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  • 直言命题符号化 简单符号化 三段论逻辑的命题只涉及直言命题,直言命题有四种: 全称肯定 A: 所有S是P 全称否定 E: 所有S不是P 特称肯定 I: 有S是P 特称否定 O:有S不是P 我们用个体变项x表示直言命题中的...
    一。直言命题的符号化
    • 简单符号化

      三段论逻辑的命题只涉及直言命题,直言命题有四种:
      全称肯定 A: 所有S是P
      全称否定 E: 所有S不是P
      特称肯定 I: 有S是P
      特称否定 O:有S不是P

      我们用个体变项x表示直言命题中的主项“S”,用P(…)表示直言命题中的谓词”…是P“。P()是一个元变项,表示任何一个一目谓词。

      如果主项x表示最大的类,即宇宙间一切事物的集合,那么符号化一般形式是:

      直言命题 分类 最大类符号化 解释
      全称肯定 A 所有S是P ∀x P(x) “对所有x而言,x具有P属性”
      全称否定 E 所有S不是P ∀x ¬P(x) “对所有x而言,x具有非P属性”
      特称肯定 I 有S是P ∃x P(x) “至少存在一个x使得 ,x具有P属性”
      特称否定 O 有S不是P ∃x ¬P(x) “至少存在一个x使得 ,x具有非P属性”
    • 直言命题的一般符号化

      我们知道,一般直言命题的主项并不是“一切事物”,“个体”等表示宇宙最大类的域范围,一般直言命题的主项只是某个特定的域范围。

      • 全称直言命题,例如:

        1)所有的鱼都是用鳃呼吸的。

        主项“鱼”就不是最大类的项。假如符号化成: ∀x P(x),那么解释就是:“对所有x而 言,x是用鳃呼吸的”,这显然不符合原意。它的正确的解释应该是:

        ∀x(如果x是鱼,那么x是用鳃呼吸的)
        表述为:“对所有的事物而言,如果事物是鱼,那么它是用鳃呼吸的”
        符号化成:
        ∀x(Y(x)→ S(x))
        Y(x)代表谓词“x是鱼",S(x)代表谓词“x是用鳃呼吸的”

        相应的E命题:

        1‘)任何鱼都不是用鳃呼吸的。

        表述为:“对所有的事物而言,如果事物是鱼,那么它不是用鳃呼吸的”
        符号化成:
        ∀x(Y(x)→ ¬ S(x))
        Y(x)代表谓词“x是鱼",S(x)代表谓词“x是用鳃呼吸的”

      • 对于存在直言命题,例如

        2)有些金属是液体

        重新表述成:“至少有一事物使得,它是金属并且它是液体”
        ∃x (K(x)∧ L(x))
        K(x)代表谓词“x是金属",L(x)代表谓词“x是液体 ”

        相应的O命题:

        2’)有些金属不是液体

        重新表述成:“至少有一事物使得,它是金属并且它是非液体”
        ∃x (K(x)∧ ¬ L(x))
        K(x)代表谓词“x是金属",L(x)代表谓词“x是液体 ”

      四种直言命题的符号化,其一般形式是:

      直言命题 分类 最大类符号化 解释
      全称肯定 A 所有S是P ∀x (S()→ P(x)) “对所有x而言,如果x是S,那么它具有P属性”
      全称否定 E 所有S不是P ∀x (S()→ ¬P(x)) “对所有x而言,如果x是S,那么它具有非P属性”
      特称肯定 I 有S是P ∃x (S()∧ P(x)) “至少存在一个x使得 ,x是S并且具有P属性”
      特称否定 O 有S不是P ∃x (S()∧ ¬P(x)) “至少存在一个x使得 ,x是S并且具有非P属性”
    二。论域。

    逻辑学中的论域相当于数学中的定义域或值域。
    例如,对于全称直言命题,A命题

    一般符号化:
    ∀x (S()→ P(x))
    假如说把论域限制为“S”的集合,记作:UD:{S},相当于数学中的 x ∈ {S}, 那么符号化可以简化成:

    UD:{S},∀x P(x)
    解释“对所有的x而言,x属于集合S ,x具有P属性”

    用数学公式表达是:

    x ∈ {S},∀x P(x)
    解释 “x属于S集合 ,所有的x具有P属性”

