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  • 三角形中的欧拉公式证明过程

    千次阅读 2019-11-20 12:10:43
    公式介绍 设△ABC的外心为O,内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,又记外心、内心的距离OI为d,则有 证明过程

    公式介绍

    设△ABC的外心为O,内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,又记外心、内心的距离OI为d,则有
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    证明过程

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  • 角和与差公式: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓...

    两角和与差公式:

    sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
    cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ
    tan ⁡ ( α ± β ) = tan ⁡ α ± tan ⁡ β 1 ∓ tan ⁡ α tan ⁡ β \tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} tan(α±β)=1tanαtanβtanα±tanβ

    证: sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段

    image-20210121203701907

    如图中所示,容易看出: sin ⁡ ( α + β ) = C F ; sin ⁡ α = A B ; cos ⁡ α = O B ; sin ⁡ β = C D ; cos ⁡ β = O D \sin (\alpha+\beta)=C F ; \quad \sin \alpha=A B ; \quad \cos \alpha=OB ; \quad \sin \beta=C D ; \cos \beta=OD sin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB;sinβ=CD;cosβ=OD

    则: S Δ O C A = 1 2 × 1 × C F = 1 2 × 1 × sin ⁡ ( α + β ) S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times C F=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta) SΔOCA=21×1×CF=21×1×sin(α+β)
    S Δ O C E = S Δ O C B − S Δ C E B S_{\Delta O C E}=S_{\Delta O C B}-S_{\Delta C E B} SΔOCE=SΔOCBSΔCEB
    = 1 2 × O B × C D − S Δ C E B =\frac{1}{2} \times O B \times C D-S_{\Delta C E B} =21×OB×CDSΔCEB
    = 1 2 × cos ⁡ α × sin ⁡ β − S Δ C E B \quad=\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B} =21×cosα×sinβSΔCEB
    S Δ O A E = S Δ O A D + S △ A E D S_{\Delta O A E}=S_{\Delta O A D}+S_{\triangle A E D} SΔOAE=SΔOAD+SAED
    = 1 2 × O D × A B + S △ A E D =\frac{1}{2} \times O D \times A B+S_{\triangle A E D} =21×OD×AB+SAED
    = 1 2 × cos ⁡ β × sin ⁡ α + S △ A E D =\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D} =21×cosβ×sinα+SAED

    S Δ O C A = 1 2 × 1 × sin ⁡ ( α + β ) = S Δ O C E + S Δ O A E = ( 1 2 × cos ⁡ α × sin ⁡ β − S Δ C E B ) + ( 1 2 × cos ⁡ β × sin ⁡ α + S △ A E D ) S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta)= S_{\Delta O C E}+S_{\Delta O A E}=\left(\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B})+\left(\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D}\right)\right. SΔOCA=21×1×sin(α+β)=SΔOCE+SΔOAE=(21×cosα×sinβSΔCEB)+(21×cosβ×sinα+SAED)

    容易看出, S △ A B D = S Δ A B C = 1 2 × A B × B D S_{\triangle A B D}=S_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} \times A B \times B D SABD=SΔABC=21×AB×BD ,而 S △ A B E S_{\triangle A B E} SABE 是公共三角形, ∴ S △ A E D = S △ C E B , \quad \therefore S_{\triangle{AED}}=S_{\triangle{CEB}}, SAED=SCEB,

    可得到: sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    对于 sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ,只要将 sin ⁡ ( α + β ) \sin (\alpha+\beta) sin(α+β) 中的 β \beta β 唤成 ( − β ) (-\beta) (β) 即可。

    **二倍角公式:**由和公式,当 α = β \alpha = \beta α=β,得到:

    sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha sin2α=2sinαcosα
    cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha cos2α=cos2αsin2α
    tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} tan2α=1tan2α2tanα

    由于 sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 \sin^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 sin2α+cos2α=1,故 cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α = 1 − 2 sin ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 cos2α=cos2αsin2α=12sin2α=2cos2α1

    降幂公式: 由二倍角公式得到

    sin ⁡ 2 α = 1 − cos ⁡ 2 α 2 \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} sin2α=21cos2α
    cos ⁡ 2 α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 \cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} cos2α=21+cos2α

    半角公式:由降幂公式令 α \alpha α α 2 \frac{\alpha}{2} 2α

    sin ⁡ 2 α 2 = 1 − cos ⁡ α 2 , cos ⁡ 2 α 2 = 1 + cos ⁡ α 2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} , \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} sin22α=21cosαcos22α=21+cosα tan ⁡ 2 α 2 = sin ⁡ 2 α 2 cos ⁡ 2 α 2 = 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α \tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{ \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} tan22α=cos22αsin22α=1+cosα1cosα

    tan ⁡ α 2 = sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = sin ⁡ 2 α 2 sin ⁡ α 2 ⋅ cos ⁡ α 2 = 1 2 ( 1 − cos ⁡ α ) 1 2 sin ⁡ α = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)}{\frac{1}{2} \sin \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} tan2α=cos2αsin2α=sin2αcos2αsin22α=21sinα21(1cosα)=sinα1cosα

    tan ⁡ α 2 = sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = sin ⁡ α 2 ⋅ cos ⁡ α 2 cos ⁡ 2 α 2 = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} tan2α=cos2αsin2α=cos22αsin2αcos2α=1+cosαsinα

