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  • 一、 谓词逻辑相关概念、 1、 个体词、 2、 谓词、 3、 量词、 二、 一阶谓词逻辑公式、 三、 两个基本公式、 1、 公式一、 2、 公式二、 四、 命题符号化技巧、 1、 命题符号化方法、 ...五、 命题符号化示例、



    参考博客 :





    一、 谓词逻辑相关概念





    1、 个体词


    个体词 :

    ① 个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词谓词 的 概念 ;

    ② 个体 概念 :独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体个体词 ;

    ③ 个体 变元 : 使用 a , b , c a,b,c a,b,c 表示个体变元 ;

    ④ 个体 常元 : 使用 x , y , z x, y, z x,y,z 表示个体常元 ;

    ⑤ 个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;

    ⑥ 个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合无穷集合 ;

    ⑦ 全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;


    命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

    谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;




    2、 谓词


    谓词 :

    ① 谓词概念 : 将表示 个体性质彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;

    ② 谓词表示 : 使用 F , G , H F, G, H F,G,H 表示谓词 常元 或 变元 ;

    ③ 个体性质谓词表示 : F ( x ) F(x) F(x) 表示 x x x 具有 性质 F F F , 如 F ( x ) F(x) F(x) 表示 x x x 是黑的 ;

    ④ 关系性质谓词表示示例 : F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 表示 x , y x, y x,y 具有 关系 F , 如 : F F F G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) 表示 x x x 大于 y y y ;



    存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

    ① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;

    ② 表示方式 : 使用符号 ∃ \exist 表示 ;

    ③ 解读1 : ∃ x \exist x x 表示个体域中 存在着的 x x x ;

    ④ 解读2 : ∃ x ( F ( x ) ) \exist x( F(x) ) x(F(x)) 表示 , 个体域中 存在 x x x 具有性质 F F F ;



    3、 量词


    全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

    ① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;

    ② 表示方式 : 使用符号 ∀ \forall 表示 ;

    ③ 解读1 : ∀ x \forall x x 表示个体域中 所有的 x x x ;

    ④ 解读2 : ∀ x ( F ( x ) ) \forall x( F(x) ) x(F(x)) 表示 , 个体域中所有的 x x x 都具有性质 F F F ;



    参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )





    二、 一阶谓词逻辑公式



    命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

    ① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

    ② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

    ③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (AB),(AB),(AB),(AB) 也是命题公式 ;

    有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )



    一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

    如果 A A A 是公式 , 则 ∀ x A \forall x A xA ∃ x A \exist x A xA 也是公式



    一阶谓词逻辑公式相关概念 : ∀ x A \forall x A xA , ∃ x A \exist x A xA 公式为例 ;

    指导变元 : ∀ , ∃ \forall , \exist , 量词后面的 x x x 称为 指导变元

    辖域 : A A A 称为 对应量词的辖域 ;

    约束出现 : ∀ x \forall x x , ∃ x \exist x x 辖域 A A A 中 , x x x 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

    自由出现 : 辖域 A A A 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;


    参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )





    三、 两个基本公式





    1、 公式一


    个体域中 所有 有性质 F F F 的 个体 , 都 具有 性质 G G G ;


    使用谓词逻辑如下表示 :

    F ( x ) F(x) F(x) : x x x 具有性质 F F F ;
    G ( x ) G(x) G(x) : x x x 具有性质 G G G ;
    ③ 命题符号化为 :
    ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) x(F(x)G(x))



    2、 公式二


    个体域 中 存在有性质 F F F 同时有性质 G G G 的个体 ;


    使用谓词逻辑如下表示 :

    F ( x ) F(x) F(x) : x x x 具有性质 F F F ;
    G ( x ) G(x) G(x) : x x x 具有性质 G G G ;
    ③ 命题符号化为 :
    ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x) ) x(F(x)G(x))





    四、 命题符号化技巧





    1、 命题符号化方法


    命题符号化方法 :

    ① 写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 ∀ x \forall x x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;

    ② 写出性质个关系谓词 : 使用 F , G , H F , G , H F,G,H 表明 个体的 性质 或 关系 ;

    ③ 命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;




    2、 谓词逻辑组合


    全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 F ( x ) F(x) F(x) G ( x , y ) G(x, y) G(x,y) 部件 再次进行组合 ;

    如下 谓词逻辑 :

    ∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) x(F(x)y(G(y)H(x,y)))

    其中 ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) y(G(y)H(x,y)) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 A A A , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

    ∀ x ( F ( x ) → A ) \forall x (F(x) \rightarrow A) x(F(x)A)

    因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

    ∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )) x(F(x)y(G(y)H(x,y)))




    3、 当且仅当谓词逻辑


    当且仅当 谓词逻辑 符号化 :

    ( 1 ) 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;


    ( 2 ) 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是

    ① 对于所有的 x x x 与 存在的一个 y y y 有 某种性质或关系 ,
    ② 对于所有的 x x x 和 所有的 z z z 存在某种性质或关系 ;
    y y y z z z 具有相等的属性 ;


    ( 3 ) 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是

    ① 对于所有的 x x x 与 存在的一个 y y y 有 某种性质或关系 ,
    y y y 与 所有的 z z z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
    ③ 可以推出 x x x z z z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;





    五、 命题符号化示例



    参考 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 命题符号化 习题

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  • 直言命题符号化 简单符号化 三段论逻辑的命题只涉及直言命题,直言命题有四种: 全称肯定 A: 所有S是P 全称否定 E: 所有S不是P 特称肯定 I: 有S是P 特称否定 O:有S不是P 我们用个体变项x表示直言命题中的...
    一。直言命题的符号化
    • 简单符号化

      三段论逻辑的命题只涉及直言命题,直言命题有四种:
      全称肯定 A: 所有S是P
      全称否定 E: 所有S不是P
      特称肯定 I: 有S是P
      特称否定 O:有S不是P

      我们用个体变项x表示直言命题中的主项“S”,用P(…)表示直言命题中的谓词”…是P“。P()是一个元变项,表示任何一个一目谓词。

      如果主项x表示最大的类,即宇宙间一切事物的集合,那么符号化一般形式是:

      直言命题分类最大类符号化解释
      全称肯定 A所有S是P∀x P(x)“对所有x而言,x具有P属性”
      全称否定 E所有S不是P∀x ¬P(x)“对所有x而言,x具有非P属性”
      特称肯定 I有S是P∃x P(x)“至少存在一个x使得 ,x具有P属性”
      特称否定 O有S不是P∃x ¬P(x)“至少存在一个x使得 ,x具有非P属性”
    • 直言命题的一般符号化

      我们知道,一般直言命题的主项并不是“一切事物”,“个体”等表示宇宙最大类的域范围,一般直言命题的主项只是某个特定的域范围。

      • 全称直言命题,例如:

        1)所有的鱼都是用鳃呼吸的。

        主项“鱼”就不是最大类的项。假如符号化成: ∀x P(x),那么解释就是:“对所有x而 言,x是用鳃呼吸的”,这显然不符合原意。它的正确的解释应该是:

        ∀x(如果x是鱼,那么x是用鳃呼吸的)
        表述为:“对所有的事物而言,如果事物是鱼,那么它是用鳃呼吸的”
        符号化成:
        ∀x(Y(x)→ S(x))
        Y(x)代表谓词“x是鱼",S(x)代表谓词“x是用鳃呼吸的”

        相应的E命题:

        1‘)任何鱼都不是用鳃呼吸的。

        表述为:“对所有的事物而言,如果事物是鱼,那么它不是用鳃呼吸的”
        符号化成:
        ∀x(Y(x)→ ¬ S(x))
        Y(x)代表谓词“x是鱼",S(x)代表谓词“x是用鳃呼吸的”

      • 对于存在直言命题,例如

        2)有些金属是液体

        重新表述成:“至少有一事物使得,它是金属并且它是液体”
        ∃x (K(x)∧ L(x))
        K(x)代表谓词“x是金属",L(x)代表谓词“x是液体 ”

        相应的O命题:

        2’)有些金属不是液体

        重新表述成:“至少有一事物使得,它是金属并且它是非液体”
        ∃x (K(x)∧ ¬ L(x))
        K(x)代表谓词“x是金属",L(x)代表谓词“x是液体 ”

      四种直言命题的符号化,其一般形式是:

      直言命题分类最大类符号化解释
      全称肯定 A所有S是P∀x (S()→ P(x))“对所有x而言,如果x是S,那么它具有P属性”
      全称否定 E所有S不是P∀x (S()→ ¬P(x))“对所有x而言,如果x是S,那么它具有非P属性”
      特称肯定 I有S是P∃x (S()∧ P(x))“至少存在一个x使得 ,x是S并且具有P属性”
      特称否定 O有S不是P∃x (S()∧ ¬P(x))“至少存在一个x使得 ,x是S并且具有非P属性”
    二。论域。

    逻辑学中的论域相当于数学中的定义域或值域。
    例如,对于全称直言命题,A命题

    一般符号化:
    ∀x (S()→ P(x))
    假如说把论域限制为“S”的集合,记作:UD:{S},相当于数学中的 x ∈ {S}, 那么符号化可以简化成:

    UD:{S},∀x P(x)
    解释“对所有的x而言,x属于集合S ,x具有P属性”

    用数学公式表达是:

    x ∈ {S},∀x P(x)
    解释 “x属于S集合 ,所有的x具有P属性”

    四种直言命题的符号化,其一般形式是:

    直言命题分类一般符号化论域符号化数学符号化解释
    全称肯定 A所有S是P∀x (S()→ P(x))UD:{S},∀x P(x)x ∈ {S},∀x P(x)“对所有x而言,如果x是S,那么它具有P属性”
    全称否定 E所有S不是P∀x (S()→ ¬P(x))UD:{S},∀x ¬P(x)x ∈ {S},∀x ¬P(x)“对所有x而言,如果x是S,那么它具有非P属性”
    特称肯定 I有S是P∃x (S()∧ P(x))UD:{S},∃x P(x)x ∈ {S},∃x P(x)“至少存在一个x使得 ,x是S并且具有P属性”
    特称否定 O有S不是P∃x (S()∧ ¬P(x))UD:{S},∃x ¬P(x)x ∈ {S},∃x ¬P(x)“至少存在一个x使得 ,x是S并且具有非P属性”
    二。一般命题的符号化

    全称命题总和蕴含式相联系,存在命题总和合取式相联系。

    全称命题的一般结构:
    ∀x (S(x)→ (…))

    存在命题的一般结构:
    ∃x (S(x)∧ (…))

    • 例1) 所有狗身上有毛并且嗅觉灵敏

      分析:主逻辑词是全称量词“所有”,相当于A命题“所有S是P”,
      一般结构:∀x (S(x)→ (…))

      谓词:
      G(x)表示:x是狗;
      M(x)表示:x身上长毛;
      X(x)表示:x嗅觉灵敏
      符号化成

      ∀x (G(x)→ (M(x)∧ X(x)))

    • 例2) 有些鸟不下蛋或者不会飞

      分析:主逻辑词是存在量词“有的”,相当于 I命题“有S是P”,
      一般结构:∃x (S(x)∧ (…))

      谓词:
      N(x)表示:x是鸟;
      D(x)表示:x下蛋;
      F(x)表示:x会飞
      符号化成

      ∃x (N(x)→ (¬ D(x)∨ ¬ F(x)))

    • 例3) 一个有成就的科学家是一个光荣的人。

      分析:命题中虽然没有出现全称量词,但不难看出,它实际上是一个全称命题,
      解释为” 所有有成就的科学家都是光荣的人“ ,相当于 A命题“所有S是P”,
      一般结构:∀x (S(x)→ (…))

      谓词:
      A(x)表示:x是有成就的科学家;
      B(x)表示:x是光荣的人;
      符号化成

      ∀x (A(x)→ B(x))

      需要注意的是:
      ”x是有成就的科学家“是一个复合谓词,它等于 “x是有成就的”+”x是科学家“。
      ”x是光荣的人“也是一个复合谓词,它等于 “x是光荣的”+”x是人“。

      谓词:
      C(x)表示:x是有成就的";科学家;
      K(x)表示:x是科学家;
      G(x)表示:x是光荣的;
      R(x)表示:x是人;
      符号化成

      ∀x (C(x)∧ K(x)→ G(x)∧ R(x))

    • 例4) 一头牛顶伤张三

      分析:主逻辑词是隐含的存在量词“有一头牛”,相当于 I命题“有S是P”,
      一般结构:∃x (S(x)∧ (…))

      谓词:
      N(x)表示:x是牛;
      S(x,a)表示:x顶伤a;
      b表示个体常项: 张三
      符号化成

      ∃x (N(x)∧ S(x,b) )

    • 例5) 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》,那么,他是聪明的。

      分析:表面看,主逻辑词好像是”如果,那么“,再一看,后件中有一个代词”“,说明前件和后件的逻辑主项相同,前件的”任何小学生“的辖域延展到了后件,所以这是一个普遍命题。主逻辑词”任何“=”所有“。相当于 A 命题“所有S是P”。
      一般结构: ∀x (S(x)→ (…))

      谓词或常项:
      S(x)表示 :x是小学生;
      D(x,a)表示:x读懂a;
      h 表示 :黑格尔的《逻辑学》
      C(x)表示 :x是聪明的;

      符号化成

      ∀x (S(x)→ (D(x,h)→ C(x)))

    • 例6) 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》,那么,黑格尔的《逻辑学》是容易的。

      分析:主逻辑词是”如果,那么“,前件和后件逻辑主项不一样,确认这是一个复合命题,是蕴含命题。 一般结构: S(x)→ P(x) 。
      这里,前件的”如果任何小学生“ 解释为“如果有小学生”,所以前件是一个存在命题。
      存在命题一般结构:∃x (S(x)∧ (…))

      谓词或常项:
      S(x)表示 : x是小学生;
      D(x,a)表示: x读懂a;
      h 表示个体常项: 黑格尔的《逻辑学》
      R(a)表示 : a是容易的;
      符号化为:

      ∃x (S(x)∧ D(x,h))→ R(h)

    • 例7) 如果黑格尔的《逻辑学》是容易的,那么,任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》。

      分析:主逻辑词是”如果,那么“,前件和后件逻辑主项不一样,确认这是一个复合命题,是蕴含命题。 一般结构: S(x)→ P(x) 。
      这里,后件的 ”任何小学生“ 解释为“所有小学生”,所以后件是一个全称命题。
      全称命题一般结构:∀x (S(x)→ (…))

      谓词或常项:
      S(x)表示 : x是小学生;
      D(x,a)表示: x读懂a;
      h 表示个体常项: 黑格尔的《逻辑学》
      R(a)表示 : a是容易的;

      符号化为:

      R(h)→ ∀x (S(x)→ D(x,h))

    • 例8) 如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》,那么,黑格尔的《逻辑学》是容易的。

      分析:本例与前面 例6)相似,只是复合命题前件有一点点不同,
      例6)为“如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》”,
      本例为“如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》”。
      例6 的“任何”被当做存在量词看待,等于“至少有一个”,
      而本例的“所有”无疑是全称量词。

      符号化为:

      ∀x (S(x)∧ D(x,h))→ R(h)

      例9) 任何读懂黑格尔的《逻辑学》的小学生都是聪明的。

      分析: 这里的“任何”当做“所有”解释。所以本例是一个全称命题。
      全称命题的符号化结构为:∀x (S(x)→ (…))

      符号化为:

      ∀x (S(x)∧ D(x,h)→ C(x))

      例10) 只有人是有理性的。

      分析:“只有,才“ 是一个必要条件命题,必要条件要从后到前,倒过来解释为充分条件。充分条件才是蕴含式。解释为:”对任何一个事物,如果它是有理性的,那么它是人“。主逻辑词为全称量词”所有“。
      全称命题的符号化结构为:∀x (S(x)→ (…))

      谓词和常项:
      L(x)表示 : x是有理性的 ;
      R(x)表示 : x是人 ;

    符号化为:

    ∀x (L(x)→ R(x))
    等值于: ∀x (¬ R(x)→ ¬ L(x))

    例11) 聂卫平只同高明的棋手下棋。

    分析:“只同高明的棋手下棋” ,出现”只…“,就是一个必要条件命题,要把联结词“只”提到主项外面来。解析为”只有高明的棋手,聂卫平才同他下棋“。再倒过来解析成充分条件,”所有聂卫平同他下棋的棋手,都是高明的棋手“。这是一个全称命题,
    再解释为:”对所有棋手来说,如果聂卫平和他下棋,那么他是一个高明的棋手“。
    再解释为:”对所有x来说,如果他是棋手,如果聂卫平和他下棋,那么他是一个高明的棋手“。
    全称命题的符号化结构为:∀x (S(x)→ (…))