    四种直言命题的符号化,其一般形式是:

    直言命题 分类 一般符号化 论域符号化 数学符号化 解释
    全称肯定 A 所有S是P ∀x (S()→ P(x)) UD:{S},∀x P(x) x ∈ {S},∀x P(x) “对所有x而言,如果x是S,那么它具有P属性”
    全称否定 E 所有S不是P ∀x (S()→ ¬P(x)) UD:{S},∀x ¬P(x) x ∈ {S},∀x ¬P(x) “对所有x而言,如果x是S,那么它具有非P属性”
    特称肯定 I 有S是P ∃x (S()∧ P(x)) UD:{S},∃x P(x) x ∈ {S},∃x P(x) “至少存在一个x使得 ,x是S并且具有P属性”
    特称否定 O 有S不是P ∃x (S()∧ ¬P(x)) UD:{S},∃x ¬P(x) x ∈ {S},∃x ¬P(x) “至少存在一个x使得 ,x是S并且具有非P属性”
    二。一般命题的符号化

    全称命题总和蕴含式相联系,存在命题总和合取式相联系。

    全称命题的一般结构:
    ∀x (S(x)→ (…))

    存在命题的一般结构:
    ∃x (S(x)∧ (…))

    • 例1) 所有狗身上有毛并且嗅觉灵敏

      分析:主逻辑词是全称量词“所有”,相当于A命题“所有S是P”,
      一般结构:∀x (S(x)→ (…))

      谓词:
      G(x)表示:x是狗;
      M(x)表示:x身上长毛;
      X(x)表示:x嗅觉灵敏
      符号化成

      ∀x (G(x)→ (M(x)∧ X(x)))

    • 例2) 有些鸟不下蛋或者不会飞

      分析:主逻辑词是存在量词“有的”,相当于 I命题“有S是P”,
      一般结构:∃x (S(x)∧ (…))

      谓词:
      N(x)表示:x是鸟;
      D(x)表示:x下蛋;
      F(x)表示:x会飞
      符号化成

      ∃x (N(x)→ (¬ D(x)∨ ¬ F(x)))

    • 例3) 一个有成就的科学家是一个光荣的人。

      分析:命题中虽然没有出现全称量词,但不难看出,它实际上是一个全称命题,
      解释为” 所有有成就的科学家都是光荣的人“ ,相当于 A命题“所有S是P”,
      一般结构:∀x (S(x)→ (…))

      谓词:
      A(x)表示:x是有成就的科学家;
      B(x)表示:x是光荣的人;
      符号化成

      ∀x (A(x)→ B(x))

      需要注意的是:
      ”x是有成就的科学家“是一个复合谓词,它等于 “x是有成就的”+”x是科学家“。
      ”x是光荣的人“也是一个复合谓词,它等于 “x是光荣的”+”x是人“。

      谓词:
      C(x)表示:x是有成就的";科学家;
      K(x)表示:x是科学家;
      G(x)表示:x是光荣的;
      R(x)表示:x是人;
      符号化成

      ∀x (C(x)∧ K(x)→ G(x)∧ R(x))

    • 例4) 一头牛顶伤张三

      分析:主逻辑词是隐含的存在量词“有一头牛”,相当于 I命题“有S是P”,
      一般结构:∃x (S(x)∧ (…))

      谓词:
      N(x)表示:x是牛;
      S(x,a)表示:x顶伤a;
      b表示个体常项: 张三
      符号化成

      ∃x (N(x)∧ S(x,b) )

    • 例5) 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》,那么,他是聪明的。

      分析:表面看,主逻辑词好像是”如果,那么“,再一看,后件中有一个代词”“,说明前件和后件的逻辑主项相同,前件的”任何小学生“的辖域延展到了后件,所以这是一个普遍命题。主逻辑词”任何“=”所有“。相当于 A 命题“所有S是P”。
      一般结构: ∀x (S(x)→ (…))

      谓词或常项:
      S(x)表示 :x是小学生;
      D(x,a)表示:x读懂a;
      h 表示 :黑格尔的《逻辑学》
      C(x)表示 :x是聪明的;

      符号化成

      ∀x (S(x)→ (D(x,h)→ C(x)))

