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  • 哈夫曼树

    千次阅读 多人点赞 2017-08-05 23:34:19
    哈夫曼树叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结构,则该哈夫曼树中总共有()个空指针域哈夫曼树不存在入度为1 结点,所以n0=n2+1 设哈夫曼树叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结

    哈夫曼树节点个数一定是奇数
    假设哈夫曼树是二叉的话,则度为0的结点个数为N,度为2的结点个数为N-1,则结点总数为2N-1。


    哈夫曼树的形态不是唯一的,但是它的带权路径长度WPL是唯一的。
    如:3,5,6
    可以构造出
    14
    8 6
    3 5

    14
    6 8
    3 5
    这两种形态,所以哈夫曼树形态不唯一


    哈夫曼树不可能存在度为1的结点
    生成哈夫曼树的第一步就是在结点集合中找到两个权值最小的结点,然后生成一棵二叉树
    树中任意节点的权值一定大于自己的左右孩子,但不能保证一定不小于其他下一任结点的权值。

    设哈夫曼树中的叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结构,则该哈夫曼树中总共有()个空指针域。

    哈夫曼树不存在入度为1 的结点,所以n0=n2+1
    设哈夫曼树中的叶子结点总数为m,若用二叉链表作为存储结构,则该哈夫曼树中总共有(2m)个空指针域; n0=m
    树的二叉链表存储结构就是孩子-兄弟表示法。
    孩子-兄弟表示法:数据域是结点,如A; 有两个指针域:1)指向长子 2)指向右兄弟
    哈夫曼树的孩子-兄弟表示法的空指针域有三种情况:(1)叶子结点长子域一定为空m个(2)根节点的右兄弟域一定为空 1个 (3)除去根节点外,哈夫曼树的其余结点个数中有一半结点的右兄弟域为空 (n总-1)/2=n2
    所以空指针域=m+1+n2=2m

    哈夫曼树权值结点的父结点实际上是没有值的


    
    一棵哈夫曼树共有215个结点,对其进行哈夫曼编码,共能得到()个不同的码字

    哈夫曼树并不是满二叉树,是正则二叉树(也叫正规二叉树),即其中只有度为0和度为2的结点
    因为n0 = n2 + 1,n = n0 + n2; 所以 n = 2n0 - 1,即n0 = (n + 1) / 2;叶子结点n0对应的即是不同的编码。
    至于满二叉树当然也是正则二叉树的特例。

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  • 线索二叉树思想来源于二叉树存储结构中,存在一些空的指针域,因此是否能够将这些空间利用起来,存储一些关于节点间先后顺序信息,由此产生了线索二叉树。线索二叉树中,线索反映前驱、后继关系,而指针则...

    线索二叉树的思想来源于二叉树的存储结构中,存在一些空的指针域,因此是否能够将这些空间利用起来,存储一些关于节点间先后顺序的信息,由此产生了线索二叉树。线索二叉树中,线索反映前驱、后继的关系,而指针则体现左右子树。
      以二叉链表为例,线索二叉树存储结构上的特点是添加标识符,表明左右指针域究竟存的是指向前驱和后继的线索,还是指向左右子树的指针;
      线索二叉树的优势是一旦对一棵二叉树建立了相应的线索结构,当以后使用特定的方式遍历这课树时,可以避免递归方式和非递归方式(利用栈)带来的空间开销。
      构建和遍历线索二叉树的思路如下:
    首先构造一棵二叉树(构造二叉树可以使用任意顺序:先序、中序、后续均可);
    按照一定的顺序线索化这棵二叉树
    然后按照相同的顺序遍历该二叉树,就可以利用上一步构建的线索信息。

