叠加前');

    subplot(212)

    for n=1:2:9;

    sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);

    end

    plot(t,sum,'k')

    10.1所示。

    2、非周期信号的频谱分析

    信号的傅里叶变换定义为

    (.1)

    傅里叶反变换定义为

    (.2)

    信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法。

    (1) MATLAB符号运算求解法

    MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换和傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。傅里叶变换的语句格式分为三种。

    F=fourier(f );表示符号函数f的Fourier变换,默认返回是关于的函数。

    F=fourier(f ,v);表示返回函数F是关于符号对象v的函数,而不是默认的,即。

    F=fourier(f ,u,v); 是对关于u的函数f进行变换,返回函数F是关于v的函数,即。

    类似的,傅里叶反变换的语句格式也分为三种。

    要注意的是,函数fourier( )及ifoureir( )都是接收由sym函数所定义的符号变量或者符号表达式。【2】用MATLAB符号运算求解法求单边指数信号的傅里叶变换。

    解:MATLAB源程序为

    >> ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');

    >> Fw=fourier(ft)

    运行结果为

    Fw =

    1/(2+i*w)

    (2) 连续时间信号的频谱图

    信号f(t)的傅里叶变换表达了信号在处的频谱密度分布情况,这就是信号的傅里叶变换的物理意义。一般是复函数,可以表示为。我们把与曲线分别称为非周期信号的幅度频谱和相位频谱。

    【3】用MATLAB命令绘制单边指数信号幅度谱和相位谱。

    解:MATLAB源程序为

    ft=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)');

    Fw=fourier(ft);

    subplot(211)

    ezplot(abs(Fw),[-2*pi,2*pi]),grid on

    title('幅度谱')

    phase=atan(imag(Fw)/real(Fw));

    subplot(212)

    ezplot(phase,[-2*pi,2*pi]),grid on

    title('相位谱')

    程序运行结果如图.2所示。

    (3)MATLAB数值计算求解法

    Fourier( )和ifourier( )函数的一个局限性是,如果返回函数中有诸如狄拉克函数等项,则用ezplot( )函数无法作图。对某些信号求变换时,其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子,甚至可能出现提示“未被定义的函数或变量”,因而也不能对其返回函数作图。此外,在很多实际情况中,尽管信号是连续的,但经过抽样所获得的信号则是离散的数值量,因此无法表示成符号表达式,此时不能应用Fourier( )函数对进行处理,而只能用数值计算法来近似求解。下面介绍傅里叶变换的数值计算法。

    从傅里叶变换定义出发,有

    (3)

    当足够小时,上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号,或者在所研究的时间范围内衰减到足够小,上式可研究有限n的取值。假设是因果信号,则有

    (4)

    对(4)式的角频率进行离散化,假设离散化后得到N个样值,即

    , (5)

    因此有

    采用行向量,用矩阵表示为

    (6)

    式(6)提供了用MATLAB实

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  • 周期信号可以看作为周期是无穷大的周期信号,从这一思想出发,可以在周期信号频谱分析的基础上研究非周期信号的频谱。在讨论矩形脉冲信号的频谱时,我们以及指出,当τ\tauτ不变而增大周期T0T_0T0​时,随着T0T_0...

    非周期信号的频谱分析

    非周期信号可以看作为周期是无穷大的周期信号,从这一思想出发,可以在周期信号频谱分析的基础上研究非周期信号的频谱。在讨论矩形脉冲信号的频谱时,我们以及指出,当 τ \tau τ不变而增大周期 T 0 T_0 T0时,随着 T 0 T_0 T0的增大,谱线将越来越密,同时谱线的幅度将越来越小。如果 T 0 T_0 T0趋于无穷大时,则周期矩形脉冲信号将演变成非周期的矩形脉冲信号,可以预料,此时谱线会无限密集而演变成为连续的频谱,但与此同时,谱线的幅度将趋于零而变成无穷小量。为了避免在一系列无穷小量中讨论频谱关系,考虑 T 0 X ( n w 0 ) T_0X(nw_0) T0X(nw0)这一物理量,由于 T 0 T_0 T0因子的存在,克服了 T 0 T_0 T0 X ( n w 0 ) X(nw_0) X(nw0)的影响。这时有 T 0 X ( n w 0 ) = 2 π X ( n w 0 ) w 0 T_0X(nw_0)=\frac{2\pi X(nw_0)}{w_0} T0X(nw0)=w02πX(nw0),即 T 0 X ( n w 0 ) T_0X(nw_0) T0X(nw0)含有单位角频率所具有的复频谱的物理意义,故称为频谱密度函数,简称为频谱。