    • 例6) 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》,那么,黑格尔的《逻辑学》是容易的。

      分析:主逻辑词是”如果,那么“,前件和后件逻辑主项不一样,确认这是一个复合命题,是蕴含命题。 一般结构: S(x)→ P(x) 。
      这里,前件的”如果任何小学生“ 解释为“如果有小学生”,所以前件是一个存在命题。
      存在命题一般结构:∃x (S(x)∧ (…))

      谓词或常项:
      S(x)表示 : x是小学生;
      D(x,a)表示: x读懂a;
      h 表示个体常项: 黑格尔的《逻辑学》
      R(a)表示 : a是容易的;
      符号化为:

      ∃x (S(x)∧ D(x,h))→ R(h)

    • 例7) 如果黑格尔的《逻辑学》是容易的,那么,任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》。

      分析:主逻辑词是”如果,那么“,前件和后件逻辑主项不一样,确认这是一个复合命题,是蕴含命题。 一般结构: S(x)→ P(x) 。
      这里,后件的 ”任何小学生“ 解释为“所有小学生”,所以后件是一个全称命题。
      全称命题一般结构:∀x (S(x)→ (…))

      谓词或常项:
      S(x)表示 : x是小学生;
      D(x,a)表示: x读懂a;
      h 表示个体常项: 黑格尔的《逻辑学》
      R(a)表示 : a是容易的;

      符号化为:

      R(h)→ ∀x (S(x)→ D(x,h))

    • 例8) 如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》,那么,黑格尔的《逻辑学》是容易的。

      分析:本例与前面 例6)相似,只是复合命题前件有一点点不同,
      例6)为“如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》”,
      本例为“如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》”。
      例6 的“任何”被当做存在量词看待,等于“至少有一个”,
      而本例的“所有”无疑是全称量词。

      符号化为:

      ∀x (S(x)∧ D(x,h))→ R(h)

      例9) 任何读懂黑格尔的《逻辑学》的小学生都是聪明的。

      分析: 这里的“任何”当做“所有”解释。所以本例是一个全称命题。
      全称命题的符号化结构为:∀x (S(x)→ (…))

      符号化为:

      ∀x (S(x)∧ D(x,h)→ C(x))

      例10) 只有人是有理性的。

      分析:“只有,才“ 是一个必要条件命题,必要条件要从后到前,倒过来解释为充分条件。充分条件才是蕴含式。解释为:”对任何一个事物,如果它是有理性的,那么它是人“。主逻辑词为全称量词”所有“。
      全称命题的符号化结构为:∀x (S(x)→ (…))

      谓词和常项:
      L(x)表示 : x是有理性的 ;
      R(x)表示 : x是人 ;

    符号化为:

    ∀x (L(x)→ R(x))
    等值于: ∀x (¬ R(x)→ ¬ L(x))

    例11) 聂卫平只同高明的棋手下棋。

    分析:“只同高明的棋手下棋” ,出现”只…“,就是一个必要条件命题,要把联结词“只”提到主项外面来。解析为”只有高明的棋手,聂卫平才同他下棋“。再倒过来解析成充分条件,”所有聂卫平同他下棋的棋手,都是高明的棋手“。这是一个全称命题,
    再解释为:”对所有棋手来说,如果聂卫平和他下棋,那么他是一个高明的棋手“。
    再解释为:”对所有x来说,如果他是棋手,如果聂卫平和他下棋,那么他是一个高明的棋手“。
    全称命题的符号化结构为:∀x (S(x)→ (…))

    谓词和常项:
    n 表示个体常项 :聂卫平
    S(x) 表示 :是棋手
    Q(n,x) 表示:聂卫平和x下棋
    G(x)表示 : x是高吗的 ;
    符号化成:

    ∀x (S(x)→ (Q(n,x)→ G(x)))

    例12) 老虎和狮子都是猛兽。

    分析:可以解释为 ”老虎是猛兽并且狮子是猛兽“。这是两个全称命题的合取。主联结词是合取词 ”∧“。
    全称命题的符号结构为:∀x (S(x)→ (…))

    谓词和常项:
    H(x) 表示 :x是老虎
    S(y) 表示 :y是狮子
    M(x) 表示 :x是猛兽
    符号化成:

    ∀x (H(x)→ M(x))∧ ∀y (S(y)→ M(y))

