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  • 今天,老师为大家整理了命题关系总结的知识点,建议大家都好好看看~【集合命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否...

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    今天,老师为大家整理了命题及关系总结的知识点,建议大家都好好看看~【集合】命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件和结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系,能判断四种命题的真假;3.能熟练判断命题的真假性.[来0fb0f3f6389709ca992067955be95ee6.png源:学科网]【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达f1a3ca3d5a7f85004159c6e40e0b78a0.png的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.要点诠释:1. 不是任何语句都是命题,不能确定真假的语句不是命题,如“a253c9fc46696f0a388e8129f4cf2ac3.png”,“2不一定大于3”.2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句,疑问句,感叹句都不是命题,例如:“起立”、“是有理数吗?”、“今天天气真好!”等.3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真,要么是假,不能既真又假,模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性,或者不具有某种属性,这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png,则37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png”的形式,或“如果98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png,那么37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png”的形式.其中98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png是命题的条件,37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png是命题的结论.要点诠释:1. 一般地,命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2. 有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么,因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题:“若98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png,则37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png”;逆命题:“若37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png,则98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png”;实质是将31f6eb5774f0ca335ab2fb23e86a5fa8.png原命题的条件和结论互相交换位置;否命题:“若非98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png,则非37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png”,或“若8ce26437479044c4cb6d9c7e19709e2a.png,则d6cf4dfc8ad8bcf83916cabe5c7d4440.png”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定;逆否命题:“若非37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png,则非98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png”,或“若d6cf4dfc8ad8bcf83916cabe5c7d4440.png,则8ce26437479044c4cb6d9c7e19709e2a.png”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结f1a3ca3d5a7f85004159c6e40e0b78a0.png论换位后再分a62885a2a099e33bc501805e0c5776ae.png别否定.要点诠释:对于一般的数学命题,要先将其改写为“若98503b9ac7609cb5ea084c235a2ac229.png,则37c16d9822b920a73322a5d52f396b18.png”的形式,然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系49550101ace9f850409ec321445ab341.png四种命题之间的真值关系
    a62885a2a099e33bc501805e0c5776ae.png命题逆命题否命题逆否命题
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    [来源:学#科#网]要点诠释:(1)互为逆否命题的两个命题同真同假;(2)互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一:命题的概念例1.判断下列语句中哪些是命题,是命题的判断其是真命题还是假命题.(1)末位是0的整数能被5整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行,则斜率相等;(4)△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;(5)余弦函数是周期函数吗?【思路点拨】依据命题的定义判断。【解析】(1)是命题,真命题;(2)是命题,假命题;(3)是命题,假命题;(4)是命题,真命题;(5)不是命题.这是一个疑问句,没有做出判断.【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行.举一反三:【变式1】判断下列语句是否为命题?若是,判断其真假.(1)916367d770c4416a162bdccd1378f972.png;   (2) 当5a55b260275a4e5b82614afcaef8ebc5.png时, 916367d770c4416a162bdccd1378f972.png;  (3) 你是男生吗? (4) 求证:83e395063ad5d38e01b4e21026606ee5.png是无理数.【答案】(1) 不是命题;由于无法确定变量84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的值,所以无法确定其真假.(2) 是命题;假命题. (3) 不是命题;这是一个疑问句,没有做出判断.(4) 不是命题;这是一个祈使句,没有做出判2c9e554688085f4598bf939cae3cf087.png断.【变式2】下列语句中是命题的是(    )A.40e0950b3136bec9efa1145a8cdefe80.png    B.{0}∈N    C.元素与集合    D.真子集【答案】B【变式f02aac1e59fc618fce5f2ffe6498471e.png3】判断下列语bc4609634f1ad58ab94e666789f4fda4.png句是否是命题.(1)这是一棵大树;[来源:学#科#网](2)sin30=219d16c1d24fb7da48b727aa7c27dc21.png(3)x2+1>0;(4)梯形是平行四边形.【答案】(1)不是,无法确定“大”;(2)是;(3)是;(4)是.