    (一)从傅里叶级数到傅里叶变换

    现在按上述思想建立非周期信号的频谱表示。考虑如下图所示的一个一般的非周期信号 x ( t ) x(t) x(t),它具有有限持续期,即 ∣ t ∣ > T 1 |t|>T_1 t>T1时, x ( t ) = 0 x(t)=0 x(t)=0。从这个非周期信号出发,构造一个周期信号 x ^ ( t ) \hat x(t) x^(t),使 x ^ ( t ) \hat x(t) x^(t) x ( t ) x(t) x(t)进行周期为 T 0 T_0 T0的周期性延拓的结果。

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    对于周期信号 x ^ ( t ) \hat x(t) x^(t),可以展开成指数形式的傅里叶级数
    x ^ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ X ^ ( n w 0 ) e j n w 0 t (1) \hat x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat X(nw_0)e^{jnw_0t} \tag{1} x^(t)=n=X^(nw0)ejnw0t(1)
    其中
    X ^ ( n w 0 ) = 1 T 0 ∫ − T 0 2 T 0 2 x ^ ( t ) e − j n w 0 t d t \hat X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\hat x(t)e^{-jnw_0t}dt X^(nw0)=T012T02T0x^(t)ejnw0tdt
    考虑 T 0 X ^ ( n w 0 ) T_0\hat X(nw_0) T0X^(nw0),并且由于在区间 − T 0 2 ≤ t ≤ T 0 2 -\frac{T_0}{2}\leq t\leq \frac{T_0}{2} 2T0t2T0 x ^ ( t ) = x ( t ) \hat x(t)=x(t) x^(t)=x(t),则
    T 0 X ^ ( n w 0 ) = ∫ − T 0 2 T 0 2 x ( t ) e − j n w 0 t d t (2) T_0\hat X(nw_0)=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jnw_0t}dt \tag{2} T0X^(nw0)=2T02T0x(t)ejnw0tdt(2)
    T 0 → ∞ T_0\to \infty T0时, x ^ ( t ) → x ( t ) , X ^ ( n w 0 ) → X ( n w 0 ) , w 0 → d w , n w 0 → w ( 连 续 量 ) \hat x(t)\to x(t),\hat X(nw_0)\to X(nw_0),w_0\to dw,nw_0\to w(连续量) x^(t)x(t),X^(nw0)X(nw0),w0dw,nw0w() T 0 X ( n w 0 ) T_0X(nw_0) T0X(nw0)成为连续的频谱密度函数,记为 X ( w ) X(w) X(w),式(2)变为
    X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t (3) X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt \tag{3} X(w)=x(t)ejwtdt(3)
    而式(1)变为
    x ( t ) = l i m T 0 → ∞ ∑ n = − ∞ ∞ X ^ ( n w 0 ) e j n w 0 t = l i m T 0 → ∞ ∑ n = − ∞ ∞ T 0 X ^ ( n w 0 ) e j n w 0 t 1 T 0 = l i m T 0 → ∞ ∑ n = − ∞ ∞ 1 2 π T 0 X ^ ( n w 0 ) e j n w 0 t w 0 x(t)=lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat X(nw_0)e^{jnw_0t}=lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}T_0\hat X(nw_0)e^{jnw_0t}\frac{1}{T_0} \\ =lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}T_0\hat X(nw_0)e^{jnw_0t}w_0 x(t)=limT0n=X^(nw0)ejnw0t=limT0n=T0X^(nw0)ejnw0tT01=limT0n=2π1T0X^(nw0)ejnw0tw0
    显然有
    x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) e j w t d w (4) x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{jwt}dw \tag{4} x(t)=2π1X(ω)ejwtdw(4)
    式(3)和式(4)构成了傅里叶变换对,通常表示成
    F [ x ( t ) ] = X ( w ) F − 1 [ X ( w ) ] = x ( t ) F[x(t)] =X(w) \quad F^{-1}[X(w)]=x(t) F[x(t)]=X(w)F1[X(w)]=x(t)
    式(3)为傅里叶变换式,它将连续时间函数 x ( t ) x(t) x(t)变换为频率的连续函数 X ( w ) X(w) X(w),因此 X ( w ) X(w) X(w)称为 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶变换。如前所述, X ( w ) X(w) X(w)是频谱密度函数,为一复函数,即 X ( w ) = ∣ X ∣ e j φ ( w ) X(w)=|X|e^{j\varphi(w)} X(w)=Xejφ(w),其模 ∣ X ( w ) ∣ |X(w)| X(w)称为幅度频谱,幅角 φ ( w ) \varphi(w) φ(w)称为相位频谱,它在频域描述了信号的基本特征,因而是非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式。而式(4)为傅里叶反变换式,它把连续频率函数 X ( w ) X(w) X(w)变换为连续时间函数 x ( t ) x(t) x(t),表明一个非周期信号是由频率为无限密集,幅度 X ( w ) ( d w 2 π ) X(w)(\frac{dw}{2\pi}) X(w)(2πdw)等于无限小的无限多的复指数信号 e j w t e^{jwt} ejwt线性组合而成。

