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  • 1 ,逆事件 : 对立事件 ...3 ,和事件 : A ∪ B 定义 : A 或 B 中至少有一个事件发生 计算 : P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(A∩B) 4 ,积事件 : AB ( 或 A ∩ B ) 定义 : A B 两件事都发生了 计算 : 1 ,A ,B

    1 ,逆事件 : 对立事件

    1. 逆事件 : 概率计算
      在这里插入图片描述

    2 ,包含 : A ⊂ B

    1. 定义 : 如果事件 A 的发生,必然导致 B 发生,那么,如果我们看到了事件 B 发生,就可以确定事件 A 必然发生,也就是说,事件 B 中,就已经包含了事件 A

    3 ,和事件 : A ∪ B

    1. 定义 : A 或 B 中至少有一个事件发生
    2. 计算 :
      P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(A∩B)

    4 ,积事件 : AB ( 或 A ∩ B )

    1. 定义 : A 与 B 两件事都发生了
    2. 计算 :
      1 ,A ,B 互相独立 : P(AB) = P(A) * P(B)
      在这里插入图片描述
      2 ,A ,B 为相关事件 : P(AB) = P(A) - P( A非B )
      在这里插入图片描述
    3. 注意 : 是否相关,怎么判断
      两个事件,是否使用的同一个骰子

    5 ,差事件 : A - B

    1. 定义 :A 发生,B 不发生

    6 ,加法 vs 乘法 :

    1. 加 : 同一次事件,摸到几个苹果,用加法
    2. 乘 : 多次事件,第一次摸到几个苹果,第二次摸到几个苹果,用乘法

    7 ,独立事件 vs 相关事件

    1. 独立事件 :
      P(A) : 小红的生日是几号
      P(B) : 小蓝的生日是几号
    2. 相关事件 : 用同一个骰子投出来,看点数
      P(A) : 投骰子,结果是 ( 1,2,3 )
      P(B) : 投骰子,结果是 ( 2,3,4 )
    3. 如图 :

    8 ,注意 :

    1. 一次,多次
    展开全文
  • 这些边界条件具有特殊性质,它们也可以解释为在具有事件视界时空近视界区域中定义。 然后,黑洞解决方案自然地容纳在我们边界条件内,并由Gardner层次结构相应成员相关联静态配置来描述。 还讨论了由...
  • 目录概率基础样本空间事件事件的运算事件的蕴含事件的互斥事件的事件的积事件的差概率的定义概率的统计定义概率的公理化定义古典概率定义计算过程组合二项式条件概率独立性条件概率定义性质计算独立性全概率...


    概率基础

    样本空间与事件

    事件是某种情况的陈述,正确与否取决于试验的结果。更具体地讲,其一般含义如下:

    1. 有一个明确界定的试验。
    2. 这个试验的全部可能结果,是在试验前就明确的。
    3. 有一个明确的陈述,这个陈述界定了试验的全部可能结果中一个确定的部分。这个陈述就叫做一个事件,而单一的一个试验结果可称为一个基本事件。

    事件的运算

    事件的蕴含

    在同一试验下的两个事件A、B,如果当A发生时B必然发生,则称A蕴含B,记为ABA{\subset}B。若A、B互相蕴含,则称A、B两事件相等,记为A=BA=B

    事件的互斥

    若两个事件A、B不能在同一次试验中都发生,则称它们是互斥的。如果一些事件中任意两个都互斥,则称这些事件是两两互斥的。

    事件的和

    假设有两个事件A、B,定义一个新事件C:
    C={AB}={AB} C=\{A发生,或B发生\}=\{A、B至少发生一个\}
    这样定义的事件C称为事件A和事件B的和,记作A+BA+BABA{\bigcup}B

