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  • weber是什么
    2022-02-04 13:11:21

    Fermat-Weber Problem

    给定 R n \mathbb{R}^n Rn中的 m m m个点: a 1 , ⋯   , a m \mathbf{a}_{1},\cdots,\mathbf{a}_m a1,,am,也叫做锚点

    然后 m m m个权重 ω 1 , ⋯   , ω m > 0 \omega_1,\cdots,\omega_m>0 ω1,,ωm>0,找到一个点,使得加权距离最近,即
    min ⁡ x ∈ R n { f ( x ) = ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ } \min_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n}\left\{f\left(\mathbf{x}\right)=\sum_{i=1}^{m}\omega_{i}\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\|\right\} xRnmin{f(x)=i=1mωixai}
    求驻点
    ∇ f ( x ) = 0 \nabla f\left(\mathbf{x}\right)=0 f(x)=0

    ∑ i = 1 m ω i x − a i ∥ x − a i ∥ = 0 \sum_{i=1}^{m}\omega_{i}\frac{\mathbf{x}-\mathbf{a}_i}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|}=0 i=1mωixaixai=0
    于是
    x = 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ ∑ i = 1 m ω i a i ∥ x − a i ∥ \mathbf{x}=\frac{1}{\sum_{i=1}^{m}\frac{\omega_{i}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|}}\sum_{i=1}^{m}\frac{\omega_{i}\mathbf{a}_i}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|} x=i=1mxaiωi1i=1mxaiωiai

    T ( x ) = 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ ∑ i = 1 m ω i a i ∥ x − a i ∥ T\left(\mathbf{x}\right)=\frac{1}{\sum_{i=1}^{m}\frac{\omega_{i}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|}}\sum_{i=1}^{m}\frac{\omega_{i}\mathbf{a}_i}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|} T(x)=i=1mxaiωi1i=1mxaiωiai
    于是问题就转为 x = T ( x ) \mathbf{x}=T\left(\mathbf{x}\right) x=T(x)
    这就是在找不动点
    x k + 1 = T ( x k ) \mathbf{x}_{k+1}=T\left(\mathbf{x}_k\right) xk+1=T(xk)

    Weiszfeld’s Method

    初始化:选一个点 x 0 ∈ R n \mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n x0Rn,使得 x 0 ≠ a 1 , ⋯   , a m \mathbf{x}_0\neq \mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_m x0=a1,,am
    步骤:
    x k + 1 = T ( x k ) = 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x k − a i ∥ ∑ i = 1 m ω i a i ∥ x k − a i ∥ \mathbf{x}_{k+1}=T\left(\mathbf{x}_{k}\right)=\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}} \sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i} \mathbf{a}_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|} xk+1=T(xk)=i=1mxkaiωi1i=1mxkaiωiai

    Weiszfeld’s Method是一个梯度方法,因为
    x k + 1 = 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x k − a i ∥ ∑ i = 1 m ω i a i ∥ x k − a i ∥ = x k − 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x k − a i ∥ ∑ i = 1 m ω i x k − a i ∥ x k − a i ∥ = x k − 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x k − a i ∥ ∇ f ( x k ) \begin{aligned} \mathbf{x}_{k+1}&=\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}} \sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i} \mathbf{a}_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}\\ &=\mathbf{x}_{k}-\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}} \sum_{i=1}^{m} \omega_{i}\frac{ \mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}\\ &=\mathbf{x}_{k}-\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}}\nabla f\left(\mathbf{x}_{k}\right) \end{aligned} xk+1=i=1mxkaiωi1i=1mxkaiωiai=xki=1mxkaiωi1i=1mωixkaixkai=xki=1mxkaiωi1f(xk)
    步长为
    t k = 1 ∑ i = 1 m ω i ∥ x k − a i ∥ t_k=\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} \frac{\omega_{i}}{\left\|\mathbf{x}_{k}-\mathbf{a}_{i}\right\|}} tk=i=1mxkaiωi1