    谓词和常项:
    n 表示个体常项 :聂卫平
    S(x) 表示 :是棋手
    Q(n,x) 表示:聂卫平和x下棋
    G(x)表示 : x是高吗的 ;
    符号化成:

    ∀x (S(x)→ (Q(n,x)→ G(x)))

    例12) 老虎和狮子都是猛兽。

    分析:可以解释为 ”老虎是猛兽并且狮子是猛兽“。这是两个全称命题的合取。主联结词是合取词 ”∧“。
    全称命题的符号结构为:∀x (S(x)→ (…))

    谓词和常项:
    H(x) 表示 :x是老虎
    S(y) 表示 :y是狮子
    M(x) 表示 :x是猛兽
    符号化成:

    ∀x (H(x)→ M(x))∧ ∀y (S(y)→ M(y))

    参考资料

    《自然演绎逻辑导论》 陈晓平

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    你要结婚了,女朋友分别对你说了这几句话,你好好捋一捋

    1 如果你给我买钻戒,那么我嫁给你

    一口价类型女友,买了就嫁给你
    p:买钻戒 q:嫁给你 p->q

    你可以再加一句同类型的话感受一下(这个方法对比下文)
    如果给我买房,那么我嫁给你
    你会觉得小婊砸,你是能分身还是怎么滴,
    明显感觉逻辑不通.
    说明 一个钻戒就可以嫁给你
    p->q 这个推理没毛病

    补一下语文: 只有

    1、连词,表示必需的条件,下文常用“才”、“方”呼应。
    只有依靠群众,才能做好革命工作
    做好了工作肯定依靠了群众,
    依靠了群众,没有子弹 可能还是做不好工作

    2 只有你给我买钻戒,我才嫁给你

    套路型,你很难成功
    p:买钻戒 q:嫁给你 q->p

    只有P才Q,说明只有P成立时,Q才能成立,注意是能成立不是一定成立
    说明P是Q成立的一个条件
    Q成立还可能有其他条件,
    比如说女方再加一句同类型的话试试
    只有你给我买房,我才嫁给你,
    这个时候你会明显觉得好像他这么说没毛病,套路深啊,
    她也没说买了就嫁给你啊,都说了才,我才18,暗示自己很年轻.我才嫁给你,暗示你力度不够
    所以小伙子只买了钻戒是不能推理出她会嫁给你滴.
    但是只要Q成立就说明P一定成立,
    嫁给你了你肯定说明你买了钻戒买了房,不然怎能空手套白狼
    所以Q推出P.P是Q成立的必要条件。

    补一下语文: 除非、才

    除非
    1.连词。表示唯一的条件,相当于“只有”,常与“才”“否则”“不然”等词呼应:~参加变革现实的实践,不然你是不能获得真知的。
    ps:我觉得这里解释有点矛盾:只有是指必需的条件,不是唯一的条件,把除非理解成 只有 更方便推理


    6.表示只有在某种条件下然后怎样(前面常常用“只有、必须”或含有这类意思):只有依靠群众,~能把工作做好。

    补一下语文: 否则

    否,不,代表一个假设性小句,相当于“如果不这样”。 “则”,就,引出后果或结论,相当于“那么”。
    连词,是如果不这样的意思。
    《实践论》:“理性的东西所以靠得住,正是由于它来源于感性,否则理性的东西就成了无源之水,无本之木。”

    除非你给我100,否则我不 干这事
    同义为:
    (只有)你给我100,不这样我不 干这事
    就是
    不给100块就不干这个事
    我干这事了,说明你给我了一百块

    3 除非你给我买钻戒,否则我不嫁你

    影视剧型女友,好好把握
    (只有)你给我买钻戒,(如果)不这样我不 嫁给你。
    A: 买钻戒 B:嫁给你
    否则我不 是双重否定 表肯定
    比如: 要不是你给了我钱,否则我不这么干。说明 我还是这么干了的
    所以 否则我不B 可以符号化为 ~ (~B) = B
    除非A,否则不B :(B) ->A 即 B -> A
    大白话就是,不买钻戒不嫁给你,嫁给你的条件是买钻戒
    也可同义为:
    只有你给我买钻戒,我才嫁你
    但是有可能 你买了钻戒还是不嫁给你
    所以只有嫁给你才能推出买钻戒, 光买了钻戒推不出嫁给你了

    再来个例子感受下
    除非P,否则不Q。 
    “除非你给我五十万,否则我不会把女儿嫁给你”。
    就是“女儿嫁给你”可以,先给我五十万,否则免谈
    所以嫁给你了,可以推出来是“给了五十万聘礼”。

    理解除非p,否则不q,最容易出现的问题就是,这个最关键的“不”字,切记“不”字属于逻辑关联词的一部分,它不代表着q结论的否定,而是把 否则我不 看成整体表示肯定,也就是说,“除非P,否则不Q”和“除非P,否则Q”根本就不是代表着同一个逻辑意思。

    4 除非你给我买钻戒,否则我嫁你

    白给型女友,恭喜你
    因为这么说话不好直接理解,所以先看一个常见的 除非A否则B 语句使用的场景

    用报名理解 除非A,否则B 和 A,除非B

    除非A,否则B,就是一般情况就是B情况,否则A发生了 :~A->B, ~B->A
    在这里插入图片描述

    再来看下这个例子:
    除非你买钻戒,否则我嫁你
    暗示嫁给你是常态,买了戒指就不一样了
    一般情况就是我嫁给你的,除非你给我买了戒指,我不嫁给你了
    就是 只要不是你给我买戒指了,我就嫁给你
    所以这女的是有多讨厌戒指啊!我就喜欢这样的!

    用语义替换理解

    把除非换成只有 ,否则 换成 如果不这样,语义还是不变的。
    只有你给我买钻戒,如果不这样 我嫁给你
    这样 指的是 买钻戒
    只有你给我买钻戒,如果不买钻戒 我嫁给你
    就是说 买了钻戒,不嫁给你
    所以没嫁给你可以推出了你买了钻戒
    遇到这样的女朋友的好好珍惜人家吧

    除非A,否则B 关系:~B->A, ~A->B
    A:买钻戒
    B:嫁给你
    ~A->B:没买钻戒->你嫁给我
    ~B->A:你没嫁给我->买了钻戒

    转自:https://zhidao.baidu.com/question/362989416.html

    5 例题

    【例】除非不把受到的巨大打击当回事,否则就会有心理疾病。
      以下各项都表达了与题干相同的含义,除了
      A.如果不把受到的巨大打击当回事,就不会有心理疾病。
      B.如果把受到的巨大打击当回事,就会有心理疾病。
      C.只有有心理疾病,才会把受到的巨大打击当回事。
      D.只有不把受到的巨大打击当回事,才不会有心理疾病。
      E.除非受到的巨大打击当回事,否则不会有心理疾病。

    【正确答案】A

    【中公解析】
      题干翻译:除非 不把受到的巨大打击当回事,否则 就会有心理疾病。
      p:不把打击当回事
      q:有疾病
      
      除非 p,否则 q 符号化为: ~p->q 和 ~q->p
       ~p->q:把打击当回事→有疾病
       ~q->p:没有疾病→不把打击当回事

    A翻译:不把受到的巨大打击当回事→不会有心理疾病。 p→~q
      B翻译:受到的巨大打击当回事→有心理疾病。 ~p→q
      C翻译:.只有有心理疾病,才会把受到的巨大打击当回事。 符号化为 只有q,才~p
      所以表示的逻辑为 ~p→q :把受到的巨大打击当回事→有心理疾病
      D翻译:.只有不把受到的巨大打击当回事,才不会有心理疾病 C的逆否命题与C同义
      E翻译:除非受到的巨大打击当回事,否则不会有心理疾病。符号化为 除非~p,否则不q
      q→~p 有疾病->当回事 这个容易误解 常理是对的,但是推理是错的,好好理解一下。
      或者用 除非~p,否则~q 逻辑框架结果是 ~(~q)->(~p) 就是 q->~p 结果是一样的,和题干推理不一样。题干是当回事推出有病,E是有病推出当回事,反过来了
       所以表示的逻辑为:有心理疾病->当回事
      