    这里写图片描述
    ①当ltag为0时,指向该结点的左孩子,为1时指向该结点的前驱
    ②rlag为0时,指向该结点的右孩子,为1时指向该结点的后驱

    **哈夫曼树:
    在有n个节点的哈夫曼树中,其节点总数为2n-1**
    构造哈夫曼树:
    ①根据给定的n 个权值,w1,w2.。。。构成n棵二叉树的森林F={T1,T2,….},其中每颗二叉树Ti中都只有一个权值为Wi 的根节点,其左右子树均空;
    ②在森林F中选出两棵根节点权值最小的树作为一棵新树的左右子树,且置新的根节点的权值为其左右子树上根节点的权值之和
    ③从F 中删除构成新树的两棵树,同时把新树加入到F 中
    ④重复第②③步,直到F中只含有一棵树为止,此树便是哈夫曼树

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  • 对于具有n个节点二叉树,采用二叉链存储结构时,指针域共有2n个,由于只有n-1个节点被有效指针所指向,则共有n+1个链域。 遍历二叉树结果是一个节点线性序列。可以利用这些链域存放指向节点前驱和后...

    线索二叉树

    对于具有n个节点的二叉树,采用二叉链存储结构时,指针域共有2n个,由于只有n-1个节点被有效指针所指向,则共有n+1个空链域。

    遍历二叉树的结果是一个节点的线性序列。可以利用这些空链域存放指向节点的前驱和后后继的指针。这种指向线性序列中的前驱节点和后继节点的指针,称作线索

    由于遍历方式不同,产生的遍历线性序列也不同。做如下规定:当某节点的左指针为空时,令该指针指向前驱节点;当某节点的右指针为空时,指向后继节点。为区分指向的节点是左孩子还是前驱,是右孩子还是后继,在节点的存储结构上增加两个标志位来区分两种情况:左标记ltag=0指向左孩子 ltag=1指向前驱 右标记rtag=0指向右孩子 rtag=1指向后继

    节点存储结构如:ltag          lchild        data          rchild        rtag

    按上述原则在二叉树的每个节点上加上线索的二叉树称作线索二叉树。对二叉树以某种方式遍历使其变为线索二叉树的过程称作对二叉树进行线索化

    为使算法设计方便,在线索二叉树中再增加一个头节点。头节点的data域为空;lchild指向无线索时的根节点,ltag为0;rchild指向按某种方式遍历二叉树时的最后一个节点,rtag为1。

    注意:线索化之前二叉树相同,所有节点的标志位取值也完全相同,只是当标志位取1时,不同的线索树中线索指向的前驱节点和后继节点不同。

     

    二叉树线索化实际上就是遍历一棵二叉树,遍历过程中,若节点左右指针域为空,将其改为指向前驱或后继的线索。另外,创建头节点,建立头节点与二叉树的根节点之间的线索。对二叉树线索化后,还需建立最后一个节点与头节点之间的线索。

     

    遍历线二叉树就是从该次序下的开始节点出发,找到当前节点在该次序下的后继节点,直到终端节点。

    常用中序线索二叉树!!!开始节点就是根节点的最左下节点,最后一个节点的rchild指针指向头节点。

    求当前节点在中序下的后继节点

    求当前节点在中序下的前驱节点

    p->

    rtag

    p->

    ltag

    ==0

    ==1

    ==0

    ==1

    rchild

    ==root

     

    无后继节点

    lchild

    ==root

     

    无前驱节点

    !=root

    后继节点为当前节点右子树的中序下的开始节点

    后继节点为右孩子节点

    !=root

    前驱节点为当前节点左子树的中序下的最后一个节点

    前驱节点为左孩子节点

     

    哈夫曼树

    在许多应用中,常将树中的节点赋上一个有着某种意义的数值,称此数值为该节点的。从根节点到某节点之间的路径长度与该节点上权值的乘积称为该节点的带权路径长度。树中所有叶子节点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度,通常记为:WPL=i=1nwili

    其中,n代表叶子节点的数目,wi和li分别表示叶子节点ki的权值和根到ki之间的路径长度(即从叶子节点到根节点的分支数)。

    在n个带权叶子节点构成的所有二叉树中,带权路径长度WPL最小的二叉树称为哈夫曼树最优二叉树)。因此算法最早由哈夫曼1952年提出,因此称哈夫曼树。

     

    哈夫曼树的构造算法(哈夫曼算法)