类型二:命题的结构例2.指出下面命题的条件和结论.(1)对顶角相等;(2) 四边相等的四边形是菱形.【思路点拨】命题都是一定的条件下推出的一定的结果,所以据此确定哪是条件,哪是结论。【解析】(1)原命题写成:若两个角是对顶角,则这两个角相等.条件:两个角是对顶角;结论:这两个角相等.[来源:学,科,网Z,X,X,K](2)原命题可写成:如果一个四边形的四边相等,则这f1a3ca3d5a7f85004159c6e40e0b78a0.png个四边形是菱形.条件:一个四边形的四边相等;结论f1a3ca3d5a7f85004159c6e40e0b78a0.png:这个四边形是菱形.【总结升华】要写出一个命题的条件和结论,一般是把一个命题改写成“如果p,那么q”的形式,其中p是条件,q是结论.举一反三:【变式】指出下列命题的条件p和结论q.(1)若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心;(2)若两条直线a和b都和直线c平行,则直线a和直线b平行.bc4609634f1ad58ab94e666789f4fda4.png【答案】[来源:Zxxk.Com](1)条件p:空间四边形为正四面体;结论97f09450a3cf3ddf36ac9c1d8bc49005.pngq:顶点在底面上的射影为底面的中心.(2)条件p:两直线a、b都和直线c平行;结论q:直线a和b平行.例3. 将下列命题改写为“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(2)对角线相等的平面四边形是矩形.【解析】(1)“若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行”,真命题.(2a62885a2a099e33bc501805e0c5776ae.png)“若一个平面四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形”,假命题.【总结升华】有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但适当的改写后可以写成“若p,则q”的形式,那么就能很清楚地看出其条件和结论.举一反三:【变式1】把命题“6是12和24的公约数”写成若p则q的形式.【答案】若一个数等于6,则这个数是12和24的公约数.【变式2】将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假.(1)偶数能被2整除;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)同弧所对的圆周角不相等.【答案】(1)若一个数是偶数,则它能被2整除;真命题.(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称;真命题.[来源:学科网ZXXK](3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等;假命题.类型三:命题的四种形式18c6f7811cac4f50f6deeb0fac696f78.png例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断四种命题的真假.(1)若5fa9f5bd87be0f8f95a15392df5e1094.png,则319c3928244d7c49ea820dfed7018456.png(2)若ae199f5b8fc5d7b16102d1e18f41971f.png,则32af12360dd673166a4311f17b31409e.png(3)若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等.【思路点拨】由原命题写出逆命题,否命题和逆否命题时注意规律:①交换原命题的条件和结论.所得命题就是逆命题.②同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题.③交换原命题的条件和结论并且同时否定.所得命题就是逆否命题.【解析】(1)原命题:若5fa9f5bd87be0f8f95a15392df5e1094.png,则319c3928244d7c49ea820dfed7018456.png;       假命题逆命题:若319c3928244d7c49ea820dfed7018456.png,则5fa9f5bd87be0f8f95a15392df5e1094.png;      31f6eb5774f0ca335ab2fb23e86a5fa8.png 真命题否命题:若d91ed2a239fba6ae8098a3067abe1f16.png,则5b5f2897721730f00d5cf4a2dbf506dd.png;       真命题逆否命题:若5b5f2897721730f00d5cf4a2dbf506dd.png,则d91ed2a239fba6ae8098a3067abe1f16.png.       假命题(2)原命题:若ae199f5b8fc5d7b16102d1e18f41971f.png,则32af12360dd673166a4311f17b31409e.png;      真命题逆命题:若32af12360dd673166a4311f17b31409e.png,则ae199f5b8fc5d7b16102d1e18f41971f.png;      假命题否命题:若00fda51cadf00143851ad3fd695fe0d2.png,则98c1459cc4dfae5e6e03a06b878fc46f.png;      假命题逆否命题:若98c1459cc4dfae5e6e03a06b878fc46f.png,则00fda51cadf00143851ad3fd695fe0d2.png.     真命题(3)原命题:若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等;真命题逆命题:若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等;真命题否命题:若一个三角形没有两条边相等,则这个三角形没有两个角相等;真命题逆否命题:若一个三角形没有两个角相等,则这个三角形没有两条边相等.   真命题【总结升华】①一般地,先将命题改写成“若…,则…”的形式,再写出其他命题形式;某些命题存在大前提,写其它命题时应注意保留.②互为逆否命题的两个命题是等价的,同为真或同为假,因此在判定真假时,只需判定二者中的一个.举一反三:【变式】写出下列的命题的逆命题,否命题和逆否命题,并判2aeee461a72f48cc59712fe4e6fd8d2e.png断它们的真假.(1)对顶角相等;       (2)空集A是非空集合B的真子集;【答案】(1)原命题:如果两角是对顶角,那么这两角相等(真命题);逆命题:如果两角相等,那么两角是对顶角(假命题);否命题:如果两角不是097fc4741e8632b2d5d1990ed8316ca1.png对顶角,那么这两角不相等(假命题);逆否命题:如果两2aeee461a72f48cc59712fe4e6fd8d2e.png角不相等,那么这两角不是对顶角(真命31f6eb5774f0ca335ab2fb23e86a5fa8.png题).[来源:Z*xx*k.Com](2)原命题:bc4609634f1ad58ab94e666789f4fda4.png若A是空集,则A是非空集合30bea239378f586dcdec7d4b0363bc96.pngB的真子集(真命题);逆命题:若A是非空集合B的真子集,则A是空集(假命题);否命题:若A不是空集,则A不是非空集合Bf1a3ca3d5a7f85004159c6e40e0b78a0.png的真dce254054c1d4681028e412301724897.png子集(假命题);逆否命题:若A不是非空集合B的真子集,则A不是空集(真命题).例5.设命题: 若4a9ead0c0bce853624ecc3c20fdc7771.png,则关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的方程2eceda2231a2359211dad39ed8ccf169.png有实数根.试写出它的逆命题,否命题和逆否命题,并分别判断其真假.【思路点拨】判断原命题,逆命题,否命题,逆否命题的真假时,只要判断原命题与逆命题的真假,就可知道其它两个命题的真假,不必一一判断.