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  • 哈夫曼编码效率
    2022-03-10 16:47:35

    哈夫曼编码

    哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的一个十分有效的编码方法。压缩率在20%~90%之间。
    哈夫曼编码算法用一个字符在文件中出现的频率表来建立一个用0,1串表示字符的最优表示方式。
    即频率越高,0,1串就越简短,从而整体的内存也会被压缩下来;
    哈夫曼编码的构造

    1.将n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树,构成森林F;
    2.构造一个新结点,从F中选取俩棵权值最小的树作为新结点的左右子树,并且将新结点的权值置为左右子树的权值之和;
    3.从F中删除刚才选出的俩棵树,同时将新构造的树加入F中;
    4.反复使用2和3步骤,直到合并成一棵树;
    5.然后将左分支和右分支分别定义为0和1;按照路径取得对应的0,1串,这就是哈夫曼算法;
    
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  • 信息熵 哈夫曼编码 哈夫曼编码代码演示

    今天的图有点丑,见谅(✿◡‿◡)

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    信息熵

    哈夫曼编码

     哈夫曼编码代码演示



    信息熵

    平均编码长度:设传输一组数据a,b,c,d即我们要对其进行二进制的编码,长度分别是La,Lb,Lc,出现的概率分别是Pa,Pb,Pc,Pd。

    平均编码长度就是L=La*Pa+Lb*Pb+Lc*Pc+Ld*Pd……(k=1,n)∑LkPk.累加格式没有找到,先浅浅的这样表示。

    因为要对信息进行二进制编码,为了便于理解,我们用一个二叉树来讲解,往左走是1,往右走是0。

    比如c结点的编码就是10.

    我们所研究的是变长编码系统,每一种字符编码长度不一样,观察这个二叉树可知,任何两个结点不可能出现在同一条路径上,即所覆盖的叶子结点不可能重合。

    例:比如下图中的m,b出现在了同一条路径上,如果传过来一串编码110,那么对于变长编码系统而言我们无法判断这个编码是m(11)和d(0)还是b(110).

    那么我们在选择编码结点的时候保证它们所覆盖的叶子节点没有交集就可以。

    看d结点,它的编码长度是1,所覆盖的叶子结点的个数是2²,设树的高度为h,编码长度为l,它所覆盖的叶子结点个数是2^(h-l).

    那我们此时把得出的这个结论带入到L=(k=1,n)∑LkPk中,此时累加和刚好等于2^h.

    把所有编码结点所能覆盖的叶子结点相加小于等于2^h,不等式两边同时除以2^h,右式等于一,左式可看作概率,此时做一步替换Lk_=-Lk,此时我们的目标函数

                                    L=-(Pa*La_+Pb*Lb_+Pc*Lc_+Pd*Ld_)

    令Ik=2^(Lk_),就可得L=-(Pa*log2(Ia)+Pb*log2(Ib)+Pc*log2(Ic)+Pd*log2(Id)……+Pn*log2(In))。

    易得:当I的累加和等于1的时候解最优。

    证:假设I的累加和此时小于1,就会有一个余项即1-I的累加和,将这个余项加到任意一项中都会使递增函数log2(Ik)变大加上前面的负号即L就会变小,此时具有更优解,那么易知当I的累加和等于1的时候解最优。

    令II=(k=1,n-1)∑I.

    L=-(Pa*log2(Ia)+Pb*log2(Ib)+Pc*log2(Ic)+Pd*log2(Id)……Pn-1*log2(I(n-1))+Pn*log2(I(1-II))。

    我们再对每个Ik求偏导令其等于零求最小:

    总结就是P1/I1=P2/I2=.....Pn/In

    由于所有P的累加和等于1,所有I的累加和等于1,可得Pk=Ik。

     最后推出最小平均编码长度公式为

            L=-(Pa*log2(Pa)+Pb*log2(Pb)+Pc*log2(Pc)+Pd*log2(Pd))……Pn*log2(Pn))

    我们进行了两部变换:1)Lk_=-Lk

    L=-(Pa*La_+Pb*Lb_+Pc*Lc_+Pd*Ld_)

    2)log2(Ik)=Lk_

    L=-(Pa*log2(Ia)+Pb*log2(Ib)+Pc*log2(Ic)+Pd*log2(Id))

    哈夫曼编码

    哈夫曼编码的作用就是使平均编码长度达到最小值。

    假设选择如上编码结点,那么说明此时我们树高为H-1,即所有字符编码不落在叶结点上。所以哈夫曼编码中一定有一些编码结点落在叶子结点上。

     如果把代表这些编码结点单独画出来,那么,这些编码结点就是画出的这棵树上的所有叶子结点,如图:

    在这个树中,我们很容易得知2,3结点的概率最低,因为编码长度最长,而此时p5等于p3+p2。结点五相当于2或3.

