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  • 勒让德变换和正则方程 设有\(f(x,y)\),则全微分\(df(x,y)=udx+vdy\),其中\(u=\partial f(x,y)/\partial x,v=\partial f(x,y)/\partial y\)。这里的变量是\(x,y\)。注意\(u\)是\(x,y\)的函数,即\(u=u(x,y)\),从这...

    勒让德变换和正则方程

    设有\(f(x,y)\),则全微分\(df(x,y)=udx+vdy\),其中\(u=\partial f(x,y)/\partial x,v=\partial f(x,y)/\partial y\)。这里的变量是\(x,y\)。注意\(u\)\(x,y\)的函数,即\(u=u(x,y)\),从这个式子出发,也可以把函数关系表示为\(x=x(u,y)\)。现在希望把变量换成\(u\)\(y\),也就是说把函数\(f(x,y)\)看做复合函数\(f(u,y)=f[x(u,y),y]\),构造函数\(g(u,y)=f(u,y)-ux(u,y)\),则\(dg(u,y)=df-xdu-udx=vdy-xdu\),上式就成功地把变量换成了\(u\)\(y\),有\(\partial g(u,y)/\partial y=v,\partial g(u,y)/\partial u=-x\)。这就是勒让德变换,通过修改被全微分的函数,来把全微分式中\(udx\)换成\(xdu\)

    位形空间中的拉格朗日函数\(L(q,\dot{q},t)\)\(q\)\(\dot{q}\)为自由变量,现在想把\(\dot{q}\)换成对应的动量\(p=\partial L/\partial \dot{q}\),让自由变量变成\(q\)\(p\)。先求其全微分\[dL(q,\dot{q},t)=\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}dq_k+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}d\dot{q}_k\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt\]按照广义动量的定义\[p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\]和拉格朗日方程\[\dot{p_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=\frac{\partial L}{\partial q_k}\]代入拉格朗日函数的全微分式中,得到\[dL(q,\dot{q},t)=\sum_k\left(\dot{p}_kdq_k+p_kd\dot{q}_k\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt\]上式中扮演自变量身份的还是\(q_k,\dot{q}_k,t\)三者,现在希望把上式中的\(p_kd\dot{q}_k\)换成\(\dot{q}_kdp_k\),从而把自变量换成\(q_k,p_k,t\)三者。为此使用勒让德变换,构造新函数\[H(p,q,t)=\sum_kp_k\dot{q}_k-L(q,\dot{q},t)\]求上式全微分得到\[dH(p,q,t)=\sum_k(\dot{q}_kdp_k-\dot{p}_kdq_k)-\frac{\partial L}{\partial t}dt\]这就是说\[\begin{aligned}\frac{\partial H}{\partial p_k}&=\dot{q}_k\\ \frac{\partial H}{\partial q_k}&=-\dot{p}_k\\ \left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{p,q}&=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{\dot{q},q}\end{aligned}\]这个新函数\(H\)和拉格朗日力学中的广义能量函数一样,但是这里把它写作\(p,q,t\)的函数(相空间),而非\(q,\dot{q},t\)的函数(位形空间),所以这里\(H\)称为哈密顿函数。前两个式子就是哈密顿正则方程。

    罗斯函数

    上面利用勒让德变换把所有的广义速度\(\dot{q}_k\)换成了广义动量\(p_k\),但是有时候只希望一部分广义坐标对应的广义速度被替换,而另一部分仍保留广义速度。这时介于拉格朗日函数和哈密顿函数之间的,叫做罗斯函数。例如假设系统有两个广义坐标\(q,\xi\),现在只想把拉格朗日函数中的\(\dot{q}\)换成广义动量,而\(\dot{\xi}\)保留。为此构造罗斯函数\[R(q,p,\xi,\dot{\xi})=p\dot{q}-L\]求其全微分为\[dR(q,p,\xi,\dot{\xi})=-\dot{p}dq-pd\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial \xi}d\xi-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}d\dot{\xi}+\dot{q}dp+pd\dot{q}\\=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial \xi}d\xi-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}d\dot{\xi}\]这表明\[\begin{aligned}\frac{\partial R}{\partial q}=-\dot{p},\frac{\partial R}{\partial p}=\dot{q}\end{aligned}\\ \frac{\partial R}{\partial \xi}=-\frac{\partial L}{\partial \xi},\frac{\partial R}{\partial \dot{\xi}}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}\]前两式正是\(q\)这个广义坐标对应的哈密顿正则方程。把后两式代入\(\xi\)的拉格朗日方程中,有\[\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot{\xi}}-\frac{\partial R}{\partial \xi}=0\]所以如果只对希望变换的广义速度进行勒让德变换,则得到的结果就是罗斯函数,罗斯函数对于已经变换的广义坐标,得到的运动方程是哈密顿正则方程形式,对于还未变换的广义坐标,得到的还是拉格朗日方程形式。如果坐标\(q\)是循环坐标,则原拉格朗日函数不显含\(q\),则上面罗斯函数不显含\(q\),又因为循环坐标,从而\(p\)为常数,由此上面的方程只是关于\(\xi\)的微分方程,循环坐标完全被消去,比\(\xi\)的拉格朗日方程要简单。

    泊松括号和力学量随时间的变化

    设力学量\(f(p,q,t)\),则关于时间全导数为\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_k\left(\frac{\partial f}{\partial p_k}\dot{p}_k+\frac{\partial f}{\partial q_k}\dot{q}_k\right)\]又因为\(\dot{q}_k=\partial H/\partial p_k,\dot{p}_k=-\partial H/\partial q_k\)所以\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_k\left(\frac{\partial H}{\partial p_k}\frac{\partial f}{\partial q_k}-\frac{\partial H}{\partial q_k}\frac{\partial f}{\partial p_k}\right)\]定义泊松括号为\[[F,G]=\sum_k\left(\frac{\partial F}{\partial p_k}\frac{\partial G}{\partial q_k}-\frac{\partial F}{\partial q_k}\frac{\partial G}{\partial p_k}\right)\]\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+[H,f]\]这就是力学量随时间的变化。如果函数\(f\)不显含时间\(t\),则\(f\)守恒的充要条件是\([H,f]=0\)

    作用量函数

    最小作用量原理说的是在时刻\(t=t_1\)和时刻\(t=t_2\),系统的位置由两组坐标\(q^{(1)}\)\(q^{(2)}\)确定,那么系统在这两个位置之间的运动使得作用量\[S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt\]取最小值。即\(\delta S=0\)

    \(q(t)\)使得作用量\(S\)取最小值,现在给\(q(t)\)一个变分\(\delta q(t)\),变分\(\delta q(t)\)满足\(\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0\),从而系统始末状态不变,只是运动轨迹变化。则使用\(q(t)+\delta q(t)\)代替\(q(t)\)\(S\)带来的变分为\[\delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}\right)dt\]由于是等时变分,所以\(\delta \dot{q}=d(\delta q)/dt\),分部积分可得\[\delta S=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\Bigg|^{t_2}_{t_1}+\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q dt\]