    总结:只要选项符号化的逻辑与 ~p->q 和 ~q->p相同就是正确选项,明显A是错的 E也错的

    引自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_18841b8ea0102xyck.html

    补充 离散数学 命题符号化

    石墨文档:https://shimo.im/docs/D6TCPYd8g8Jry6Tw

    1 常见命题符号化

    在这里插入图片描述
    x仅当y,y是x的必要非充分条件;x则(–>)y表明x是y的充分非必要条件。

    2 易混淆命题符号化总结

    例子:除非李联不怕吃苦,否则他不会取得这样的好成绩

    法一:除非 A,否则B ~A -> B

    ~A->B 等价于 ~B->A 逆否命题
    A:李联不怕吃苦
    ~A:李联怕吃苦
    B:他不会取得好成绩
    ~B:她取得好成绩
    ~A -> B:李联怕吃苦,所以她不会取得好成绩
    ~B -> A:李联取得好成绩,所以李联不怕吃苦
    在这里插入图片描述

    法二:除非p,否则不 q q->p

    除非李联不怕吃苦,否则他不会取得这样的好成绩
    p:李联不怕吃苦
    q:李联取得好成绩
    李联取得好成绩->李联不怕吃苦

    3 成功学例子 加强巩固

    除非你努力了,否则不能成功 除非p,否则不q
    结论:q->p ~p-> ~q
    p:努力了
    q:能成功
    q->p: 能成功说明你努力了
    ~p-> ~q:不努力肯定不成功
    错误推理:努力了就成功了p->q

    除非你努力了,否则不能成功 除非A,否则B
    结论:~A->B ~B->A
    A:努力了
    B:不能成功
    ~A->B: 不努力一定不成功
    ~B->A:成功了说明努力了
    错误推理:努力了就成功了 A->~B

    推理也符合我们得常识:你努力了不一定成功,你不努力肯定不成功,你成功了一定努力了

    两种方法最终取得的结论是一样的,所以大家按照各自的习惯记忆不要搞混了,记住一种逻辑即可。
    平常用 除非p否则不q,比较多 就是q->p
    p是啥样的就直接写下来,不要被否定词迷惑了,例子的p就是一个否定结论

    复习一下:记住一个就行了
    除非你给我买戒指,否则我不跟你结婚
    跟你结婚->你买戒指

    除非A来了,否则B去参加
    B去参加->A没来

    只有B,才A

    只有B,才A 只有饭熟了,才能吃饭 能吃饭->饭熟了
    在这里插入图片描述

    结束语

    感谢看到这,故事终于讲完了,感谢前辈们的分享,感慨数理逻辑精妙的同时还感慨中华文化的博大精深啊,我也是边学习思考记录下的过程,如果有纰漏的地方大家可以评论出来一起讨论。
    希望大家多多点赞收藏让更多的人看到,激励我的创作。谢谢

    展开全文
  • 离散数学学习笔记【第一篇】

    千次阅读 多人点赞 2019-04-03 23:33:15
    由联结词,标点符号和原子命题复合构成的命题称为 复合命题命题常用大写字母或带下标的大写字母或数字表示,如 A A A , B i B_i B i ​ , [ 12 ] [12] [ 1 2 ] 等,这些符号称为 命题标识符 。 1-2 联结词 ...

    本文所有内容来自上海科学技术文献出版社《离散数学》第一篇。

    第一篇 数理逻辑

    第一章 命题逻辑

    1-1 命题及其表示法

    具有确定真值的陈述句叫做命题
    命题有两种类型:不能分解为更简单的陈述语句的称为原子命题;由联结词,标点符号和原子命题复合构成的命题称为复合命题
    命题常用大写字母或带下标的大写字母或数字表示,如 A A A B i B_i Bi [ 12 ] [12] [12]等,这些符号称为命题标识符

    1-2 联结词

    P P P Q Q Q ¬ P \neg P ¬P P ∧ Q P \wedge Q PQ P ∨ Q P \vee Q PQ P → Q P \rightarrow Q PQ P ⇆ Q P \leftrightarrows Q PQ
    T T T T T T F F F T T T T T T T T T T T T
    T T T F F F F F F F F F T T T F F F F F F
    F F F T T T T T T F F F T T T T T T F F F
    F F F F F F T T T F F F F F F T T T T T T

    1-3 命题公式与翻译

    递归定义了合式公式( wff \text{wff} wff

    1-4 真值表与等价公式

    定义 1 - 4.1
    在命题公式中,对于分量指派真值的各种可能组合,就确定了这个命题公式的各种真值情况,把它汇列成表,就是命题公式的真值表

    定义 1 - 4.2
    给定两个命题公式 A A A B B B ,设 P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn 为所有出现于 A A A B B B 中的原子变元,若给 P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn 任一组真值指派, A A A B B B 的真值都相同,则称 A A A B B B等价的或逻辑相等的。记作 A ⇔ B A\Leftrightarrow B AB

    命题定律表达式
    对合律 ¬ ¬ P ⇔ P \neg\neg P \Leftrightarrow P ¬¬PP
    幂等律 P ∨ P ⇔ P , P ∧ P ⇔ P P \vee P \Leftrightarrow P , P \wedge P \Leftrightarrow P PPP,PPP
    结合律 ( P ∨ Q ) ∨ R ⇔ P ∨ ( Q ∨ R ) ( P ∧ Q ) ∧ R ⇔ P ∧ ( Q ∧ R ) \begin{aligned}(P \vee Q)\vee R \Leftrightarrow P \vee (Q \vee R)\\(P \wedge Q)\wedge R \Leftrightarrow P \wedge (Q \wedge R)\end{aligned} (PQ)RP(QR)(PQ)RP(QR)
    交换律 P ∨ Q ⇔ Q ∨ P P ∧ Q ⇔ Q ∧ P \begin{aligned}P \vee Q \Leftrightarrow Q \vee P\\P \wedge Q \Leftrightarrow Q \wedge P\end{aligned} PQQPPQQP
    分配律 P ∨ ( Q ∧ R ) ⇔ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ) P ∧ ( Q ∨ R ) ⇔ ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ) \begin{aligned}P \vee (Q \wedge R) \Leftrightarrow (P \vee Q)\wedge(P \vee R)\\P \wedge (Q \vee R) \Leftrightarrow (P \wedge Q)\vee(P \wedge R)\end{aligned} P(QR)(PQ)(PR)P(QR)(PQ)(PR)
    吸收律 P ∨ ( P ∧ Q ) ⇔ P P ∧ ( P ∨ Q ) ⇔ P \begin{aligned}P \vee (P \wedge Q) \Leftrightarrow P\\P \wedge (P \vee Q) \Leftrightarrow P\end{aligned} P(PQ)PP(PQ)P
    德·摩根律 ¬ ( P ∨ Q ) ⇔ ¬ P ∧ ¬ Q ¬ ( P ∧ Q ) ⇔ ¬ P ∨ ¬ Q \begin{aligned}\neg(P \vee Q) \Leftrightarrow \neg P \wedge \neg Q\\\neg(P \wedge Q) \Leftrightarrow \neg P \vee \neg Q\end{aligned} ¬(PQ)¬P¬Q¬(PQ)¬P¬Q
    同一律 P ∨ F ⇔ P , P ∧ T ⇔ P P \vee \pmb{F} \Leftrightarrow P , P \wedge \pmb{T} \Leftrightarrow P PFFFP,PTTTP
    零律 P ∨ T ⇔ T , P ∧ F ⇔ F P \vee \pmb{T} \Leftrightarrow \pmb{T} , P \wedge \pmb{F} \Leftrightarrow \pmb{F} PTTTTTT,PFFFFFF
    否定律 P ∨ ¬ P ⇔ T , P ∧ ¬ P ⇔ F P \vee \neg P \Leftrightarrow \pmb{T} , P \wedge \neg P \Leftrightarrow \pmb{F} P¬PTTT,P¬PFFF

    1-5 重言式与蕴含式

    定义 1 - 5.1
    给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为 T \pmb{T} TTT ,则称该命题公式为重言式永真公式

    定义 1 - 5.2
    给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为 F \pmb{F} FFF ,则称该命题公式为矛盾式永假公式

    定理 1 - 5.1
    任何两个重言式的合取或析取,仍然是一个重言式。

    定理 1 - 5.2
    一个重言式,对同一分量都用任何合式公式置换,其结果仍为一重言式。

    定理 1 - 5.3
    A A A B B B 为两个命题公式, A ⇔ B A \Leftrightarrow B AB 当且仅当 A ⇆ B A \leftrightarrows B AB 为一个重言式。

    定义 1 - 5.3
    当且仅当 P → Q P \rightarrow Q PQ 是一个重言式时,我们称“ P P P 蕴含 Q Q Q ”,并记作 P ⇒ Q P \Rightarrow Q PQ