    那么我们就可以选择出现概率最低的结点进行合并。即最先被合并的一定是概率最小的,树的路径长度最长。即这就是我们的哈夫曼树。哈夫曼编码就是编码结点。

     哈夫曼编码代码演示

    #include<bits/stdc++.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    #define swap(a,b){\
    	__typeof(a) temp=a;\
    	a=b;b=temp;\
    }
    typedef struct Node{//结点结构 
    	char ch;
    	double p;//当前结点的概率值 
    	struct Node*next[2];//0 1
    }Node;
    typedef struct Code{
    	char ch;
    	char *str;
    }Code;//
    //树形结构
    typedef struct HaffmanTree{
    	Node *root;//指向根节点的一个指针 
    	int n;
    	Code*codes;
    }HaffmanTree; 
    typedef struct Date{
    	char ch;
    	double p;
    }Date;
    /*class Date{
    	public :
    		char ch;
    		double p;
    }Date;*/
    Date arr[1000];
    Node*getNewNode(Date*obj){
    	Node *p=(Node*)malloc(sizeof(Node));
    	p->ch=(obj?obj->ch:0);
    	p->p=(obj?obj->p:0);//判断obj是否为空 
    	p->next[0]=p->next[1]=NULL;
    	return p;
    }
    HaffmanTree*getNewTree(int n){//维护n个字符 
    	HaffmanTree*tree=(HaffmanTree*)malloc(sizeof(HaffmanTree));
    	tree->codes=(Code*)malloc(sizeof(Code)*n);
    	tree->root=NULL;
    	tree->n=n;
    	return tree;
    }
    void insert(Node**arr,int n){
    	for(int j=n;j>=1;j--){
    		if(arr[j]->p<arr[j-1]->p){
    				swap(arr[j],arr[j-1]);
    			}
    		else break;
    	}
    	return ;
    }
    int extractCodes(Node*root,Code*a,int k,int l,char *buff){
    	//当前结点是叶子结点时,能表示一个编码
    	buff[l]=0;
    	if(root->next[0]==NULL){//哈夫曼中没有度为零的结点 
    		a[k].ch=root->ch;
    		a[k].str=strdup(buff);
    		return 1;//编码了一个字符 
    	} 
    	//不是一个叶子结点
    	int dd=0;//表示编码了多少个字符
    	buff[l]='0';//向左子树走 
    	dd+=extractCodes(root->next[0],a,k+dd,l+1,buff);
    	buff[l]='1';//向right子树走 
    	dd+=extractCodes(root->next[1],a,k+dd,l+1,buff);
    	return dd;
    }
    HaffmanTree*build(Date*arr,int n){
    	Node**nodes=(Node**)malloc(sizeof(Node)*n);//存储哈夫曼结点地址的数组 
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		nodes[i]=getNewNode(arr+i);
    	}
    	//进行n-1轮的合并,先排序概率
    	for(int i=0;i<n;i++){//插入排序 
    		/*for(int j=i;j>=1;j--){
    			if(arr[j]->p>arr[j-1]->p)//(((((((
    			{
    				swap(arr[j],arr[j-1]);
    			}
    			break;
    			
    		}*/
    		insert(nodes,i);
    	}
    	/*因为最小的两个在数组的最后两位,
    	我们要将最小的两位合并并把合并完的数据存储在下一轮合并的最后一位
    	然后将这个结点进行向前插入排序 */
    	for(int i=n-1;i>=1;i--){//最后一轮合并,剩两个元素
    		Node*p=getNewNode(NULL);
    		//p就是新生成的结点
    		p->next[0]=nodes[i];
    		p->next[1]=nodes[i-1];
    		p->p=nodes[i]->p + nodes[i-1]->p;
    		//合并完成,此时要将这个结点放到i-1处
    		nodes[i-1]=p;
    		/*for(int j=i-1;j>=1;j--){
    			if(arr[j]->p>arr[j-1]->p){
    				swap(arr[j],arr[j-1]);
    			}
    			break;
    		}*/
    		insert(nodes,i-1);
    		
