精华内容
下载资源
问答
  • b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²) 公式证明 ⒈迭代法: 我们知道: 0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n 1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2 2...

    展开全部

    a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(e68a84e8a2ad62616964757a686964616f31333365643661a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)

    =(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)

    a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)

    =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)

    公式证明

    ⒈迭代法:

    我们知道:

    0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

    1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

    2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式,此公式可由同种方法得出,取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1,迭代即得。

    取公式:(X+1)^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

    系数可由杨辉三角形来确定

    那么就得出:

    (N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

    N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1…………⑵

    (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1…………⑶

    …………

    2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………(n)

    于是⑴+⑵+⑶+……+(n)有

    左边=(N+1)^4-1

    右边=4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N

    所以:

    把以上这已经证得的三个公式代入

    4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N=(N+1)^4-1

    得4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

    移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

    等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

    1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

    立方和公式推导完毕

    1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

    2. 因式分解思想证明如下:

    a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b

    =a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

    =(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)

    展开全文
  • 通常写为:a²-b²=(a+b)x(a-b)它几何方法推导过程是这样:如下图所示,四边形ABCD四边形DEFG为正方形,边长分别为ab,求阴影部分面积。G老师纯手绘显然,阴影部分面积有2种求法。第一种方法阴影面积=大...

    平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。

    通常写为:a²-b²=(a+b)x(a-b)

    它的几何方法推导过程是这样的:

    如下图所示,四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,边长分别为a和b,求阴影部分面积。G老师纯手绘

    显然,阴影部分面积有2种求法。

    第一种方法

    阴影面积=大正方形面积-小正方形面积

    即,阴影面积=a²-b²

    第二种方法

    作两条辅助线,延长FG、EG,分别交线段AB、BC与点H、J。

    阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积

    跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。G老师纯手绘

    分别计算出三个四边形的边长后,

    我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。

    接下来,我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。

    即如下图所示,将③移到④后,G老师纯手绘,姑且认为和上边的图一样吧

    此刻,

    阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。

    阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。

    因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积,

    所以它们的结果是相等的。

    a²-b²=(a+b)x(a-b)

    当然,代数方法也可以证明。

    令A=(a+b),

    (a+b)x(a-b)

    =Ax(a-b)

    =Axa-Axb  (乘法分配律)

    =(a+b)xa-(a+b)xb(代入A=a+b)

    =a²+ab-ab-b²

    =a²-b²

    【例题】计算:48x52+37x43

    分析:48和52刚好都与50相差2,37和43刚好与40相差3。

    48x52+37x43

    =(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)

    =50²-2²+40²-3²

    =2500-4+1600-9

    =4087

    这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算,关键在于自己要熟练掌握,牢记于心,灵活运用。

    展开全文
  • 通常写为:a²-b²=(a+b)x(a-b)它几何方法推导过程是这样:如下图所示,四边形ABCD四边形DEFG为正方形,边长分别为ab,求阴影部分面积。纯手绘显然,阴影部分面积有2种求法。第一种方法阴影面积=大正方形...

    ​平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。
    通常写为:a²-b²=(a+b)x(a-b)

    它的几何方法推导过程是这样的:

    如下图所示,四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,边长分别为a和b,求阴影部分面积。

    4b2f58080dbfde194cef0c4fd78fce08.png
    纯手绘

    显然,阴影部分面积有2种求法。

    第一种方法

    阴影面积=大正方形面积-小正方形面积

    即,阴影面积=a²-b²

    第二种方法

    作两条辅助线,延长FG、EG,分别交线段AB、BC与点H、J。

    阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积

    跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。

    fc408acf53a38e10073c3ef6cf45af18.png
    纯手绘

    分别计算出三个四边形的边长后,

    我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。

    接下来,我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。

    即如下图所示,将③移到④后,

    d69f1fbe9cf82ddc1dc796bdbbe020ee.png
    纯手绘,就认为和上边的图一样吧

    此刻,
    阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。

    阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。

    因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积,

    所以它们的结果是相等的。

    a²-b²=(a+b)x(a-b)

    当然,代数方法也可以证明。

    令A=(a+b),

    (a+b)x(a-b)

    =Ax(a-b)

    =Axa-Axb (乘法分配律)

    =(a+b)xa-(a+b)xb(代入A=a+b)

    =a²+ab-ab-b²

    =a²-b²

    【例题】计算:48x52+37x43

    分析:48和52刚好都与50相差2,37和43刚好与40相差3。

    48x52+37x43

    =(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)

    =50²-2²+40²-3²

    =2500-4+1600-9

    =4087

    这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算,关键在于自己要熟练掌握,牢记于心,灵活运用。

    展开全文
  • 自然数立方和公式如下: 简记: 那么这...(2)推导平方和公式借助 方法与推导立方相同.接下去这种方法大家可以先看看下面这道STEP试题:【方法二】从(ii)可知: 于是把左边式子从 加到 可得: 于是, 因此, ...

    ae43f25410bb0fc1f769880d6311cf6f.png

    自然数立方和公式如下:

    简记:

    那么这个公式是怎么得到的呢?下面来说道说道

    【方法一】

    根据

    可知

    ……

    把左边的代数式全部加起来等于

    把右边的代数式全部加起来等于

    整理之后可知:

    注:
    (1)

    (2)推导平方和公式借助

    方法与推导立方和相同.

