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  • 命题逻辑推理理论

    2020-03-27 16:36:15
    数理逻辑

    推理的形式结构

    数理逻辑的主要任务是用数学的方法研究推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程,而前提是已知的命题公式集合,结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    推理的形式结构

    前提: A 1 , A 2 , . . . , A k A_1,A_2,...,A_k A1,A2,...,Ak
    结论:B

    判断是否为重言式的三种方法:
    1、真值表法
    2、等值演算法
    3、主析取范式法

    9条推理定律
    在这里插入图片描述

    自然推理系统P

    在这里插入图片描述

    形式系统
    自然推理系统
    公理推理系统

    自然推理系统P定义如下:
    1、字母表:
    (1)命题变项符号: p , q , r , . . . , p i , q i , r i , . . . p,q,r,...,p_i,q_i,r_i,... p,q,r,...,pi,qi,ri,...
    (2)联结词符号: ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ \lnot ,\land,\lor,\to,\leftrightarrow ¬,,,,
    (3)括号与逗号:(,),,
    2、合式公式:
    在这里插入图片描述
    3、推理规则:
    (1) 前提引入规则
    (2) 结论引入规则
    (3) 置换规则
    (4) 假言推理规则(或分离规则)
    (5) 附加规则
    (6) 化简规则
    (7) 拒取式规则
    (8) 假言三段论规则
    (9) 析取三段论规则
    (10)构造性二难推理规则
    (11)破坏性二难推理规则
    (12)合取引入规则

    构造证明的方法
    1、附加前提证明法
    在这里插入图片描述
    2、归谬法
    在这里插入图片描述

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  • 命题逻辑推理理论 一些笔记: 判断推理是否正确,就是判断是否会出现1推出0的情况,如出现则推理错误,否则正确。 命题公式A1,A2,...,AkA_1,A_2,...,A_kA1​,A2​,...,Ak​推出B的推理正确当且仅当 A1∧A2∧...,∧...

    命题逻辑的推理理论

    一些笔记:

    判断推理是否正确,就是判断是否会出现1推出0的情况,如出现则推理错误,否则正确。

    命题公式 A 1 , A 2 , . . . , A k A_1,A_2,...,A_k A1,A2,...,Ak推出B的推理正确当且仅当

    A 1 ∧ A 2 ∧ . . . , ∧ A k → B A_1 \wedge A_2 \wedge...,\wedge A_k \rightarrow B A1A2...,AkB

    为永真式。

    判断推理是否正确的暴力方法,真值表法。

    9条推理定律

    附加律

    A ⇒ ( A ∨ B ) A \Rightarrow(A \vee B) A(AB)

    化简律

    ( A ∧ B ) ⇒ A (A \wedge B) \Rightarrow A (AB)A

    假言推理

    ( A → B ) ∧ A ⇒ B (A \rightarrow B) \wedge A \Rightarrow B (AB)AB

    拒取式

    ( A → B ) ∧ ¬ B ⇒ ¬ A (A \rightarrow B) \wedge \neg B \Rightarrow \neg A (AB)¬B¬A

    析取三段论

    ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⇒ A (A \vee B) \wedge \neg B \Rightarrow A (AB)¬BA

    假言三段论

    ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C ) (A \rightarrow B) \wedge(B \rightarrow C) \Rightarrow(A \rightarrow C) (AB)(BC)(AC)

    等价三段论

    ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) (A \leftrightarrow B) \wedge(B \leftrightarrow C) \Rightarrow(A \leftrightarrow C) (AB)(BC)(AC)

    构造性二难

    ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) (A \rightarrow B) \wedge(C \rightarrow D) \wedge(A \vee C) \Rightarrow(B \vee D) (AB)(CD)(AC)(BD)

    构造性二难(特殊形式)

    ( A → B ) ∧ ( ¬ A → B ) ∧ ( A ∨ ¬ A ) ⇒ B (A \rightarrow B) \wedge(\neg A \rightarrow B) \wedge(A \vee \neg A) \Rightarrow B (AB)(¬AB)(A¬A)B

    破坏性二难

    ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( ¬ B ∨ ¬ D ) ⇒ ( ¬ A ∨ ¬ C ) (A \rightarrow B) \wedge(C \rightarrow D) \wedge(\neg B \vee \neg D) \Rightarrow(\neg A \vee \neg C) (AB)(CD)(¬B¬D)(¬A¬C)