    	}
    	char *buff=(char*)malloc(sizeof(char)*n);
    	HaffmanTree*tree=getNewTree(n);
    	tree->root=nodes[0];
    	free(nodes);
    	extractCodes(tree->root,tree->codes,0,0,buff);
    	free(buff);
    	return tree;
    }
    int main() 
    {
    	char str[10];
    	int n;
    	cin>>n;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		scanf("%s%d",str,&arr[i].p);
    		//用字符串的第一位,防止换行和空格的吞入很久之前学到的小技巧 比较好用 
    		arr[i].ch=str[0]; 
    	}
    	HaffmanTree*tree=build(arr,n);
    	for(int i=0;i<tree->n;i++){
    		cout<<tree->codes[i].ch<<":"<<tree->codes[i].str<<endl;
    	}
    	return 0;
    }

    能让人疯狂的事情果然只有找bug。

    展开全文
  • Huffman-哈夫曼编码算法详解

    千次阅读 2022-04-03 10:27:34
    Huffman-哈夫曼编码算法详解

    1. 概述&背景

    哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%~90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一
    个用0,1串表示各字符的最优表示方式。给出现频率高的字符较短的编码,出现频率较低的字符以较长的编码,可以大大缩短总码长。
    在学习哈夫曼编码之前,首先应了解前缀码:对每一个字符规定一个0,1串作为其代码,并要求任一字符的代码都不是其它字符代码的前缀,这种编码称为前缀码。比如:01,001,011就不满足前缀码的性质,因为011中包含01。而哈夫曼编码必须要满足前缀码的性质,否则会导致译码的时候出现多种译码方式,违背的唯一性准则。

    2. 哈夫曼编码

    哈夫曼编码的基本思想为:循环地选择具有最低频率的两个结点,生成一棵子树,直至形成树。我们通过一个例子来理解一下:
    题目给出待编码的符号以及出现的频率,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    每次选择频率最小的两个符号,依次建树,并把这两个最小频率加和,用这个和来替换原来最小的两个频率:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3. 算法描述:

    Huffman(C, F)
    {
    	n <- |C|;
    	Q <- C;
    	FOR i <- 1 To n-1 Do
    		z <- Allocate-Node();
    		// 使用二叉堆找到出现频率最小的节点并置为左孩子lch
    		x <- left[z] <- Extract-MIN(Q);
    		// 使用二叉堆找到出现频率次小的节点并置为右孩子rch 
    		y <- right[z] <- Extract-MIN(Q);
    		f(z) <- f(x) + f(y);
    		Insert(Q, z);
    	Return;
    }
    

    4. 代码:

    参考链接:https://www.cnblogs.com/gyk666/p/6851821.html

    //
    // Created by 23011 on 3/4/2022.
    //
    #include<iostream>
    #include<string>
    using namespace std;
    struct Node
    {
        double weight;
        string ch;
        string code;
        int lchild, rchild, parent;
    };
    
    void Select(Node huffTree[], int *a, int *b, int n)//找权值最小的两个a和b
    {
        int i;
        double weight = 0; //找最小的数
        for (i = 0; i <n; i++)
        {
            if (huffTree[i].parent != -1)     //判断节点是否已经选过
                continue;
            else
            {
                if (weight == 0)
                {
                    weight = huffTree[i].weight;
                    *a = i;
                }
                else
                {
                    if (huffTree[i].weight < weight)
                    {
                        weight = huffTree[i].weight;
                        *a = i;
                    }
                }
            }
        }
        weight = 0; //找第二小的数
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            if (huffTree[i].parent != -1 || (i == *a))//排除已选过的数
                continue;
            else
            {
                if (weight == 0)
                {
                    weight = huffTree[i].weight;
                    *b = i;
                }
                else
                {
                    if (huffTree[i].weight  < weight)
                    {
                        weight = huffTree[i].weight;
                        *b = i;
                    }
                }
            }
        }
        int temp;
        if (huffTree[*a].lchild < huffTree[*b].lchild)  //小的数放左边
        {
            temp = *a;
            *a = *b;
            *b = temp;
        }
    }
    
