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  • 1.哈夫曼树的定义: 什么是哈夫曼树? 又称为最优二叉树,是带权路径长度之和最小的二叉树。 带权路径长度之和又是什么? 设二叉树有n个叶子结点,每个叶子结点的权重为Wk,从根节点到每个叶子结点的长度为Ik,则...

    1.哈夫曼树的定义:

    什么是哈夫曼树?
    又称为最优二叉树,是带权路径长度之和最小的二叉树。
    带权路径长度之和又是什么?
    设二叉树有n个叶子结点,每个叶子结点的权重为Wk,从根节点到每个叶子结点的长度为Ik,则所有叶子结点带权路径长度( Wk * Ik)的和为该树的带权路径长度之和(WPL)。
    WPL = ∑nk=1 Wk * Ik
    这些只是概念上的东西,所谓带权路径长度之和最小不过就是为了让经常出现的东西不像其他东西一样占用过多空间,看下面这个例子理解这句话:
    在这里插入图片描述
    对于这个例题相信大家都会这样写出代码,对应的判定树:
    在这里插入图片描述
    但是如果有很多人的成绩要经过这样的转换,而这些人学习又很好,都考了八十分以上,那岂不是每次都要经过四次判断才能完成转换。所以需要对这个树进行修改,我们假设下面一种情况来体会分析的过程:
    在这里插入图片描述
    对于上面那个判断树,1到根节点的长度为1,2到根节点的长度为2,3到根节点的长度为3,4、5到根节点的长度为4,所以我们套用前面的公式得到用上面那个判断树的查找效率就是:
    在这里插入图片描述
    但是0-59(对应一分)所占的比例只有0.05,而后面的都有0.3、0.4,显然每次第一个判断是否在0-59内是不合适的,我们根据所占比例改为:
    在这里插入图片描述
    这样修改之后我们可以清晰地看到所占比例(相当于权重)的分数的到根节点的长度变短了,所以查找效率提升了。这就是哈夫曼树的真谛。

    2.哈夫曼树的创建及原理:

    根据上面的例子我们可以看出,我们每次都先把出现频率最低的放在下面,所以我们构造哈夫曼树时,每次都把权重最小的两棵二叉树合并。看这个例子体会过程:注意第四步并不是把4和6合并,而是4和5,因为每次都把权重最小的两棵二叉树合并在这里插入图片描述
    而最小堆就是小的元素在上,大的元素在下,很适合我们像上图这样边取出边合并边存入,所以我们的数据就放入最小堆来实现哈夫曼树:
    在这里插入图片描述
    这是具体的实现,其中关于堆的函数可以看这片文章https://mp.csdn.net/postedit/104214196,不过这里面是最大堆的函数实现,稍作改动即为最小堆。
    由于堆其实就是优先队列,我们可以用STL库中的优先队列priority_queue来进行数据的存放:(其实和用最小堆来实现不过是在调用函数时可以用库里面的不用自己定义了)

    priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
    //priority_queue对应最小堆的定义形式,为什么这样写自己去查优先级设置。
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;
    	int i,weight[n];
    	for(i=0;i<n;i++){
    		cin>>weight[i];
    		q.push(weight[i]);
    	}
    	while(q.size()>1){
    		int x=q.top()//得到堆顶值(最小值)
    		q.pop();
    		int y=q.top();//得到堆顶值(最小值)
    		q.pop();
    		q.push(x+y);//合并两个权重最小的子树
    		//根据需要加一些其他的
    	}
    }
    

    这样做最终得到的只有根节点的值,但哈夫曼树的真正作用其实不是哈夫曼树的本身,而是他在创建时每次合并后根据其他需要进行一些别的运算。

    3.哈夫曼树的特点:

    (1)没有度为1的节点
    因为是两两合并得到的,不可能有单独的一个出来。
    (2)n个叶子结点的哈夫曼树有一共有2n-1个节点
    因为没有度为1的节点,还有公式n0=n2+1(也就是叶子结点数比度为2的节点个数多一个),所以。。。
    (3)哈夫曼树的任意非叶节点的左、右子树交换后依然还是哈夫曼树。
    (4)对于同一组权重,可以有多个不同结构的哈夫曼树,但他们的WPL一定都相同!!! 看下面这个例子:
    在这里插入图片描述