    推理规则

    除上面9条推理定律所推出来的规则外,还有

    合取引入规则:

    A B ∴ A ∧ B \begin{array}{c} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \\ \hline \therefore A \wedge \boldsymbol{B} \end{array} ABAB

    自然推理系统P

    直接证明:就是通过前提加推理规则推出结论。

    附加前提证明法:如结论中存在 A → B A \rightarrow B AB形式,可以将A作为前提来使用。

    归谬法:将结论的否定作为条件,推出矛盾式,则推理正确。

    消解证明法:将公式和结论的否定化成等值的合取范式,通过消解得到空式。除准备工作外,全程只能用前提引入以及消解两条规则。

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  • 命题逻辑推理

    2021-11-03 13:25:49
    命题逻辑推理 (1)实现命题逻辑的语法检查功能:合式公式的判定 (2)判断命题公式是否可满足; (3)判断命题公式的蕴含关系是否成立。 参考链接:C语言中缀表达式转后缀表达式 离散数学判断合式公式,并打印真值...

    命题逻辑推理
    (1)实现命题逻辑的语法检查功能:合式公式的判定
    (2)判断命题公式是否可满足;
    (3)判断命题公式的蕴含关系是否成立。
    参考链接:C语言中缀表达式转后缀表达式
    离散数学判断合式公式,并打印真值表、求主析取、主合取范式

    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include <set>
    #include <map>
    #include <windows.h>
    #include <stack>
    using namespace std;
    stack<char> s3;//栈s3存储后缀表达式
    map<char, bool>ch;//映射表示原子命题真假
    set<char>sh;//统计原子命题
    //定义联结词优先次序
    //case '!':return 5; break;
    //case '&':return 4; break;
    //case '|':return 3; break;
    //case '-':return 2; break;
    //case '=':return 1; break;
    int Compare(char str1) {
    	if (str1 == '!') {
    		return 5;
    	}
    	else if (str1 == '&') {
    		return 4;
    	}
    	else if (str1 == '|') {
    		return 3;
    	}
    	else if (str1 == '-') {
    		return 2;
    	}
    	else if (str1 == '=') {
    		return 1;
    	}
    	else if (str1 == '(' || str1 == ')') {
    		return 0;
    	}
    	else {
    		return -1; //字母或者数字 
    	}
    }
    bool Fouding(bool a)//否定运算
    {
    	if (a)return false;
    	else return true;
    }
    bool And(bool a, bool b)//合取
    {
    	if (!a || !b)return false;
    	else return true;
    }
    bool Or(bool a, bool b)//析取
    {
    	if (a || b)return true;
    	else return false;
    }
    bool One(bool a, bool b)//条件
    {
    	if (a && !b)return false;
    	else return true;
    }
    bool Two(bool a, bool b)//双条件
    {
    	if (a == b)return true;
    	else return false;
    }
    
    void appoint(int num)
    {
    	for (set<char>::iterator it = sh.begin(); it != sh.end(); it++)//遍历原子命题
    	{
    		if (num % 2)
    			ch[*it] = true;
    		else
    			ch[*it] = false;
    		num /= 2;
    	}
    }
    
    int rps(string& str, string ss, string sd, int runum)//用"sd"替换"str"中的"ss"
    {
    
    	int i = str.length(), p;
    	while (p = str.find(ss) + 1)
    		str.replace(p - 1, ss.length(), sd);
    
    	return str.length() - i;
    }
    bool judge(string& str)//判断是否为合式公式
    {
    	string strtmp = str;
    	for (int i = 0; i < str.length(); i++)
    		if (isalpha(str[i]))
    			str[i] = '1';
    