    事件的积

    假设有两个事件A、B,定义一个新事件C:
    C={A,B} C=\{A,B都发生\}
    这样定义的事件C称为事件A和事件B的积,记作ABAB

    事件的差

    假设有两个事件A、B,定义一个新事件C:
    C={AB} C=\{A发生,B不发生\}
    这样定义的事件C称为事件A和事件B的差,记作ABA-B

    概率的定义

    概率的统计定义

    独立重复做n次试验,若在n次试验中,事件A发生了m次,称f=m/nf=m/n为A发生的频率。当n趋近无穷大时,f在某个值附近摆动,则称之为事件A的概率。

    这种定义有两个重要性:

    1. 提供了一种估计概率的方法
    2. 提供了一种检验理论正确与否的准则,牵扯到假设检验这一重要分支

    概率的公理化定义

    1993年,前苏联大数学家柯尔莫哥洛夫成功地实现了概率公理化。假设A为样本空间S中的事件,定义一个函数P(A),其需要满足以下条件:

    1. 0P(A)10{\leq}P(A){\leq}1
    2. P(Ω)=1,P(ϕ)=0P(\Omega)=1,P(\phi)=0
    3. A1A_1A2A_2是两个不相容的事件,则P(A1A2)=P(A1)+P(A2)P(A_1{\bigcup}A_2)=P(A_1)+P(A_2)

    第三条又被称为概率的加法定理,从中可以有如下推论:

    • P(A)=p,P(A)=1pP(A)=p,P(\overline A)=1-p
    • 若事件A1AnA_1{\cdots}A_n任意两个都不相容,则

    P(A1A2An)=i=1nP(Ai) P(A_1{\bigcup}A_2{\cdots}{\bigcup}A_n)={\sum}_{i=1}^{n}P(A_i)

    • 若n趋近于无穷,则

    P(A1A2An)=i=1P(Ai) P(A_1{\bigcup}A_2{\cdots}{\bigcup}A_n)={\sum}_{i=1}^{\infty}P(A_i)

    值得注意的是,若n是一个确定的数,则公式1可用归纳法证明,将A1AnA_1{\cdots}A_n分成A1An1A_1{\cdots}A_{n-1}AnA_n两组即可。若n趋近于无限,则必须定义,而无法证明公式2。

    古典概率

    定义

    假设S为样本空间,假定:

    1. S中只有有限个基本事件,记为N
    2. 每个基本事件发生的可能性相同

    若S中事件A包含M个基本事件,则事件A的概率,记为P(A),定义为:
    P(A)=M/N P(A)=M/N

    计算过程

    古典概率的计算主要基于排列组合。

    选排列:
    Pnr=n(n1)(nr+1) P_n^r=n(n-1)\cdots(n-r+1)
    重复排列:
    nr n^r
    组合:
    Cnr=(rn) C_n^r=(_r^n)
    常用的模型包括:

    • 盒子模型(n个盒子放入r个球)
      • 球不同,每盒至多一球 PnrP_n^r
      • 球不同,每盒球数不限 nrn^r
      • 球相同,每盒至多一球 (rn)(_r^n)
      • 球相同,每盒球数不限 (rn+r1)(_r^{n+r-1})
    • 堆模型
      • n个元素分成k部分,每部分元素分别为n1nkn_1\cdots{n_k},不同分法为:

    n!n1!nk! \frac{n!}{n_1!{\cdots}n_k!}

    这里针对其中两种模型稍微解释一下:

    1. 球相同,每盒球数不限

      对于这种情况,可以看成n-1个隔板与r个球的组合。隔板与球的关系就可以表示n个盒子中的球数目。

      举个简单的例子来说,考虑5个盒子4个球的情况,我们需要计算所有可能的试验结果,即1-5个盒子里各自有多少个球。若是直接计算,需要考虑的情况很多,因此使用隔板的思想转换:

      下图展示了盒子1:0,盒子2:1,盒子3:2,盒子4:1,盒子5:0的情况

    盒子模型1

         下图则展示盒子1:0,盒子2:0,盒子3:4,盒子4:0,盒子5:0的情况

    盒子模型2

         因此4个隔板与4个球的位置选择就决定了每个盒子的球个数,总的情况就是组合(45+41)(_4^{5+4-1})