    现在重新考虑作用量,让积分沿着真实的运动路径,只固定\(t=t_1\)对应的\(q^{(1)}\)这一端,而让在\(t=t_2\)时刻的\(q(t_2)\)通过不同的位置,这样作用量\(S\)就是\(t=t_2\)时刻通过的不同位置的函数。观察上面\(\delta S\)的式子,由于沿着真实的运动路径,上式积分为零,而第一项的下限有\(\delta q(t_1)=0\)所以有\[\delta S=\sum_ip_i\delta q_i\]其中\(\delta q_i\)\(t=t_2\)时的\(\delta q_i(t)\)\(p_i\)是对应的广义动量。上式表明,若如此重新考虑作用量,则有\[\frac{\partial S}{\partial q_i}=p_i\]这是固定两端时间\(t=t_1,t=t_2\)和一端状态\(q(t_1)\),而让另一端的状态\(q(t_2)\)变动的情况;同样的,还可以这样重新考虑作用量,固定两个状态\(q(t_1)\)\(q(t_2)\),以及一端的时间\(t=t_1\),而让另一端时间\(t_2\)变动(简记为\(t\)),则可设想,也会存在一个\(\partial S/\partial t\),它的具体表达式求法如下:将\(S\)看做末端的坐标和时间的函数,则有\[\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial S}{\partial q_i}\dot{q}_i=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_ip_i\dot{q}_i\]另一方面,按照作用量的定义,有\(dS/dt=L\),两式对比,则有\[\frac{\partial S}{\partial t}=L-\sum_ip_i\dot{q}_i=-H\]所以如此定义的作用量的全微分可以写作\[dS=\sum_ip_idq_i-Hdt\]这里的作用量\(S\)是末端坐标和时间的函数,又叫做哈密顿主函数。

    正则变换

    \(s\)个广义坐标\(q_i\)做变换,\(Q_i=Q_i(q,t)\),则\(s\)\(Q_i\)仍然是广义坐标,从而拉格朗日方程仍然成立(因为拉格朗日方程不依赖于广义坐标的选取),这种变换称为点变换。在哈密顿力学中,\(p,q\)都是平等的独立变量,因此变换还可以推广到\(2s\)个,即从\(p,q\)到新变量\(P,Q\) \[Q_i=Q_i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t)\]但是作该变换以后,运动方程不一定具有正则形式:\[\dot{Q}_i=\frac{\partial H'}{\partial P_i},\quad \dot{P}_i=-\frac{\partial H'}{\partial Q_i}\]而运动方程能保持这种结构的变换称之为正则变换。可见正则变换是需要一定条件的。这个条件就是\[dF=\sum_ip_idq_i-\sum_iP_idQ_i+(H'-H)dt\]其中\(P_i,Q_i\)是正则变换,\(H'\)是变换后的哈密顿函数,\(F\)是一个关于新老坐标、时间的函数,称之为变换的母函数。也就是说一个变换如果是正则变换,则上式的右端一定是某个函数的全微分。由上式可以看出\[p_i=\frac{\partial F}{\partial q_i},\quad P_i=-\frac{\partial F}{\partial Q_i},\quad H'=H+\frac{\partial F}{\partial t}\]这里的母函数\(F=F(q,Q,t)\),也可以采用勒让德变换把母函数变成\(q,P\)\(t\)的函数,为此把上面\(F\)的全微分\(dF\)换成\(d(F+\sum\limits_iP_iQ_i)\)得到\[d(F+\sum\limits_iP_iQ_i)=\sum_ip_idq_i-\sum_iQ_idP_i+(H'-H)dt\]上式表明左端是一个关于\(q,P,t\)的函数,这个母函数记为\(\Phi(q,P,t)\),显然有\[p_i=\frac{\partial \Phi}{\partial q_i},\quad Q_i=\frac{\partial \Phi}{\partial P_i},\quad H'=H+\frac{\partial \Phi}{\partial t}\]需类似地母函数还有两个,一共四类母函数。

    要注意的是,进行正则变换以后,哈密顿函数的形式会发生变化,上式最后一个式子表明母函数对时间的偏导数给出新老哈密顿函数的差值,如果选取的母函数不显含时间,则只需要将原哈密顿函数中的\(p,q\)代换成\(P,Q\)即可。

    因为在一个正则变换\(Q_k=Q_k(p,q,t)\)中,即有动量参与,也有坐标参与,所以变换后的\(Q,P\)不在具有动量或坐标的意义,无法进行区分,所以称为正则共轭变量。另外,正则变换不改变泊松括号,即\[[f,g]_{p,q}=[f,g]_{P,Q}\]

    最后,\(p,q\)的随时间的演化也可以归结为一种正则变换,变换的母函数就是\(-S\)。前面说,初始固定而末端变动的作用量函数\(S\)是末端时间和坐标的函数\(S=S(q,t)\),由此有作用量函数的全微分\[dS=\sum_ip_idq_i-Hdt\]现在如果让初始端也变动(但固定时间差\(\tau\)),则作用量函数\(S\)是初始状态\(q_t\)、初始时刻\(t\)、末尾状态\(q_{t+\tau}\)三者的函数,且明显有全微分式\[dS=\sum_i(p_{t+\tau}dq_{t+\tau}-p_tdq_t)-(H_{t+\tau}-H_t)dt\]对比第一类母函数,可以发现\(-S\)是从\(q_t,p_t\)\(q_{t+\tau},p_{t+\tau}\)的正则变换母函数。

    哈密顿-雅克比方程

    对于末端变化的作用量函数,前面已经得出\[\frac{\partial S}{\partial t}+H(q,p,t)=0\\\frac{\partial S}{\partial q_i}=p_i\]将后一式的\(p_i\)代入前一式的哈密顿函数中去,得到\[\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q_1,\cdots,q_s;\frac{\partial S}{\partial q_1},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_s};t\right)=0\]称为哈密顿-雅克比方程。观察该方程,它是一个偏微分方程,求微分的函数是\(S(q,t)\),自变量是\(q_i\)和时间\(t\),而且是一阶的偏微分方程。考虑方程的全积分,应该含有\(s+1\)个任意常数,由于\(S(q,t)\)仅以其导数的形式出现在方程中,所以这\(s+1\)个任意常数中必然有一个是相加的:\[S=f(t,q_1,\cdots,q_s;\alpha_1,\cdots,\alpha_s)+A\]其中\(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\)\(A\)是这\(s+1\)个任意常数。现在用\(\alpha_i\)作为\(s\)个新动量,用\(f\)作为正则变换的母函数,则该母函数是第二类母函数。设正则变换带来的新坐标为\(\beta_1,\cdots,\beta_s\),则按照正则变换,有\[p_i=\frac{\partial f}{\partial q_i},\quad\beta_i=\frac{\partial f}{\partial \alpha_i},\quad H'=H+\frac{\partial f}{\partial t}\]只看上面最后一个式子,\(\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial S}{\partial t}=-H\)所以变换后的哈密顿函数\(H'=0\),从而根据哈密顿正则方程,有\[\dot{\alpha}_i=0\Rightarrow\alpha_i=\text{const}\\\dot{\beta}_i=0\Rightarrow\beta_i=\text{const}\]再回来看第二个式子(其实是\(s\)个式子)\[\beta_i=\frac{\partial f}{\partial \alpha_i}\]可以将\(s\)个坐标\(q_i\)用时间\(t\)\(2s\)个常数\(\alpha_i,\beta_i\)表示出来。所以哈密顿-雅克比方程也像拉格朗日方程或者哈密顿正则方程一样成为求解问题的基础方程。