    万能公式:利用二倍角证明,

    sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α cos ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 + tan ⁡ 2 α \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha} sin2α=2sinαcosα=cos2α+sin2α2sinαcosα=1+tan2α2tanα

    cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α cos ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α = 1 − tan ⁡ 2 α 1 + tan ⁡ 2 α \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha} cos2α=cos2α+sin2αcos2αsin2α=1+tan2α1tan2α

    tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} tan2α=1tan2α2tanα

    积化和差公式:由两角和与差公式, sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,将 sin ⁡ ( α + β ) \sin (\alpha + \beta) sin(α+β) sin ⁡ ( α − β ) \sin (\alpha - \beta) sin(αβ)相加,得到 sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)]

    sin ⁡ ( α + β ) \sin (\alpha + \beta) sin(α+β) sin ⁡ ( α − β ) \sin (\alpha - \beta) sin(αβ)相减,得到 cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) ] \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)] cosαsinβ=21[sin(α+β)sin(αβ)]

    cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ,将 cos ⁡ ( α + β ) \cos (\alpha + \beta) cos(α+β) cos ⁡ ( α − β ) \cos (\alpha - \beta) cos(αβ)相加,得到 cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(αβ)]

    cos ⁡ ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos(α+β) cos ⁡ ( α − β ) \cos(\alpha - \beta) cos(αβ)相减,得到 sin ⁡ α sin ⁡ β = − 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)] sinαsinβ=21[cos(α+β)cos(αβ)]

    和差化积公式:由积化和差公式 sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)],令 x = α + β x=\alpha+\beta x=α+β y = α − β y=\alpha-\beta y=αβ,代入替换 α \alpha α β \beta β, 可得到:

    sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2αβ
    sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} sinαsinβ=2cos2α+βsin2αβ
    cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} cosα+cosβ=2cos2α+βcos2αβ
    cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} cosαcosβ=2sin2α+βsin2αβ

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  • 显然这个二倍角公式是由和角公式推导出来的。教材上推导正弦函数的和角公式是用单位圆推导,这种方式难以理解。还是用初中三角形面积公式来推导更加简单。如下: 这种证明思路确实简单,但是还是难以快速写出: ...
    • 问题:看2014年湖北省高考理科数学题,选择题第6题:
      2014年湖北高考理科数学第6题
      这道题目答案是C,①③组是正交函数,②组不是正交函数。可以用数形结合方式,快速做出判断。详细解析如下

    • 分析:要判断第一组函数是否是正交函数,要用到三角函数的二倍角公式:
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      显然这个二倍角公式是由和角公式推导出来的。教材上推导正弦函数的和角公式是用单位圆推导,这种方式难以理解。还是用初中三角形面积公式来推导更加简单。如下:
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      这种证明思路确实简单,但是还是难以快速写出:在这里插入图片描述
      所以再推荐下,我自己的证明方法,一针见血:
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  • 我们知道通过几何学方法,可以对三角函数中的“和角公式“余弦定律”进行证明。此次我们换一种非常好用的图形证明法,简直是一图胜千言,可以帮助我们顺利推导出正弦、余弦正切的角、差角公式,而且让你...

    我们知道通过几何学方法,可以对三角函数中的“和角公式”和“余弦定律”进行证明。此次我们换一种非常好用的图形证明法,简直是一图胜千言,可以帮助我们顺利推导出正弦、余弦和正切的和角、差角公式,而且让你一辈子都忘不了!

    让我们从正弦和余弦的和角公式开始吧!

    我一直坚持:优美的图形胜过任何一个多余的文字!废话不说,先看下图:

     

    矩形的长边:

    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    矩形的短边:

    cos(α+β)=cosαsinβ-sinαsinβ

    有没有觉得很美?我想,上图的证明多说一句话都是废话。再看正弦和余弦的差角公式,看下图:

     

    矩形的长边:

    cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

    矩形的短边:

    sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

    继续看正切的和角公式:

     

    显而易见:

    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

    再看正切的差角公式:

     

    显而易见:

    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

    同一种方法,同一种图形,把正弦、余弦和正切的和角、差角公式都清楚无比地证明出来。可谓是“一图胜千言”、“一图解千愁”啊!

    在我的学生时代,我上课最喜欢做的事情就是推导各种公式,这让我一辈子都忘不了这些看起来繁杂无比的数学公式。我有一个关于学习的小诀窍,那就是“简单看世界、深入想问题”!同学们,你们也可以的,加油吧!

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和角公式的证明方法

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