    1. 根据给定的n个权值(W1,W2,…,Wn),使对应节点构成n棵二叉树的森林T=(T1,T2,…,Tn),其中每棵二叉树Ti(1≤i≤n)中都只有一个带权值为Wi的根节点,其左、右子树均为空。
    2. 在森林T中选取两棵节点权值最小的子树分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根节点的权值为其左、右子树上根节点的权值之和。
    3. 在森林T中,用新得到的二叉树代替选取的两棵树。
    4. 重复2、3,直到T只含一棵树为止,这棵树便是哈夫曼树。

     

    定理3:对于具有n个叶子节点的哈夫曼树,共有2n-1个节点。

    在数据通讯中,经常需要将传送的文字转换为二进制字符0和1组成的字符串,这个过程称为编码。哈夫曼树可以用于构造使电文编码的代码长度最短的编码方案。

    构造方法:设需要编码的字符集合为{d1,d2,…,dn},各个字符在电文中出现的次数集合为{w1,w2,…,wn},以d1,d2,…,dn作为叶子节点,以w1,w2,…,wn作为各个叶子节点的权值构造一颗哈夫曼树,规定哈夫曼树中的左分支为0,右分支为1,则从根节点到每个叶子节点所经过的分支对应的0和1组成的序列便为该节点对应字符的编码。这样的编码称为哈夫曼编码

    哈夫曼编码的实质就是使用频率越高的字符采用越短的编码。

    哈夫曼编码的平均长度=i=1ndi的编码长度×wi

    任一字符的哈夫曼编码不可能是另一字符哈夫曼编码的前缀。

    用并查集求解等价问题

    等价关系是现实世界中广泛存在的一种关系。对于集合S中的关系R,若具有自反性、对称性和传递性,则R是一个等价关系。由等价关系R可以产生集合S的等价类。可以采用并查集高效求解等价类问题。

    并查集支持查找一个元素所属的集合以及合并两个元素各自所属的集合等运算。当给出两个集合的一个无序对(a,b),需要快速“合并”a和b所在的集合时,需要反复“查找”元素所在的集合,“并”、“查”和“集”三字由此而来。在这种数据类型中,n个不同的元素被分为若干组,每组是一个集合,这种集合叫做分离集合

    并查集的数据结构记录了一组分离的动态集合S={S1,S2,…,Sk}。每个集合通过一个“代表”加以标识,“代表”即该集合中的某个元素,是谁不重要,重要的是,若求某一动态集合的“代表”两次,且在两次请求间不修改集合,得到的答案应该是相同的。

    并查集中的元素是由对象来表示的,设x代表一个对象,并查集的操作有:MAKE (x):建立仅含x的集合UNION(x,y):将含x和y的集合合并FIND(x):返回指向包含x的集合的”代表”。

    并查集本身不具有结构,必须借助一定的数据结构(数组、链表、树)以得到支持和实现。

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  • 数据结构笔记6与二叉树 前言 数据结构笔记5数组 写一下与二叉树笔记。... 在具有n个结点二叉树中,其空指针域的个数为________。 A)2n+1 B)n-1 C)n+1 D) 不确定 13.如果二叉树T是由多叉F转换而成,那

    数据结构笔记6树与二叉树

    前言

    数据结构笔记5数组

    写一下树与二叉树的笔记。

    思维框架图

    树的定义和基本术语

    树的定义和基本术语

    二叉树

    二叉树

    遍历二叉树和线索二叉树

    遍历二叉树和线索二叉树

    树和森林以及哈夫曼树

    六、树和二叉树

    习题

    选择题

    \12. 在具有n个结点的二叉树中,其空指针域的个数为________。

    A)2n+1 B)n-1 C)n+1 D) 不确定

    13.如果二叉树T是由多叉树F转换而成,那么树F的叶子在二叉树T中应是满足_________条件结点。

    A)左子树为空且右子树非空 B)左、右子树均为空

    C)左子树为空 D)右子树为空。

    14.已知二叉树的后序序列为:FDEBHGCA,中序序列为:BFEDAGHC,则其先序序列为:_________。

    A)ABEDFGCH B)ABCEGFDH

    C)ABCEFDGH D)ABEFDCGH

    15.一棵共有23个结点的二叉树中,树中除度为2的结点外其它均为叶子结点,那么该树中叶子结点的个数是_________个。

    A)9 B)10 C)11 D) 12

    \16. 如果二叉树T是由多叉树F转换而成,那么树F的后根序列应该是二叉树T的_________。

    A)层次遍历序列 B)先序序列

    C)中序序列 D)后序序列

    \17. 具有64个结点的完全二叉树的深度为_______。

    ​ A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

    ​ ( n=2K-1)

