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  • 系列简介:这个系列文章讲解高等数学基础内容,注重学习方法培养,对初学者不易理解问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上,以国内经典教材”同济版高等数学“为蓝本,并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如...

    系列简介:这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上,以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本,并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容,我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导,也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异,对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”,我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章,欢迎关注数学若只如初见

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    为计算任意初等函数的导数,仅用我们曾经推导的那些基本初等函数的导数公式是不够的,还需要配合一些四则运算或复合运算的求导法则,本节我们来介绍函数和差积商的求导法则,并由此推导并总结6种三角函数的求导公式。(由于公式较多,故正文采用图片形式给出。)

    一、概述。

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    目前已推导出的基本导数公式见下文:

    高等数学入门——基本导数公式的推导

    二、函数和差积商的求导法则。

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    三、乘积函数导数公式的证明(考研数学中曾考查过这个证明)。

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    四、商的求导法则的证明。(直接证明(3)比较麻烦,我们采用间接的方法,即先推导1/v的导数公式,再把u/v看作u与1/v的乘积,从而可以利用乘积函数的导数公式。)

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    五、定理的一些推广及一个考研题目。(考研数学中经常考查基本定理的证明,例如还考查过拉格朗日中值定理的证明等,而这些通常是考研复习中容易被忽略的内容。)

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    六、求导函数的基础例题。

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    七、三角函数相关基础知识复习。

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    八、三角函数基本导数公式总结。

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    上一篇:高等数学入门——利用极限判断抽象函数可导性的方法和典型例题

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  • 对数函数导数:指数函数导数: 2、求导数法则(1)函数导数:.由此得多项式函数导数(2)积的函数导数:,特例[C·f(x)]'=Cf'(x)。如①已知函数导数为,则_____(答:);②函数导数为__________(答...

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    1、常见函数的导数公式:

    常数函数的导数:7e97a425da01ed4cb2c8c27eb8bbc6d1.png

    幂函数的导数:11e34ba1f2979861992b803116b9a612.png

    如下:7068dbd29709fa4dc24533f930d3fb3e.png

    三角函数的导数:b05d9dafceac4c0876b617aa82dea9f7.png379be2e5f9be6cde26c5648b56d4511a.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    对数函数的导数: ec639f3042805e42982979b88a831994.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png  814bf8d4dfcb4f3caf704f43c7a465e1.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    指数函数的导数: ddb226acafeaefb988abc07b358dc60a.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png  4314575105533b6b1be632925a1fdf36.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    2、求导数的法则

    (1)和与差函数的导数:79fb8b90c54b8731a3d5631cb5b825b1.png

    由此得多项式函数导数73ee36ee52b6113c89f9985fb0194047.png 

    (2)积的函数的导数:f48b657bccb1007f8e45cb3ba0d956d2.pngf5aab05c6308348ad61d026df9041f8b.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    特例[C·f(x)]'Cf'(x)

    如①已知函数8994b3b23eca1c0d7c6c112390eaffe7.png的导数为964e88d65002ab781ce9f936cf788a3d.png,则4190c8c96cd4e88a0aaa401f3c15ade2.png_____(答:62cc52fdfc4464613d2ef61a45c2289d.png);

    函数198115c5959622b66a001b0dc932fdbb.png的导数为__________(答:556d1e21ae66e9b25f5dad01d85a0d18.png);

    ③若对任意71afabf308c6381c436b3044592e30e9.png582964eb664d437b6d9bf1bfdfcaef24.png,则56cdba058c53fc7472b8acf9eb19fe3a.png______(答:0228590477162a7c62053a554583570e.png)

    (3)商的函数的导数: 8366fed37e717e5c0e06ec759acf1c53.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    1、求下列导数

    (1)7f673657b4944de911df3ec1ccb1a58a.png

    (2)x · sin x · ln x

    (3)1aa0133e81e0c6745a6fdf7540b12dc1.png

    (4)3b4809a9b597dff2f8a338cf57af38a1.png

    (1)解析:7f673657b4944de911df3ec1ccb1a58a.png7cf7cfbb6b380c64217986ae841167c2.png

    36c50f521973d0d9dcf6760658ff11e8.png

    (2)y'(x · sin x · ln x) '(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '

              [x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )a95146bae25d344aad10909af9390208.png

    [sinx+xcosx]lnx+sinx

    总结:如遇求多个积的导数,可以逐层分组进行;求导数前的变形,目的在于简化运算;求导数后应对结果进行整理化简.

    (3)y'5b49b456bd21608dc91684cdff7bddea.png

    (4)∵3b4809a9b597dff2f8a338cf57af38a1.pngc134c67bd34d972ef53e30ffb39e4c0f.png

    y'bb9ce4c015ac94100529193b0d4a3952.png

    2、求函数的导数

     y=(2 x25 x 1)ex

     y93cb006be1f6bd8e507a0fcc473fe4d0.png

    解析: y'=(2 x25 x 1)′ex+(2 x25 x 1)(ex)′=(2x2x4)ex

    82e46903461ba5fa3bb10cf53d9b9312.png

    7ad6a76a4c67ef034c8356e4136d6fd7.png

    483ec751cd2558b7a36b194255fb893d.png

    y'e772b3ce83e89e6109012769b1f0e8c8.png

    总结: 求导数是在定义域内进行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.