    1. 堆模型

      堆模型则可以看作先从n个元素中取出n1n_1个元素,再从nn1n-n_1个元素中取出n2n_2个元素,最后计算的结果为:
      (r1n)(r2nr1)(rknr1r2rk1) (_{r_1}^n)(_{r_2}^{n-r_1})\cdots(_{r_k}^{n-r_1-r_2-\cdots-r_{k-1}})

    组合与二项式

    组合系数又被称为二项式系数:
    (a+b)n=i=0n(in)aibni (a+b)^n={\sum}_{i=0}^{n}(_i^n)a^ib^{n-i}
    由此可以推论出:
    (0n)+(1n)++(nn)=2n (_0^n)+(_1^n)+{\cdots}+(_n^n)=2^n

    (km+n)=i=0k(im)(kin) (_k^{m+n})={\sum}_{i=0}^{k}(_i^m)(_{k-i}^n)

    (mn)=(m1n1)+(mn1) (_m^n)=(_{m-1}^{n-1})+(_m^{n-1})

    条件概率与独立性

    条件概率

    定义

    在一次试验中,在某个事件B发生的条件下,事件A发生的概率,称为P(AB)P(A|B)

    性质

    1. 0P(AB)10{\le}P(A|B){\le}1
    2. 0P(SA)=10{\le}P(S|A)=1
    3. B1B2=ϕB_1{\bigcap}B_2={\phi},则P(B1B2A)=P(B1A)+P(B2A)P(B_1{\bigcup}B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)

    注意:式3也可推广到n个两两互不相容事件

    计算

    条件概率的计算公式如下:
    P(AB)=P(AB)P(B) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
    由上式又可推论出:
    P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(AnA1A2An1) P(A_1A_2{\cdots}A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1){\cdots}P(A_n|A_1A_2{\cdots}A_{n-1})

    独立性

    两个事件A,B如果满足下式,则称A、B独立:
    P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
    上式也可推广到若干个独立事件A1,,AnA_1,{\cdots},A_n之积的概率,等于各事件概率的乘积:
    P(A1An)=P(A1)P(An) P(A_1{\dots}A_n)=P(A_1){\cdots}P(A_n)

    全概率

    完备事件群

    假设A1AnA_1{\cdots}A_n是样本空间S中的n个事件,满足:

    1. AiAj=ϕijA_i{\bigcap}A_j=\phi{\quad}i{\ne}j
    2. i=1nAi=i=1nAi=S{\bigcup}_{i=1}^{n}A_i={\sum}_{i=1}^{n}A_i=S

    则称A1,,An{A_1,{\cdots},A_n}为样本空间S的一个完备事件群,或一个分割

    全概率公式

    由完备事件群的概念,我们可以推论出全概率公式:
    P(A)=P(AS)=P(Ai=1nBi)=P(i=1nABi)=P(ABi)P(Bi) P(A)=P(A{\bigcap}S)=P(A{\bigcap}{\sum}_{i=1}^{n}B_i)=P({\sum}_{i=1}^{n}AB_i)=P(A|B_i)P(B_i)

    贝叶斯

    假设B1,,Bn{B_1,{\cdots},B_n}是样本空间S的一个完备事件群,A为任一事件,则:
    P(BiA)=P(ABi)P(Bi)j=1nP(ABj)P(Bj) P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum}_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}
    贝叶斯公式可以解释为在有了新的信息(知道A发生)后,人们对于Bi,,BnB_i,{\cdots},B_n发生的可能性有了新的评估。如果说全概率公式可以看作”由原因推结果“,那么贝叶斯公式则体现了”由结果推原因“的性质。

    参考资料

    《概率论与数理统计》陈希孺著

    展开全文
  • 概率论数理统计复习

    千次阅读 2016-02-15 19:36:58
    事件的概率 概率是什么 ...事件的积或称交事件的差 条件概率 事件的独立性概率乘法定理 全概率公式贝叶斯公式摘自陈希孺版概率论,目录一致,也免得自己想了事件的概率概率是什么主观概率A={今天下午6时前