【解析】逆命题:若关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的方程2eceda2231a2359211dad39ed8ccf169.png有实数根,则4a9ead0c0bce853624ecc3c20fdc7771.png.否命题:若9db2cdd223c38c9d06d6635fcefa23a9.png,则关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的方程2eceda2231a2359211dad39ed8ccf169.png无实数根.逆否命题:若关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的方程2eceda2231a2359211dad39ed8ccf169.png无实数根,则9db2cdd223c38c9d06d6635fcefa23a9.png.①先判断原命题和逆否命题的真假.cece6e04529c85a4497d2e46ef946a92.png, ∴ 当24251511d3b7534401ec2d7cc1d80c3b.png时,方程有实数根.∵当4a9ead0c0bce853624ecc3c20fdc7771.png时,24251511d3b7534401ec2d7cc1d80c3b.png成立,∴ 方程有实数根,∴原命题为真,逆否命题也为真.②判断逆命题和否命题的真假当方程有实数根,即24251511d3b7534401ec2d7cc1d80c3b.png时,推不出4a9ead0c0bce853624ecc3c20fdc7771.png,∴逆命题为假,否命题也为假.【总结升华】先将命题中的条件等价转化,然后关于不等式的集合的命题可以借助于集合的韦恩图解决18c6f7811cac4f50f6deeb0fac696f78.png.举一反三:2aeee461a72f48cc59712fe4e6fd8d2e.png变式1】试写出下列命题的逆命题,否命题和逆否命题,并分别判断其真假.(1dce254054c1d4681028e412301724897.png)当集合8a041fc32e1e9c1447c41a3f146e0549.png047e29e46f4e74f4e18a13597f0d6a30.png时,若56dc6d55532b700090d1d5a6931c4459.png,则fef46eb91feae0f73e7feb38cf0c5bb5.png.(2)若f92aaf11314242e1ae2b6087dd17e250.png,则a253c9fc46696f0a388e8129f4cf2ac3.png,  4327066e753e8611c478368e43e5413c.png(3)若485311b21577b6bcb3953a53888ce601.png,则e90490f425708b3e9fc83f65cebf5a33.png【答案】(1)原命题:当集合8a041fc32e1e9c1447c41a3f146e0549.png047e29e46f4e74f4e18a13597f0d6a30.png时,811e60ea7c0d20a93093d562b3e23883.png56dc6d55532b700090d1d5a6931c4459.png,则fef46eb91feae0f73e7feb38cf0c5bb5.png(假命题);逆命题:当集合8a041fc32e1e9c1447c41a3f146e0549.png047e29e46f4e74f4e18a13597f0d6a30.png时,若fef46eb91feae0f73e7feb38cf0c5bb5.png,则56dc6d55532b700090d1d5a6931c4459.png(真命题);否命题:当集合8a041fc32e1e9c1447c41a3f146e0549.png047e29e46f4e74f4e18a13597f0d6a30.png时,若2aaca533b12513a07e24f8e0f4a175f4.png,则e40474b7d7fe1a8b3f5ee7e49c2fe41e.png(真命题);逆否命题:当集合8a041fc32e1e9c1447c41a3f146e0549.png047e29e46f4e74f4e18a13597f0d6a30.png时,若e40474b7d7fe1a8b3f5ee7e49c2fe41e.png,则2aaca533b12513a07e24f8e0f4a175f4.png(假命题).(2)原命题:若f92aaf11314242e1ae2b6087dd17e250.png,则a253c9fc46696f0a388e8129f4cf2ac3.png(真命题);逆命题:若a253c9fc46696f0a388e8129f4cf2ac3.png,则f92aaf11314242e1ae2b6087dd17e250.png(假命题);[来源:学#科#网]否命题:若6f68e1d272232522d9eac426499455b1.png,则ea6739099c36d2396eba0f067db471c9.png(假命题);逆否命题:若ea6739099c36d2396eba0f067db471c9.png,则6f68e1d272232522d9eac426499455b1.png(真命题).(3)原命题:若485311b21577b6bcb3953a53888ce601.png,则e90490f425708b3e9fc83f65cebf5a33.png(假命题);逆命题:若e90490f425708b3e9fc83f65cebf5a33.png,则485311b21577b6bcb3953a53888ce601.png(真命题);a62885a2a099e33bc501805e0c5776ae.png否命题:若4198922b1f56c1876da046ab02dc5019.png,则84cba8edfcdb34790af3b942df96a2a2.png(真命题);逆否命题:若84cba8edfcdb34790af3b942df96a2a2.png,则4198922b1f56c1876da046ab02dc5019.png(假命题).【变式2】已知命题:“如果cc7bfcc66548c39c374a8e64cfd8397e.png,那么关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的不等式c52b4abb46bc6ed71e1462d414105902.png的解集是空集”,写出它的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【答案】逆命题:如果关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的不等式c52b4abb46bc6ed71e1462d414105902.png的解集是空集,那么cc7bfcc66548c39c374a8e64cfd8397e.png否命题:如果891eaced5f3645acdb5e1c1a270c906a.png,那么关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的不等式c52b4abb46bc6ed71e1462d414105902.png的解集不是空集;31f6eb5774f0ca335ab2fb23e86a5fa8.png逆否命题:如果关于84668aafc5cedbfd89124b8f61e8d437.png的不等式c52b4abb46bc6ed71e1462d414105902.png的解集不是空集,那么891eaced5f3645acdb5e1c1a270c906a.png.       判断原命题的真假. 当cc7bfcc66548c39c374a8e64cfd8397e.png时,fa078fe330a96b3f74d222967df263b1.png,5c00e964b3a4631f0fd7d61107fa6df9.pngc52b4abb46bc6ed71e1462d414105902.png的解集为d1ea3820c4c34a23813d14242620de4a.png,故原命题为真,则逆否命题亦真.② 对于逆命题,当c52b4abb46bc6ed71e1462d414105902.png的解为空集时,先研究1b42f7a7554bded8a6fffcf6351c64c4.pngf103fa56fe21152806c3c318d4203b2f.png,满足题意,这样f103fa56fe21152806c3c318d4203b2f.pngcc7bfcc66548c39c374a8e64cfd8397e.png矛盾,故命题为假,而否命题与逆命题互为逆否命题,故否命题亦为假.