    式(4)也可以写成三角形式
    x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( w ) e j w t d w = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( w ) ∣ e j [ w t + φ ( w ) ] d w = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( w ) ∣ c o s [ w t + φ ( w ) ] d w + j 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( w ) ∣ s i n [ w t + φ ( w ) ] d w x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(w)e^{jwt}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|e^{j[wt+\varphi(w)]}dw \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|cos[wt+\varphi(w)]dw+\frac{j}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|sin[wt+\varphi(w)]dw x(t)=2π1X(w)ejwtdw=2π1X(w)ej[wt+φ(w)]dw=2π1X(w)cos[wt+φ(w)]dw+2πjX(w)sin[wt+φ(w)]dw
    由于 ∣ X ( w ) ∣ |X(w)| X(w)是w的偶函数, φ ( w ) \varphi(w) φ(w)是w的奇函数,故上式的第一个积分的被积函数是w的偶函数,第二个积分的被积函数是w的奇函数,因此有
    x ( t ) = 1 π ∫ 0 ∞ ∣ X ( w ) ∣ c o s [ w t + φ ( w ) ] d w x(t)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}|X(w)|cos[wt+\varphi(w)]dw x(t)=π10X(w)cos[wt+φ(w)]dw
    表明一个非周期信号包含了频率从零到无限大的一切频率的余弦分量,而各分量的振幅 1 π ∣ X ( w ) ∣ d w \frac{1}{\pi}|X(w)|dw π1X(w)dw是无穷小量,因此与周期信号不同,其频谱不能用幅度表示,而用频谱密度函数来表示, ∣ X ( w ) ∣ |X(w)| X(w)可以看作为单位频率的振幅。

    上面傅里叶变换的推导是由傅里叶级数演变来的,可以预料,一个函数 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶变换是否存在应该看它是否满足狄利赫里条件,现在重新列出任意非周期函数 x ( t ) x(t) x(t)存在傅里叶变换 X ( w ) X(w) X(w)的狄利赫里条件如下:

    1) x ( t ) x(t) x(t)在无线区间内是绝对可积的,即
    ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt<\infty x(t)dt<
    2)在任意有限区间内, x ( t ) x(t) x(t)只有有限个不连续点,在这些点上函数取有限值。

    3)在任意有限区间内, x ( t ) x(t) x(t)只有有限个极大值和极小值。

    上述条件只是充分条件,倘若在变换中可以引入冲激函数或极限处理,那么在一个无限区间内不绝对可积的信号也可以认为具有傅里叶变换。

    (二)常见非奇异信号的频谱

    1. 矩形脉冲信号

    g ( t ) = { E ∣ t ∣ < τ 2 0 ∣ t ∣ > τ 2 g(t)= \begin{cases} E & |t|<\frac{\tau}{2}\\ 0 & |t|>\frac{\tau}{2} \end{cases} g(t)={E0t<2τt>2τ

    式中,E为脉冲幅度; τ \tau τ为脉冲宽度

    其傅里叶变换为
    X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ g ( t ) e − j w t d t = ∫ − τ 2 τ 2 E e − j w t d t = E τ S a ( w τ 2 ) X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Ee^{-jwt}dt=E\tau Sa(\frac{w\tau}{2}) X(w)=g(t)ejwtdt=2τ2τEejwtdt=EτSa(2wτ)
    因为 X ( w ) X(w) X(w)为一实函数,通常可用一条 X ( w ) X(w) X(w)曲线同时表示幅度频谱和相位频谱,如图所示,