    转载于:https://www.cnblogs.com/immcrr/p/10348422.html

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  • 哈密顿力学摘要

    2020-12-26 23:08:05
    文章目录前言哈密顿原理经典变分问题数学基础区别函数和泛函变分—自变量不变条件下函数自身的变化变分运算规则积分形式的泛函及其极值问题最速降线问题变分问题的欧拉方程哈密顿原理的优点哈密顿正则方程广义动量与...


    前言

    这篇文章是交通大学物理学院开设的理论力学的课程PPT缩略版。哈密顿力学是泛函的一大体现之一,而泛函作为如今十大数学技能应该被学习。为了方便大家的阅读,特制了本篇网页版的董兵老师的PPT。


    提示:本篇文章为私人笔记,若有侵权,请联系我删除

    哈密顿原理

    经典变分问题

    • 最速落径问题
      在垂直平面内,连接不在同一铅直线上的两点A、B间的曲线,使质点在自重作用下无初速以最短时间从A滑至B。
    • 最短线程问题
      曲面上给定两点间的长度最短的曲线。
    • 等周问题
      长度固定的平面封闭曲线所围面积最大的曲线形状。

    数学基础

    区别函数和泛函

    • 函数: f ( x ) f(x) f(x),自变量 x x x,定义域为数。
    • 泛函: F [ f , x ] = F [ f ( x ) , x ] F[f, x]=F[f(x), x] F[f,x]=F[f(x),x],自变量 f ( x ) , f(x), f(x), 定义域为函数。

    变分—自变量不变条件下函数自身的变化

    • 微分 x → x + d x f ( x ) → f ( x + d x ) d f = f ( x + d x ) − f ( x ) = f ′ ( x ) d x \begin{aligned} &x \rightarrow x+d x \\ & f(x) \rightarrow f(x+d x) \\ d f=& f(x+d x)-f(x)=f^{\prime}(x) d x \end{aligned} df=xx+dxf(x)f(x+dx)f(x+dx)f(x)=f(x)dx
    • 变分 f ( x ) → f ˉ ( x ) f(x) \rightarrow \bar{f}(x) f(x)fˉ(x)
      δ f = f ˉ ( x ) − f ( x ) \delta f=\bar{f}(x)-f(x) δf=fˉ(x)f(x)

    变分运算规则

    { δ ( y 1 ± y 2 ) = δ y 1 + δ y 2 δ ( y 1 ⋅ y 2 ) = y 1 δ y 2 + y 2 δ y 1 δ ( y 1 y 2 ) = y 2 δ y 1 − y 1 δ y 2 y 2 2 δ ( k y ) = k δ y δ ( d y ) = d ( δ y ) δ ( d y d x ) = d d x ( δ y ) ( δ x = 0 ) δ ∫ t 1 t 2 y d t = ∫ t 1 t 2 δ y d t \left\{\begin{array}{l}\delta\left(y_{1} \pm y_{2}\right)=\delta y_{1}+\delta y_{2} \\ \delta\left(y_{1} \cdot y_{2}\right)=y_{1} \delta y_{2}+y_{2} \delta y_{1} \\ \delta\left(\frac{y_{1}}{y_{2}}\right)=\frac{y_{2} \delta y_{1}-y_{1} \delta y_{2}}{y_{2}^{2}} \\ \delta(k y)=k \delta y \\ \delta(d y)=d(\delta y) \\ \delta\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}(\delta y) \quad(\delta x=0) \\ \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} y d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta y d t\end{array}\right. δ(y1±y2)=δy1+δy2δ(y1y2)=y1δy2+y2δy1δ(y2y1)=y22y2δy1y1δy2δ(ky)=kδyδ(dy)=d(δy)δ(dxdy)=dxd(δy)(δx=0)δt1t2ydt=t1t2δydt

    积分形式的泛函及其极值问题

    例如泛函 F [ y ] = ∫ x 1 x 2 L ( x , y , y ′ ) d x F[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x F[y]=x1x2L(x,y,y)dx为两端点固定的积分型泛函,就像在我们研究 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)时我们希望其导数为0一样,我们也希望泛函满足条件 δ F = 0 \delta F=0 δF=0

    最速降线问题

    为了更好地明白这个问题,我们使用最速降线来举例子

    在铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中,找出一 条曲线来,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自全点沿 它无摩擦地滑下时,以最短时间到达B点。

    设曲线AB方程为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x),我们可以得知质点沿着曲线运动的距离为
    v = 2 g y = d s d t = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 d t = ( 1 ± y 2 ) d t d x v=\sqrt{2 g y}=\frac{d s}{d t}=\frac{\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}}{d t}=\frac{\left(\sqrt{1 \pm y^{2}}\right)}{d t} d x v=2gy =dtds=dt(dx)2+(dy)2 =dt(1±y2 )dx
    我们可以写出质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间为: T [ y ] = ∫ x A x B d t = ∫ x A x B 1 + y ′ 2 2 g y T[y]=\int_{x_A}^{x_B}dt=\int_{x_A}^{x_B}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}} T[y]=xAxBdt=xAxB2gy 1+y2 可知T的值与曲线的形状有关,T是y的泛函,则我们希望 δ T = 0 \delta T=0 δT=0