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  • 今天,老师为大家整理了命题关系总结的知识点,建议大家都好好看看~【集合命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否...

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    今天,老师为大家整理了命题及关系总结的知识点,建议大家都好好看看~

    【集合】命题及其关系【学习目标】1.了解命题、真命题、假命题的概念,能够指出一个命题的条件和结论;2.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系,能判断四种命题的真假;3.能熟练判断命题的真假性.[来c10b092f54d3bfa0d014f969f4dcd314.png源:学科网]【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达ae3220b1c89eeecb8d2f1df4e3cc607d.png的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.要点诠释:1. 不是任何语句都是命题,不能确定真假的语句不是命题,如“c0af4bcf9c8625c03dc455852bbe00a1.png”,“2不一定大于3”.2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句,疑问句,感叹句都不是命题,例如:“起立”、“是有理数吗?”、“今天天气真好!”等.3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真,要么是假,不能既真又假,模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性,或者不具有某种属性,这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png,则894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png”的形式,或“如果0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png,那么894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png”的形式.其中0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png是命题的条件,894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png是命题的结论.要点诠释:1. 一般地,命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2. 有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么,因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题:“若0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png,则894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png”;逆命题:“若894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png,则0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png”;实质是将a7a133bf249c200758f28562cd126bc8.png原命题的条件和结论互相交换位置;否命题:“若非0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png,则非894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png”,或“若923449b2eeca071a886c78de2942ad32.png,则e58ffc4ca6da37876a1df8a98cd9a9be.png”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定;逆否命题:“若非894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png,则非0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png”,或“若e58ffc4ca6da37876a1df8a98cd9a9be.png,则923449b2eeca071a886c78de2942ad32.png”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结ae3220b1c89eeecb8d2f1df4e3cc607d.png论换位后再分f6880c765cc50b3a9c902b05cd011ba4.png别否定.要点诠释:对于一般的数学命题,要先将其改写为“若0b6a9aa10621a71b27bc677d01bf660d.png,则894493e4e3a7fcc5b086a6a2aad0807b.png”的形式,然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系606da219fc8281bb0ce7ce22263eb05d.png四种命题之间的真值关系
    f6880c765cc50b3a9c902b05cd011ba4.png命题逆命题否命题逆否命题
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    [来源:学科网]
    [来源:学#科#网]要点诠释:(1)互为逆否命题的两个命题同真同假;(2)互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一:命题的概念例1.判断下列语句中哪些是命题,是命题的判断其是真命题还是假命题.(1)末位是0的整数能被5整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行,则斜率相等;(4)△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;(5)余弦函数是周期函数吗?【思路点拨】依据命题的定义判断。【解析】(1)是命题,真命题;(2)是命题,假命题;(3)是命题,假命题;(4)是命题,真命题;(5)不是命题.这是一个疑问句,没有做出判断.【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行.举一反三:【变式1】判断下列语句是否为命题?若是,判断其真假.(1)889fb395c41be1adbe2c368d21ec3fb5.png;   (2) 当d969590137b5f2c400e501c5b4662091.png时, 889fb395c41be1adbe2c368d21ec3fb5.png;  (3) 你是男生吗? (4) 求证:78b93e338567f04231c4e31cfe345bdb.png是无理数.【答案】(1) 不是命题;由于无法确定变量8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的值,所以无法确定其真假.(2) 是命题;假命题. (3) 不是命题;这是一个疑问句,没有做出判断.(4) 不是命题;这是一个祈使句,没有做出判3ce0e8d58a7bfc9c80fb63b3d0f20d80.png断.【变式2】下列语句中是命题的是(    )A.f264e4532f6c4c6fe983012807d671f5.png    B.{0}∈N    C.元素与集合    D.真子集【答案】B【变式e92b3ec7204bae3f516ecd9b984d44fe.png3】判断下列语644901eb300d8b03f57392c83aa0af71.png句是否是命题.(1)这是一棵大树;[来源:学#科#网](2)sin30=af15a5af1034678000eeadb421ff85e2.png(3)x2+1>0;(4)梯形是平行四边形.【答案】(1)不是,无法确定“大”;(2)是;(3)是;(4)是.