    参考资料

    《自然演绎逻辑导论》 陈晓平

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  • latex符号大全: 离散数学符号大全,缺失:latex3519/9├ 断定符(公式在L中可证)╞ 满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足)┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”(“与”)运算∨ 命题的“析取”(“或”,“可兼或”)...

    latex符号大全: 离散数学符号大全,缺失:latex3519/9

    ├ 断定符(公式在L中可证)

    ╞ 满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足)

    ┐ 命题的“非”运算

    ∧ 命题的“合取”(“与”)运算

    ∨ 命题的“析取”(“或”,“可兼或”)运算

    → 命题的“条件”运算

    A<=>B 命题A 与B 等价关系

    A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系

    A* 公式A 的对偶公式

    wff 合式公式

    iff 当且仅当

    ↑ 命题的“与非” 运算( “与非门” )

    ↓ 命题的“或非”运算( “或非门” )

    □ 模态词“必然”

    ◇ 模态词“可能”

    φ 空集

    ∈ 属于(??不属于)

    P(A) 集合A的幂集

    |A| 集合A的点数

    R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”

    (或下面加 ≠) 真包含

    ∪ 集合的并运算

    ∩ 集合的交运算

    - (~) 集合的差运算

    〡 限制

    [X](右下角R) 集合关于关系R的等价类

    A/ R 集合A上关于R的商集

    [a] 元素a 产生的循环群

    I (i大写) 环,理想

    Z/(n) 模n的同余类集合

    r(R) 关系 R的自反闭包

    s(R) 关系 的对称闭包

    CP 命题演绎的定理(CP 规则)

    EG 存在推广规则(存在量词引入规则)

    ES 存在量词特指规则(存在量词消去规则)

    UG 全称推广规则(全称量词引入规则)

    US 全称特指规则(全称量词消去规则)

    R 关系

    r 相容关系

    R○S 关系 与关系 的复合

    domf 函数 的定义域(前域)

    ranf 函数 的值域

    f:X→Y f是X到Y的函数

    GCD(x,y) x,y最大公约数

    LCM(x,y) x,y最小公倍数

    aH(Ha) H 关于a的左(右)陪集

    Ker(f) 同态映射f的核(或称 f同态核)

    [1,n] 1到n的整数集合

    d(u,v) 点u与点v间的距离

    d(v) 点v的度数

    G=(V,E) 点集为V,边集为E的图

    W(G) 图G的连通分支数

    k(G) 图G的点连通度

    △(G) 图G的最大点度

    A(G) 图G的邻接矩阵

    P(G) 图G的可达矩阵

    M(G) 图G的关联矩阵

    C 复数集

    N 自然数集(包含0在内)

    N* 正自然数集

    P 素数集

    Q 有理数集

    R 实数集

    Z 整数集

    Set 集范畴

    Top 拓扑空间范畴

    Ab 交换群范畴

    Grp 群范畴

    Mon 单元半群范畴

    Ring 有单位元的(结合)环范畴

    Rng 环范畴

    CRng 交换环范畴

    R-mod 环R的左模范畴

    mod-R 环R的右模范畴

    Field 域范畴

    Poset 偏序集范畴

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  • 根据下面的命题,试用逻辑推理方法确定谁是作案者,写出推理过程。 (1)营业员A或B偷了手表; (2)若A作案,则作案不在营业时间; (3)若B提供的证据正确...%则将命题符号化为(A||B) && (!A||C) &&am...

    根据下面的命题,试用逻辑推理方法确定谁是作案者,写出推理过程。
    (1)营业员A或B偷了手表;
    (2)若A作案,则作案不在营业时间;
    (3)若B提供的证据正确,则货柜末上锁;
    (4)若B提供的证据不正确,则作案发生在营业时间;
    (5)货柜上了锁。

    %将此题进行符号化
    %    A:营业员A偷了手表
    %    B:营业员B偷了手表
    %    C:作案不在营业时间
    %    D:B提供的证据正确
    %    E:货柜末上锁
    %则将命题符号化为(A||B) && (!A||C) && (!D||E) && (D||!C) && !E 
    %通过分析每个事件只有两种情况,使用穷举法,可以得到命题公式的真假,运行结果输出A和B的值
    for A = 0:1
        for B =0:1
            for C =0:1
                for D = 0:1
                    for E = 0:1
                        if (A||B) && (~A||C) && (~D||E) && (D||~C) && ~E ==1
                            fprintf('A:%d,  B:%d',A,B);
                            fprintf('\n');
                        end
                    end
                end
            end
        end
    end
                