    4.哈夫曼编码:

    字符串中字符的编码:
    对于几十万单词的英语论文,我们不可能为每个字母开辟相同的编码空间,万一a出现了100000次,而z只出现了一次,那z的空间就白白浪费了。解决这件事就用到了哈夫曼树的原理。看这个例子:
    在这里插入图片描述
    解决方案如下:
    在这里插入图片描述
    显然前两种和我们说的那种情况一样,那么我们如何来实现不等长编码呢?
    在这里插入图片描述
    再看下面的例子:
    在这里插入图片描述
    如例子中这样建树,对应a=00,u=01,x=10,z=11
    在这里插入图片描述
    这样建树,对应a=0,x=10,u=110,z=11,这时就是不等长编码了。那么问题又来了,怎样让编码的代价(cost)最小呢?,这就用到哈夫曼树的原理,就和之前的例子:
    在这里插入图片描述
    我们只需要得到每个字母出现的次数(权重),然后每次都让最小的两个子树合并,左为0右为1一直到叶子结点(也就是字母出现次数存放的地方)为字母从上到下记录其编码。 例:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    只给出了最终的结果,其中过程自己去画体会。

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  • 哈夫曼树

    2018-07-12 20:54:00
    哈夫曼树的特点是啥? how 如何创建哈夫曼树? 为什么会出现哈夫曼树? 效率!!! 比如一所高中有1000个同学进行了一次考试(总分100),现在需要将每个成绩段转换为优、良、中、合格、不合格(已经知道每个分数段...

    when? what? why? how?

    why

    为什么会出现哈夫曼树?

    what

    哈夫曼树有什么用?

    什么是哈夫曼树?

    哈夫曼树的特点是啥?

    how

    如何创建哈夫曼树?


    为什么会出现哈夫曼树?

    效率!!!

    比如一所高中有1000个同学进行了一次考试(总分100),现在需要将每个成绩段转换为优、良、中、合格、不合格(已经知道每个分数段多少人)。

    IuYxvAo.png

    当不合格、合格这块同学比较多时效率比较高,因为大部分人只要比较一次或两次。如果中高分段人比较多那么这时候的效率就比较低了因为大部分人需要比较至少 3 次以上。

    yEz6yYd.png

    当中间段人比较多时,这个比较方法效率高,大多数人只要比较一到两次,如果两端人比较多那么效率就比较低。

    所以,当我们知道每个分数段大概有多少人时,可以将分数段人多的放在顶端减下比较次数,少的放底端。 有这个需求所以 哈夫曼树出现了....(瞎说的)追求效率最高

    什么是哈夫曼树?

    简单说WPL最小的二叉树

    了解几个定义

    1.树的路径长度

    树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中,完全二叉树的路径长度最短。

    2.树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree,简记为WPL)

    结点的权:在一些应用中,赋予树中结点的一个有某种意义的实数。

    结点的带权路径长度:结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。

    树的带权路径长度 (Weighted Path Length of Tree):定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和,通常记为: WPL=(W1L1+W2L2+W3L3+...+WnLn)

    其中:Wi 和 Li 分别表示叶结点的权值和根到结点之间的路径长度。
    树的带权路径长度亦称为树的代价。

    哈夫曼树定义
    假设有 n 个权值[W1,W2,....WN],构造有 n 个叶子的二叉树,每个叶子的权值是 n 个权值之一,这样的二叉树可以构造很多个,其中必有一个是带权路径长度最小的,这棵二叉树就称为最优二叉树或哈夫曼树。

    哈夫曼树的特点是啥?