    void Huff_Tree(Node huffTree[], int w[], string ch[], int n)
    {
        for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) //初始过程
        {
            huffTree[i].parent = -1;
            huffTree[i].lchild = -1;
            huffTree[i].rchild = -1;
            huffTree[i].code = "";
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            huffTree[i].weight = w[i];
            huffTree[i].ch = ch[i];
        }
        for (int k = n; k < 2 * n - 1; k++)
        {
            int i1 = 0;
            int i2 = 0;
            Select(huffTree, &i1, &i2, k); //将i1,i2节点合成节点k
            huffTree[i1].parent = k;
            huffTree[i2].parent = k;
            huffTree[k].weight = huffTree[i1].weight + huffTree[i2].weight;
            huffTree[k].lchild = i1;
            huffTree[k].rchild = i2;
        }
    }
    void Huff_Code(Node huffTree[], int n)
    {
        int i, j, k;
        string s = "";
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            s = "";
            j = i;
            while (huffTree[j].parent != -1) //从叶子往上找到根节点
            {
                k = huffTree[j].parent;
                if (j == huffTree[k].lchild) //如果是根的左孩子,则记为0
                {
                    s = s + "0";
                }
                else
                {
                    s = s + "1";
                }
                j = huffTree[j].parent;
            }
            cout << "字符 " << huffTree[i].ch << " 的编码:";
            for (int l = s.size() - 1; l >= 0; l--)
            {
                cout << s[l];
                huffTree[i].code += s[l]; //保存编码
            }
            cout << endl;
        }
    }
    
    string Huff_Decode(Node huffTree[], int n,string s)
    {
        cout << "解码后为:";
        string temp = "",str="";//保存解码后的字符串
        for (int i = 0; i < s.size(); i++)
        {
            temp = temp + s[i];
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                if (temp == huffTree[j].code)
                {
                    str=str+ huffTree[j].ch;
                    temp = "";
                    break;
                }
                else if (i == s.size()-1&&j==n-1&&temp!="")//全部遍历后没有
                {
                    str= "解码错误!";
                }
            }
        }
        return str;
    }
    
    int main()
    {
        //编码过程
        const int n=5;
        Node huffTree[2 * n];
        string str[] = { "A", "B", "C", "D", "E"};
        int w[] = { 30, 30, 5, 20, 15 };
        Huff_Tree(huffTree, w, str, n);
        Huff_Code(huffTree, n);
        //解码过程
        string s;
        cout << "输入编码:";
        cin >> s;
        cout << Huff_Decode(huffTree, n, s)<< endl;;
        system("pause");
        return 0;
    }
    

    在这里插入图片描述

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  • 一、哈夫曼编码定义:哈夫曼编码是无失真信源编码中一种不等长分组码、唯一可译码、及时码。依据各字符出现概率来构造码字(概率匹配的方法进行信源编码)其基本原理是基于二叉树的编码思想。 观察一个二进制哈夫曼...

    哈夫曼与信道编码

    哈夫曼编码

    一、哈夫曼编码定义:哈夫曼编码是无失真信源编码中一种不等长分组码、唯一可译码、及时码。依据各字符出现概率来构造码字(概率匹配的方法进行信源编码)其基本原理是基于二叉树的编码思想。61c30eb2361f4b18bc207ba80d4a775c.jpg

     观察一个二进制哈夫曼码树,每一个信源符号ai都对应于树的一个终端节点,拥有一个码字。

    信源符号ai出现概率越高,树的节数越小,码长越小。信源符号ai出现概率越低,树的节数越大,码长越大。

    哈夫曼编码每一个码字都从低位到高位来编.对于一个码字,每进一位,树的节点向上走一级,代表当前符号被合并。

    二、哈夫曼编码方法:(1)将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列为p1≥p2≥…≥pn

    (2)取两个概率最小的字母分别配以0和1两个码元,并将这两个概率相加作为一个新字母的概率,与未分配二进符号的字母一起重新排队。

    (3)对重排后的两个概率最小符号重复步骤(2)的过程。

    (4)不断继续上述过程,直到最后两个符号配以0和1为止。

    (5)从最后一级开始,向前返回得到各个信源符号所对应的码元序列,即相应的码字。

    哈夫曼编码得到的码并不唯一。它们的码长、编码效率相等、码方差不同。码方差越小码的质量越好。将两个概率最小的符号合并后的符号放在信源序列尽可能高的位置上,可以获得较小的码方差。三、哈夫曼编码优势:平均码长较小、编码效率高、信息传输速率大。

