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    在这里插入图片描述
    首先给出杨辉三角(也叫帕斯卡三角形数阵,但我们中国比他早300年)如上图,可以发现三角两边都是1,而中间的数都是上面两个数的和,满足dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]这样的递推关系。
    然后再来看(a+b)n(a+b)^{n},将它展开会得到:
    (a+b)0=1(a+b)^{0}=1
    (a+b)1=a+b(a+b)^{1}=a+b
    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b^{}+3a^{}b^{2}+b^{3}
    可以发现每项前面的系数和杨辉三角中的数字很吻合。我们再来看二项式定理:
    (a+b)n=k=0nCnkankbk(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k}\qquad
    那么二项式定理表示的是什么意义呢,首先这相当于n个(a+b)相乘,那么在每个括号里肯定要选出a或者b来和另外几个括号中的a或者b来相乘,那么有多少种情况呢,我们假设在这n个括号中选择了k个b,那么剩下的就是n-k个a了,情况总数是CnkC^{k}_{n}或者CnnkC^{n-k}_{n}根据组合数的性质,这两个数是相等的。
    然后我们就可以证明下面这个等式:
    Cnm=Cn1m1+Cn1mC^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}
    这个可以这么理解一下:
    在n件物品中选出m件物品有多少种可能性?
    答案是:从n-1件中选出m-1件的可能性+从n-1件中选出m件的可能性。(第m件物品可选可不选)
    这和上面杨辉三角形有非常密切的联系,和其所满足的递推式也异常相似。(证明好长,明白就好了。。)
    通过这个等式我们可以推出所有的组合数。

    for(int i=1;i<=1000;i++)
        {
            c[i][0]=1;c[i][i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
                c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        }
    

    很明显时间复杂度O(n2)O(n^{2})
    但还有一个可以求非常小范围组合数的等式:
    Cnk=nk+1kCnk1C^{k}_{n}=\frac{n-k+1}{k}C^{k-1}_{n}
    下面是证明过程:
    Cnk=n!k!(nk)!C^{k}_{n}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
    =n(n1)(n2)....(nk+1)k(k1)!=\frac{n(n-1)(n-2)....(n-k+1)}{k(k-1)!}
    =nk+1kn!(k1)!(nk+1)!((nk+1)!)=\frac{n-k+1}{k}\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}(上下同乘(n-k+1)!)
    =nk+1kCnk1=\frac{n-k+1}{k}C^{k-1}_{n}

    int n;
        cin>>n;
        c[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i;\\先乘后除
    
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  • 划分算法TopK问题

    2013-12-29 23:07:18
    1 划分算法思想  划分(partition)就是将数据项分成两组...数据项的左端右端分别有两个指针(leftPtrrightPtr); leftPtr从左向右遍历元素,rightPtr从右向左遍历元素,当leftPtr遇到枢纽元素大的元素时停

    1 划分算法思想

     划分(partition)就是将数据项分成两组,一组大于某个特定的数据项,而另一组小于某个特定的数据项。在划分算法中,这个特定的数据项叫做枢纽(pivot)
     
    划分算法的思想是中间线代表枢纽;数据项的左端和右端分别有两个指针(leftPtrrightPtr); leftPtr从左向右遍历元素,rightPtr从右向左遍历元素,当leftPtr遇到比枢纽元素大的元素时停止,当rightPtr遇到比枢纽元素小的元素时停止,然后将这两个元素交换位置;接下来,leftPtr继续向右遍历,rightPtr继续向左遍历,重复上面的操作;当两个指针相遇时遍历结束。

    2 代码实现

    [java] view plaincopyprint?

    1. //返回划分后pivot的位置pivotIndex,位于pivotIndex左边的数字小于pivot,右边的大于pivot  

    2. public static int partionIt(int[] a,int left, int right, long pivot) {  

    3.         int leftPtr=left-1;  

    4.         int rightPtr=right+1;  

    5.         while(true)  

    6.         {  

    7.             //from left to pivot  

    8.             while(leftPtr<right && a[++leftPtr]<pivot);  

    9.             //from right to pivot  

    10.            while(rightPtr>left && a[--rightPtr]>pivot);  

    11.            //base case  

    12.            if(leftPtr>=rightPtr)  

    13.                break;  

    14.            //swap  

    15.            else  

    16.                swap(a,leftPtr,rightPtr);  

    17.        }  

    18.  