    1. 没有度为1的结点
    2. n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点
    3. 哈夫曼树任意非叶借点的左右树交换后仍是哈夫曼树

    如何创建哈夫曼树?

    class HuffmanTree {
    public static HTNode buildHuffmanTree(HeapHNode heap, int[] data) {
        //构建最小堆
        heap.buildMinHeap(heap, data);
        HTNode node =null;
        int num=heap.size;
        //做heap.size - 1 次合并
        for(int i=1;i<num;i++){
            node=new HTNode();
            //从最小堆中删除一个结点作为新结点的做左子节点
            node.left=heap.deleteMin(heap);
            //从最小堆中删除一个结点作为新结点的做右子节点
            node.right=heap.deleteMin(heap);
            node.weight=node.left.weight+node.right.weight;
            //将新结点插入最小堆中
            heap.insert(heap,node);
        }
        //最小堆中的最后一个结点即指向哈夫曼树的树根结点
        return heap.deleteMin(heap);
    }
    }

    时间复杂度分析

    1. 构建最小堆 O(N)
    2. 2(N-1)+1个删除:O(NlogN)
    3. N-1 个插入 :O(NlogN)

    所以时间复杂度 O(NlogN)。

    结果

    数据:100, 34, 67, 78, 98, 55, 44

    mHWIia7.png

    源代码:https://github.com/rookieLJ/Tree.git

    TestHuffmanTree.java

    总结

    参考
    数据结构 陈越 何钦铭

    哈夫曼树的创建是用了最小堆。

    哈夫曼树的主要作用

    https://baike.baidu.com/item/%E5%93%88%E5%A4%AB%E6%9B%BC%E6%A0%91/2305769?fr=aladdin

    简单说为了进行哈夫曼编码,这样就可以起到压缩作用.

    在数据通信中,需要将传送的文字转换成二进制的字符串,用0,1码的不同排列来表示字符.例如,需传送的报文为“AFTER DATA EAR ARE ART AREA”,这里用到的字符集为“A,E,R,T,F,D”,各字母出现的次数为{8,4,5,3,1,1}.现要求为这些字母设计编码.要区别6个字母,最简单的二进制编码方式是等长编码,固定采用3位二进制,可分别用000、001、010、011、100、101对“A,E,R,T,F,D”进行编码发送,当对方接收报文时再按照三位一分进行译码.显然编码的长度取决报文中不同字符的个数.若报文中可能出现26个不同字符,则固定编码长度为5.然而,传送报文时总是希望总长度尽可能短.在实际应用中,各个字符的出现频度或使用次数是不相同的,如A、B、C的使用频率远远高于X、Y、Z,自然会想到设计编码时,让使用频率高的用短码,使用频率低的用长码,以优化整个报文编码.

    转载于:https://www.cnblogs.com/rookieJW/p/9301861.html

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  • 堆和哈夫曼树

    2020-05-06 20:20:34
    最大堆的删除最大堆的建立哈夫曼树与哈夫曼编码哈夫曼树的定义哈夫曼树的构造哈夫曼树的特点哈夫曼编码 什么是堆 优先队列(Priority Queue) 特殊的“队列”,取出元素的顺序依照元素的优先权(关键字)大小,而不是...

    什么是堆

    优先队列(Priority Queue)

    特殊的“队列”,取出元素的顺序依照元素的优先权(关键字)大小,而不是元素进入队列的先后顺序

    1. 采用数组实现优先队列
    • 插入——元素总是插入尾部
    • 删除——查找最大(或最小)关键字,从数组中删去需要移动的元素
    1. 采用链表实现优先队列
    • 插入——元素总是插入链表头部
    • 删除——查找最大(或最小)关键字删除结点
    1. 采用有序数组实现优先队列
    • 插入——找到合适位置移动元素并插入
    • 删除——删去最后一个元素
    1. 采用有序链表实现优先队列
    • 插入——找到合适的位置插入元素
    • 删除——删除首元素或最后元素
    1. 采用完全二叉树存储结构(最优)

    堆的两个特性

    1. 结构性:数组表示的完全二叉树
    2. 有序性:任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)
    • 最大堆(MaxHeap)”,也称“大顶堆”:最大值
    • 最小堆(MinHeap)”,也称“小顶堆”:最小值