类型二:命题的结构例2.指出下面命题的条件和结论.(1)对顶角相等;(2) 四边相等的四边形是菱形.【思路点拨】命题都是一定的条件下推出的一定的结果,所以据此确定哪是条件,哪是结论。【解析】(1)原命题写成:若两个角是对顶角,则这两个角相等.条件:两个角是对顶角;结论:这两个角相等.[来源:学,科,网Z,X,X,K](2)原命题可写成:如果一个四边形的四边相等,则这ae3220b1c89eeecb8d2f1df4e3cc607d.png个四边形是菱形.条件:一个四边形的四边相等;结论ae3220b1c89eeecb8d2f1df4e3cc607d.png:这个四边形是菱形.【总结升华】要写出一个命题的条件和结论,一般是把一个命题改写成“如果p,那么q”的形式,其中p是条件,q是结论.举一反三:【变式】指出下列命题的条件p和结论q.(1)若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心;(2)若两条直线a和b都和直线c平行,则直线a和直线b平行.644901eb300d8b03f57392c83aa0af71.png【答案】[来源:Zxxk.Com](1)条件p:空间四边形为正四面体;结论13fce33250fe10f604ae7b0c850096d7.pngq:顶点在底面上的射影为底面的中心.(2)条件p:两直线a、b都和直线c平行;结论q:直线a和b平行.例3. 将下列命题改写为“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(2)对角线相等的平面四边形是矩形.【解析】(1)“若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行”,真命题.(2f6880c765cc50b3a9c902b05cd011ba4.png)“若一个平面四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形”,假命题.【总结升华】有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但适当的改写后可以写成“若p,则q”的形式,那么就能很清楚地看出其条件和结论.举一反三:【变式1】把命题“6是12和24的公约数”写成若p则q的形式.【答案】若一个数等于6,则这个数是12和24的公约数.【变式2】将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假.(1)偶数能被2整除;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)同弧所对的圆周角不相等.【答案】(1)若一个数是偶数,则它能被2整除;真命题.(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称;真命题.[来源:学科网ZXXK](3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等;假命题.类型三:命题的四种形式a3795de6beb0fa8497f758fafe355a4f.png例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断四种命题的真假.(1)若f3e1052623b28db50ced1c7c574a4492.png,则61c2ff94281bd3962fb3abd094f1af08.png(2)若c8b92ea13dc799645478a1d2f3ea66e8.png,则8d1f3798285c851da280b127cca834c5.png(3)若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等.【思路点拨】由原命题写出逆命题,否命题和逆否命题时注意规律:①交换原命题的条件和结论.所得命题就是逆命题.②同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题.③交换原命题的条件和结论并且同时否定.所得命题就是逆否命题.【解析】(1)原命题:若f3e1052623b28db50ced1c7c574a4492.png,则61c2ff94281bd3962fb3abd094f1af08.png;       假命题逆命题:若61c2ff94281bd3962fb3abd094f1af08.png,则f3e1052623b28db50ced1c7c574a4492.png;      a7a133bf249c200758f28562cd126bc8.png 真命题否命题:若ca50e2933f405784605ffc31a9a7b2a9.png,则e0084a8dc9903fd81e55484459921094.png;       真命题逆否命题:若e0084a8dc9903fd81e55484459921094.png,则ca50e2933f405784605ffc31a9a7b2a9.png.       假命题(2)原命题:若c8b92ea13dc799645478a1d2f3ea66e8.png,则8d1f3798285c851da280b127cca834c5.png;      真命题逆命题:若8d1f3798285c851da280b127cca834c5.png,则c8b92ea13dc799645478a1d2f3ea66e8.png;      假命题否命题:若17d0c100ecd8a4de2adaf563378dd5b1.png,则a1da9a5a51f6f9e30f0bc792278c032b.png;      假命题逆否命题:若a1da9a5a51f6f9e30f0bc792278c032b.png,则17d0c100ecd8a4de2adaf563378dd5b1.png.     真命题(3)原命题:若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等;真命题逆命题:若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等;真命题否命题:若一个三角形没有两条边相等,则这个三角形没有两个角相等;真命题逆否命题:若一个三角形没有两个角相等,则这个三角形没有两条边相等.   真命题【总结升华】①一般地,先将命题改写成“若…,则…”的形式,再写出其他命题形式;某些命题存在大前提,写其它命题时应注意保留.②互为逆否命题的两个命题是等价的,同为真或同为假,因此在判定真假时,只需判定二者中的一个.举一反三:【变式】写出下列的命题的逆命题,否命题和逆否命题,并判5e75a59518fc5678e2068f37c27e5c62.png断它们的真假.(1)对顶角相等;       (2)空集A是非空集合B的真子集;【答案】(1)原命题:如果两角是对顶角,那么这两角相等(真命题);逆命题:如果两角相等,那么两角是对顶角(假命题);否命题:如果两角不是d1722a92af43004bcf49e107c2da9a81.png对顶角,那么这两角不相等(假命题);逆否命题:如果两5e75a59518fc5678e2068f37c27e5c62.png角不相等,那么这两角不是对顶角(真命a7a133bf249c200758f28562cd126bc8.png题).[来源:Z*xx*k.Com](2)原命题:644901eb300d8b03f57392c83aa0af71.png若A是空集,则A是非空集合7d537bb5db178beddf9c06a9298b3cc8.pngB的真子集(真命题);逆命题:若A是非空集合B的真子集,则A是空集(假命题);否命题:若A不是空集,则A不是非空集合Bae3220b1c89eeecb8d2f1df4e3cc607d.png的真6411515ec653b73d8ea41e3c0c7093ca.png子集(假命题);逆否命题:若A不是非空集合B的真子集,则A不是空集(真命题).例5.设命题: 若af0821eb88ad5be2756f9f067978cac6.png,则关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的方程a24f02bc88674341e299f93236629d36.png有实数根.试写出它的逆命题,否命题和逆否命题,并分别判断其真假.【思路点拨】判断原命题,逆命题,否命题,逆否命题的真假时,只要判断原命题与逆命题的真假,就可知道其它两个命题的真假,不必一一判断.