    定理 1 - 5.4
    P P P Q Q Q 为任意两个命题公式, P ⇔ Q P \Leftrightarrow Q PQ 的充分必要条件是 P ⇒ Q P \Rightarrow Q PQ Q ⇒ P Q \Rightarrow P QP

    1-6 其他联结词

    P P P Q Q Q P ∨ ‾ Q P \overline{\vee} Q PQ P → c Q P \overset{c}{\rightarrow} Q PcQ P ↑ Q P \uparrow Q PQ P ↓ Q P \downarrow Q PQ
    T T T T T T F F F F F F F F F F F F
    T T T F F F T T T T T T T T T F F F
    F F F T T T T T T F F F T T T F F F
    F F F F F F F F F F F F T T T T T T

    P ∨ ‾ Q ⇔ ( P ∧ ¬ Q ) ∨ ( ¬ P ∧ Q ) P → c Q ⇔ P ∧ ¬ Q P ↑ Q ⇔ ¬ P ∨ ¬ Q P ↓ Q ⇔ ¬ P ∧ ¬ Q P \overline{\vee} Q \Leftrightarrow (P \wedge \neg Q) \vee (\neg P \wedge Q)\\ P \overset{c}{\rightarrow} Q \Leftrightarrow P \wedge \neg Q\\ P \uparrow Q \Leftrightarrow \neg P \vee \neg Q\\ P \downarrow Q \Leftrightarrow \neg P \wedge \neg Q PQ(P¬Q)(¬PQ)PcQP¬QPQ¬P¬QPQ¬P¬Q

    1-7 对偶与范式

    定义 1 - 7.1
    在给定的命题公式中,将联结词 ∨ \vee 换成 ∧ \wedge ,将 ∧ \wedge 换成 ∨ \vee ,若有特殊变元 T \pmb{T} TTT F \pmb{F} FFF 亦相互取代,所得公式 A ∗ A^* A 称为 A A A对偶式

    定理 1 - 7.1
    A A A A ∗ A^* A 是对偶式, P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn 是出现在 A A A A ∗ A^* A 中的原子变元,则 ¬ A ( P 1 , P 2 , ⋯   , P n ) ⇔ A ∗ ( ¬ P 1 , ¬ P 2 , ⋯   , ¬ P n ) A ( ¬ P 1 , ¬ P 2 , ⋯   , ¬ P n ) ⇔ ¬ A ∗ ( P 1 , P 2 , ⋯   , P n ) \begin{aligned}\neg A(P_1,P_2,\cdots,P_n)\Leftrightarrow A^*(\neg P_1,\neg P_2,\cdots,\neg P_n)\\A(\neg P_1,\neg P_2,\cdots,\neg P_n)\Leftrightarrow \neg A^*(P_1,P_2,\cdots,P_n)\end{aligned} ¬A(P1,P2,,Pn)A(¬P1,¬P2,,¬Pn)A(¬P1,¬P2,,¬Pn)¬A(P1,P2,,Pn)

    定理 1 - 7.2
    P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn 是出现在公式 A A A B B B 中的所有原子变元,如果 A ⇔ B A\Leftrightarrow B AB ,则 A ∗ ⇔ B ∗ A^*\Leftrightarrow B^* AB

    定义 1 - 7.2
    一个命题公式称为合取范式,当且仅当它具有型式: A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A n , ( n ⩾ 1 ) A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_n , (n \geqslant 1) A1A2An,(n1)其中 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1,A2,,An 都是由命题变元或其否定所组成的析取式。

    定义 1 - 7.3
    一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有型式: A 1 ∨ A 2 ∨ ⋯ ∨ A n , ( n ⩾ 1 ) A_1 \vee A_2 \vee \cdots \vee A_n , (n \geqslant 1) A1A2An,(n1)其中 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1,A2,,An 都是由命题变元或其否定所组成的合取式。

    定义 1 - 7.4
    n n n 个命题变元的合取式,称作布尔合取小项,其中每个变元与它的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次。

    定义 1 - 7.5
    对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由小项的析取所组成,则该等价式称作原式的主析取范式

    定理 1 - 7.3
    在真值表中,一个公式的真值为 T \pmb{T} TTT 的指派所对应的小项的析取,即为此公式的主析取范式。

    定义 1 - 7.6
    n n n 个命题变元的析取式,称作布尔析取大项,其中每个变元与它的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次。

    定义 1 - 7.7
    对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由大项的合取所组成,则该等价式称作原式的主合取范式

    定理 1 - 7.4
    在真值表中,一个公式的真值为 F \pmb{F} FFF 的指派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。

    例题 ( P ∧ Q ) ∨ ( ¬ P ∧ R ) (P \wedge Q) \vee (\neg P \wedge R) (PQ)(¬PR) 为主合取范式和主析取范式。
    解:
    ( P ∧ Q ) ∨ ( ¬ P ∧ R ) ⇔ ( P ∨ ¬ P ) ∧ ( P ∨ R ) ∧ ( Q ∨ ¬ P ) ∧ ( Q ∨ R ) ⇔ ( P ∨ R ∨ ( Q ∧ ¬ Q ) ) ∧ ( ¬ P ∨ Q ∨ ( R ∧ ¬ R ) ) ∧ ( ( P ∧ ¬ P ) ∨ Q ∨ R ) ⇔ ( P ∨ Q ∨ R ) ∧ ( P ∨ ¬ Q ∨ R ) ∧ ( ¬ P ∨ Q ∨ R ) ∧ ( ¬ P ∨ Q ∨ ¬ R ) ⇔ ∏ 2 , 3 , 5 , 7 ⇔ ∑ 0 , 1 , 4 , 6 \begin{aligned}&(P \wedge Q) \vee (\neg P \wedge R)\\\Leftrightarrow&(P \vee \neg P) \wedge (P \vee R)\wedge(Q \vee \neg P)\wedge(Q \vee R)\\\Leftrightarrow&(P \vee R \vee (Q \wedge \neg Q))\wedge(\neg P \vee Q \vee (R \wedge \neg R))\wedge((P \wedge \neg P)\vee Q \vee R)\\\Leftrightarrow&(P \vee Q \vee R)\wedge(P \vee \neg Q \vee R)\wedge(\neg P \vee Q \vee R)\wedge(\neg P \vee Q \vee \neg R)\\\Leftrightarrow&\prod\nolimits_{2,3,5,7}\\\Leftrightarrow&\sum\nolimits_{0,1,4,6}\end{aligned} (PQ)(¬PR)(P¬P)(PR)(Q¬P)(QR)(PR(Q¬Q))(¬PQ(R¬R))((P¬P)QR)(PQR)(P¬QR)(¬PQR)(¬PQ¬R)2,3,5,70,1,4,6

    1-8 推理理论

    定义 1 - 8.1
    A A A C C C 是两个命题公式,当且仅当 A → C A\rightarrow C AC 为一重言式,即 A ⇒ C A \Rightarrow C AC ,称 C C C A A A 的有效结论。或 C C C 可由 A A A 逻辑地推出。
    H 1 , H 2 , ⋯   , H n , C H_1,H_2,\cdots,H_n,C H1,H2,,Hn,C 是命题公式,当且仅当 H 1 ∧ H 2 ∧ ⋯ ∧ H n ⇒ C H_1 \wedge H_2 \wedge \cdots \wedge H_n \Rightarrow C H1H2HnC ,称 C C C 是一组前提 H 1 , H 2 , ⋯   , H n H_1,H_2,\cdots,H_n H1,H2,,Hn 的有效结论。

    判别有效结论的过程就是论证过程,基本方法为真值表法直接证法间接证法

    (1)真值表法

    (2)直接证法

    P P P 规则:前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。
    T T T 规则:在推导中,如果有一个或多个公式、重言蕴含着公式 S S S ,则公式 S S S 可以引入推导之中。

