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  • 哈夫曼的带权路径
    2022-03-27 20:02:48

    在这里插入图片描述
    正常想要计算哈夫曼树的路径长度之和,是遍历一遍树,将叶结点的权值乘上深度再加和。

    那么对于路径和的计算有这样一个公式:
    哈夫曼树的带权路径长度和=等于所有非叶节点的权值和

    所以说我们只需要每次将数组前两个加到res中,再将两者的和放入数组中重新排序,直到数组中剩一个数停止

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int a[10010];
    
    int main()
    {
    	int n;
    	int res;
    	while(cin >> n)
    	{
    		if(n == 0)
    			break;
    		res = 0;
    		for(int i = 0 ; i < n ; i++)
    		{
    			cin >> a[i];
    		}
    		sort(a,a+n);
    		for(int i = 0 ; i < n ; i++)
    		{
    			if(i == n-1)
    				break;
    			res = res + a[i] + a[i+1];
    			a[i+1] = a[i]+a[i+1];
    			sort(a+i+1,a+n);
    		}
    		cout << res << endl;
    	}
    	return 0;
    }
    
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    树的带权路径长度

    (Weighted Path Length of Tree,简记为WPL)

    一般的,我们是可以用常规的构造哈夫曼树求带权路径长度。

    计算结点的带权路径长度:结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。

    带权路径长度WPL(Weighted Path Length)最小的二叉树,也称为最优二又树。

    在这里简单举个例子说一下:

    题目:

    给定6个字符(a,b,c,d,e,f),它们的权值集合W =(2,3,4,7,8,9),试构造关于W的一棵哈夫曼树,求其带权路径长度WPL。

    解:根据题意构造关于W的哈夫曼树如1图所示:
    在这里插入图片描述

    那么其带权路径长度WPL=(9+7+8)×2+4×3+(2+3)×4=80。
    在这里插入图片描述

    结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积

    哈夫曼树

    构造哈夫曼树的办法是:在W中选出两个权小结点,并同时计算出它们的和,如果两个数的和正好是下一步的两个最小数的其中的一个,那么这个树直接往上生长就可以了,如果这两个数的和比较大,不是下一步的两个最小数的其中一个,那么就并列生长。
    在这里插入图片描述
    哈夫曼树又称最优二叉树,是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度,就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度(若根结点为0层,叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数)。树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和,记为WPL=(W1L1+W2L2+W3L3+…+WnLn),N个权值Wi(i=1,2,…n)构成一棵有N个叶结点的二叉树,相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,…n),可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

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    哈夫曼树:

    当用 n 个结点(都做叶子结点且都有各自的权值)试图构建一棵树时,如果构建的这棵树的带权路径长度最小,称这棵树为“最优二叉树”,有时也叫“赫夫曼树”或者“哈夫曼树”。
    在构建哈弗曼树时,要使树的带权路径长度最小,只需要遵循一个原则,那就是:权重越大的结点离树根越近。在图 1 中,因为结点 a 的权值最大,所以理应直接作为根结点的孩子结点。

    哈夫曼树相关的几个名词

    路径:在一棵树中,一个结点到另一个结点之间的通路,称为路径。图 1 中,从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。

    路径长度:在一条路径中,每经过一个结点,路径长度都要加 1 。例如在一棵树中,规定根结点所在层数为1层,那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图 1 中从根结点到结点 c 的路径长度为 3。

    结点的权:给每一个结点赋予一个新的数值,被称为这个结点的权。例如,图 1 中结点 a 的权为 7,结点 b 的权为 5。

    结点的带权路径长度:指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例如,图 1 中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 = 10 。

    构建哈夫曼树过程(1):

    对于给定的有各自权值的 n 个结点,构建哈夫曼树有一个行之有效的办法:

    1. 在 n 个权值中选出两个最小的权值,对应的两个结点组成一个新的二叉树,且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和;
    2. 在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值,同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中,以此类推;
    3. 重复 1 和 2 ,直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止,这棵树就是哈夫曼树。

     构建哈夫曼树过程(2):

     

    假设有n个权值,则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn,则哈夫曼树的构造规则为:


    (1) 将w1、w2、…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点);
    (2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并,作为一棵新树的左、右子树,且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和;
    (3)从森林中删除选取的两棵树,并将新树加入森林;
    (4)重复(2)、(3)步,直到森林中只剩一棵树为止,该树即为所求得的哈夫曼树。

     如:对 下图中的六个带权叶子结点来构造一棵哈夫曼树,步骤如下:

     

     

     

    性质

    每个初始结点都会成为叶子结点,双支结点都为新生成的结点
    权值越大离根结点越近,反之离根结点越远
    哈夫曼树中没有结点的度为1 (叶子节点:0 ,分支结点:2 )
    n个叶子结点的哈夫曼树的结点总数为2n − 1,其中度为2的结点数位n − 1

     

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空空如也

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