【解析】逆命题:若关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的方程a24f02bc88674341e299f93236629d36.png有实数根,则af0821eb88ad5be2756f9f067978cac6.png.否命题:若8a0adf8cb7d34bdfde881e18c1167753.png,则关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的方程a24f02bc88674341e299f93236629d36.png无实数根.逆否命题:若关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的方程a24f02bc88674341e299f93236629d36.png无实数根,则8a0adf8cb7d34bdfde881e18c1167753.png.①先判断原命题和逆否命题的真假.ac5986781d9d23fa8b5a97c66a0a89d1.png, ∴ 当67e3d6b3d18f499a1a21ac26640e9189.png时,方程有实数根.∵当af0821eb88ad5be2756f9f067978cac6.png时,67e3d6b3d18f499a1a21ac26640e9189.png成立,∴ 方程有实数根,∴原命题为真,逆否命题也为真.②判断逆命题和否命题的真假当方程有实数根,即67e3d6b3d18f499a1a21ac26640e9189.png时,推不出af0821eb88ad5be2756f9f067978cac6.png,∴逆命题为假,否命题也为假.【总结升华】先将命题中的条件等价转化,然后关于不等式的集合的命题可以借助于集合的韦恩图解决a3795de6beb0fa8497f758fafe355a4f.png.举一反三:5e75a59518fc5678e2068f37c27e5c62.png变式1】试写出下列命题的逆命题,否命题和逆否命题,并分别判断其真假.(16411515ec653b73d8ea41e3c0c7093ca.png)当集合95d4606f6aa1c4eaba67ddb641908407.pnge1b2baba1f3fb16c1c66613677d407e2.png时,若7912254374fe308304432efe4e5a096a.png,则2b5ad949a38a4ae96561bb9cc542bc4d.png.(2)若711106fff8060b5bdcf513d14bba0b48.png,则c0af4bcf9c8625c03dc455852bbe00a1.png,  98630a99d6fffa6676eed5cf7e5dd3a7.png(3)若4df8ed532b00d3546d64d8aa5b6e3f69.png,则a7c66cf506c641f05c675c0150231a77.png【答案】(1)原命题:当集合95d4606f6aa1c4eaba67ddb641908407.pnge1b2baba1f3fb16c1c66613677d407e2.png时,28909e3c485dd7bcda61bcd2a50b0bb7.png7912254374fe308304432efe4e5a096a.png,则2b5ad949a38a4ae96561bb9cc542bc4d.png(假命题);逆命题:当集合95d4606f6aa1c4eaba67ddb641908407.pnge1b2baba1f3fb16c1c66613677d407e2.png时,若2b5ad949a38a4ae96561bb9cc542bc4d.png,则7912254374fe308304432efe4e5a096a.png(真命题);否命题:当集合95d4606f6aa1c4eaba67ddb641908407.pnge1b2baba1f3fb16c1c66613677d407e2.png时,若571d0d3b5c06ca4becaa80ee37406d11.png,则151417ec3d2674012d3d5b1d161e2a43.png(真命题);逆否命题:当集合95d4606f6aa1c4eaba67ddb641908407.pnge1b2baba1f3fb16c1c66613677d407e2.png时,若151417ec3d2674012d3d5b1d161e2a43.png,则571d0d3b5c06ca4becaa80ee37406d11.png(假命题).(2)原命题:若711106fff8060b5bdcf513d14bba0b48.png,则c0af4bcf9c8625c03dc455852bbe00a1.png(真命题);逆命题:若c0af4bcf9c8625c03dc455852bbe00a1.png,则711106fff8060b5bdcf513d14bba0b48.png(假命题);[来源:学#科#网]否命题:若a4e003391b49edddb6b8b3b361931833.png,则97e5cd7261c79c94aa0f9f9c3d54fba5.png(假命题);逆否命题:若97e5cd7261c79c94aa0f9f9c3d54fba5.png,则a4e003391b49edddb6b8b3b361931833.png(真命题).(3)原命题:若4df8ed532b00d3546d64d8aa5b6e3f69.png,则a7c66cf506c641f05c675c0150231a77.png(假命题);逆命题:若a7c66cf506c641f05c675c0150231a77.png,则4df8ed532b00d3546d64d8aa5b6e3f69.png(真命题);f6880c765cc50b3a9c902b05cd011ba4.png否命题:若3dea67977e0cf0d1a5c1b157f5cde2a0.png,则2f847494be61dcc80235c8c296d74b44.png(真命题);逆否命题:若2f847494be61dcc80235c8c296d74b44.png,则3dea67977e0cf0d1a5c1b157f5cde2a0.png(假命题).【变式2】已知命题:“如果dd680b7cc4c913ab13f11ce73b3f3cd8.png,那么关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的不等式44ade1652b518cc1c8b474a06822f201.png的解集是空集”,写出它的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【答案】逆命题:如果关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的不等式44ade1652b518cc1c8b474a06822f201.png的解集是空集,那么dd680b7cc4c913ab13f11ce73b3f3cd8.png否命题:如果2cc636c380bab76b569a6dbbae1bf83e.png,那么关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的不等式44ade1652b518cc1c8b474a06822f201.png的解集不是空集;a7a133bf249c200758f28562cd126bc8.png逆否命题:如果关于8153fe0c4016fd172342a91455278370.png的不等式44ade1652b518cc1c8b474a06822f201.png的解集不是空集,那么2cc636c380bab76b569a6dbbae1bf83e.png.       判断原命题的真假. 当dd680b7cc4c913ab13f11ce73b3f3cd8.png时,6218d945f1e46e1a6a69f494fd9a9254.png,b7e36b140d0de3494a00afe6d83e5606.png44ade1652b518cc1c8b474a06822f201.png的解集为03dbec4fe078b22bf7a32fa090b9f179.png,故原命题为真,则逆否命题亦真.② 对于逆命题,当44ade1652b518cc1c8b474a06822f201.png的解为空集时,先研究5221cd5e4383d648a0712f5afb4ae432.png53f3e1fea30dcb1a6b551157597f7fd2.png,满足题意,这样53f3e1fea30dcb1a6b551157597f7fd2.pngdd680b7cc4c913ab13f11ce73b3f3cd8.png矛盾,故命题为假,而否命题与逆命题互为逆否命题,故否命题亦为假.