    19.        return leftPtr;  

    20.    }  

    21.    private static void swap(int[] a,int left, int right)  

    22.    {  

    23.        int temp=a[right];  

    24.        a[left]=a[right];  

    25.        a[right]=temp;  

    26.    } //end swap()  

    27.} //end partionIt  

    //返回划分后pivot的位置pivotIndex,位于pivotIndex左边的数字小于pivot,右边的大于pivot

    public static int partionIt(int[] a,int left, int right, long pivot) {

      int leftPtr=left-1;

      int rightPtr=right+1;

      while(true)

      {

       //from left to pivot

       while(leftPtr<right &&a[++leftPtr]<pivot);

       //from right to pivot

       while(rightPtr>left &&a[--rightPtr]>pivot);

       //base case

       if(leftPtr>=rightPtr)

        break;

       //swap

       else

        swap(a,leftPtr,rightPtr);

      }

     

      return leftPtr;

    }

    private static void swap(int[] a,intleft, int right)

    {

      int temp=a[right];

      a[left]=a[right];

      a[right]=temp;

    } //end swap()

    } //end partionIt

    3 时间复杂度

    算法时间复杂度O(N)。当在划分的2端有相同的数据需要比较和交换时,比较和交换各位N/2次,所以划分算法的时间复杂度为ON

    4 讨论

    4.1 为什么循环while(leftPtr<right && a[++leftPtr]<pivot)中要有leftPtr<right这个条件?

    如果数组中所有元素都小于枢纽pivot的值,那么leftPtr就会从左向右遍历元素,直到右边界的右边(当leftPtr到了数组最右边时(leftPtr==a.length-1),那么进入下一次循环a[++leftPtr]<pivot,此时++leftPtr=a.length,数组越界了!),这样会造成数组越界,所以要有leftPtr<right来检查是否到了数组边界。同样的道理while(rightPtr>left &&a[--rightPtr]>pivot)也要有rightPtr>left来检查是否数组越界。

    4.2   DelicateCode 
    The code in the while loops is rather delicate. For example, you might betempted to remove the increment operators from the inner while loops anduse them to replace the nop statements. (Nop refers to a statementconsisting only of a semicolon, and means no operation). For example, youmight try to change this:
     while(leftPtr < right && theArray[++leftPtr] < pivot); //(nop)
      to this:
      while(leftPtr < right && theArray[leftPtr] < pivot)
      ++leftPtr;
     and similarly for the other inner while loop. These changes would make itpossible for the initial values of the pointers to be left and right,which is somewhat clearer than left-1 and right+1. However, these changesresult in the pointers being incremented only when the condition issatisfied. The pointers must move in any case, so two extrastatements within the outer while loop would be required to bump thepointers. The nop version is the most efficient solution.
    fromData Structureand Algrithem in Java》)

    4.3为什么循环while(leftPtr<right && a[++leftPtr]<pivot)中不是a[++leftPtr]<=pivot

     If you runthe partitionIt() method on items that are all equal to the pivot value, youwill find that every comparison leads to a swap. Swapping items with equal keysseems like a waste of time. The < and > operators that compare pivot withthe array elements in the while loops cause the extra swapping. However,suppose you try to fix this by replacing them with <= and >= operators. This indeed preventsthe swapping of equal elements, but it also causes leftPtr and rightPtr to endup at the ends of the array when the algorithm has finished. As we’ll see inthe section on quicksort, it’s good for the pointers to end up in the middle ofthe array, and very bad for them to end up at the ends. So ifpartitionIt() is going to be used for quicksort, the < and > operatorsare the right way to go, even if they cause some unnecessary swapping.fromData Structureand Algrithem in Java》)

    4.2 划分算法应用

    4.2.1 划分算法在排序中的应用

    划分算法是快速排序的基础,在快速排序中关键是选择划分算法中的枢纽,选择的枢纽尽可能使划分后的2个分支(左分支和右分支)概率均等,即平均切分。划分结束的条件是只有一个元素(即left==right),此时不需要划分了

    实现快速排序算法的关键在于先在数组中选择一个数字,接下来用划分算法把数组中的数字分为两部分,下面的例子选择了数组的最后一个元素作为划分枢纽。

    portionIt(a,0,a.length-1,a[a.length-1])

    4.2.2 TopK问题

    找出最小的K个数(或最大)。

    方法一:运用划分算法,时间复杂度是O(n)

    如图1K个数的位置(最大K个数的位置为length-K),

    运用划分算法,划分结束条件是划分位置pivotIndex==k-1,那么pivotIndex左边的数都小于右边的数。

    运用一次划分后,pivotIndexk-1的位置关系有3:

    1)pivotIndex==k-1,则结束

    2)pivotIndex>k-1(2),则在左区间[leftPtr,pivotIndex-1]范围运用划分算法

    3)pivotIndex<k-1(3),则在右区间[pivotIndex+1,rightPtr]范围运用划分算法

    如此循环,直到pivotIndex==k-1

    [java] view plaincopyprint?