    	while (rps(str, "!1", "1", 2) || rps(str, "(1)", "1", 2) || rps(str, "1&1", "1", 3) || rps(str, "1|1", "1", 3) || rps(str, "1-1", "1", 3) || rps(str, "1=1", "1", 3));//使用规则2、3
    	if (str == "1")
    	{
    		cout << strtmp << "是合式公式" << endl;
    		return true;
    	}
    	else
    	{
    		cout << strtmp << "不是合式公式" << endl;
    		return false;
    	}
    }
    //∧∨→ <=>
    void turn(string& s)
    {
    	stack<char>s1, s2;
    	for (int i = 0; i < s.size(); i++)
    	{
    		char p = s[i];
    		if (isalpha(p))
    			s1.push(p);         //原子命题直接压入s1
    		else if (p == '(')      //左括号直接压入s2
    			s2.push(p);
    		else if (p == ')')
    		{
    			//遇右括号将s2中左括号前面的元素依次弹出压入s1
    			while (!s2.empty() && s2.top() != '(')
    			{
    				s1.push(s2.top());
    				s2.pop();
    			}
    			s2.pop();
    		}
    		else        //遇到逻辑符号
    		{
    			if (s2.empty())
    				s2.push(p);
    			else if (s2.top() == '(')
    				s2.push(p);
    			else if (Compare(p) > Compare(s2.top()))
    				s2.push(p);
    			else
    			{
    				while (!s2.empty() && s2.top() != '(' && Compare(p) <= Compare(s2.top()))
    				{
    					s1.push(s2.top());
    					s2.pop();
    				}
    				s2.push(p);
    			}
    		}
    	}
    	while (!s2.empty())//将s2中剩余元素压入s1
    	{
    		s1.push(s2.top());
    		s2.pop();
    	}
    
    	while (!s1.empty())//将后缀表达式存储在栈s3中
    	{
    		s3.push(s1.top());
    		s1.pop();
    	}
    
    }
    int  value()//后缀表达式求值
    {
    	ch['T'] = true;
    	ch['F'] = false;
    	stack<char>c, s;
    	s = s3;
    	while (!s.empty())
    	{
    		char p = s.top();//取栈顶元素
    		s.pop();
    		if (isalpha(p))
    			c.push(p);//原子命题直接压入c
    		else if (p == '!')//联结词!处理
    		{
    			char t = c.top();
    			c.pop();
    			Fouding(ch[t]) ? c.push('T') : c.push('F');
    		}
    		else
    		{
    			char ph;
    			char t1 = c.top();
    			c.pop();
    			char t2 = c.top();
    			c.pop();
    			switch (p)
    			{
    			case '&':And(ch[t2], ch[t1]) ? ph = 'T' : ph = 'F'; break;
    			case '|':Or(ch[t2], ch[t1]) ? ph = 'T' : ph = 'F'; break;
    			case '-':One(ch[t2], ch[t1]) ? ph = 'T' : ph = 'F'; break;
    			case '=':Two(ch[t2], ch[t1]) ? ph = 'T' : ph = 'F'; break;
    			}
    			c.push(ph);
    		}
    	}
    	if (c.top() == 'T')  return true;
    	else return false;
    }
    int judge2(int cou)
    {
    	for (int i = 0; i < cou; i++)//打印真值表
    	{
    		appoint(i);//指派
    		for (set<char>::iterator it = sh.begin(); it != sh.end(); it++)
    		{
    			if (value() == 1)
    			{
    				return 1;
    			}
    			else continue;
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    int judge3(int cou)
    {
    	for (int i = 0; i < cou; i++)//打印真值表
    	{
    		appoint(i);//指派
    		for (set<char>::iterator it = sh.begin(); it != sh.end(); it++)
    		{
    			if (value() == 0)
    			{
    				return 0;
    			}
    			else
    				continue;
    		}
    	}
    	return 1;
    }
    void Menu() {
    	printf("*************************************************\n");
    	printf("*\t欢迎使用命题逻辑推理系统V1.0\t\t*\n");
    	printf("*\t\t请选择功能\t\t\t*\n");
    	printf("*************************************************\n");
    	printf("*\t0.退出命题逻辑推理系统\t\t\t*\n");
    	printf("*\t1.判定命题公式是否为合式公式\t\t*\n");
    	printf("*\t2.判断命题公式是否可满足\t\t*\n");
    	printf("*\t3.判断命题公式的蕴含关系是否成立\t*\n");
    	printf("*************************************************\n");
    }
    
    int main()
    {
    	
    	Menu();
    	string str, input;
    	cout << "请输入合式公式(!否定 , 合取 & , 析取 | , 条件 - ,双条件 = ):" << endl;
    	while (1)
    	{
    		int choice;
    		cin >> choice;
    		switch (choice)
    		{
    		case 0:
    		{
    			cout << "感谢你使用命题逻辑推理系统,,请关掉程序!!!" << endl;
    			system("pause");
    		}break;
    		case 1:
    		{
    			cin >> str;
    			judge(str);
    		}break;
    		case 2:
    		{
    			cin >> str;
    			for (int i = 0; i < str.size(); i++)//将原子命题建立到set容器中
    				if (isalpha(str[i]))sh.insert(str[i]);
    			turn(str);//将前缀表达式转化为后缀表达式
    			int cou = pow(2, sh.size());
    			if (judge2(cou) == 1)
    			{
    				cout << "命题公式满足" << endl;
    			}
    			else
    				cout << "命题公式不满足" << endl;
    