    变分问题的欧拉方程

    对于 F [ y ] = ∫ x 1 x 2 L ( x , y , y ′ ) d x F[y]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x F[y]=x1x2L(x,y,y)dx我们要找到一个合适的 δ T = 0 \delta T=0 δT=0使得 δ F = 0 \delta F=0 δF=0。对于固定边界的问题有
    δ y ∣ x = x 1 = δ y ∣ x = x 2 = 0 \left.\delta y\right|_{x=x_{1}}=\left.\delta y\right|_{x=x_{2}}=0 δyx=x1=δyx=x2=0
    我们由已知的变分运算法则得到
    δ y = y ˉ ( x ) − y ( x ) , ( δ y ) ′ = δ y ′ = y ˉ ′ ( x ) − y ′ ( x ) \delta y=\bar{y}(x)-y(x),(\delta y)^{\prime}=\delta y^{\prime}=\bar{y}^{\prime}(x)-y^{\prime}(x) δy=yˉ(x)y(x),(δy)=δy=yˉ(x)y(x)
    δ F = F [ y ˉ ( x ) ] − F [ y ( x ) ] \delta F=F[\bar{y}(x)]-F[y(x)] δF=F[yˉ(x)]F[y(x)]
    于是有
    F [ y ˉ ( x ) ] = ∫ x 1 x 2 L ( x , y ˉ , y ˉ ′ ) d x = ∫ x 1 x 2 L ( x , y + δ y , y ′ + δ y ′ ) d x F[\bar{y}(x)]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, \bar{y}, \bar{y}^{\prime}\right) d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y+\delta y, y^{\prime}+\delta y^{\prime}\right) d x F[yˉ(x)]=x1x2L(x,yˉ,yˉ)dx=x1x2L(x,y+δy,y+δy)dx
    对上式做Taylor展开有
    F [ y ˉ ( x ) ] = ∫ x 1 x 2 L ( x , y , y ′ ) d x + ∫ x 1 x 2 ( ∂ L ∂ y δ y + ∂ L ∂ y ′ δ y ′ ) d x + F[\bar{y}(x)]=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x+\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y} \delta y+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}\right) d x+ F[yˉ(x)]=x1x2L(x,y,y)dx+x1x2(yLδy+yLδy)dx+higher terms
    下面计算变分
    δ F = ∫ x 1 x 2 L ( x , y ˉ , y ˉ ′ ) d x − ∫ x 1 x 2 L ( x , y , y ′ ) d x = ∫ x 1 x 2 ( ∂ L ∂ y δ y + ∂ L ∂ y ′ δ y ′ ) d x \delta F=\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, \bar{y}, \bar{y}^{\prime}\right) d x-\int_{x_{1}}^{x_{2}} L\left(x, y, y^{\prime}\right) d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y} \delta y+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}\right) d x δF=x1x2L(x,yˉ,yˉ)dxx1x2L(x,y,y)dx=x1x2(yLδy+yLδy)dx
    其中
    ∫ x 1 x 2 ∂ L ∂ y ′ δ y ′ d x = ∫ x 1 x 2 ∂ L ∂ y ′ δ ( d y d x ) d x = ∫ x 1 x 2 ∂ L ∂ y ′ d δ y d x d x \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime} d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta\left(\frac{d y}{d x}\right) d x=\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \frac{d \delta y}{d x} d x x1x2yLδydx=x1x2yLδ(dxdy)dx=x1x2yLdxdδydx
    = ∫ x 1 x 2 d d x ( ∂ L ∂ y ′ δ y ) d x − ∫ x 1 x 2 ( d d x ∂ L ∂ y ′ ) δ y d x =\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d}{d x}\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y\right) d x-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x =x1x2dxd(yLδy)dxx1x2(dxdyL)δydx
    = ∂ L ∂ y ′ δ y ∣ x 1 x 2 − ∫ x 1 x 2 ( d d x ∂ L ∂ y ′ ) δ y d x =\left.\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y\right|_{x_{1}} ^{x_{2}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x =yLδyx1x2x1x2(dxdyL)δydx
    于是整理得到: δ F = ∫ x 1 x 2 ( ∂ L ∂ y − d d x ∂ L ∂ y ′ ) δ y d x = 0 \delta F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x=0 δF=x1x2(yLdxdyL)δydx=0
    即有 d d x ∂ L ∂ y ′ − ∂ L ∂ y = 0 \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial L}{\partial y}=0 dxdyLyL=0,我们称其为欧拉方程

    上面的问题中只有一个未知量,对于多元泛函也是差不多的处理方案。对多元泛函 δ F = ∫ x 1 x 2 ( ∂ L ∂ y − d d x ∂ L ∂ y ′ ) δ y d x = 0 \delta F=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right) \delta y d x=0 δF=x1x2(yLdxdyL)δydx=0,若其边界也是固定的 δ y i ∣ x = x 1 = δ y i ∣ x = x 2 = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ n \left.\delta y_{i}\right|_{x=x_{1}}=\left.\delta y_{i}\right|_{x=x_{2}}=0, i=1,2, \cdots n δyix=x1=δyix=x2=0,i=1,2,n,则它的极值问题由Euler方程组决定:
    d d x ∂ L ∂ y i ′ − ∂ L ∂ y i = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ n \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y_{i}^{\prime}}-\frac{\partial L}{\partial y_{i}}=0, \quad i=1,2, \cdots n dxdyiLyiL=0,i=1,2,n

    哈密顿原理的优点

    • 统一、简洁、完美,具有坐标变换的不变性;
    • 具有很强的普适性可推广至无限自由度以及物理学其他领域;是积分形式的变分原理;
    • 可用于创建新的理论。根据假设构造出拉格朗日函数,用哈密顿原理导出运动方程,由实践检验其正确性;
    • 任何理论有一定的适用范围,这里的哈密顿原理的表述方式也并非对于任意力学系统成立,实际上对力学系统内外部的相互作用有一定的限制,要求相互作用可表示为一标量函数,一般来说,物理学通常关心的正是这种体系

    哈密顿正则方程

    回顾Lagrange力学:以广义坐标为独立变量,运动方程是构型空间中二阶微分方程组— Lagrange方程;在数学上为了处理问题的方便,往往将一个二阶微分方程化为两个一阶微分方程从而在相空间里讨论问题(降阶法)。对于 Lagrange方程,即将s个阶微分方程化为2s个一阶微分方程来处理,比如
    q ˙ α = f α ( q , X , t ) , X ˙ α = g α ( q , X , t ) \dot{q}_{\alpha}=f_{\alpha}(q, X, t), \dot{X}_{\alpha}=g_{\alpha}(q, X, t) q˙α=fα(q,X,t),X˙α=gα(q,X,t)

    Hamilton力学:以广义坐标和广义动量为独立变量,运动方程是相空间中的一阶微分方程组——Hamilton正则方程:分析力学的第二个理论形式

    广义动量与相空间

    我们首先定义广义动量 p α ≡ ∂ L ∂ q ˙ α , α = 1 , 2 , ⋯   , s p_{\alpha} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}, \alpha=1,2, \cdots, s pαq˙αL,α=1,2,,s q α , p α q_{\alpha}, p_{\alpha} qα,pα 为相互共轩的正则变量。 q α q_{\alpha} qα 描写系统 的位置状态, p α p_{\alpha} pα 描写系统的运动状态。由相互独 立的 ( q α , p α ) \left(q_{\alpha}, p_{\alpha}\right) (qα,pα) 组成的2s维空间,才是系统状态 的完整描述,称为相空间(相即状态)。

    一般Lagrangian L ( q , q ˙ , t ) L(q, \dot{q}, t) L(q,q˙,t) q , q ˙ q, \dot{q} q,q˙ 的地位不对 称,如果通过变换把 q ˙ α \dot{q}_{\alpha} q˙α 变为 p α = p α ( q , q ˙ , t ) p_{\alpha}=p_{\alpha}(q, \dot{q}, t) pα=pα(q,q˙,t),
    即做反函数 q ˙ α = q ˙ α ( q , p , t ) \dot{q}_{\alpha}=\dot{q}_{\alpha}(q, p, t) q˙α=q˙α(q,p,t) 并代入L,则可以 把运动微分方程降价,这可行吗?