    收敛性

    做辅助函数
    h ( y , x ) = ∑ i = 1 m ω i ∥ y − a i ∥ 2 ∥ x − a i ∥ , y ∈ R n , x ∈ R n \ A h\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right)=\sum_{i=1}^{m}\omega_i\frac{\|\mathbf{y}-\mathbf{a}_i\|^2}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|},\quad \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n,\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\backslash\mathscr{A} h(y,x)=i=1mωixaiyai2,yRn,xRn\A
    其中 A = { a 1 , ⋯   , a m } \mathscr{A}=\left\{\mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_m\right\} A={a1,,am}

    引理1

    ∀ x ∈ R n \ A \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\backslash \mathscr{A} xRn\A,有
    T ( x ) = arg ⁡ min ⁡ y { h ( y , x ) : y ∈ R n } T\left(\mathbf{x}\right)=\arg\min_{\mathbf{y}}\left\{h\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right):\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\right\} T(x)=argymin{h(y,x):yRn}

    证明:
    如果我们固定 x \mathbf{x} x,只考虑 y \mathbf{y} y
    则海森矩阵 ( ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ ) I ≻ 0 \left(\sum_{i=1}^{m}\frac{\omega_{i}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\| }\right)\mathbf{I}\succ 0 (i=1mxaiωi)I0
    所以驻点 y ∗ \mathbf{y}^* y就是唯一 全局最大值点
    ∇ y h ( y ∗ , y ) = 0 \nabla_{y}h\left(\mathbf{y}^*,\mathbf{y}\right)=0 yh(y,y)=0
    于是
    2 ∑ i = 1 m ω i y ∗ − a i ∥ x − a i ∥ = 0 2\sum_{i=1}^{m}\omega_i\frac{\mathbf{y}^*-\mathbf{a}_i}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|}=0 2i=1mωixaiyai=0
    所以 y ∗ = T ( x ) \mathbf{y}^*=T\left(\mathbf{x}\right) y=T(x)
    因此
    x k + 1 = arg ⁡ min ⁡ { h ( x , x k ) : x ∈ R n } \mathbf{x}_{k+1}=\arg\min\left\{h\left(\mathbf{x},\mathbf{x}_k\right):\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\right\} xk+1=argmin{h(x,xk):xRn}

    引理2

    如果 x ∈ R n \ A \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\backslash \mathscr{A} xRn\A,则
    (a) h ( x , x ) = f ( x ) h\left(\mathbf{x},\mathbf{x}\right)=f\left(\mathbf{x}\right) h(x,x)=f(x)
    (b) ∀ y ∈ R n , h ( y , x ) ≥ 2 f ( y ) − f ( x ) \forall \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n,h\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right)\ge 2f\left(\mathbf{y}\right)-f\left(\mathbf{x}\right) yRn,h(y,x)2f(y)f(x)
    ( c ) (c) (c) f ( T ( x ) ) ≤ f ( x ) f\left(T\left(\mathbf{x}\right)\right)\le f\left(\mathbf{x}\right) f(T(x))f(x),当且仅当 x = T ( x ) \mathbf{x}=T\left(\mathbf{x}\right) x=T(x)时, f ( T ( x ) ) = f ( x ) f\left(T\left(\mathbf{x}\right)\right)= f\left(\mathbf{x}\right) f(T(x))=f(x)
    (d)当且仅当 ∇ f ( x ) = 0 \nabla f\left(\mathbf{x}\right)=0 f(x)=0时, x = T ( x ) \mathbf{x}=T\left(\mathbf{x}\right) x=T(x)

