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  • 一、 集合论体系 、 二、 集合表示 、 三、 数集合 、 三、 集合关系 、 1、 包含关系 、 2、 相等关系 、 3、 集合间包含关系性质





    一、 集合论体系



    集合论体系 :

    • 朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;
    • 公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;




    二、 集合表示



    集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;

    列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 : A = { 0 , 1 , 2 , 3 } A = \{0, 1, 2, 3\} A={0,1,2,3} , B = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯   } B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\} B={0,1,2,3,}

    描述法 : 使用 谓词 P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 具有性质 P P P , 使用 { x ∣ P ( x ) } \{x | P(x)\} {xP(x)} 表示具有性质 P P P 的集合 ;


    P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 是英文字母 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \} {xP(x)} 表示英文字母集合 ;

    P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 是偶数 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \} {xP(x)} 表示偶数集合 ;



    集合表示注意事项 :

    不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;

    无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;

    集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;


    表示方法转化示例 :

    列举法 : A = { 0 , 2 , 4 , 6 , ⋯   } A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \} A={0,2,4,6,}

    描述法 : A = { x ∣ x ≥ 0 并 且 x 是 偶 数 } A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \} A={xx0x}





    三、 数集合



    自然数集合 : N = { 0 , 1 , 2 , ⋯   } N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \} N={0,1,2,}

    整数集合 : Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   } Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \} Z={0,±1,±2,}

    有理数集合 : Q Q Q

    实数集合 : R R R

    复数集合 : C C C





    三、 集合关系



    集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;



    1、 包含关系


    集合的包含关系 :

    描述 : A , B A, B A,B 两个集合 , 如果 B B B 中的元素 都是 A A A 中的元素 , 称 B B B 集合 是 A A A 集合的 子集 , A A A 包含 B B B , B B B 包含于 A A A ;

    记作 : B ⊆ A B \subseteq A BA

    符号化形式 : B ⊆ A ⇔ ∀ x ( x ∈ B → x ∈ A ) B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A ) BAx(xBxA) , 对于所有的对象 , 只要属于 B B B 集合 , 就属于 A A A 集合 ;



    集合的不包含关系 :

    描述 : 如果 集合 B B B 不是 集合 A A A 的子集

    记作 : B ⊈ A B \not\subseteq A BA ;

    符号化形式 : B ⊈ A ⇔ ∃ x ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A ) BAx(xBxA) , 对于所有的对象 , 存在对象属于 B B B 集合 , 不属于 A A A 集合 ;



    包含示例 :

    A = 1 , 2 , 3 , 4 A = {1, 2, 3, 4} A=1,2,3,4 , B = 1 , 2 , 3 B = {1, 2, 3} B=1,2,3 , C = 1 , 2 C = {1, 2} C=1,2

    C ⊆ B C \subseteq B CB , C ⊆ A C \subseteq A CA , B ⊆ A B \subseteq A BA



    2、 相等关系


    集合的相等关系 :

    描述 : A , B A, B A,B 两个集合 , 如果 A A A 包含 B B B , 并且 B B B 包含 A A A , 则称 A A A B B B 相等 ;

    记作 : A = B A = B A=B

    符号化表示 : A = B ⇔ ∀ x ( x ∈ B ↔ x ∈ A ) A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A ) A=Bx(xBxA)



    3、 集合间包含关系性质


    集合间包含关系性质 : 下面的 A , B , C A, B, C A,B,C 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;

    自反性 : A ⊆ A A \subseteq A AA , 集合真包含它自己 ;

    反对称性 : A ⊆ B A \subseteq B AB B ≠ A B \not= A B=A , 则 B ⊈ A B \not\subseteq A BA
    ( 该性质等价于 若 A ⊆ B A \subseteq B AB B ⊆ A B \subseteq A BA , 则 A = B A = B A=B )

    传递性 : A ⊆ B A \subseteq B AB B ⊆ C B \subseteq C BC , 则 A ⊆ C A \subseteq C AC

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    §2.3 

    2.3.1 

    2.3.1.GHG=HGHI 
    G=HGHGH 
     

     
    1)(GH)=(GH)(HG); 
    2)(GH)=(¬GH); 
    3)GG=G,GG=G;() 
    4)GH=HG,GH=HG;() 
    5)G(HS)=(GH)S,G(HS)=(GH)S;() 
    6)G(GH)=G,G(GH)=G;() 
    7)G(HS)=(GH)(GS),G(HS)=(GH)(GS);() 
    8)G0=G;G1=G;() 
    9)G0=0,G1=1;() 
    10)¬(GH)=¬G¬H,¬(GH)=¬G¬H(DeMorgan) 