    我们并不可以直接代换,我们需要更多的操作!

    Legrand变换

    法国数学家与天文学家 A.M. LeGendre于1787年间在研究最小曲面的启发下提出如下问题:
    有双元函数 f ( x , y ) , f(x, y), f(x,y), 其全微分为 d f ( x , y ) = u d x + v d y d f(x, y)=u d x+v d y df(x,y)=udx+vdy
    我们今天希望能得到一个 g ( u , y ) g(u, y) g(u,y)函数,其中 x = ∂ g ∂ u , v = − ∂ g ∂ y x=\frac{\partial g}{\partial u}, v=-\frac{\partial g}{\partial y} x=ug,v=yg,满足 x = ∂ g ∂ u , v = − ∂ g ∂ y x=\frac{\partial g}{\partial u}, v=-\frac{\partial g}{\partial y} x=ug,v=yg,也就是说 x , u x,u x,u为一个共轭变量对。一个典型的勒让德变换是这样的
    d g ( u , y ) = ∂ g ∂ u d u + ∂ g ∂ y d y d g(u, y)=\frac{\partial g}{\partial u} d u+\frac{\partial g}{\partial y} d y dg(u,y)=ugdu+ygdy
    其中有 g ( u , y ) = x u − f ( x , y ) = x ( u , y ) u − f ( x ( u , y ) , y ) g(u, y)=x u-f(x, y)=x(u, y) u-f(x(u, y), y) g(u,y)=xuf(x,y)=x(u,y)uf(x(u,y),y),也就是说函数 f , g f,g f,g的微分关系构成互逆关系。

    对于全变量的Legrand变换,独立变量 ( x , y ) → ( u , v ) (x, y) \rightarrow(u, v) (x,y)(u,v),如下表示
    h ( u , v ) = x u + y v − f ( x , y ) h(u, v)=x u+y v-f(x, y) h(u,v)=xu+yvf(x,y)
    其中读者可以自行证明有 h ( u , v ) = x u + y v − f ( x , y ) h(u, v)=x u+y v-f(x, y) h(u,v)=xu+yvf(x,y),即有 x = ∂ h ∂ u , y = ∂ h ∂ v x=\frac{\partial h}{\partial u}, y=\frac{\partial h}{\partial v} x=uh,y=vh

    Legrand变换的核心是针对“对偶(共轭)变量对”换变量,建立两组变量及对应的函数之间的变换关系。这两组变量和函数同等地描述系统的性质;变换后新函数的极值点就是原来的极值点。
    单变量 Legrand变换的几何意义:用斜率与截距来描述同一条曲线。

    热力学的拉格朗日变换

    我们由热力学第一定律 d U ( S , V ) = T d S − P d V d U(S, V)=T d S-P d V dU(S,V)=TdSPdV,有
    { T = ( ∂ U ∂ S ) V P = − ( ∂ U ∂ V ) S \left\{\begin{array}{l}T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} \\ P=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S}\end{array}\right. {T=(SU)VP=(VU)S
    于是可以得到

    • Helmholtz自由能 f ( T , V ) = U − T S \quad f(T, V)=U-T S f(T,V)=UTS
    • h ( S , P ) = U + P V \quad h(S, P)=U+P V h(S,P)=U+PV
    • Gibbs自由能 g ( T , P ) = U − T S + P V \quad g(T, P)=U-T S+P V g(T,P)=UTS+PV

    多元函数和Legrand变换关系

    旧系统新系统
    变量 x i , α i x_{i}, \alpha_{i} xi,αi G ( y i , α i ) G\left(y_{i}, \alpha_{i}\right) G(yi,αi)
    函数 F ( x i , α i ) F\left(x_{i}, \alpha_{i}\right) F(xi,αi) G ( y i , α i ) G\left(y_{i}, \alpha_{i}\right) G(yi,αi)
    变换 G ( y i , α i ) G\left(y_{i}, \alpha_{i}\right) G(yi,αi) y i = ∂ F ∂ x i , β i = ∂ F ∂ α i y_{i}=\frac{\partial F}{\partial x_{i}}, \beta_{i}=\frac{\partial F}{\partial \alpha_{i}} yi=xiF,βi=αiF

    G = ∑ i x i y i − F G=\sum_{i} x_{i} y_{i}-F G=ixiyiF

    哈密顿正则方程

    一般Lagrangian L ( q , q ˙ , t ) L(q, \dot{q}, t) L(q,q˙,t) 中,通过Legrand变换,把 q ˙ α \dot{q}_{\alpha} q˙α 变为 p α , p_{\alpha}, pα, 即引入新的函数
    H ( p , q , t ) = ∑ α = 1 s q ˙ α p α − L ( q ˙ , q , t ) H(p, q, t)=\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-L(\dot{q}, q, t) H(p,q,t)=α=1sq˙αpαL(q˙,q,t)
    其中 q ˙ α = q ˙ α ( q , p , t ) , \dot{q}_{\alpha}=\dot{q}_{\alpha}(q, p, t) \quad, q˙α=q˙α(q,p,t), 这样广义能量 H的自变量 变为 ( q , p , t ) (q, p, t) (q,p,t), 称为哈密顿量(Hamiltonian),是描述系统动力学性质的新的特性函数。
    原先,我们有 p α ≡ ∂ L ∂ q ˙ α p_{\alpha} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} pαq˙αL,由 Legrand变换关系:
    q ˙ α = ∂ H ∂ p α , ∂ H ∂ q α = − ∂ L ∂ q α , ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t \dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}, \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}, \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} q˙α=pαH,qαH=qαL,tH=tL
    即有 p ˙ α = d d t ∂ L ∂ q ˙ α = ∂ L ∂ q α = − ∂ H ∂ q α \dot{p}_{\alpha}=\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}=\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} p˙α=dtdq˙αL=qαL=qαH
    同时有 ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} tH=tL,这说明了L不显含t,则H不显含t; L+H肯定不显含t。