    		}break;
    		case 3:
    		{
    			cin >> str;
    			for (int i = 0; i < str.size(); i++)//将原子命题建立到set容器中
    			if (isalpha(str[i]))sh.insert(str[i]);
    			turn(str);//将前缀表达式转化为后缀表达式
    			int cou = pow(2, sh.size());
    			if (judge3(cou) == 1)
    			{
    				cout << "命题公式的蕴含关系成立" << endl;
    			}
    			else
    				cout << "命题公式的蕴含关系不成立" << endl;
    		}break;
    		default:
    		{
    			printf("选择错误,请重新输入0.0\n");
    		}break;
    		}
    	}
    	system("pause");
    	return 0;
    
    	}
    
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  • 一、 命题逻辑推理正确性判定 、 二、 形式结构是永真式 ( 等值演算 ) 、 三、 从前提推演结论 ( 逻辑推理 ) 、





    一、 命题逻辑推理正确性判定



    命题推理 , 根据 前提 , 推理出 结论 ;

    如 :
    前提 : p → ( q → r ) p \to (q \to r) p(qr) , p p p , q q q ;
    结论 : r r r


    如何判定根据上述前提 , 推理出的结论是正确的呢 ?


    推理定律 : A , B A,B A,B 是两个命题 , 如果 A → B A \to B AB 是永真式 , 那么 A ⇒ B A \Rightarrow B AB ;



    推理的形式结构

    前提 : A 1 , A 2 , ⋯   , A k A_1 , A_2 , \cdots , A_k A1,A2,,Ak

    结论 : B B B

    推理的形式结构为 : ( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) → B (A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B (A1A2Ak)B



    命题逻辑 推理的正确性 判定 , 有两种方法 ;

    方法一 : 写出推理的 形式结构 , 查看该推理的形式结构是不是 永真式 ; 如果是永真式 , 那么该推理是正确的 ;

    方法二 :前提 推演 结论 , 根据 等值演算规则 , 推理规则 , 进行推演 ;





    二、 形式结构是永真式 ( 等值演算 )



    等值演算参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )


    前提 : p → ( q → r ) p \to (q \to r) p(qr) , p p p , q q q ;
    结论 : r r r

    推理的形式结构是 : ( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q → r (p \to (q \to r)) \land p \land q \to r (p(qr))pqr

    使用 等值演算 的方法 , 验证上述形式结构是否是 永真式 ;


    联结词的 优先级为 : ¬ \lnot ¬ 大于 ∧ , ∨ \land , \lor ,大于 → , ↔ \to, \leftrightarrow , ; 先从优先级较高的开始进行 ;


    ( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q → r (p \to (q \to r)) \land p \land q \to r (p(qr))pqr

    蕴涵等值式 : 使用 蕴涵等值式 规则 , 将上述 ( p → ( q → r ) ) (p \to (q \to r)) (p(qr)) 进行等值演算 :

    ⇔ ( ¬ p ∨ ( ¬ q ∨ r ) ) ∧ p ∧ q → r \Leftrightarrow (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p \land q \to r (¬p(¬qr))pqr

    分配率 : 根据 分配率 , 计算 ( ¬ p ∨ ( ¬ q ∨ r ) ) ∧ p (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p (¬p(¬qr))p 部分 :

    ⇔ ( ( ¬ p ∧ p ) ∨ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ) ∧ q → r \Leftrightarrow (( \lnot p \land p ) \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r ((¬pp)((¬qr)p))qr

    矛盾律 : 其中 根据 矛盾律 可知 , ¬ p ∧ p ⇔ 0 \lnot p \land p \Leftrightarrow 0 ¬pp0 :

    ⇔ ( 0 ∨ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ) ∧ q → r \Leftrightarrow ( 0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r (0((¬qr)p))qr

    同一律 : 根据 同一律 , 0 ∨ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) 0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) 0((¬qr)p) ( ¬ q ∨ r ) ∧ p (\lnot q \lor r) \land p (¬qr)p 是等价的 :

    ⇔ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ∧ q → r \Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q \to r ((¬qr)p)qr