    摘自陈希孺版概率论,目录一致,也免得自己想了

    事件的概率

    概率是什么

    主观概率

    A={今天下午6时前会下雨}
    特点:不是在坚实的客观理由基础上为人们所公认的

    试验与事件

    1. 概率论中“事件”的一般含义
      1. 有一个明确界定的试验
      2. 这个试验的全部可能结果,是在试验前就明确的
      3. 有一个明确的陈述

    古典概率

    1. 定义:

      设一个试验有N个等可能的结果,而事件E恰包含其中的M个结果,则事件E的概率,记为P(E),定义为:

      P(E)=M/N

    概率的统计定义

    概率的公理化定义

    1. 柯氏公理体系:
      1. 0P(A)1
      2. P(Ω)=1; P()=0
      3. 加法公理

    古典概率计算

    排列组合的几个简单公式

    1. n个相异物件取r个(1rn)的不同排列总数,为:

      Pnr=n(n1)(n2)(nr+1)

      特别的,若n=r,则Prr=r!
    2. n个相异物件取r个(1rn)的不同组合数,为:

      Cnr=Pnr/r!=n!/(r!(nr)!)

      Cnr可以记为(nr)
    3. 与二项式展开的关系
      组合数(nr)又称为二项式系数,因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中:

      (a+b)n=i=1n(ni)aibn1
    4. n个相异物体分成k堆,各堆物件数分别为r1,,rk的分法是:

      n!/(r1!rk!)

    案例:详见书

    事件的运算、条件概率与独立性

    事件的蕴含、包含及相等 略

    事件的互斥与对立

    1. 若两个事件A,B不能再同一次试验中都发生(但可以都不发生),则称它们是互斥的。如果一些事件中任意两个都互斥,则称这些事件是两两互斥的,或简称互斥的。
      互斥的一个重要情况是“对立事件”,若A为一事件,则事件
      B={A}

      称为A的对立事件,多记为A¯

    事件的和(或称并)

    1. 定理:
      若干个互斥事件之和的概率,等于各事件的概率之和:

      P(A1+A2+)=P(A1)+P(A2)+
    2. A¯A的对立事件,则

      P(A¯)=1P(A)

    事件的积(或称交)、事件的差

    1. 事件的积A=A1A2或者记为ni=1Ai
    2. 事件的差AB=AB¯

    条件概率

    1.定义:
    设有两事件A,BP(B)P(B). 则“在给定B发生的条件下A的条件概率”记为P(A|B),定义为:

    P(A|B)=P(AB)/P(B)

    事件的独立性,概率乘法定理

    1. 无条件概率P(A)与其在给定B发生之下的条件概率P(A|B),一般是有差异的。这反映了这两件事件之间存在着一些关联。例如P(A|B)>P(A),这B的发生使A的可能性增大了。
    2. 因此,满足:
      P(AB)=P(A)P(B)

      则称A,B独立
    3. 概率的乘法定理:两独立事件A,B的积AB的概率P(AB)等于其各自概率之积P(A)P(B)
    4. 若干个独立事件的之积的概率,等于各事件概率的乘积

    全概率公式与贝叶斯公式

    1. B1,B2,为有限或无限个事件,它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个。即:
      BiBj(),ij

      B1+B2+=Ω()

      有时把具有这种性质的一组事件称为一个“完备事件群”
      由此得到全概率公式:
      P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+
    2. 贝叶斯公式
      P(B|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)jP(Bj)P(A|Bj)
    3. 实际意义解释
      对于P(B1),P(B2),,它是在没有进一步的信息(不知道事件A是否发生)的情况下,人么对于事件B1,B2,发生可能性大小的认识。
      现在有了新的信息(知道A发生),人们对于B1,B2,发生大小的可能性有了新的估计。从这个角度看,事件A是“结果”,事件B1,B2,是“原因”

      因此全概率公式是“由原因推结果”,而贝叶斯公式是“有结果推原因”

    展开全文
  • 一、随机试验、样本空间和随机事件 概率统计研究对象:随机试验。 随机试验(E)特点:试验相同条件可重复、试验所有结果已知(样本空间已知)、试验最终结果未知。 定义:样本空间(S)... 和事件事...