    注明

    • 正则“ Canonica”一词由 Jacobi于1837年采用,英语中词头 Canon有“正经”的含义,该词对西方人有神圣感;
    • H量是2s+1个变量, ( q , p , t ) (q, p, t) \quad (q,p,t) 的函数 ; 最大优点是 在H中 ( q , p ) (q, p) \quad (q,p) 处于平等的地位; H的物理含义是广义能量, H = T 2 − T 0 + V , H=T_{2}-T_{0}+V, H=T2T0+V, 在稳定约束下 H = T 2 + V H=T_{2}+V H=T2+V
    • 3.“正则方程”更对称,更简洁,更优美,是由2s个阶微分方程组成的方程组,而“ Lagrange方程”是由s个二阶微分方程组成。在“正则方程”中尽管方程的数目成倍增加,但方程的阶数却以相同的比例减少.“正则方程”的更重要的优越性却是方程组之间的对称性(辛对称);这种对称性正是它在物理学其他领域例如量子力学和统计力学中得到广泛应用的理论基础,从这一意义上来说,“ Hamilton力学”不同于“ Lagrange力学”之处,就在于它更侧重于理论体系的构建。

    正则方程的“辛”形式

    引入2s维空间中的列矢量 η ^ = ( q p ) = ( q 1 ⋮ q s p 1 ⋮ p s ) \begin{array}{c}\hat{\eta}=\left(\begin{array}{c}q \\ p\end{array}\right)= & \left(\begin{array}{l}q_{1} \\ \vdots \\ q_{s} \\ p_{1} \\ \vdots \\ p_{s}\end{array}\right)\end{array} η^=(qp)=q1qsp1ps,则正则方程可以写成矩阵形式(辛形式)
    η ^ ˙ = J ^ ∂ H ∂ η ^ , J ^ = ( 0 s × s 1 s × s − 1 s × s 0 s × s ) \dot{\hat{\eta}}=\hat{J} \frac{\partial H}{\partial \hat{\eta}}, \quad \hat{J}=\left(\begin{array}{cc} 0_{s \times s} & 1_{s \times s} \\ -1_{s \times s} & 0_{s \times s}\end{array}\right) η^˙=J^η^H,J^=(0s×s1s×s1s×s0s×s)
    辛矩阵J性质: J ^ 2 = − 1 2 s × 2 s , J ^ T = J ^ − 1 = − J ^ , \hat{J}^{2}=-1_{2 s \times 2 s}, \hat{J}^{T}=\hat{J}^{-1}=-\hat{J}, J^2=12s×2s,J^T=J^1=J^, det J ^ = 1 \hat{J}=1 J^=1

    正则方程的初积分

    若H函数不显含t,即 H ( p , q ) , ∂ H ∂ t = 0 H(p, q), \frac{\partial H}{\partial t}=0 H(p,q),tH=0,我们有
    d H d t = ∂ H ∂ t + ∑ α = 1 s ( ∂ H ∂ q α q ˙ α + ∂ H ∂ p α p ˙ α ) = ∂ H ∂ t = 0 \frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \dot{p}_{\alpha}\right)=\frac{\partial H}{\partial t}=0 dtdH=tH+α=1s(qαHq˙α+pαHp˙α)=tH=0
    故有广义能量积分为 H ( p , q ) = E = cons ⁡ H(p, q)=E=\operatorname{cons} H(p,q)=E=cons
    若H函数不显含某个广义坐标,如 ∂ H ∂ q α = 0 \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=0 qαH=0则由正则方程有 p ˙ α = − ∂ H ∂ q α = 0 , p α = c o n s \dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}=0, p_{\alpha}= cons p˙α=qαH=0,pα=cons此即广义动量守恒。

    Routhian及Rouh方程—混合H-L方法

    基本的拉朗德变换有时候是很复杂的,有时候我们不需要所有自由度的变换,我们需要方法的改进!

    Routhian

    Routh于1876年应用循环积分使 Lagrange方程降维!s个自由度的力学系统中,如只要求其中的m个广义速度通过定义关系变换为广义动量,而保留其余s-m个广义速度不变,此时部分变量Legendre变换为(Routhian)
    R = ∑ k = 1 m q ˙ k p k − L ( q ˙ , q , t ) = R ( q α , q ˙ l , p k , t ) R=\sum_{k=1}^{m} \dot{q}_{k} p_{k}-L(\dot{q}, q, t)=R\left(q_{\alpha}, \dot{q}_{l}, p_{k}, t\right) R=k=1mq˙kpkL(q˙,q,t)=R(qα,q˙l,pk,t)
    α = 1 , ⋯   , s ; k = 1 , ⋯   , m ; l = m + 1 , ⋯   , s \alpha=1, \cdots, s ; k=1, \cdots, m ; l=m+1, \cdots, s α=1,,s;k=1,,m;l=m+1,,s
    全部变量拉朗德变换为
    H = ∑ l = m + 1 s q ˙ l p l + ∑ k = 1 m q ˙ k p k − L ( q ˙ , q , t ) = R + ∑ l = m + 1 s q ˙ l p L H=\sum_{l=m+1}^{s} \dot{q}_{l} p_{l}+\sum_{k=1}^{m} \dot{q}_{k} p_{k}-L(\dot{q}, q, t)=R+\sum_{l=m+1}^{s} \dot{q}_{l} p_{L} H=l=m+1sq˙lpl+k=1mq˙kpkL(q˙,q,t)=R+l=m+1sq˙lpL

    Routh方程

    对以上变换我们有
    { ∂ R ∂ t = − ∂ L ∂ t = ∂ H ∂ t ∂ R ∂ q α = − ∂ L ∂ q α = ∂ H ∂ q α \left\{\begin{array}{l}\frac{\partial R}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t} \\ \frac{\partial R}{\partial q_{\alpha}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\end{array}\right. {tR=tL=tHqαR=qαL=qαH { ∂ R ∂ q ˙ l = − ∂ L ∂ q ˙ l = − p l ∂ R ∂ p k = q ˙ k = ∂ H ∂ p k \left\{\begin{array}{l}\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{l}}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{l}}=-p_{l} \\ \frac{\partial R}{\partial p_{k}}=\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}\end{array}\right. {q˙lR=q˙lL=plpkR=q˙k=pkH
    则由 Lagrange方程有
    d d t ∂ R ∂ q ˙ l − ∂ R ∂ q l = 0 , ( l = m + 1 , ⋯   , s ) \frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{l}}-\frac{\partial R}{\partial q_{l}}= 0 ,(l=m+1, \cdots, s) dtdq˙lRqlR=0,(l=m+1,,s)
    由 Hamilton正则方程有
    { p ˙ k = − ∂ H ∂ q k = − ∂ R ∂ q k q ˙ k = ∂ R ∂ p k \left\{\begin{array}{l}\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}=-\frac{\partial R}{\partial q_{k}} \\ \dot{q}_{k}=\frac{\partial R}{\partial p_{k}}\end{array}\right. {p˙k=qkH=qkRq˙k=pkR