    与周期矩形脉冲的频谱图相比可以看出,单矩形脉冲的频谱 X ( w ) X(w) X(w)与周期矩形脉冲频谱 X ( n w 0 ) X(nw_0) X(nw0)的包络线形状完全相同,这正是由于将非周期的单矩形脉冲看作为周期是无穷大的周期矩形脉冲,从而其频谱由周期矩形脉冲的离散频谱演变为连续频谱的结果。另一方面, X ( w ) X(w) X(w) X ( n w 0 ) X(nw_0) X(nw0)乘上因子 T 0 T_0 T0的结果,这是由于两者的不同定义决定的。

    由于单脉冲信号与周期性脉冲信号的频谱存在上述联系,所以周期信号频谱的某些特点在单脉冲信号中仍有保留。单脉冲信号的频谱也具有收敛性,它的大部分能量集中在一个有限的频率范围内,常取从零频率到第一零值频率之间的频段为信号的频率宽度 w b w_b wb,即 w b = 2 π τ w_b=\frac{2\pi}{\tau} wb=τ2π.

    显然,矩形脉冲越窄,它的频带宽度越宽。

    1. 单边指数信号

    x ( t ) = { e − a t t > 0 , a > 0 0 t < 0 x(t)= \begin{cases} e^{-at} & t>0,a>0 \\ 0 & t<0 \end{cases} x(t)={eat0t>0,a>0t<0

    其傅里叶变换为
    X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t = ∫ 0 ∞ e − a t e − j w t d t = 1 a + j w X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt=\int_0^{\infty}e^{-at}e^{-jwt}dt=\frac{1}{a+jw} X(w)=x(t)ejwtdt=0eatejwtdt=a+jw1
    幅频和相频分别为 ∣ X ( w ) ∣ = 1 a 2 + w 2 |X(w)|=\frac{1}{\sqrt{a^2+w^2}} X(w)=a2+w2 1 φ ( w ) = − a r c t a n ( w a ) \varphi(w)=-arctan(\frac{w}{a}) φ(w)=arctan(aw)

    1. 双边指数信号
      x ( t ) = e − a ∣ t ∣ a > 0 x(t)=e^{-a|t|} \quad a>0 x(t)=eata>0

    傅里叶变化为
    X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ e − a ∣ t ∣ e − j w t d t = ∫ − ∞ 0 e − a t e − j w t d t + ∫ 0 ∞ e a t e − j w t d t = 2 a a 2 + w 2 X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^0e^{-at}e^{-jwt}dt+\int_0^{\infty}e^{at}e^{-jwt}dt = \frac{2a}{a^2+w^2} X(w)=eatejwtdt=0eatejwtdt+0eatejwtdt=a2+w22a
    X ( w ) X(w) X(w)是实数, φ ( w ) = 0 \varphi(w)=0 φ(w)=0,如下图。

    1. 双边奇指数信号及其频谱

    x ( t ) = { − e a t t < 0 , a > 0 e − a t t > 0 , a > 0 x(t)= \begin{cases} -e^{at} & t<0,a>0 \\ e^{-at} & t>0,a>0 \end{cases} x(t)={eateatt<0,a>0t>0,a>0

    其傅里叶变换
    X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t = ∫ − ∞ 0 ( − e a t e − j w t ) d t + ∫ 0 ∞ e − a t e − j w t d t = − j 2 w a 2 + w 2 X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^0(-e^{at}e^{-jwt})dt+\int_0^{\infty}e^{-at}e^{-jwt}dt = -j\frac{2w}{a^2+w^2} X(w)=x(t)ejwtdt=0(eatejwt)dt+0eatejwtdt=ja2+w22w
    其幅频和相频分别为
    ∣ X ( w ) ∣ = 2 ∣ w ∣ a 2 + w 2 |X(w)|=\frac{2|w|}{a^2+w^2} X(w)=a2+w22w

    φ ( w ) = { π 2 w < 0 − π 2 w > 0 \varphi(w)= \begin{cases} \frac{\pi}{2} & w<0 \\ -\frac{\pi}{2} & w>0 \end{cases} φ(w)={2π2πw<0w>0

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周期性连续信号的频谱