    一、随机试验、样本空间和随机事件

    1. 概率与统计的研究对象:随机试验。
    2. 随机试验(E)特点:试验相同条件可重复、试验所有结果已知(样本空间已知)、试验最终结果未知。
    3. 定义:样本空间(S)、样本点随机事件(子集)、必然事件不可能事件(空集)、基本事件(一个样本点)。
    4. 试验结果出现在随机事件中认为:随机事件发生
    5. 随机事件中的关系(样本空间S、随机事件A、随机事件B):
      1. 和事件A\cup B =\left \{ x|x\in A \mathbf{or} x\in B \right \}
      2. 积事件A\cap B =\left \{ x|x\in A \mathbf{and} x\in B \right \}
      3. 差事件A- B =\left \{ x|x\in A \mathbf{and} x\notin B \right \}
      4. 事件之间的关系:
        1. 相交A\cap B\neq \varnothing,特殊情况:A\subset B(A包含于B,B包含A,即A是B的子集),则A发生必然导致B发生。A\subset B \mathbf{and}B\subset A\rightarrow A=BA\subset B
        2. 互不相容或互斥A\cap B= \varnothing,A与B不能同时发生。
        3. 互为逆事件或对立事件A\cup B = S \mathbf{and} A\cap B= \varnothing,A与B必然有一个发生另一个不发生。

    二、可能性的度量

    1. 定义:
      1. 频数:在n次试验中事件A发生的次数,n_{A}
      2. 频率f_{n}(A) = n_{A}/n
        A_{1}A_{2}\cdotsA_{k}两两互不相容,则f_{n}(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots \cup A_{k} ) = f_{n}(A_{1})+f_{n}(A_{2})+\cdots f_{n}(A_{k})
      3. 概率:P_{A},非负性(P_{A}>0)、规范性(P_{S}>0,S为样本空间)、可列可加性(P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots \cup A_{k} ) = P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots P(A_{k})
    2. 概率可以度量随机事件发生的可能性。
    3. 当试验次数足够大时,频率将会趋近一个实数,概率。(辛钦大数定理和伯努利大数定理)
    4. 概率的性质:
      1. P(\varnothing)=0
      2. A\subset B,则P(B-A)=P(B)-P(A) ,P(B)\geqslant P(A)
      3. 对于任一事件A,P(A)\leqslant 1
      4. 对于任一事件A,都有P(\bar{A})=1-P(A)
      5. 对于任意事件A、B,都有P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)

    三、条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式

    1. 等可能概型(古典模型):样本空间只包含有限个元素、基本事件等可能性。
    2. 条件概率:事件A发生的前提下事件B发生。P(B|A)P(A)>0
                        P(B|A)=P(AB)/P(A)
                        P(AB)=P(B|A)P(A)---乘法公式
    3. 划分:试验E有样本空间S,B_{1}B_{2}\cdotsB_{n}为E的一组事件,称B_{1}B_{2}\cdotsB_{n}为样本空间S的一组划分,若
                ①这一组事件两两互不相容;
                ②B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots \cup B_{n}=S
    4. 全概率公式:试验E有样本空间S,B_{1}B_{2}\cdotsB_{n}为S的一个划分,且P(B_{n})>0{i=1,...,n}则    
                           P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_{i})P(B_{i})
    5. 贝叶斯公式:试验E的样本空间为S,A为E的一个事件,B_{1}B_{2}\cdotsB_{n}为S的一个划分,且P(B_{i}|A)=P(A|B_{i})P(B_{i})/\sum _{j=1}^{n}P(A|B_{j})P(B_{j}),j=1,2,\cdots ,n