    \18. 具有3个结点的二叉树共有______种形态。

    A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

    \19. 若一棵二叉树具有10个度为2的结点,5个度为1的结点,则度为0的结点个数是( )

    ​ A) 9 B) 11 C) 15 D)不确定

    20.一棵共有13个结点的4叉树中,其中除叶子结点外其它结点的度均为4,那么该树中叶子结点的个数是____个。

    ​ A)8 B)9 C)10 D) 11

    \21. 一棵深度为h的二叉树,其结点个数最多为_______。

    A)2h+1 B)2h-1 C)2h+1 D)2h-1

    12.C 13.C 14.D 15.D 16.C 17.C 18.C 19.B 20.C

    21.D

    判断题

    ( )一棵多叉树转换成二叉树,该二叉树的根结点一定没有右子树。

    ( )二叉树只能用链式结构存储,无法用顺序存储结构存储。

    ( )完全二叉树中最多只能有一个度为1的结点。

    ( )完全二叉树中一定不存在度为1的结点。

    ( )具有n个结点的二叉树其深度一定小于n 。

    9.√ 10.X

    \11. √ 12. X 13. X

    简答题

    树的叶子节点

    编写一个递归算法,求二叉树中位于先序遍历中第k个位置的节点的值。

    编写一个递归算法,计算二叉树中叶子结点的数目

    编写递归算法,将二叉树中所有节点的左右子树相互交换。

    写出树的先根序列和后根序列

    总结

    树与二叉树的考点主要是二叉树性质、二叉树遍历、二叉树与森林的转换以及哈夫曼树。

    目前已经学了前五个部分了,仔细看看,其实是相互先联系的。数据结构笔记1绪论科普了数据结构的概念以及时间复杂度; 数据结构笔记2线性表阐述了最简单的顺序结构和链式结构; 数据结构笔记3栈和队列说明了生活中常用到的线性结构(递归、队列);数据结构笔记4串讲解了字符串的数据结构,也是生活中常用到的数据结构——文字;数据结构笔记5数组讲解了数组的数据结构,是图形处理的基础——二维数组;

    这一部分是树和二叉树,其实在遍历中常用到。在vue中就是用虚拟DOM树,通过内部的计算,选出最好的渲染方式。

    虚拟DOM大幅度提升了对修改HTML元素的性能,使网页响应更快。

    DOM储存于内存中,提供操作和修改HTML元素的一系列API。DOM操作是前端开发的核心,最早流行的前端框架都以优秀的DOM操作闻名,如jQuery。与JavaScript逻辑相比,DOM操作的性能消耗非常高,在以静态内容为主的webpage时代,少量DOM操作的性能损耗基本可以忽略,然而对于存在丰富动态内容的webapp而言,大量、频繁的DOM操作逐渐成为了性能瓶颈。

    virtual DOM技术的核心是创建DOM对象的一个轻量级克隆对象,虚拟DOM拥有原始DOM除了操作HTML元素的API以外的所有属性。对于JavaScript而言,虚拟DOM仅仅是一个拥有丰富属性的对象,所有针对DOM的操作被映射为对JavaScript对象的修改,性能上大幅度优于直接对DOM的操作。在接收到动态数据或用户操作后,Vue或react会在内存中将虚拟DOM树全量更新,对比检查受影响的对象,随后对这些对象所对应的真实DOM进行对应修改。得益于Vue或react的diff算法,可以采用全量更新策略并且能够保障对比性能。

    这部分暂时写到这。

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哈夫曼树的空指针域