    例题 证明 ( W ∨ R ) → V , V → C ∨ S , S → U , ¬ C ∧ ¬ U ⇒ ¬ W (W \vee R)\rightarrow V , V\rightarrow C \vee S , S \rightarrow U , \neg C \wedge \neg U \Rightarrow \neg W (WR)V,VCS,SU,¬C¬U¬W
    证明:
    ( 1 ) ¬ C ∧ ¬ U P ( 2 ) ¬ U T ( 1 ) I ( 3 ) S → U P ( 4 ) ¬ S T ( 2 ) , ( 3 ) I ( 5 ) ¬ C T ( 1 ) I ( 6 ) ¬ C ∧ ¬ S T ( 4 ) , ( 5 ) I ( 7 ) ¬ ( C ∨ S ) T ( 6 ) E ( 8 ) ( W ∨ R ) → V P ( 9 ) V → ( C ∨ S ) P ( 10 ) ( W ∨ R ) → ( C ∨ S ) T ( 8 ) , ( 9 ) I ( 11 ) ¬ ( W ∨ R ) T ( 7 ) , ( 10 ) I ( 12 ) ¬ W ∧ ¬ R T ( 11 ) E ( 13 ) ¬ W T ( 12 ) I \begin{aligned}&(1)\neg C \wedge \neg U &P\\ &(2)\neg U &T(1)I\\ &(3)S\rightarrow U &P\\ &(4)\neg S &T(2),(3)I\\ &(5)\neg C &T(1)I\\ &(6)\neg C \wedge \neg S &T(4),(5)I\\ &(7)\neg(C \vee S) &T(6)E\\ &(8)(W \vee R) \rightarrow V &P\\ &(9)V \rightarrow (C \vee S) &P\\ &(10)(W \vee R) \rightarrow (C \vee S) &T(8),(9)I\\ &(11)\neg(W \vee R) &T(7),(10)I\\ &(12)\neg W \wedge \neg R &T(11)E\\ &(13)\neg W &T(12)I \end{aligned} (1)¬C¬U(2)¬U(3)SU(4)¬S(5)¬C(6)¬C¬S(7)¬(CS)(8)(WR)V(9)V(CS)(10)(WR)(CS)(11)¬(WR)(12)¬W¬R(13)¬WPT(1)IPT(2),(3)IT(1)IT(4),(5)IT(6)EPPT(8),(9)IT(7),(10)IT(11)ET(12)I

    (3)间接证法

    定义 1 - 8.2
    假设公式 H 1 , H 2 , ⋯   , H m H_1,H_2,\cdots,H_m H1,H2,,Hm 中的命题变元为 P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn ,对于 P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn 的一些真值指派,如果能使 H 1 ∧ H 2 ∧ ⋯ ∧ H m H_1 \wedge H_2 \wedge \cdots \wedge H_m H1H2Hm 的真值为 T \pmb{T} TTT ,则称公式 H 1 , H 2 , ⋯   , H m H_1,H_2,\cdots,H_m H1,H2,,Hm 是相容的。如果对于 P 1 , P 2 , ⋯   , P n P_1,P_2,\cdots,P_n P1,P2,,Pn 的每一组真值指派使得 H 1 ∧ H 2 ∧ ⋯ ∧ H m H_1 \wedge H_2 \wedge \cdots \wedge H_m H1H2Hm 的真值均为 F \pmb{F} FFF ,则称公式 H 1 , H 2 , ⋯   , H m H_1,H_2,\cdots,H_m H1,H2,,Hm 是不相容的。

    要证 H 1 ∧ H 2 ∧ ⋯ ∧ H m ⇒ C H_1 \wedge H_2 \wedge \cdots \wedge H_m\Rightarrow C H1H2HmC ,即证 H 1 , H 2 , ⋯   , H m H_1,H_2,\cdots,H_m H1,H2,,Hm ¬ C \neg C ¬C 是不相容的 (将 ¬ C \neg C ¬C 作为 P ( 附 加 条 件 ) P(附加条件) P)。

    要证 S ⇒ ( R → C ) S\Rightarrow (R \rightarrow C) S(RC) ,即证 ( S ∧ R ) ⇒ C (S \wedge R)\Rightarrow C (SR)C C P CP CP 规则)。

    第二章 谓词逻辑

    2-1 谓词的概念与表示

    我们用大写字母表示谓词,用小写字母表示客体名称,如 A ( b ) A(b) A(b) B ( a , b ) B(a,b) B(a,b) L ( a , b , c ) L(a,b,c) L(a,b,c) 等。
    单独一个谓词不是完整的命题,我们把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式,如果 A A A n n n 元谓词, a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,,an 是客体的名称,则 A ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) A(a_1,a_2,\cdots,a_n) A(a1,a2,,an) 就可成为命题。

    2-2 命题函数与量词

    定义 2 - 2.1
    由一个谓词和一些客体变元组成的表达式,称为简单命题函数

    命题函数确定为命题,与客体变元的论述范围有关。在命题函数中,客体变元的论述范围称作个体域。个体域可以是有限的,也可以是无限的,把各种个体域综合在一起作为论述范围的域称全总个体域

    引入两种量词,一个用符号 ( ∀ x ) (\forall x) (x) ( x ) (x) (x) 表示,代表“对所有的 x x x ”,称为全称量词;另一个用符号 ( ∃ x ) (\exist x) (x) 表示,表示“存在一些 x x x ”,称为存在量词。全称量词和存在量词同称为量词。

    为了方便,我们将所有命题函数的个体域全部统一,一律使用全总个体域。

    2-3 谓词公式与翻译

    定义 2 - 3.1
    谓词演算的合式公式,可由下述各条组成:
    (1)原子谓词公式是合式公式。
    (2)若 A A A 是合式公式,则 ¬ A \neg A ¬A 是一个合式公式。
    (3)若 A A A B B B 都是合式公式,则 ( A ∧ B ) (A\wedge B) (AB) ( A ∨ B ) (A \vee B) (AB) ( A → B ) (A \rightarrow B) (AB) ( A ⇆ B ) (A \leftrightarrows B) (AB) 是合式公式。
    (4)如果 A A A 是合式公式, x x x A A A 中出现的任何变元,则 ( ∀ x ) A (\forall x)A (x)A ( ∃ x ) A (\exist x)A (x)A 都是合式公式。
    (5)只有经过有限次地应用规则(1),(2),(3),(4)得到的公式是合式公式。

    2-4 变元的约束

    给定 α \alpha α 为一个谓词公式,其中有一部分公式形式为 ( ∀ x ) P ( x ) (\forall x)P(x) (x)P(x) ( ∃ x ) P ( x ) (\exist x)P(x) (x)P(x) 。这里 ∀ \forall ∃ \exist 后面所跟的 x x x 叫做量词的指导变元作用变元 P ( x ) P(x) P(x) 叫做相应量词的作用域辖域。在作用域中 x x x 的一切出现,称为 x x x α \alpha α 中的约束出现 x x x 也称为被相应量词中的指导变元所约束。在 α \alpha α 中除去约束变元以外所出现的变元称作自由变元。自由变元可看作是公式中的参数

    P ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) P(x_1,x_2,\cdots,x_n) P(x1,x2,,xn) n n n 元谓词,它有 n n n 个相互独立的自由变元,若对其中 k k k 个变元进行约束,则成为 n − k n-k nk 元谓词。例如, ( ∀ x ) P ( x , y , z ) (\forall x)P(x,y,z) (x)P(x,y,z) 是二元谓词, ( ∃ y ) ( ∀ x ) P ( x , y , z ) (\exist y)(\forall x)P(x,y,z) (y)(x)P(x,y,z) 是一元谓词。

    一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的, ( ∃ x ) P ( x ) (\exist x)P(x) (x)P(x) ( ∃ y ) P ( y ) (\exist y)P(y) (y)P(y) 意义相同。因此,我们可以对公式 α \alpha α 中的约束变元更改名称符号,这种遵守一定规则的更改,称为约束变元的换名。其规则为:
    (1)对于约束变元可以换名,其更改的变元名称范围是量词中的指导变元,以及该量词作用域中所出现的该变元,在公式的其余部分不变。
    (2)换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称。
    举例来说,公式 ( ∀ x ) ( P ( x ) → R ( x , y ) ) ∧ Q ( x , y ) (\forall x)(P(x)\rightarrow R(x,y))\wedge Q(x,y) (x)(P(x)R(x,y))Q(x,y) 可换名为 ( ∀ z ) ( P ( z ) → R ( z , y ) ) ∧ Q ( x , y ) (\forall z)(P(z)\rightarrow R(z,y)) \wedge Q(x,y) (z)(P(z)R(z,y))Q(x,y)
    对于公式中的自由变元,也允许更改,这种更改叫做代入。自由变元的代入,也需遵守一定的规则,这个规则叫做自由变元的代入规则,说明如下:
    (1)对于谓词公式中的自由变元,可以作代入,代入时需对公式中出现该自由变元的每一处进行。
    (2)用以代入的变元与原公式中的所有变元的名称不能相同。