    泊松括号与泊松定狸

    Poisson括号的引入

    有了正则方程,如何求解正则方程是物理上必须考虑的问题。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现些循环坐标,就能在正则方程中多得出一些积分,对微分方程的求解就更有利,否则徼分方程的求解就变得十分困难。而可遗坐标代表着守恒量,如何系统地寻找系统的守恒量? Poisson括号及 Poisson定理就是系统地寻找守恒量的理论方法。与正则变换,H-J方程一起构成 Hamilton力学的主要内容。
    寻找守恒量,就是要考察任意一个力学量的时间变化率。设 F = F ( q , p , t ) F=F(q, p, t) F=F(q,p,t)代表一力学量,计算其时间变化率,即计算其时间全导数:
    d F d t = ∂ F ∂ t + ∑ α = 1 s ( ∂ F ∂ q α q ˙ α + ∂ F ∂ p α p ˙ α ) = ∂ F ∂ t + ∑ α = 1 s ( ∂ F ∂ q α ∂ H ∂ p α − ∂ F ∂ p α ∂ H ∂ q α ) = ∂ F ∂ t + [ F , H ] \begin{aligned} \frac{d F}{d t} &=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \dot{p}_{\alpha}\right) \\ &=\frac{\partial F}{\partial t}+\sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\right) \\ &=\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H] \end{aligned} dtdF=tF+α=1s(qαFq˙α+pαFp˙α)=tF+α=1s(qαFpαHpαFqαH)=tF+[F,H]
    定义缩写符号: [ F , H ] ≡ ∑ α = 1 s ( ∂ F ∂ q α ∂ H ∂ p α − ∂ F ∂ p α ∂ H ∂ q α ) [F, H] \equiv \sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\right) [F,H]α=1s(qαFpαHpαFqαH),我们称其为力学量F与H间的Poisson括号。

    我们可以做推广:任意两力学量 F F F G G G均是 ( q , p , t ) (q, p, t) (q,p,t)的函数,则可以定义它们间的Poisson括号为 [ F , G ] ≡ ∑ α = 1 s ( ∂ F ∂ q α ∂ G ∂ p α − ∂ F ∂ p α ∂ G ∂ q α ) [F, G] \equiv \sum_{\alpha=1}^{s}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial G}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial F}{\partial p_{\alpha}} \frac{\partial G}{\partial q_{\alpha}}\right) [F,G]α=1s(qαFpαGpαFqαG)
    其辛形式为 [ F , G ] ( q , p ) ≡ ( ∂ F ∂ η ^ ) T J ∂ G ∂ η ^ [F, G]_{(q, p)} \equiv\left(\frac{\partial F}{\partial \hat{\eta}}\right)^{T} J \frac{\partial G}{\partial \hat{\eta}} [F,G](q,p)(η^F)TJη^G,采用辛形式的好处可以简化后面一系列定理、性质等的证明。

    注意:这里要求 ( q , p ) (q, p) (q,p)相互独立,即有 ∂ p β ∂ q α = 0 , ∂ p β ∂ p α = δ α β , ∂ q β ∂ q α = δ α β \frac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}=0, \frac{\partial p_{\beta}}{\partial p_{\alpha}}=\delta_{\alpha \beta}, \frac{\partial q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}=\delta_{\alpha \beta} qαpβ=0,pαpβ=δαβ,qαqβ=δαβ

    Poisson括号的性质

    基本性质

    • 和常数 c c c的运算: [ f , c ] = 0 , [ f , c g ] = c [ f , g ] [f, c]=0, \quad[f, c g]=c[f, g] [f,c]=0,[f,cg]=c[f,g]
    • 反对称性: [ f , f ] = 0 , [ f , g ] = − [ g , f ] [f, f]=0, \quad[f, g]=-[g, f] [f,f]=0,[f,g]=[g,f]
    • 分配律: [ f 1 + f 2 , g ] = [ f 1 , g ] + [ f 2 , g ] \left[f_{1}+f_{2}, g\right]=\left[f_{1}, g\right]+\left[f_{2}, g\right] [f1+f2,g]=[f1,g]+[f2,g]
      [ f , g 1 + g 2 ] = [ f , g 1 ] + [ f , g 2 ] \left[f, g_{1}+g_{2}\right]=\left[f, g_{1}\right]+\left[f, g_{2}\right] [f,g1+g2]=[f,g1]+[f,g2]
    • 结合律: [ f 1 f 2 , g ] = f 1 [ f 2 , g ] + [ f 1 , g ] f 2 \left[f_{1} f_{2}, g\right]=f_{1}\left[f_{2}, g\right]+\left[f_{1}, g\right] f_{2} [f1f2,g]=f1[f2,g]+[f1,g]f2
      [ f , g 1 g 2 ] = g 1 [ f , g 2 ] + [ f , g 1 ] g 2 \left[f, g_{1} g_{2}\right]=g_{1}\left[f, g_{2}\right]+\left[f, g_{1}\right] g_{2} [f,g1g2]=g1[f,g2]+[f,g1]g2

    基本Poisson括号关系(正则变量满足的关系)

    [ p α , p β ] = 0 , [ q α , q β ] = 0 , [ q α , p β ] = δ α β \left[p_{\alpha}, p_{\beta}\right]=0, \quad\left[q_{\alpha}, q_{\beta}\right]=0, \quad\left[q_{\alpha}, p_{\beta}\right]=\delta_{\alpha \beta} [pα,pβ]=0,[qα,qβ]=0,[qα,pβ]=δαβ

    该性质的独特性在于这是唯一体现q和p变量在量的消长方面严格互补的定量制约关系的关系—量子力学不确定关系。由 Poisson括号性质及三个基本 Poisson括号关系可以计算任意两个力学量间的 Poisson括号。

    其可导出微商性质:
    ∂ ∂ t [ f , g ] = [ ∂ f ∂ t , g ] + [ f , ∂ g ∂ t ] \frac{\partial}{\partial t}[f, g]=\left[\frac{\partial f}{\partial t}, g\right]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}\right] t[f,g]=[tf,g]+[f,tg]
    [ q α , f ] = ∂ f ∂ p α [ p α , f ] = − ∂ f ∂ q α \left[q_{\alpha}, f\right]=\frac{\partial f}{\partial p_{\alpha}} \quad\left[p_{\alpha}, f\right]=-\frac{\partial f}{\partial q_{\alpha}} [qα,f]=pαf[pα,f]=qαf

    同时我们有Jacobi恒等式:
    [ f , [ g , h ] ] + [ g , [ h , f ] ] + [ h , [ f , g ] ] = 0 [f,[g, h]]+[g,[h, f]]+[h,[f, g]]=0 [f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=0

    Poisson括号的高级性质

    我们对任意力学量 F = F ( q , p , t ) F=F(q, p, t) F=F(q,p,t)的时间全导数(EOM)有 d F d t = ∂ F ∂ t + [ F , H ] \frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H] dtdF=tF+[F,H],这可以启发我们