    

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  • 常用的逻辑符号

    2019-05-31 21:27:00
    逻辑符号 符号名称 符号含义 说明 $\forall$ 全称量词 表示对于所有的,对于每一个 ...这个反写的E来自英文Exists的第一个字母 ...蕴含符号 ...A$\Rightarrow$B表示由命题A可以推出命题B A$\...
    逻辑符号 符号名称 符号含义 说明
    $\forall$ 全称量词 表示对于所有的,对于每一个 这个倒写的A来自英文All的第一个字母
    $\exists$ 存在量词 表示存在,至少有一个 这个反写的E来自英文Exists的第一个字母
    $\Rightarrow$ 蕴含符号 A$\Rightarrow$B表示由命题A可以推出命题B A$\Rightarrow$B读作若A则B
    $\Leftrightarrow$ 等价符号

    A$\Leftrightarrow$B表示A$\Rightarrow$B且B$\Rightarrow$A

    即A与B是等价命题

    A$\Leftrightarrow$B读作A当且仅当B或A等价于B

     

     

     

     

     

     

     

    使用逻辑符号表示以下命题
    1 对任意实数x,都存在比x更大的实数y:
       描述:$\forall x \in R \quad \exists y \in R(y>x)$


    2 任意两个实数之间,都存在一个实数
       描述:$\forall x,y \in R(x<y) \Rightarrow \exists z \in R (x<z<y)$

    转载于:https://www.cnblogs.com/shiliye/p/10957601.html

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  • ├ 断定符(公式在L中可证)╞ 满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足)┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”(“与”)运算∨ 命题的“析取”(“或”,“可兼或”)运算→ 命题的“条件”运算A<=>B 命题A 与B ...
  • 离散数学符号大全

    千次阅读 2019-09-23 07:57:09
    ├ 断定符(公式在 L 中可证)╞ 满足符(公式在 E上有效,公式在 E上可满足)┐命题的 “非”运算∧ 命题的 “合取 ”(“与”)运算∨ 命题的 “析取 ”(“或”,“可兼或 ”)运算→ 命题的 “条件 ”运算A<...
  • ├ 断定符(公式在 L 中可证)╞ 满足符(公式在 E上有效,公式在 E上可满足)┐命题的 “非”运算∧ 命题的 “合取 ”(“与”)运算∨ 命题的 “析取 ”(“或”,“可兼或 ”)运算→ 命题的 “条件 ”运算A<...
  • 《离散数学》符号表 " 全称量词(任意量词)  $ 存在量词 ├ 断定符(公式在L中可证) ╞ 满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足) ┐ 命题的“非”运算 ∧ 命题的“合取”(“与”)运算 ∨ 命题...
  • 离散数学笔记_02

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  • 枚举求和 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9692/E 来源:牛客网 时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒 空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K 64bit IO Format: %lld ...[ ]表示当[ ]内的命题
  • 逻辑量词

    2019-05-23 23:59:00
     存在: $\exists$,Exists,字母E倒过来就是其符号 使用数学公式描述以下命题1 对任意实数x,都存在比x更大的实数y: 描述:$\forall x \in R \quad \exists y \in R(y>x)$ 2 任意两个实数之间,都存在一个...
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  • 目 录 译者序 第7版序言 第一部分 基础知识 第1章 数据库管理概述 1 1.1 引言 1 1.2 什么是数据库系统 3 1.3 什么是数据库 6 1.4 为什么用数据库 10 1.5 数据独立性 12 1.6 关系系统及其他 15...附录C 缩略语和符号 678
  • 每个命题 都是通过一个 用三段论链接形式的论证 来合理化(虽然它们并不总是严格地遵守亚里士多德的模式)。亚里士多德的三段论逻辑 加上公理化方法,通过欧几里德 几何原本的实例化,被公认为是古希腊的顶尖科学...
  • <ul><li><a href="https://segmentfault.com/a/1190000004494678">CSS哲学伪命题</a></li><li><a href="http://www.cnblogs.com/ys-ys/p/5092760.html">CSS 巧用 :before和:after</a></li><li><a href=...

空空如也

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