    证明:
    (a)
    h ( x , x ) = ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ 2 ∥ x − a i ∥ = ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ = f ( x ) h\left(\mathbf{x},\mathbf{x}\right)=\sum_{i=1}^{m}\omega_{i}\frac{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|^2}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|}=\sum_{i=1}^{m}\omega_{i}\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_i\|=f\left(\mathbf{x}\right) h(x,x)=i=1mωixaixai2=i=1mωixai=f(x)
    (b)
    利用基本不等式
    ∀ a ∈ R + , b ∈ R + + , a 2 b ≥ 2 a − b \forall a\in\mathbb{R}_{+},b\in\mathbb{R}_{++},\frac{a^2}{b}\ge 2a-b aR+,bR++,ba22ab
    于是
    ∥ y − a i ∥ 2 ∥ x − a i ∥ ≥ 2 ∥ y − a i ∥ − ∥ x − a i ∥ \frac{\left\|\mathbf{y}-\mathbf{a}_{i}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\right\|} \geq 2\left\|\mathbf{y}-\mathbf{a}_{i}\right\|-\left\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\right\| xaiyai22yaixai
    同乘 ω i \omega_{i} ωi后求和
    ∑ i = 1 m ω i ∥ y − a i ∥ 2 ∥ x − a i ∥ ≥ 2 ∑ i = 1 m ω i ∥ y − a i ∥ − ∑ i = 1 m ω i ∥ x − a i ∥ \sum_{i=1}^{m} \omega_{i} \frac{\left\|\mathbf{y}-\mathbf{a}_{i}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\right\|} \geq 2 \sum_{i=1}^{m} \omega_{i}\left\|\mathbf{y}-\mathbf{a}_{i}\right\|-\sum_{i=1}^{m} \omega_{i}\left\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_{i}\right\| i=1mωixaiyai22i=1mωiyaii=1mωixai
    所以
    h ( y , x ) ≥ 2 f ( y ) − f ( x ) h\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right)\ge 2f\left(\mathbf{y}\right)-f\left(\mathbf{x}\right) h(y,x)2f(y)f(x)
    ( c ) (c) (c)
    因为 T ( x ) = arg ⁡ min ⁡ y ∈ R n h ( y , x ) T\left(\mathbf{x}\right)=\arg\min_{\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n}h\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right) T(x)=argminyRnh(y,x)
    h ( T ( x ) , x ) ≤ h ( x , x ) = f ( x ) h\left(T\left(\mathbf{x}\right),\mathbf{x}\right)\le h\left(\mathbf{x},\mathbf{x}\right)=f\left(\mathbf{x}\right) h(T(x),x)h(x,x)=f(x)
    接着
    h ( T ( x ) , x ) ≥ 2 f ( T ( x ) ) − f ( x ) h\left(T\left(\mathbf{x}\right),\mathbf{x}\right)\ge2f\left( T\left(\mathbf{x}\right)\right)-f\left(\mathbf{x}\right) h(T(x),x)2f(T(x))f(x)
    于是 f ( T ( x ) ) ≤ f ( x ) f\left(T\left(\mathbf{x}\right)\right)\le f\left(\mathbf{x}\right) f(T(x))f(x)

    如果 x = T ( x ) \mathbf{x}=T\left(\mathbf{x}\right) x=T(x),显然 f ( T ( x ) ) = f ( x ) f\left(T\left(\mathbf{x}\right)\right)= f\left(\mathbf{x}\right) f(T(x))=f(x)

    如果 f ( T ( x ) ) = f ( x ) f\left(T\left(\mathbf{x}\right)\right)= f\left(\mathbf{x}\right) f(T(x))=f(x)
    则利用上面两个不等式
    h ( x , x ) = f ( x ) = h ( T ( x ) , x ) h\left(\mathbf{x},\mathbf{x}\right)=f\left(\mathbf{x}\right)=h\left(T\left(\mathbf{x}\right),\mathbf{x}\right) h(x,x)=f(x)=h(T(x),x)
    又因为 arg ⁡ min ⁡ y ∈ R n h ( y , x ) \arg\min_{\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n}h\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right) argminyRnh(y,x)的唯一最小值点是 T ( x ) T\left(\mathbf{x}\right) T(x)
    所以 x = T ( x ) \mathbf{x}=T\left(\mathbf{x}\right) x=T(x)
    (d)显然