    1. public void getLeastNumbers(int[] a,int k){  

    2.    //输入控制  

    3.    if(a==null)  

    4.      return;  

    5.    n=a.length;  

    6.    if(k>n || k<=0)  

    7.      return;  

    8.   

    9.    int start=0, end=n-1;  

    10.   int pivot=a[n-1];  

    11.   int index=partionIt(a,start,end,pivot);  

    12.   while(index!=k-1){  

    13.      if(index>k-1){   //in left  

    14.         end=index-1;  

    15.         index=partitionIt(a,start,end,pivot);  

    16.      }//end if  

    17.      else{    //in right  

    18.          start=index+1;  

    19.          index=partionIt(a,start,end,pivot);  

    20.      }//end else  

    21.   }//end while     

    22.     

    23.   //输出  

    24.   for(ine i=0;i<k;i++){  

    25.      System.out.println(a[i]);  

    26.   }//end for  

    27.}//end getLeastNumbers()  

    public void getLeastNumbers(int[] a,int k){

       //输入控制

       if(a==null)

         return;

       n=a.length;

       if(k>n || k<=0)

         return;

     

       int start=0, end=n-1;

       int pivot=a[n-1];

       intindex=partionIt(a,start,end,pivot);

       while(index!=k-1){

          if(index>k-1){   //in left

        end=index-1;

       index=partitionIt(a,start,end,pivot);

     }//end if

     else{    //in right

         start=index+1;

       index=partionIt(a,start,end,pivot);

     }//end else

       }//end while  

      

       //输出

       for(ine i=0;i<k;i++){

          System.out.println(a[i]);

       }//end for

    }//end getLeastNumbers()

    2)方法二:运用优先队列,特别适合于处理海量问题,时间复杂度是O(nlogK)

    维护一个K大小的优先队列(可以得到最大值),每次拿剩下的数与优先队列中中的最大值比较。

    如果剩余数大于该最大值,则替换,否则不替换。

     又如面试题:求数组中出现次数超过一半的数

    假设数字出现次数超过一半,则可以转换为求第k=n/2大的数,因为第n/2大的数肯定是出现次数超过一半的数(统计学中的中位数)。

    注意写代码时最后需要判断求出的数是否在数组中出现次数超过了一半(因为输入的数组可能不符合要求,即根本没有出现次数超过一半的数)。

    4.2.3  数字在排序中出现的次数

    题目:统计一个数字在排序数组中出现的次数。例如在排序数组中,找出给定数字的出现次数,比如 [1, 2, 2, 2, 3] 中2的出现次数是3次 。

     

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  • 本节我们讨论如何使用PDPID控制器来实现机器人的位置点跟踪。对于不需要快速运动、尤其是具备较大减速的减速箱关节的机器人,PDPID控制器已经足够了。本节的分析着重工程学实际而不是...可以发现第一项的系数...

    本节我们讨论如何使用PD和PID控制器来实现机器人的位置点跟踪。对于不需要快速运动、尤其是具备较大减速比的减速箱关节的机器人,PD和PID控制器已经足够了。本节的分析着重工程学实际而不是严谨的数学推导。
    根据上节的推导,我们有以下表达
    在这里插入图片描述
    其中θsk指电机输出轴(经过减速箱减速之后)的旋转角度,θmk指电机轴k的转动角度,rk指电机k的减速比,τk指连杆k的扭矩
    已知机械操作手的动力学方程以及电机的动力学方程为
    在这里插入图片描述
    把第一个方程带入到第二个方程得到
    在这里插入图片描述
    注意,这里的dk中间的j=k项被拆出来放到了方程左边(为什么要拆出来?而且移过去之后多了个平方是因为q的二次导变成θm的二次导时也要除一个rk)。可以发现第一项的系数不是关于q呈线性的关系。但是,如果减速比足够大的话,也就是rk足够大,那么加号后面的项的影响会变得足够小以至于可以忽略,因此我们定义Jeffk=
    在这里插入图片描述
    继续定义
    在这里插入图片描述
    那么原动力学方程变成
    在这里插入图片描述
    这个模型的优势就在于它的简单,可以被视为一个线性系统。非线性部分dk则可以被视为扰动,如果减速比较大而且关节速度加速度不大的话,这个扰动则可能会很小,这给机器人的控制带来了极大的方便。
    基于以上假设和模型我们能够得到新的系统结构框图
    在这里插入图片描述
    至此,复杂的机器人控制问题就被简化成如何跟踪一个θm的控制问题,动力学项d变成了扰动。这节告诉我们:只要你减速比够大,你连动力学公式都他妈不用推,直接PID就完事了。

    展开全文
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和的比与中间项的比