    2.3.2.QQQQ 
    ,{¬,},{¬,} 

    2.3.3.PQPQPQPQPQPQ:PQ=¬(PQ) 

    2.3.4.PQPQPQPQ,PQPQ:PQ=¬(PQ) 

    {}¬P=PPPQ=(PP)(QQ)PQ=(PQ)(PQ) 

    {} 

     
     
    00 
    :PQPQ 
    PQ 

    2.3.5.GHHG(GH)GHIIGIHGH 
    =G=HGH 

    GHGH 
    (PQ)P,(PQ)Q 

    2.3.6.G 1 ,,G n ,HHG 1 ,,G n (G 1 ,,G n H)G 1 G n H 
    HG 1 ,,G n ((G 1 G n )H) 
    PPQQ 

    2.3.1.H 1 ,,H m ,PQH 1 ,,H m PQ 
    (H 1 H m P)Q,(H 1 H m P)Q:P 1 (P 2 P 3 )=(P 1 P 2 )P 3 ,(H 1 H m P)Q=(H 1 H m )(PQ)(H 1 H m )(PQ)H 1 ,,H m PQ 
    PQ,QR,PRPQ,QRPR 

    2.3.7.S()SGG 1 ,,G k G i SG j (j<i)G k GGSGSG 
    S={PQ,QR,PM,¬M},¬M,PM,¬P,PQ,Q,QR,RSR 

    使 

    GH 1 H 2 GH 1 ,GH 2 ,GH 1 H 2  
    GH 1 ,H 2 IIGIH 1 ,IH 2 ,IH 1 H 2 IG(H 1 H 2 ) 

    2.3.2.SGSGGS 
    SGG 1 ,,G k G i (i=1,2,,k),G i SIi=1G 1 S,G 1 G 1 SG 1 ,G 1 S.i<ni=nG n S,SG n ,G n G j (j<n)(G j1 G jh )G n (1)j1,,jhnSG jm ,m=1,,hS(G ji ,G jh )(2)(1),(2)SG n G n SGSGG 1 ,,G k ,GG 1 ,,G k S 

    2.3.3.SGHS{G}HGGH 
    S{G}H2HS{G}(G 1 G k G)HG 1 ,,G k S2.3.1(G 1 G k )(GH)GHS2.3.2SGH 

    使使G=H(GH)(HG)便使 
     
    1.PQP 
    2.PQQ 
    3.PPQ 
    4.QPQ 
    5.¬P(PQ) 
    6.Q(PQ) 
    7.¬(PQ)P 
    8.¬(PQ)¬Q 
    9.P,QPQ 
    10.¬P,PQQ 
    11.P,PQQ 
    12.¬Q,PQ¬P 
    13.PQ,QRPQ 
    14.PQ,PR,QRR 

    GHGH: 
    1.2.GH;3.4.IIG,IH5. 
    S={G 1 ,,G k },GSG: 
    1.G 1 G k G2.SG1便使()2便使()3PQP使Q(2.3.3) 

    2.3.1.{(PQ),(PR),(QS)}SR 
    1.PQ12.¬PQ213.QS14.¬PS2235.¬SP246.PR17.¬SR2568.SR27 

    2.3.2.{P(QS),¬RP,Q}RS 
    1.¬RP12.R33.P2124.P(QS)15.QS2346.Q17.S2568.RS327 

    2.3.3. 
    P:Q:R:S:G 1 :(P¬(RS))¬QG 2 :PG 3 :¬SH:¬Q 
    H{G 1 ,G 2 ,G 3 } 
    1.¬S12.¬S¬R213.¬(RS)224.P15.P¬(RS)2346.(P¬(RS))¬Q17.¬Q256 

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    离散数学思维导图

    在这里插入图片描述

    大纲:

    	预备知识
    		1.集合论
    			set
    				表示方法
    					大写字母表示
    					枚举法(显示法)
    					叙述法(隐式法)
    					归纳法
    					递归指定集合法
    					文氏图解法
    				几个特殊集合
    					空集(绝对唯一)
    					全集(相对唯一)
    					无限集
    						等势
    							一一对应
    								两个有限集合等势当且仅当它们的元素个数相同;
    								可数集合可以和其可数的真子集等势.
    						可数集合
    							基数(阿列夫0)
    								∈阿列夫1(开区间(0,1)的基数)
    						不可数集合
    							既不是有限集
    							也不是可数集的集合
    				重要定义
    					集合A的元素个数: |A|(基数)
    					集族(Power Set)
    						集合作为元素构成
    						幂集
    							所有不同子集构成
    					⊕:对称差运算
    						
    					补集
    						
    						相对补集A-B(差集)
    					德摩根律
    						
    			重要题型
    				
    	数理逻辑
    		命题逻辑
    			联结词
    				┐
    					否定
    				∧
    					合取
    				∨
    					析取
    				
    					异或
    						“P异或Q”称为P与Q的不可兼或
    				→
    					蕴涵
    						P称为蕴涵式的前件,Q称为蕴涵式的后件
    							若P,则Q
    							P仅当Q
    							只要P, 就Q
    							只有Q,才P
    							除非Q,才P
    							除非Q,否则非P
    							P是Q的充分条件
    						P→Q为假当且仅当P为真且Q为假
    				↔
    					等价
    						P当且仅当Q
    				优先级:否定→合取→析取→蕴涵→等价
    			命题公式分类
    				永真公式(重言式)
    					满足式(一定)
    				永假公式(矛盾式)
    				G在解释I下是真的:I满足G;  G在解释I下是假的:I弄假于G.
    				公式G、H等价 ↔ 公式G↔H是永真公式
    					G = H 不是命题公式, G↔H是命题公式
    			范式
    				定义
    					命题变元或命题变元的否定称为文字
    					有限个文字的析取称为析取式(也称为子句)
    					有限个文字的合取称为合取式(也称为短语)
    					P与┐P称为互补对
    					包括单个
    				有限个短语的析取式称为析取范式
    				有限个子句的合取式称为合取范式
    				主析取范式
    					每一个短语都是极小项
    					必须且只能包含使得公式真值为真的那些解释对应的极小项
    				主合取范式
    					每一个子句都是极大项
    					必须且只能包含使得公式真值为假的那些解释对应的极大项
    				求解方法
    					等价式和蕴涵式
    						(G→H) = (┐G∨H)
    						(G↔H) = (G→H)∧(H→G)  = (┐G∨H)∧(┐H∨G)
    					德▪摩根定律
    						┐(┐G) =G;
    						┐(G∨H) =┐G∧┐H;
    						┐(G∧H) =┐G∨┐H。
    					分配定律
    						G∨(H∧S) = (G∨H)∧(G∨S)
    						G∧(H∨S) = (G∧H)∨(G∧S)
    				包括单个
    				总结
    					若单个的子句(短语)无 最外层括号,则是合取范式(析取范式);
    					析取范式、合取范式仅含联结词集{┐,∧,∨};
    					“┐”联结词仅出现在命题变元前.
    			推理推论
    				概念
    					反映客观对象或现象的共同本质属性的思维形式
    					任何概念都是内涵和外延的统一体。
    					内涵
    						概念的质
    					外延
    						概念的量
    				
    					若H是G1∧G2∧…∧Gn的逻辑结果
    						则efficacious(有效的)
    						
    							Г={G1,G2,…,Gn}
    					H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H
    						当且仅当G→H为永真公式
    						G为前提
    							Premise
    						H为结论
    							conclusion
    				判断方法
    					真值表技术
    						对所有G1,G2,…,Gn都具有真值T的行(表示前提为真的行),如果在每一个这样的行中,H也具有真值T
    						对所有H具有真值为F的行(表示结论为假的行),如果在每一个这样的行中,G1,G2,…,Gn中至少有一个公式的真值为F(前提也为假)
    					推理定律
    						
    						
    						
    						
    						
    						
    					演绎法
    						规则P(称为前提引用规则)
    						规则T(逻辑结果引用规则)
    						规则CP(附加前提规则)
    							