    2-5 谓词演算的等价式与蕴含式

    定义 2 - 5.1
    给定任何两个谓词公式 wff  A \text{wff } A wff A wff  B \text{wff } B wff B ,设它们有共同的个体域 E E E ,若对 A A A B B B 的任一组变元进行赋值,所得命题的真值相同,则称谓词公式 A A A B B B E E E 上是等价的,并记作 A ⇔ B A \Leftrightarrow B AB

    定义 2 - 5.2
    给定任意谓词公式 wff  A \text{wff } A wff A ,其个体域为 E E E ,对于 A A A 的所有赋值, wff  A \text{wff } A wff A 都为真,则称 wff  A \text{wff } A wff A E E E 上是有效的(或永真的)。

    定义 2 - 5.3
    一个谓词公式 wff  A \text{wff } A wff A ,如果在所有赋值下都为假,则称该 wff  A \text{wff } A wff A不可满足的

    定义 2 - 5.3
    一个谓词公式 wff  A \text{wff } A wff A ,如果至少在一种赋值下为真,则称该 wff  A \text{wff } A wff A可满足的

    (1)命题公式的推广

    命题演算中的等价公式表和蕴含式表都可推广到谓词演算中使用。例如 ( ∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) ⇔ ( ∀ x ) ( ¬ P ( x ) ∨ Q ( x ) ) ( ∀ x ) P ( x ) ∨ ( ∃ y ) R ( x , y ) ⇔ ¬ ( ¬ ( ∀ x ) P ( x ) ∧ ¬ ( ∃ y ) R ( x , y ) ) (\forall x)(P(x)\rightarrow Q(x))\Leftrightarrow(\forall x)(\neg P(x)\vee Q(x)) \\ (\forall x)P(x)\vee(\exist y)R(x,y) \Leftrightarrow \neg(\neg(\forall x)P(x)\wedge \neg (\exist y)R(x,y)) (x)(P(x)Q(x))(x)(¬P(x)Q(x))(x)P(x)(y)R(x,y)¬(¬(x)P(x)¬(y)R(x,y))

    (2)量词与联结词 ¬ \neg ¬ 之间的关系

    ¬ ( ∀ x ) P ( x ) ⇔ ( ∃ x ) ¬ P ( x ) ¬ ( ∃ x ) P ( x ) ⇔ ( ∀ x ) ¬ P ( x ) \neg(\forall x)P(x)\Leftrightarrow (\exist x)\neg P(x) \\ \neg(\exist x)P(x)\Leftrightarrow(\forall x)\neg P(x) ¬(x)P(x)(x)¬P(x)¬(x)P(x)(x)¬P(x)

    约定出现在量词之前的否定不是否定量词而是否定被量化了的整个命题。

    (3)量词作用域的扩张与收缩

    量词的作用域中如果含有合取项或析取项,则当其中一项为命题时,可将该命题移至量词作用域之外,比如 ( ∀ x ) ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ( ( ∀ x ) A ( x ) ∨ B ) (\forall x)(A(x)\vee B) \Leftrightarrow ((\forall x)A(x)\vee B) (x)(A(x)B)((x)A(x)B)因为在 B B B 中不出现约束变元 x x x 。类似的式子还有 ( ( ∀ x ) A ( x ) → B ) ⇔ ( ∃ x ) ( A ( x ) → B ) ( ( ∃ x ) A ( x ) → B ) ⇔ ( ∀ x ) ( A ( x ) → B ) ( B → ( ∀ x ) A ( x ) ) ⇔ ( ∀ x ) ( B → A ( x ) ) ( B → ( ∃ x ) A ( x ) ) ⇔ ( ∃ x ) ( B → A ( x ) ) ((\forall x)A(x)\rightarrow B)\Leftrightarrow(\exist x)(A(x)\rightarrow B) \\ ((\exist x)A(x)\rightarrow B)\Leftrightarrow(\forall x)(A(x)\rightarrow B) \\ (B\rightarrow(\forall x)A(x))\Leftrightarrow(\forall x)(B\rightarrow A(x)) \\ (B\rightarrow(\exist x)A(x))\Leftrightarrow(\exist x)(B\rightarrow A(x)) ((x)A(x)B)(x)(A(x)B)((x)A(x)B)(x)(A(x)B)(B(x)A(x))(x)(BA(x))(B(x)A(x))(x)(BA(x))

    (4)量词与命题联结词之间的一些等价式

    ( ∀ x ) ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇔ ( ∀ x ) A ( x ) ∧ ( ∀ x ) B ( x ) ( ∃ x ) ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) ⇔ ( ∃ x ) A ( x ) ∨ ( ∃ x ) B ( x ) (\forall x)(A(x)\wedge B(x))\Leftrightarrow(\forall x)A(x)\wedge(\forall x)B(x) \\ (\exist x)(A(x)\vee B(x))\Leftrightarrow(\exist x)A(x)\vee(\exist x)B(x) (x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)

    (5)量词与命题联结词之间的一些蕴含式

    ( ∀ x ) A ( x ) ∨ ( ∀ x ) B ( x ) ⇒ ( ∀ x ) ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) ( ∃ x ) ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇒ ( ∃ x ) A ( x ) ∧ ( ∃ x ) B ( x ) ( ∀ x ) ( A ( x ) → B ( x ) ) ⇒ ( ∀ x ) A ( x ) → ( ∀ x ) B ( x ) ( ∀ x ) ( A ( x ) ⇆ B ( x ) ) ⇒ ( ∀ x ) A ( x ) ⇆ ( ∀ x ) B ( x ) (\forall x)A(x)\vee(\forall x)B(x)\Rightarrow(\forall x)(A(x)\vee B(x)) \\ (\exist x)(A(x)\wedge B(x))\Rightarrow(\exist x)A(x)\wedge(\exist x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\rightarrow B(x))\Rightarrow(\forall x)A(x)\rightarrow(\forall x)B(x) \\ (\forall x)(A(x)\leftrightarrows B(x))\Rightarrow(\forall x)A(x)\leftrightarrows(\forall x)B(x) (x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x)

    (6)多个量词的使用

    ( ∀ x ) ( ∀ y ) A ( x , y ) ⇔ ( ∀ y ) ( ∀ x ) A ( x , y ) ( ∃ x ) ( ∃ y ) A ( x , y ) ⇔ ( ∃ y ) ( ∃ x ) A ( x , y ) ( ∀ x ) ( ∀ y ) A ( x , y ) ⇒ ( ∃ y ) ( ∀ x ) A ( x , y ) ⇒ ( ∀ x ) ( ∃ y ) A ( x , y ) ⇒ ( ∃ x ) ( ∃ y ) A ( x , y ) (\forall x)(\forall y)A(x,y) \Leftrightarrow (\forall y)(\forall x)A(x,y) \\ (\exist x)(\exist y)A(x,y) \Leftrightarrow (\exist y)(\exist x)A(x,y) \\ \begin{aligned}(\forall x)(\forall y)A(x,y)&\Rightarrow (\exist y)(\forall x)A(x,y) \\ &\Rightarrow(\forall x)(\exist y)A(x,y)\\&\Rightarrow(\exist x)(\exist y)A(x,y)\end{aligned} (x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(x)(y)A(x,y)

    2-6 前束范式

    定义 2 - 6.1
    一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域,延申到整个公式的末尾,则该公式叫做前束范式

    定理 2 - 6.1
    任意一个谓词公式,均和一个前束范式等价。

    例题 化公式 ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ( ∃ z ) ( P ( x , z ) ∧ P ( y , z ) ) → ( ∃ u ) Q ( x , y , u ) ) (\forall x)(\forall y)((\exist z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\rightarrow(\exist u)Q(x,y,u)) (x)(y)((z)(P(x,z)P(y,z))(u)Q(x,y,u)) 为前束范式。
    解:否定深入
    原 式 ⇔ ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ¬ ( ∃ z ) ( P ( x , z ) ∧ P ( y , z ) ) ∨ ( ∃ u ) Q ( x , y , u ) ) ⇔ ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ∀ z ) ( ∃ u ) ( ¬ P ( x , z ) ∨ ¬ P ( y , z ) ∨ Q ( x , y , u ) ) \begin{aligned}原式&\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(\neg(\exist z)(P(x,z)\wedge P(y,z))\vee(\exist u)Q(x,y,u))\\&\Leftrightarrow(\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exist u)(\neg P(x,z)\vee\neg P(y,z)\vee Q(x,y,u))\end{aligned} (x)(y)(¬(z)(P(x,z)P(y,z))(u)Q(x,y,u))(x)(y)(z)(u)(¬P(x,z)¬P(y,z)Q(x,y,u))