    堆的抽象数据类型描述

    类型名:最大堆(MaxHeap)
    数据对象集:完全二叉树,每个结点的元素值不小于其子节点的值

    1.最大堆的创建

    typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
    struct HeapStruct
    {
    	ElementType *Elements;/*存储堆元素的数组*/
    	int Size;/*堆的当前元素个数*/
    	int Capacity;/*堆的最大容量*/	
    }
    MaxHeap Create(int MaxSize)
    {
    	MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));
    	H->Elements = malloc((MaxSize+1) * sizeof(ElementType));
    	H->Size = 0;
    	H->Capacoty = MaxSize;
    	H->Elements[0] = MaxData;/*定义为“哨兵”,为大于堆中所有元素的值,方便以后操作*/
    	return H;
    }
    

    2. 最大堆的插入

    void Insert(MaxHeap H,ElementType item)
    {
    	int i;
    	if(isFull(H))
    	{/*最大堆已满*/
    		return;
    	}
    	i = ++H->Size;/*i指向插入后堆中的最后一个元素的位置*/
    	for( ;H->Elements[i / 2] < item; i /= 2)
    	{
    		H->Elements[i] = H->Elements[i / 2];
    	}
    	H->Elements[i] = item;
    }
    

    3. 最大堆的删除

    ElementType DeleteMax(MaxHeap H)
    {
    	int parent,child;
    	ElementType MaxItem,temp;
    	if(IsEmpty(H))
    	{/*如果堆为空就没有必要删除*/
    		return;
    	}
    	MaxItem = H->Elements[1];/*取出根结点最大值*/
    	temp = H->ElementType[H->Size--];/*删除一个元素后大小要减1*/
    	for(parent = 1; parent * 2 <= H->Size/*判别有没有左儿子*/; parent = child)
    	{
    		child = parent * 2;
    		if( (child != H->Size) /*判别有没有右儿子*/&& 
    			(H->Elements[child] < H->Elements[child + 1]) )
    		{/*把child指向左右儿子中大的*/
    			child++;
    		}
    		if(temp >= H->Elements[child]) break;/*如果temp大于左右儿子就直接插入*/
    		else
    		{
    			H->ELements[parent] = H->Elements[child];		
    		}
    	}
    	H->Elements[parent] = temp;
    	return MaxIteml
    }
    

    最大堆的建立

    堆的应用:堆排序

    1. 通过插入操作,将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去
    2. 线性时间复杂度下建立最大堆
    • 将N个元素按输入顺序存入,先满足完全二叉树的结构特性
    • 调整各结点的位置以满足最大堆的特性

    哈夫曼树与哈夫曼编码

    哈夫曼树的定义

    带权路径长度(WPL),设二叉树有n个叶子结点每个叶子结点带有权值Wk从根节点到每个叶子结点的长度为Ik,则每个叶子结点的带权路径长度之和就是:在这里插入图片描述
    最优二叉树和或哈夫曼树:WPL最小的二叉树

    哈夫曼树的构造

    每次把权值最小的两棵二叉树合并

    typedef struct TreeNode *HufffmanTree;
    struct TreeNode
    {
    	int weight;
    	HuffmanTree Left,Right;
    }
    HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
    {
    	int i;
    	HuffmanTree T;
    	BuildMinHeap(H);/*将H->Elements[]按权值调整为最小堆*/
    	for(int i = 1; i < H->Size; i++)
    	{	
    		T = malloc(sizeof(struct TreeNode));
    		T->Left = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点*/
    		T->Right = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点*/
    		T->Weight = T->Left->Weight + T->Right->Weight;
    		Insert(H,T);
    	}
    	T = DeleteMin(H);
    	return T;
    }
    

    哈夫曼树的特点

    • 没有度为1的结点
    • n个叶子结点的哈夫曼树共有2n - 1个结点
    • 哈夫曼树任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
    • 对于同一组权值,存在不同构的两棵哈夫曼树,但WPL相同

    哈夫曼编码

    前缀码(prefix code):任何字符的编码都不是另一个字符编码的前缀,可以避免二义性
    采用二叉树进行编码

    • 左右分支:0,1
    • 字符只在叶结点

    参考题目05-树9:Huffman Codes (30分)

    展开全文
  • 树——哈夫曼树

    2020-02-02 16:17:50
    哈夫曼树: 带权节点,对应带权路径最小一种树构造方法 以图一为例:51+24+33+41+4*2=34 怎么构建一个哈夫曼树,它又有什么特性呢 特点二:每个元素都叶节点,n个叶节点有一个n-1个父节点再加最大父节点...