    					反证法
    						
    		谓词逻辑
    			解决“命题的结构和成分”有关的推理问题
    			基本概念
    				Universal Quantifier全称量词
    					
    				Existential Quantifier存在量词
    					
    				Individual个体词
    					不能随意变更顺序
    					取值范围:Individual Field 个体域(或论域)
    						全总个体域(Universal Individual Field)
    				P(x)
    					x:个体词
    					P:谓词
    					P(x):命题函数
    				Predicate谓词
    					0元
    						命题
    					一元
    						某一个个体的某种特性
    					n元
    						n个个体之间的关系
    				项与原子公式
    					项(Term)
    						(1)任意的常量符号或任意的变量符号是项;
    						(2)若f(x1, x2, …, xn)是n 元函数符号,t1,t2,…,tn是项,则f(t1, t2, …, tn)是项;
    						(3)仅由有限次使用(1),(2)产生的符号串才是项。
    					原子公式(Atomic Formulae)
    						 若P(x1,x2,…,xn)是n 元谓词,t1,t2,…,tn是项,则称P(t1,t2,…,tn)为原子谓词公式(Atomic Propositional Formulae)
    				存在:合取
    任意:蕴含
    					x : Function Variable作用变量
    					F(x) : Scope辖域
    						
    		自由主题
    	树
    		定义
    			无向树
    				连通而不含回路的无向图
    				简称树(Tree),常用T表示树。
    			叶
    				树中度数为1的结点
    			分支点
    				度数大于1的结点
    				内部结点
    			森林
    				每个连通分支都是树的无向图
    			生成树
    				给定图G = <V, E>,若G的某个生成子图是树
    				树枝
    					生成树TG中的边
    				弦
    					G中不在TG中的边
    				补
    					TG的所有弦的集合称为生成树
    				权
    					T的每个树枝所赋权值之和
    				最小生成树
    					G中具有最小权的生成树
    			有向树
    				一个有向图,若略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树
    			有序树
    				如果在根树中规定了每一层上结点的次序
    			k元树
    				若每个分支点至多有k个儿子
    			k元完全树
    				若每个分支点都恰有k个儿子
    			k元有序完全树
    				k元完全树T是有序的
    			子树
    				任一结点v及其所有后代导出的子图T’称为T的以v为根
    			决策树
    				有一棵根树,如果其每个分支点都会提出一个问题,从根开始,每回答一个问题,走相应的边,最后到达一个叶结点,即获得一个决策
    		!算法
    			Kruskal算法
    				
    			Prim算法
    				
    			哈夫曼算法
    				
    		定理
    			树
    				边数最多的无回路图
    				边数最少的连通图
    				无向图G = (n, m)中,
    					    若m<n-1,则G是不连通的
    					    若m>n-1,则G必含回路
    	图论
    		握手定理
    			
    			推论:图中度数为奇数的结点个数为偶数。
    		同构
    			
    			
    			必要条件
    				(1)结点数目相同; 
    				(2)边数相同; 
    				(3)度数相同的结点数相同。
    		
    			边数最大值
    		连通性
    			连通图
    				强连通图
    					G中任何一对结点之间都是相互可达的
    					它的可达性矩阵P的所有元素均为1;
    				单向连通图
    					若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另一个结点是可达的
    					它的可达性矩阵P及其转置矩阵PT经过布尔并运算后所得的矩阵P’= P∨PT中除主对角元外其余元素均为1
    				(弱)连通图
    					略去G中所有有向边的方向得无向图G’,如果无向图G’是连通图
    					它的邻接矩阵A及其转置矩阵AT经布尔并运算所得的矩阵A’= A∨AT作为邻接矩阵而求得的可达性矩阵P’中所有元素均为1。
    				若有向图G是强连通图,则它必是单向连通图;若有向图G是单向连通图,则它必是(弱)连通图。
    			分支
    				
    		应用
    			Floyd算法
    				
    				
    			Dijkstra算法
    		邻接矩阵与可达性矩阵
    			可达性矩阵
    				
    			
    			
    	二元关系
    		关系的基本概念 
    			有序偶对(序偶)
    				两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组
    				<x,y>
    				其中称x为<x,y>的第一元素,y为<x,y>的第二元素
    				成对出现、具有一定的顺序
    			笛卡尔积(Descartes Product)
    				集合:A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}为集合A与B的笛卡尔积
    				对有限集A,B,有|A×B|=|B×A|=|A|×|B|
    				A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
    				