    结合律 : 根据 结合律 , 重新结合 ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ p ) ∧ q ( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q ((¬qr)p)q ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ q ) ∧ p ( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p ((¬qr)q)p :

    ⇔ ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ q ) ∧ p → r \Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p \to r ((¬qr)q)pr

    分配率 : 根据 分配率 , 计算 ( ¬ q ∨ r ) ∧ q (\lnot q \lor r) \land q (¬qr)q , 结果是 ( ¬ q ∧ q ) ∨ ( r ∧ q ) (\lnot q \land q) \lor (r \land q) (¬qq)(rq)

    ⇔ ( ( ¬ q ∧ q ) ∨ ( r ∧ q ) ) ∧ p → r \Leftrightarrow ( (\lnot q \land q) \lor (r \land q) ) \land p \to r ((¬qq)(rq))pr

    矛盾律 : 根据 矛盾律 计算 ¬ q ∧ q \lnot q \land q ¬qq , 其结果是 0 0 0 :

    ⇔ ( 0 ∨ ( r ∧ q ) ) ∧ p → r \Leftrightarrow ( 0 \lor (r \land q) ) \land p \to r (0(rq))pr

    同一律 : 根据同一律 , 0 ∨ ( r ∧ q ) 0 \lor (r \land q) 0(rq) 等价于 ( r ∧ q ) (r \land q) (rq) :

    ⇔ ( r ∧ q ) ∧ p → r \Leftrightarrow (r \land q) \land p \to r (rq)pr

    联结词优先级 : ( r ∧ q ) ∧ p (r \land q) \land p (rq)p 中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;

    ⇔ ( r ∧ q ∧ p ) → r \Leftrightarrow (r \land q \land p ) \to r (rqp)r

    蕴涵等值式 : 根据 蕴涵等值式 , 消去 蕴涵联结词 → \to :

    ⇔ ¬ ( r ∧ q ∧ p ) ∨ r \Leftrightarrow \lnot (r \land q \land p) \lor r ¬(rqp)r

    德摩根律 : 根据 德摩根律 , 将否定符号分配到括号中 ;

    ⇔ ( ¬ r ∨ ¬ q ∨ ¬ p ) ∨ r \Leftrightarrow (\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r (¬r¬q¬p)r

    联结词优先级 : ( ¬ r ∨ ¬ q ∨ ¬ p ) ∨ r (\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r (¬r¬q¬p)r 中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;

    ⇔ ¬ r ∨ ¬ q ∨ ¬ p ∨ r \Leftrightarrow \lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p \lor r ¬r¬q¬pr

    排中律 : 根据排中律 , ¬ r ∨ r \lnot r \lor r ¬rr 1 1 1 等价 ;

    ⇔ 1 ∨ ¬ q ∨ ¬ p \Leftrightarrow 1 \lor \lnot q \lor \lnot p 1¬q¬p

    零律 : 根据零律 , 1 1 1 析取任何值 , 都等价于 1 1 1 :

    ⇔ 1 \Leftrightarrow 1 1





    三、 从前提推演结论 ( 逻辑推理 )



    逻辑推理参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )


    前提 : p → ( q → r ) p \to (q \to r) p(qr) , p p p , q q q ;
    结论 : r r r

    将前提条件使用合取联结词连接起来 , ( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q (p \to (q \to r)) \land p \land q (p(qr))pq , 进行等值演算 , 计算出 r r r ;

    ( p → ( q → r ) ) ∧ p ∧ q (p \to (q \to r)) \land p \land q (p(qr))pq

    等值演算 结合律 :

    ⇔ ( ( p → ( q → r ) ) ∧ p ) ∧ q \Leftrightarrow ((p \to (q \to r)) \land p) \land q ((p(qr))p)q

    逻辑推理 假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (AB)AB , 因此从 ( p → ( q → r ) ) ∧ p (p \to (q \to r)) \land p (p(qr))p 可以推理出 q → r q \to r qr ;

    ⇒ ( q → r ) ∨ q \Rightarrow (q \to r) \lor q (qr)q

    逻辑推理 假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (AB)AB , 因此从 ( q → r ) ∨ q (q \to r) \lor q (qr)q 可以推理出 r r r ;

    ⇒ r \Rightarrow r r


    逻辑推理 比 等值演算 快 , 等值演算比较直观 , 逻辑推理需要选择合适的推理定律 ;

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命题逻辑的推理规则