    接下去的这种方法大家可以先看看下面这道STEP试题:

    acd2cd13d07f396102517ef2a2f44fd0.png

    【方法二】

    从(ii)可知:

    于是把左边的式子从

    加到
    可得:

    于是,

    因此,

    前两种都是构造了

    之间的关系,下面这种就比较直接...

    【方法三】Mathematical Inducation

    时,
    成立;

    假设当

    时,

    时,

    ,得证,

    因此,

    下面这个证明有点厉害,就是看到还有这样的证明方法,忍不住来和大家分享一下,是《Proofs that Really Count》一书第8章Number Theory中的内容。

    【方法四】组合证明*

    7cb0ffa8ec26ac82f2cbeb461b62ceed.png
    图:《Proofs that Really Count》书中截图

    构造两个集合S与T:

    集合S中每一个元素都是一个从0到n自然数取值的四元数组,且最后一个数严格大于前三个数,即

    .

    对于每一个

    ,
    都有k种取值,因此
    .
    注:
    表示集合中元素个数.

    集合T中每一个元素都是有两个从0到n自然数取值的二元数组,且每个二元数组第二个数都严格大于第一个数,即

    .

    对于每一个

    ,
    都有
    种取值,所以
    一共有
    个,同理
    也有
    个.因此,
    .

    下证

    ,证明两个集合元素相等就是证明

    (1)

    考虑下面这个映射

    对于任意S中一个元素

    ,有以下三种情况:
    如果
    ,对应T中
    ;

    如果
    ,对应T中
    ;

    如果
    ,对应T中
    .

    因此,

    .

    (2)

    考虑下面这个映射

    对于任意T中一个元素

    ,有以下三种情况:
    如果
    ,对应S中
    ;

    如果
    ,对应S中
    ;

    如果
    ,对应S中
    .

    因此,

    .

    综上所述,

    于是

    这个构造有点强,确切的说,强的是有这样的意识去这样构造证明,很有趣。《Proofs that Really Count》这本书上还介绍了其它恒等式的证明,比如平方和公式

    ,大家感兴趣可以去看一下原书.

    下面还有一些其它的立方和的证明方法,比如数形结合,一看图就知道了,但不好描述,所以就不再赘述了,有兴趣大家可以看下面视频。

    【其它方法】

    如借助面积、体积来证明立方和公式的方法,详见下面B站视频:

    〔manim | 数学妙证〕自然数立方和公式的七种妙证 | manim-kindergarten合作视频

    c4a17a55c2a7bcc4cc9b204d58dcd271.png
    图:视频中某一种证法
    〔manim | 数学妙证〕自然数立方和公式的七种妙证 | manim-kindergarten合作视频_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibiliwww.bilibili.com
    7b53afb17a261df453a3fa891fba42c8.png

    申明:上述视频为转载,只为科普,侵权立删.

    如果还有其它有趣的证明方法,欢迎交流讨论~

    想了解其它数学知识,可参阅:

    双木止月Tong:国际数学竞赛及课程zhuanlan.zhihu.com
    dd09a500157366f582e57af68fe1ac57.png
    展开全文
  • 3.1平方差公式 教学目标 ①经历探索平方差公式的过程.... 教学重点与难点 重点:平方差公式的推导及应用. 难点:用公式的结构特征判断题目能否使用公式. 教学准备 卡片及多媒体课件 教学设计 引入 同学们.前面我...
  • 勾股数 是指满足 正整数,它们通用公式为 ,下边我从定义出发,利用平方差公式举例实验找规律,推导出这一通用公式。由 可知 当 为奇数时 全都是奇数;当 为偶数时 全都是偶数。( ,与 同奇同偶) 当 时...
  • 平方前n项和公式个人推导过程