    			关系(Relation)
    				称A×B的任何子集 R 为从A到B的二元关系
    				A=B,则称R为A上的二元关系
    				A称为R的前域,B称为R的后域
    				
    				当R=Φ时,称R为空关系(empty relation);
    				当R=A×B时,则称R为全关系(Total Relation)
    				xRy
    					<x,y>∈R
    					x对y有关系R
    				当集合A,B都是有限集时,A×B共有2^(|A|•|B|)个不同的子集,即从A到B的不同关系共有2^(|A|•|B|)个。
    		关系的表示与运算
    			集合表示法(枚举法和叙述法)
    			关系图法
    			关系矩阵
    				关系矩阵是0-1矩阵,称为布尔矩阵
    			R∪S={<x,y>|(xRy)∨(xSy)} (即<x,y>∈R∨<x,y>∈S)
    			复合运算
    				(RoS)oT = Ro(SoT)
    				IAoR = RoIB = R
    			逆运算
    				 R-1={<b,a>|<a,b>∈R}
    				(RoS)-1 = S-1oR-1
    			幂运算
    				设R是集合A上的关系,则R的n次幂,记为Rn,定义如下:
    				R0=IA={<a,a>|a∈A};
    				R1=R;
    				Rn+1=RnoR=RoRn
    		关系的性质与闭包 
    			假定其前域和后域相同
    			
    			
    			
    		特殊关系
    			等价关系
    				设R是定义在非空集合A上的关系,如果R是自反的、对称的、传递的,则称R为A上的等价关系。
    				事实上,对任意正整数n,整数集合Z的任意非空子集A上的关系,R={<x,y>|(x,y∈A)∧(n|(x-y))},都是等价关系。 
    				同余式
    					上述R称为Z上以n为模的同余关系(Congruence Relation),记xRy为x=y(mod n)
    					
    					
    				等价类
    					
    					
    				商集
    					
    			次序关系
    				拟序关系
    					
    				偏序关系
    					
    					哈斯图
    						用小圆圈或点表示A中的元素,省掉关系图中所有的环;(因自反性)
    						对任意x,y∈A,若x<y,则将x画在y的下方,可省掉关系图中所有边的箭头;(因反对称性)
    						对任意x,y∈A,若x<y,且不存在z∈A,使得x<z, z<y,则x与y之间用一条线相连,否则无线相连。(因传递性)
    					设<A,≤>是偏序集,B是A的任何一个子集。若存在元素a∈A,使得
    						对任意x∈B,都有x≤a,则称a为B的上界;
    						对任意x∈B,都有a≤x,则称a为B的下界;
    						若元素a′∈A是B的上界,元素a∈A是B的任何一个上界,若均有a′≤a,则称a′为B的最小上界或上确界。记a′= SupB;
    						若元素a'∈A是B的下界,元素a∈A是B的任何一个下界,若均有a≤a′,则称a′为B的最大下界或下确界。记a′= InfB。
    				全序关系
    					
    					全序关系是偏序关系,反之则不然。
    				良序关系
    					
    
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  • 离散数学 1. 符号表、集合和命题

    千次阅读 2020-04-07 15:15:22
    设A,B两个集合有一种一一对应的关系ψ:A→B , 则称A,B等势记做:A~B 。 如果A=B , 则A~B,反之不成立。 凡与自然集合N等势的集合称之为可数集合 , 该集合的基数记为 (阿列夫零) 开区间(0,1)称为不可数集合,...

    符号表

    离散数学及其应用的图片

    集合

    1. 设A,B两个集合有一种一一对应的关系ψ:A→B , 则称A,B等势记做:A~B 。
      如果A=B , 则A~B,反之不成立。
    2. 凡与自然集合N等势的集合称之为可数集合 , 该集合的基数记为
      在这里插入图片描述(阿列夫零)
    3. 开区间(0,1)称为不可数集合, 凡与开区间等势的集合称为不可数集合,称为阿列夫。

    命题

    1. 一切没有判断内容的句子都不能作为命题,命题应该是一个陈述语句

    2. 设p为任意命题,非p称为p的否定式,记为﹁p。

    3. p∧q 含义为 “p并且q”或“p与q” ; p∨q 含义为“p或q”,均为假才为假。

    4. ∧∨⊕ 相当于 or , and ,xor

    5. 在这里插入图片描述

    6. p↔q 为 p与q 的等价式。q , p相