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  • 集合与常用逻辑用语是高中数学的基础知识,在高中数学的各个部分有着广泛的应用,函数与导数是高中数学的主干知识,在高考中处于特殊的地位,这部分内容涉及到的高频考点主要有,集合(集合的基本概念、基本关系和
  • 设A,B两个集合有一种一一对应的关系ψ:A→B , 则称A,B等势记做:A~B 。 如果A=B , 则A~B,反之不成立。 凡与自然集合N等势的集合称之为可数集合 , 该集合的基数记为 (阿列夫零) 开区间(0,1)称为不可数集合,...

    符号表

    离散数学及其应用的图片

    集合

    1. 设A,B两个集合有一种一一对应的关系ψ:A→B , 则称A,B等势记做:A~B 。
      如果A=B , 则A~B,反之不成立。
    2. 凡与自然集合N等势的集合称之为可数集合 , 该集合的基数记为
      在这里插入图片描述(阿列夫零)
    3. 开区间(0,1)称为不可数集合, 凡与开区间等势的集合称为不可数集合,称为阿列夫。

    命题

    1. 一切没有判断内容的句子都不能作为命题,命题应该是一个陈述语句

    2. 设p为任意命题,非p称为p的否定式,记为﹁p。

    3. p∧q 含义为 “p并且q”或“p与q” ; p∨q 含义为“p或q”,均为假才为假。

    4. ∧∨⊕ 相当于 or , and ,xor

    5. 在这里插入图片描述

    6. p↔q 为 p与q 的等价式。q , p相同才为真。
      在这里插入图片描述

    7. 所有连接词的优先级为:否定,合取,析取 , 蕴涵,等价。
      - 同级按从左到右

    8. 公式g为可满足公式, 如果它不是永假。那么g当且仅当至少有一个解释i , 使g在 i 下为真。若g为永真 , 则g一定为可满足公式,反之则不满足 。
      - 永假公式(矛盾式 ,永真公式为重言式)在它所有解释下其真值都为假,也可称为不可满足公式。