    哈夫曼树: 带权节点,对应的带权路径最小的一种树构造方法
    在这里插入图片描述
    以图一为例:51+24+33+41+4*2=34

    怎么构建一个哈夫曼树,它又有什么特性呢
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    特点二:每个元素都是叶节点,n个叶节点有一个n-1个父节点再加最大父节点(顶上)

    在这里插入图片描述

    typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
    struct TreeNode
    {
    	int Weight;
    	HuffmanTree Left, Right;
    }
    HuffmanTree Huffman(HeapStruct H)  //传入一个堆 
    {
    	int i;HuffmanTree T;
    	BuildMinHeap(H);//改造成一个最小堆
    	for(i = 1;i<H->Size; i++) //n个元素合并n-1次 
    	{
    		T = malloc(sizeof(struct TreeNode));
    		T->Left=DeleteMin(H);//不能再被访问 
    		T->Right=DeleteMin(H);// 不能再被访问 
    		T->Weight = T->Left+T->Right;
    		Insert(H,T);//见[堆](https://blog.csdn.net/weixin_45683677/article/details/104142819)
    	}
    	T =DeleteMin(H);  //把最后的哪个最大值删了 
    	return T;
    }
    

    看起来,哈夫曼树跟一般的树性能完全不同,还多了好多,看来只适应于把只能位于叶节点的权值存储

    哈夫曼序列

    用哈夫曼树
    在叶节点上不会出现前缀(不会出现二义性)
    在这里插入图片描述

    展开全文
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  • 哈夫曼编码能够使电文总长度最短的编码,哈夫曼编码的生成离不开哈夫曼树。本文围绕哈夫曼树和哈夫曼编码介绍了如下内容: ...2、哈夫曼树的定义与特点 3、哈夫曼树如何构造; 4、如何由哈夫曼树生成哈夫曼编码。
  • 哈夫曼树详解(上)

    2021-01-22 15:48:08
    哈夫曼树的特点: 没有度为1的结点(每个非叶子结点都由两个最小值的结点构成) n个叶子结点的哈夫曼树总共有2n-1个结点 n0:叶结点总数 n1:只有一个儿子的结点总数 n2:有2个儿子的结点总数
  • 1. 什么是哈夫曼树(Huffman Tree)? 2. 考虑分布概率后,不同判定树具有不同的查找效率 3. 哈夫曼树的定义 4. 不同二叉树的带权路径长度(WPL)...7. 哈夫曼树的特点 8. 哈夫曼编码 ...
  • 视频讲解了为什么要提出哈夫曼树,什么是哈夫曼树,怎么计算哈夫曼树的代价函数,哈夫曼树的特点,怎么构造哈夫曼树。 什么是哈夫曼树: 每个字符出现的频率不一样,有的字符出现频率大,字符出现的频率低,不同的...
  • 哈夫曼树的实现、应用和证明

    千次阅读 2018-08-13 21:01:13
    [mathjax] 这里是我的个人网站: ...有更多总结分享,最新更新也只会发布...给定n个权值,作为n个叶结点,构造一棵二叉树,而这棵树的特点是,有n个叶节点,叶节点的值为给定的权值。而内部节点的值为子树的权值和。 ...
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  • 哈夫曼压缩思路

    2011-01-17 23:21:14
    作为一个不能称得上菜鸟菜鸟,最近刚刚学习了树以及哈夫曼树(最优二叉树)知识。正准备利用哈夫曼原理做一个压缩软件。现在现将我思路记录下来,大家如果有好意见可以评论给我,大家一起学习!!! :) ...
  • 2021-01-06 23:43:14
    而他们有根据各自的特点可分为无序树,有序树,二叉树,完全二叉树,满二叉树,哈夫曼树。 树表示的一种一对多并且具有明显层次的关系,而其中最为能体现树的层次且逻辑顺序的就是查找中的二分查找。 二分查找 ...
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    2021-03-31 13:42:55
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    千次阅读 2013-09-02 21:01:00
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    2020-12-30 19:32:15
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空空如也

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哈夫曼树的特点是什么