    3、已知曲线C3 x 42 x39 x24

    (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

    (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点?

    解析:(1)把1代入C的方程,求得=-4

    ∴切点为(1,-4).

    Y'12 x36 x218 x

    ∴切线斜率为12618=-12

    ∴切线方程为4=-12(x1),即

    y=-12 x 8

    9405b86f8cf9b3cc62bfec0ff7164313.png

    3 x 42 x9 x212 x 40

    (x 1) (x 2) (3 x 2)0

    1,-21acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png

    代入3 x 42 x 9 x 4,求得=-4320,即公共点为(1,-4)(切点),(-232),(1acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png0).

    除切点外,还有两个交点(-232)、(1acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png0).

    总结:直线和圆,直线和椭圆相切,可以用只有一个公共点来判定.一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线.因此,曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点.

    4、曲线Sx36 x 26哪一点切线的斜率最小?

    设此点为P(x0y0).证明:曲线S关于P中心对称.

    解析:y'3 x212 x 1

    6161d57ed04b7077bdedee9744e004fc.png2时,y′有最小值,故x 02

    PS知:y 0236 · 2226=-12

    即在P(2,-12)处切线斜率最小.

    Q(xy)∈S,即x36 x26

    则与Q关于P对称的点为R(4x,-24y),只需证R的坐标满足S的方程即可.

    (4x)36(4x)2(4x)6

    6448 x 12 x 36(168 x x2)+2

    =-6 x 30

    =-6 x624

    =-y24

    RS,由Q点的任意性,S关于点P中心对称.

    总结:本题考查导数的几何意义.求切点时,要将取最小值的x值代回原方程.

    5、一质点的运动方程为s(t)asint+bcost(a>0),若速度v(t)的最大值为b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png,且对任意的t0R,tt0t d12128369dc2d8f939da062477c0de2e.pngt0时速度相同,求ab的值。

    解析:v(t)s(t)acostbsint

    v(t)的最大值为b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png ∴a2+b2b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png

    又∵在tt0t d12128369dc2d8f939da062477c0de2e.pngt0时速度相同

    (a+b)(cost0sint0)0且对任意的t0Ra>0

    (a+b) 0,∴a30ca5ad77abf09cd2710c1296123a168.png,b=-30ca5ad77abf09cd2710c1296123a168.png

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    1、数学“数列”知识点归纳

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    我们在一元微积分中对如下的微分算子都很熟悉:和,差,积,商的微分公式

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    我们现在重新引入此符号的原因是我们不仅要接受与变量X有关的导数,还需要其它更多变量的导数,所以需要一些明确的符号来区分哪个变量

    e58482ad72334b49d3caa33015b1e800.png

    现在假设我们有一个同时依赖于X和Y的函数,我们将其称为f(x,y),这最终将称为曲面而不是曲线

    a570d9662a70db4725b98fdf4247b697.png

    那么这个曲面的变化率是多少,我们要做的就是找到它的变化率,如果想要找到X的变化率,我们仅将Y作为常数,以此区分作为变量的X,我们使用弯曲的D代替常规的D,这称之为偏导数

    c2042e1bef178b751ff892d521aea5bd.png

    同样,如果我们想要Y方向的变换量,这将是关于y的偏导数,在这种情况下,我们会将X视作常数

    e2c1acf5cdcdba87c6ae9485fcaa5763.png

    如下是一个示例:关于X和Y的偏导数

    c8add0ec32f61aa4ed50d69c13a96901.png

    现在,我们将介绍一个结合了这些偏导数,即所谓的梯度,函数的梯度只是一个向量,它有所有的偏导数组成

    fcfe9cb318eedeb1bb9850bd460bc7a8.png

    我们可以写成gradf

    1ab2893a9b47e60d16fd935a4b1c01d0.png

    如果在三个维度上,梯度就是

    e968e39df13983ca04cf90ba039ef29a.png

    这个向量它指向函数最大变化的方向,并等于最大变化率的幅度

    14b98c49e37f88b70dcb91be96fcbe06.png

    这个有关向量的偏导数,即梯度用倒置的三角形表示,称为del

    357564f4d6a001ad0af0921a7d89b412.png
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    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52200140

    微积分

    直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出(参见条目“黎曼积分”)。

     一.基本初等函数求导公式

    函数的和、差、积、商的求导法则

    反函数求导法则

    复合函数求导法则

    皮皮blog

     

     

    二、基本积分表

      

    皮皮blog

     

     

    常用凑微分公式

    [常用的求导和定积分公式(完美)]

    分部积分

    不定积分的分部积分

     

    [分部积分法]

    定积分的分部积分

     

    皮皮blog

     

     

    微分方程

     

     

    级数收敛与发散

     

    发散级数

    收敛级数

    皮皮blog

     

    微分中值定理

    f(x)为连续且光滑,任取其上两点(a, f(a))(b, f(b))a < b,那么在这两端点之间必定存在一点(c, f(c)), a < c < b,使得过c的切线斜率等于该二端点割线的斜率,即f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

    [wikipedia]

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    2018-08-13 06:57:00
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空空如也

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和差积商的公式