    千次阅读 2020-05-06 10:17:15
    后来百度了之后,原来可以通过立方差公式简单求解,不过还是发表记录一下,当时自己一顿瞎推导
  • 根据多年的教学经验,我发现,同学们在,刚开始接触,这两个公式的时候,不能够灵活运用,遇到题目不知该从何下手。这里总结了一些平方公式完全平方公式,优质练习题,配有答案,图片也可以直接打印,...
  • 有关数学公式的证明很多,下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。(1)自然数的立方=自然数之的平方上述等式的左边为自然数的立方,等式的右边为自然数之的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明...
  • 有关数学公式的证明很多,下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。(1)自然数的立方=自然数之的平方上述等式的左边为自然数的立方,等式的右边为自然数之的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明...
  • 作者:经开区初中数学名师工作室主持人 张晨(乌鲁木齐市第126中学)一、教材分析本节内容来自新人教版八年级数学上册第十四章14.2.2 完全平方公式(第1节),主要讲述的是完全平方公式的推导和利用公式进行乘法运算....
  • 前几天看到一个问题“已知一个四面体六条棱长(假定棱长必定可以构成一个四面体),如何计算这个四面体体积”,但是当我进行了推导后写作后,目前找不到该问题了——如有人找到请告知,谢谢!实际上这个问题是...
  • 本期继续上期整式乘法因式分解章节中乘法公式考点2——完全平方公式完全平方公式是进行代数运算与变形重要知识基础,是整式乘法因式分解中常用到的公式。该考点考察方向主要是对完全平方公式原型...
  • 第一单元 小数乘法1、小数乘整数意义与整数乘法意义相同,就是求几个相同加数 的和的简便运算。如:1.2×5 表示 5 个 1.2 是多少。2、一个数乘纯小数意义就是求这个数十分之几、百分几、千分 之几……是多少...
  • 经历推导两角余弦公式的过程,知道两角余弦公式的意义;2.能从两角的余弦公式推导出两角的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;3.能运用上述公式进行简单的恒等...
  • 已知两点经纬度计算球面距离的公式,一搜一大堆,形式如下: 可是至于这个公式为什么是这样,今天推导了一下,详细推导过程如下。首先画个图(图1),要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致...
  • 温标是为了保证温度量值统一准确而建立一个用来衡量温度标准尺度。温标是用数值来表示温度一套规则,它确定了温度单位。各种温度计数值都是由温标决定。温度这个量比较特殊,它是利用一些物质相...
  • 1. 前言最近几天一直在学习矩阵知识,恶补了特征分解SVD算法,发现网上很多资料都是不全,所以想记录一下这里面特征分解推导过程+奇异值分解(SVD)推导过程要看懂下面方法,可以提前看矩阵一些基础知识...
  • 文中根据点在任意方向真误差协因数计算公式,利用极值条件中角度与坐标协因数之间关系,直接导出位极大值、极小值方向计算公式。该推导过程具有简单、直接等特点,有助于对该知识点掌握、理解应用。
  • 小数乘整数意义与整数乘法意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。如:1.2×5表示5个1.2是多少。2.一个数乘纯小数意义就是求这个数十分之几、百分几、千分之几……是多少。如:1.2×0.5表示求1.2...
  • 1. 有限分 Taylor Table这是在数值微分中常用的技巧。可以用等距网格中给定几个点的线性组合表示某一点处的微分,乃至高阶微分,并...现在问题来了:有时我们并不满足于已有公式的精度,想要在等式右边加入更多点...
  • 小数乘整数意义与整数乘法意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。如:1.2×5表示5个1.2是多少。2.一个数乘纯小数意义就是求这个数十分之几、百分几、千分之几……是多少。如:1.2×0.5表示求1.2...
  • 于茫茫书海中,为你寻找更适合自己成长有效资源那些锲入心灵文字。与高人交心,轻松学习,把时间留给更重要人更重要事。精彩就点击右上角分享出去,赠人玫瑰手染余香。文末有打印资料方法往期回顾:五...
  • UWB中TOF测距法的公式推导

    千次阅读 热门讨论 2020-05-24 15:43:00
    网上很多地方都给了公式,但是缺了过程推导,这里补上,有像我一样纠结公式是怎么来同学可以参考。 TOF 飞行时间法(Time of Flight,TOF)是一种双向测距技术,它通过测量UWB信号在基站与标签之间往返飞行时间...
  • 概念 调制信号载波(参考通信原理) 锯齿波调制FMCW:就是载波频率随着调制信号幅度变化 下图为FMCW雷达简易框图: ...发射信号(本振信号)经过通过发射天线辐射出去,...推导过程 结论 锯齿波...
  • 最小二乘法-公式推导

    2018-05-20 11:36:47
    基本思想 求出这样一些未知参数使得样本点拟合线总误差(距离)最小 最直观感受如下图(图引用自知乎某作者)...推导过程 1 写出拟合方程y=a+bxy=a+bx 2 现有样本(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)(x1,y1),(x2,y2)......
  • 可是至于这个公式为什么是这样,今天推导了一下,详细推导过程如下。首先画个图(图1),要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致说明,红色半圆表示赤道,蓝色圆弧表示本初子午线(也就是...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 6
收藏数 104
精华内容 41
关键字:

和差公式的推导过程