    定义 2 - 6.2
    (定义了什么叫前束合取范式)

    定理 2 - 6.2
    每一个 wff  A \text{wff }A wff A 都可转化为与其等价的前束合取范式。

    例题 wff  D \text{wff }D wff D ( ∀ x ) [ ( ∀ y ) P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) → ¬ ( ∀ y ) R ( x , y ) ] (\forall x)\left[(\forall y)P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall y)R(x,y)\right] (x)[(y)P(x)(z)q(z,y)¬(y)R(x,y)] 为前束合取范式。
    解:取消多余量词→换名→消去条件联结词→否定深入→量词推到最左边
    D ⇔ ( ∀ x ) [ P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) → ¬ ( ∀ y ) R ( x , y ) ] ⇔ ( ∀ x ) [ P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) → ¬ ( ∀ w ) R ( x , w ) ] ⇔ ( ∀ x ) { ¬ [ P ( x ) ∨ ( ∀ z ) q ( z , y ) ] ∨ ¬ ( ∀ w ) R ( x , w ) } ⇔ ( ∀ x ) [ ¬ P ( x ) ∧ ( ∃ z ) ¬ q ( z , y ) ∨ ( ∃ w ) ¬ R ( x , w ) ] ⇔ ( ∀ x ) ( ∃ z ) ( ∃ w ) [ ( ¬ P ( x ) ∨ ¬ R ( x , w ) ) ∧ ( ¬ q ( z , y ) ∨ ¬ R ( x , w ) ) ] \begin{aligned}D&\Leftrightarrow(\forall x)\left[P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall y)R(x,y)\right]\\&\Leftrightarrow(\forall x)\left[P(x)\vee(\forall z)q(z,y)\rightarrow\neg(\forall w)R(x,w)\right]\\&\Leftrightarrow(\forall x)\left\{\neg [P(x)\vee(\forall z)q(z,y)]\vee\neg(\forall w)R(x,w)\right\}\\&\Leftrightarrow(\forall x)[\neg P(x)\wedge(\exist z)\neg q(z,y)\vee(\exist w)\neg R(x,w)]\\&\Leftrightarrow(\forall x)(\exist z)(\exist w)[(\neg P(x)\vee\neg R(x,w))\wedge(\neg q(z,y)\vee\neg R(x,w))]\end{aligned} D(x)[P(x)(z)q(z,y)¬(y)R(x,y)](x)[P(x)(z)q(z,y)¬(w)R(x,w)](x){¬[P(x)(z)q(z,y)]¬(w)R(x,w)}(x)[¬P(x)(z)¬q(z,y)(w)¬R(x,w)](x)(z)(w)[(¬P(x)¬R(x,w))(¬q(z,y)¬R(x,w))]

    定义 2 - 6.3
    (定义了什么叫前束析取范式)

    定理 2 - 6.3
    每一个 wff  A \text{wff }A wff A 都可转化为与其等价的前束析取范式。

    2-7 谓词演算的推理理论

    (1)全称指定规则,即 U S US US 规则。
    ( ∀ x ) P ( x ) ∴ P ( c ) \frac{(\forall x)P(x)}{\therefore\quad P(c)} P(c)(x)P(x)

    (2)全程推广规则,即 U G UG UG 规则。
    P ( x ) ∴ ( ∀ x ) P ( x ) \frac{P(x)}{\therefore\quad (\forall x)P(x)} (x)P(x)P(x)

    (3)存在指定规则,即 E S ES ES 规则。
    ( ∃ x ) P ( x ) ∴ P ( c ) \frac{(\exist x)P(x)}{\therefore\quad P(c)} P(c)(x)P(x)

    (4)存在推广规则,即 E G EG EG 规则。
    P ( c ) ∴ ( ∃ x ) P ( x ) \frac{P(c)}{\therefore\quad (\exist x)P(x)} (x)P(x)P(c)

    例题 证明 ( ∀ x ) ( C ( x ) → W ( x ) ∧ R ( x ) ) ∧ ( ∃ x ) ( C ( x ) ∧ Q ( x ) ) ⇒ ( ∃ x ) ( Q ( x ) ∧ R ( x ) ) \begin{aligned}&(\forall x)(C(x)\rightarrow W(x)\wedge R(x))\wedge(\exist x)(C(x)\wedge Q(x)) \\ &\Rightarrow(\exist x)(Q(x)\wedge R(x))\end{aligned} (x)(C(x)W(x)R(x))(x)(C(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))

    证明:
    ( 1 ) ( ∀ x ) ( C ( x ) → W ( x ) ∧ R ( x ) ) P ( 2 ) ( ∃ x ) ( C ( x ) ∧ Q ( x ) ) P ( 3 ) C ( a ) ∧ Q ( a ) E S ( 2 ) ( 4 ) C ( a ) → W ( a ) ∧ R ( a ) U S ( 1 ) ( 5 ) C ( a ) T ( 3 ) I ( 6 ) W ( a ) ∧ R ( a ) T ( 4 ) , ( 5 ) I ( 7 ) Q ( a ) T ( 3 ) I ( 8 ) R ( a ) T ( 6 ) ( 9 ) Q ( a ) ∧ R ( a ) T ( 7 ) , ( 8 ) I ( 10 ) ( ∃ x ) ( Q ( x ) ∧ R ( x ) ) E G \begin{aligned} (1)&(\forall x)(C(x)\rightarrow W(x)\wedge R(x))&P\\ (2)&(\exist x)(C(x)\wedge Q(x))&P\\ (3)&C(a)\wedge Q(a)&ES(2)\\ (4)&C(a) \rightarrow W(a)\wedge R(a)&US(1)\\ (5)&C(a)&T(3)I\\ (6)&W(a)\wedge R(a)&T(4),(5)I\\ (7)&Q(a)&T(3)I\\ (8)&R(a)&T(6)\\ (9)&Q(a)\wedge R(a)&T(7),(8)I\\ (10)&(\exist x)(Q(x)\wedge R(x))&EG \end{aligned} (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(x)(C(x)W(x)R(x))(x)(C(x)Q(x))C(a)Q(a)C(a)W(a)R(a)C(a)W(a)R(a)Q(a)R(a)Q(a)R(a)(x)(Q(x)R(x))PPES(2)US(1)T(3)IT(4),(5)IT(3)IT(6)T(7),(8)IEG

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    第二章命题逻辑等值演算 2.1等值式 设公式A,B共同含有n个命题变项,A或B可能有哑元.若A与B有相同的真值表,则说明在...定义2.1设A,B是两个命题公式,若A,B构成的等价式A<...定义中的符号<=>不是联结符,它...
  • [史上最全]数学符号参考手册大全

    万次阅读 多人点赞 2019-02-26 11:08:40
    [史上最全]数学符号参考手册大全  1、几何符号  ⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △  2、代数符号  ∝ ∧ ∨ ~ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶  3、运算符号  如加号(+),减号(-),乘号(×或·),除号...
  • 常用数学符号大全、关系代数符号

    万次阅读 2018-09-26 15:39:39
    常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号  ⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △  2、代数符号  ∝ ∧ ∨ ~ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶  3、运算符号  如加号(+),减号(-),乘号(×或·),除号(÷或/),两...
  • 文章目录命题的判断命题的表示复合命题联结词的种类¬¬¬ 否定→→→ 单条件蕴含↔\leftrightarrow↔ 双条件蕴含∧\wedge∧ 合取公式∨\vee∨ 析取公式真值表¬¬¬ 否定→→→ 单条件蕴含↔\leftrightarrow↔ 双...E
  • 自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=Ø 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理 自然推理系统 定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 字母表 (1) 命题变项符号:p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号:...
  • 命题公式的主范式

    2020-12-28 22:33:21
    实现功能:输入命题公式的合式公式,求出公式的真值表,并输出该公式的主合取范式和主析取范式。 输入:命题公式的合式公式 输出:公式的主析取范式和主析取范式,输出形式为:“ mi ∨ mj ; Mi ∧ Mj” ,极小项和 ...
  • 数学符号

    2021-03-09 15:44:31
    几何符号 ⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △ 2 代数符号 ∝ ∧ ∨ ~ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 如加号(+),减号(-),乘号(×或·),除号(÷或/),两个集合的并集(∪),交集(∩),根号(√ ̄),对数(log,lg,ln,lb),比(:),...

空空如也

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