    9. 如果p↔q ,为永真式 , 则充分必要条件是p 和q称为逻辑等价 , p≡ q 。

    10. 结合律 :g∨( h v s) = (g v h) v s 同 换成 ∧
      - 分配律 :
      g ∨( h ∧ s ) = ( g∨ h ) ∧ (g ∨ s)
      g ∧ ( h ∨ s ) = (g ∧ h )∨ (g ∧ s )
      - 吸收律 :
      g ∨ ( g ∧ h ) = g
      g ∧ ( g ∨ h ) = g
      - 德摩根律 :
      ﹁ ( g ∨ h) = ﹁ g ∧ ﹁ h
      ﹁ ( g ∧ h) = ﹁ g ∨ ﹁ h
      - 蕴含式 :
      g → h = ﹁ g∨ h
      - 假言易位
      g → h = ﹁ h → ﹁ g (逆否命题 )
      - 等价式
      g ↔ h = ( g → h ) ∧ ( h → g ) = ( ﹁ g ∨ h)∧ ( ﹁ h ∨ g)
      - 等价否定式
      g ↔ h =﹁ g ↔ ﹁ h
      - 归谬论
      (g → h )∧ ( g → ﹁ h) = ﹁ g

    展开全文
  • 逻辑函数的表示居然如此多,有些定理可以用集合表示,也可以用逻辑命题关系演算表示。 集合表示 逻辑运算表示 关系表示 逻辑运算表示 : 首先是命题,一个或真或假的陈述句,一个这样的句子,是不可能又真又假的...

    才发现,以前木头一样的望文生义,或者以前真的只是通过简单记忆,根本没了解过,以后怎样应用他们。逻辑函数的表示居然如此多,有些定理可以用集合表示,也可以用逻辑命题的关系演算表示。

    • 集合表示
    • 逻辑运算表示
    • 关系表示

    逻辑运算表示 :
    首先是命题,一个或真或假的陈述句,一个这样的句子,是不可能又真又假的。
    命题的否定:非命题,标号可以是字母加上横线,也可以是横折。
    命题的合取:叫得比较奇怪,我感觉就是“并且”的意思,类似集合的^,就是交集的意思
    命题的析取:叫得也奇怪,就是“或”的意思,类似集合的并操作U,就是并集的意思
    逻辑的一个特点就是有真假的判断,并且每一个命题都有自己多种情况来判断是否正确,就像一个命题在不同的地方,不同的背景下,结果是不一样的,就是看你用在什么地方。
    为什么说集合与逻辑运算的相似呢?集合是可以包含数字,文字描述,等具体对象的集和,从算术的角度来衡量对象的关系,逻辑运算的对象也是生活中的所有事物,则是从真假判断的角度来衡量。
    集合的非,就是逻辑的否定,
    集合的交,就是逻辑的合取,
    集合的并,就是逻辑的析取,
    集合的被包含属于关系,就是逻辑的充分不必要条件,
    集合的包含关系,就是逻辑的必要不充分条件。
    如果p,则q,p是q的子集,也是充分不必要条件,反之q是p的必要不充分条件。用集合的思想来理解逻辑学中的知识。

    p:今天是星期五
    q:今天下雨
    合取pq:今天是星期五并且下雨,
    星期五有很多天气包括下雨,下雨有很多日包括星期五,这个命题的只有在两者的交集,它的真值有一个表格,只有都为真才是真,其他是假。

    析取qp:今天是星期五或今天下雨,
    同或,有一个为真,才是真,其他都是假。

    条件qp:如果今天星期五,那就要下雨。它的真纸是什么呢。就是根据子集能否推出下雨,主要是在两个集合之间,看哪个部分可以推出下雨,就是属于下雨的集合,这样就可以知道具体的真假
    今天星期五,今天下雨,那这个命题是真
    今天星期五,今天不下雨,那这个命题是假。根据今天星期五与否的条件,不能推出下雨的结论,不是下雨的子集
    今天不是星期五,今天下雨,那这个命题是真,存在就是合理
    今天不是星期五,今天不下雨,那这个命题是真,存在就是合理

    q永真,那么任何条件不管成立与否,都可以推出q

    问题一:为什么条件为假,结论为真,命题为真
    问题二:为什么条件,结论都为假,命题也为真

    如果今天星期五,那2+3=5,这个命题的结论永远是真的,那不管条件如何,都是真的

    如果今天不是星期五,那2+3=6,这个命题的结论是假的,那如果条件为假,那就是假假真,结论为真;一个假条件必然推出一个假结论,这个是真的。
    如果条件是真的,这个结论是假,那命题就是假的。

    结论为真,那不管条件如何呢,都是真;
    结论为假,条件只有是假,那才是真;否则,为假;
    (如果我们说了一个假结论,那要给一个假条件,才会认定我们是说的真话)

    结论可以为真,可以为假的情况下,只要我们条件为真,结论为真,那就是真;只要我们条件为假,不管结论如何,都是真,存在即合理。

    这个和if-then联系起来,if 后条件为真,执行then后面语句。计算机是这样来理解这个命题的,if后面的是一个命题,可以是蕴含,也可以是等价哦。
    蕴含就是p->q,非(非p&q).
    等价就是非(非p&q)&&非(非q&p)

    数据结构其实也可以理解为一些集合,在计算机中,会处理不同集合之间的数据关系。集合是没有序的,但是如果我们要考虑有序的,就需要加入括号,表明笛卡儿积的有序。

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