    四、独立性

    1. A与B独立:事件A与事件B的发生并不会相互影响。P(A|B)=P(A)
      P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)
    2. 事件A与事件B相互独立:事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B)
    3. 互不相容并不一定会相互独立。
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  • 基本组合数学公式

    2019-09-26 18:57:55
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  • 概率论统计基础

    2013-07-31 13:33:44
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  • 事件间的关系与事件的运算 ---包含(A事件发生一定导致B事件发生) 相等(两事件相互包含)---和事件(至少有一个发生 复合事件 推广到多个)---p3 ---积事件(A,B同时发生)---互不相容 互斥事件(A和B不可能同时...
  • 37、事务的定义:用户定义的一个数据库操作序列,这些操作要么全做要么全不做,是一个不可分割的工作单位。恢复并发控制的基本单位。 38、事务的ACID特性:(1)原子性(Atomicity):事务是数据库的逻辑工作单位...
  •  2.1 矩阵的定义和运算   2.1.1 矩阵的定义   2.1.2 矩阵的运算   2.2 逆矩阵   2.2.1 逆矩阵的定义   2.2.2 矩阵可逆的条件及伴随矩阵法求逆矩阵   2.2.3 逆矩阵的性质   2.3 矩阵的...
  • 3.3.8 矩阵元素 3.3.9 矩阵元素差分 3.4 矩阵运算 3.4.1 矩阵分析 3.4.2 矩阵分解 3.4.3 特征值特征向量 3.5 稀疏矩阵 3.5.1 稀疏矩阵存储方式 3.5.2 稀疏矩阵生成 3.5.3 稀疏矩阵...
  • 《MATLAB R2014a完全自学一本通》面向MATLAB 初中级读者,在介绍MATLAB R2014a 集成环境基础上,对MATLAB 使用中常用知识工具进行了详细介绍,书中各章均提供了大量有针对性算例,供读者实战练习。...
  • 4. 函数的定义和函数的表达方式 5. 函数的定义函数的计算 6. 基本初等函数 7. 复合函数初等函数 8. 分段函数 2.函数的极限及运算法则 1. 数列及数列极限 2. 函数的极限 3. 无穷大无穷小的极限表示 4...
  • 2. 阐述Master定理的定义。 3. 计算各种不同的递推式。 4. 分析问题,产生相应的递推式或识别重要的计算问题 DS5. 图树 (核心) 主题: 树 无向图 有向图 生成树 遍历策略 学习目标: 1. 通过例子说明...
  • ( 4 )审计:建立审计日志,把用户对数据库所有操作自动记录下来放入审计日志中,DBA 可以利用审计跟踪信息,重现导致数据库现有状况一系列事件,找出非法存取数据人、时间内容等。 **( 5 )数据加密:**...
  • 3.1.6 一个事件的概率是多少? 131 3.1.7 什么是一个随机变量的分布函数? 132 3.1.8 什么是一个随机变量取一个特殊值的概率? 133 3.1.9 什么是一个随机变量的概率密度函数? 133 3.1.10 如何描述许多随机变量...
  • Python Cookbook

    2013-07-31 22:33:26
    12.10 用SAX合并连续文本事件 458 12.11 使用MSHTML来解析XML或HTML 461 第13章 网络编程 462 引言 462 13.1 通过Socket数据报传输消息 464 13.2 从Web抓取文档 466 13.3 过滤FTP站点列表 467 13.4 通过...
  • 数据结构(C++)有关练习题

    热门讨论 2008-01-02 11:27:18
    首先用C++实现单链表编程,再基于编写好的单链表类,实现堆栈类的定义和实现。 c. 链表类堆栈类都要包含必要的成员函数(按照教材要求)。 2、 已知a[n]为整数数组,试写出实现下列运算的递归代码(C或C++...
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空空如也

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和事件与积事件的定义