    引理3

    假设 { x k } k ≥ 0 \left\{\mathbf{x}_{k}\right\}_{k\ge 0} {xk}k0为Weiszfeld’s method产生的序列
    假设 ∀ k ≥ 0 , x k ∉ A \forall k\ge 0,\mathbf{x}_{k}\notin\mathscr{A} k0,xk/A

    (a) { f ( x k ) } \left\{ f\left(\mathbf{x}_{k}\right)\right\} {f(xk)}单调不增: ∀ k ≥ 0 , f ( x k + 1 ) ≤ f ( x k ) \forall k\ge 0,f\left(\mathbf{x}_{k+1}\right)\le f\left(\mathbf{x}_{k}\right) k0,f(xk+1)f(xk)
    (b)对于任意k, f ( x k ) = f ( x k + 1 ) f\left(\mathbf{x}_{k}\right)=f\left(\mathbf{x}_{k+1}\right) f(xk)=f(xk+1)当且仅当 ∇ f ( x k ) = 0 \nabla f\left(\mathbf{x}_k\right)=0 f(xk)=0

    证明:
    (a)利用引理2中的 ( c ) (c) (c),显然成立
    (b)利用引理2中的 ( c ) (c) (c) f ( x k ) = f ( x k + 1 ) = f ( T ( x k ) ) f\left(\mathbf{x}_{k}\right)=f\left(\mathbf{x}_{k+1}\right)=f\left(T\left(\mathbf{x}_{k}\right)\right) f(xk)=f(xk+1)=f(T(xk))当且仅当 x k = x k + 1 = T ( x k ) \mathbf{x}_{k}=\mathbf{x}_{k+1}=T\left(\mathbf{x}_{k}\right) xk=xk+1=T(xk)
    再利用引理2中的(d),所以成立

    定理

    假设 { x k } k ≥ 0 \left\{\mathbf{x}_{k}\right\}_{k\ge 0} {xk}k0为Weiszfeld’s method产生的序列
    假设 f ( x 0 ) < min ⁡ { f ( a 1 ) , ⋯   , f ( a m ) } f\left(\mathbf{x}_0\right)<\min\left\{f\left(\mathbf{a}_1\right),\cdots,f\left(\mathbf{a}_m\right)\right\} f(x0)<min{f(a1),,f(am)}
    { x k } k ≥ 0 \left\{\mathbf{x}_{k}\right\}_{k\ge 0} {xk}k0的极限点是 f f f的驻点

    证明:
    假设 { x k } k ≥ 0 \left\{\mathbf{x}_{k}\right\}_{k\ge 0} {xk}k0收敛到 x ∗ \mathbf{x}^* x,则
    f ( x ∗ ) ≤ f ( x 0 ) < min ⁡ { f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , … , f ( a m ) } f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \leq f\left(\mathbf{x}_{0}\right)<\min \left\{f\left(\mathbf{a}_{1}\right), f\left(\mathbf{a}_{2}\right), \ldots, f\left(\mathbf{a}_{m}\right)\right\} f(x)f(x0)<min{f(a1),f(a2),,f(am)}

    n → ∞ n\to \infty n时, x k n + 1 = T ( x k n ) → T ( x ∗ ) \mathbf{x}_{k_{n}+1}=T\left(\mathbf{x}_{k_{n}}\right)\to T\left(\mathbf{x}^{*}\right) xkn+1=T(xkn)T(x)

    { f ( x k ) } k ≥ 0 \left\{ f\left(\mathbf{x}_{k}\right)\right\}_{k\ge 0} {f(xk)}k0单调递减,有下界0,所以收敛到 f ∗ f^* f
    于是 f ( T ( x ∗ ) ) = f ( x ∗ ) = f ∗ f\left( T\left(\mathbf{x}^*\right)\right)=f\left(\mathbf{x}^*\right)=f^* f(T(x))=f(x)=f,
    根据引理3的(d), ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(\mathbf{x}^*\right)=0 f(x)=0

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