    四、哈夫曼编码过程:设信源有Q个符号,m为m进制,三进制就取3。

    1、对信源符号按概率由大到小排序。

    2、计算X = m + k(m-1) = 3 + k(3 - 1) = 3 + 2 k (3进制的情况) ,k为整数。

    3、取一个使X>=Q满足上式的X。

    4、s = X – Q,则3-s的数值就是三进制哈夫曼编码第一步所需要取的概率最小符号个数,一个符号分配0,两个符号分配0,1,三个符号分配0,1,2,并将这几个符号概率相加作为一个新字母的概率,与未分配符号的字母一起重新排序。

    5、对重排后三个概率最小符号分配0,1和2, 并将这三个符号概率相加作为一个新字母的概率,与未分配符号的字母一起重新排序。

    6、重复步骤5,直到最后三个符号分配0,1和2为止。

    7、写出相应的码字。

    举个例子:信源符号有6种字母,概率为0.32, 0.22, 0.18, 0.16, 0.08, 0.04分析得到X为7,s=7-6=1,则第一步所需要编码符号数为3-1=2。

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     信道编码

    信道编码的定义:信道编码是以信息在信道上的正确传输为目标的编码,它可分为两个层次:一是如何正确接收载有信息的信号,二是如何避免少量差错信号对信息内容的影响。从信息论角度来看的信道编码是指第二层次的编码,差错控制编码,包括各种形式的纠错、检错码,可统称为纠错编码。接下来,本篇帖子将简单介绍信道编码的相关知识。

    一、差错和差错控制系统分类

    1.差错符号、差错比特

    信号差错与信息差错既有联系又有区别,分别用差错符号、差错比特来描述它们。通常所说的符号差错概率(误码元率)是指信号差错概率,而误比特率是指信息差错概率。对于二进制传输系统,符号差错等效于比特差错。

    为了定量地描述信号的差错,定义收、发码之“差”为差错图样(error pattern):

    差错图样E=发码C-收码R(模M)

    最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加:E=C⊕R或C=R⊕E

    此时差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离

    2.差错图样类型

    若差错图样上各码位的取值既与前后位置无关,又与时间无关即差错始终以相等概率独立发生于各码字、各码元、各比特,称此类差错为随机差错。而前后相关、成堆出现的差错称为突发差错

    3.差错控制系统分类

    从系统的角度,运用纠/检错码进行差错控制的基本方式大致分成三类,前向纠错(FEC),反馈重发(ARQ)和混合纠错(HEC)

    前向纠错(FEC):发端信息经纠错编码后实行传送,接收端通过纠错译码自动纠正传递过程中的差错。

    反馈重发(ARQ):发送端发送检错码如循环冗余校验(CRC)码,接收端通过检测接收码是否符合编码规来判断该码是否存在差错。如判定码组有错,则通过反向信道通知发送端重发该码,如此反复直到接收端认为正确接收为止。

    混合纠错(HEC):此法是前向纠错和反馈重发的结合,发送端发送的码兼有检错和纠错两种能力。

    二、纠错编码的基本原理

    由信道编码定理: 可知,减小需要增大码长N或E(R)。对于同样的码率R,信道容量大者其可靠性函数E(R)也增大;若信道容量C不变,码率减小时其可靠性函数E(R)增大。由分析可知减小差错概率的方法有:

    1.增大信道容量C4aa106641fef4814b41ab0dc18026c24.jpg

     

    2.译码方法——最优译码与最大似然译码

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    三、线性分组

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     一共有2ⁿ种差错,而差错图案应该有2^k种,所以应该有删减。一般情况,我们会采用概率译码,即在2ⁿ中选取重量最轻的2^k个E。由于E=R+C,E重量最小就是R与C的汉明距离最小,所以二进制的概率译码实际上就是最小汉明距离译码,也就是最大似然译码。68e8b663bbaf4752b90bcdd19fa3f621.jpg

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    本帖为简单的课程总结,如有纰漏,还望海涵。

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