    • Hamiltonian掌管了系统力学量随时间的演化,是描述系统时间演化的特性函数。
    • 力学量F守恒的充要条件为 ∂ F ∂ t + [ F , H ] = 0 \frac{\partial F}{\partial t}+[F, H]=0 tF+[F,H]=0
    • 如果力学量F不显含时间,则其守恒的充要条件为 [ F , H ] = 0 [F, H]=0 [F,H]=0

    同时,H也是力学量,故其时间演化为 d H d t = ∂ H ∂ t + [ H , H ] = ∂ H ∂ t \frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}+[H, H]=\frac{\partial H}{\partial t} dtdH=tH+[H,H]=tH,也就是说H的时间全导数等于其对时间的偏导数。如果H不显含时间t,则其偏导数等于0,同时L也不显含时间,意味着其时间全导数等于0,即广义能量守恒。

    另外,正则方程可用泊松括号表示:
    q ˙ α = ∂ H ∂ p α ⟹ q ˙ α = d q α d t = [ q α , H ] \dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H }{\partial p _{\alpha}} \Longrightarrow \dot{ q }_{\alpha}=\frac{d q _{\alpha}}{d t}=\left[ q _{\alpha}, H \right] q˙α=pαHq˙α=dtdqα=[qα,H]
    p ˙ α = − ∂ H ∂ q α ⟹ p ˙ α = d p α d t = [ p α , H ] \dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H }{\partial q _{\alpha}} \Longrightarrow \dot{p}_{\alpha}=\frac{d p_{\alpha}}{d t}=\left[p_{\alpha}, H \right] p˙α=qαHp˙α=dtdpα=[pα,H]
    注意到,用泊松括号表示的正则方程完全对称!

    我们还可以引出Poisson定理:如果 f f f g g g是系统守恒量,则 [ f , g ] [f, g] [f,g]也是系统守恒量,证明如下:
    d d t [ f , g ] = ∂ ∂ t [ f , g ] + [ [ f , g ] , H ] = [ ∂ f ∂ t , g ] + [ f , ∂ g ∂ t ] − [ g , [ f , H ] ] + [ f , [ g , H ] ] = [ ∂ f ∂ t , g ] + [ [ f , H ] , g ] + [ f , ∂ g ∂ t ] + [ f , [ g , H ] ] = [ ∂ f ∂ t + [ f , H ] , g ] + [ f , ∂ g ∂ t + [ g , H ] ] = [ d f d t , g ] + [ f , d g d t ] = 0 \begin{aligned} \frac{d}{d t}[f, g] &=\frac{\partial}{\partial t}[f, g]+[[f, g], H] \\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}, g\right]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}\right]-[g,[f, H]]+[f,[g, H]] \\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}, g\right]+[[f, H], g]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}\right]+[f,[g, H]] \\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+[f, H], g\right]+\left[f, \frac{\partial g}{\partial t}+[g, H]\right]=\left[\frac{d f}{d t}, g\right]+\left[f, \frac{d g}{d t}\right]=0 \end{aligned} dtd[f,g]=t[f,g]+[[f,g],H]=[tf,g]+[f,tg][g,[f,H]]+[f,[g,H]]=[tf,g]+[[f,H],g]+[f,tg]+[f,[g,H]]=[tf+[f,H],g]+[f,tg+[g,H]]=[dtdf,g]+[f,dtdg]=0

    用泊松括号可以从已知守恒量构造新的守恒量!当然需要注意的是构造的守恒量不一定是独立的全新的守恒量否则会导致理论的内在矛盾,存在任意多独立守恒量。

    由上面的性质我们可以很轻易地使用Poisson括号证明角动量之间的关系 [ L x , L y ] = L z \left[L_{x}, L_{y}\right]=L_{z} [Lx,Ly]=Lz [ L y , L z ] = L x \left[L_{y}, L_{z}\right]=L_{x} [Ly,Lz]=Lx [ L z , L x ] = L y \left[L_{z}, L_{x}\right]=L_{y} [Lz,Lx]=Ly,由 Poisson定理可知,只要有两个相互垂直的角动量分量是运动积分,则上式表明其第三个垂直分量必是运动积分。说明与线动量不同,角动量三个分量在运动学上不是完全独立的(是指在变化上的不独立),这符合如下事实:两个垂直轴上的转动可以合成绕第三个垂直轴上的转动第二,更为重要的是上式表明,与线动量不同,角动量三个分量不能同时取作为正则变量,因为这违反基本 Poisson括号公理。这种限制在量子力学上的反映:不存在 L x , L y , L z L_{x}, L_{y}, L_{z} Lx,Ly,Lz同时有确切取值的状态( L = 0 L=0 L=0除外)。这说明:正则描述更深刻地描述了自然。

    动力学问题的纯代数解法或者称为算子解法量子代数的前身是Taylor展开的 Poisson括号表示:若 f ( q , p ) f(q, p) f(q,p)不显含 t t t,则有 d f d t = [ f , H ] , d 2 f d t 2 = [ [ f , H ] , H ] , ⋯ \frac{d f}{d t}=[f, H], \frac{d^{2} f}{d t^{2}}=[[f, H], H], \cdots dtdf=[f,H],dt2d2f=[[f,H],H],。若定义算符 D g f = [ f , g ] D_{g} f=[f, g] Dgf=[f,g],则有 D g f = [ f , g ] , D g 0 f = f , D g 2 f = [ [ f , g ] ] g ] \left.\left.D_{g} f=[f, g], \quad D_{g}^{0} f=f, D_{g}^{2} f=[[f,g]\right] g\right] Dgf=[f,g],Dg0f=f,Dg2f=[[f,g]]g],于是有
    f ( t ) = D H 0 f ∣ 0 + D H 1 f ∣ 0 t + D H 2 f ∣ 0 1 2 ! t 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ D H n f ∣ 0 1 n ! t n = e D H t f ∣ 0 f(t)=\left.D_{H}^{0} f\right|_{0}+\left.D_{H}^{1} f\right|_{0} t+\left.D_{H}^{2} f\right|_{0} \frac{1}{2 !} t^{2}+\cdots=\left.\sum_{n=0}^{\infty} D_{H}^{n} f\right|_{0} \frac{1}{n !} t^{n}=\left.e^{D_{H} t} f\right|_{0} f(t)=DH0f0+DH1f0t+DH2f02!1t2+=n=0DHnf0n!1tn=eDHtf0注意到最后的表达是很简洁的。

    正则变换

    选取不同的广义坐标,所得的微分方程的形式不同,求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标,就能在正则方程中多得出一些积分,对微分方程的求解就更有利,否则微分方程的求解就变得十分困难。但有无可遗坐标是与坐标系的选择有关的。因此,选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。

    正则变换即是一种坐标变换,使尽可能多的广义坐标及广义动量变为可遗坐标,同时要保证正则方程形式不变。

    正则变换理论的目的就在于保证正则方程形式不变条件下寻找到尽可能多的广义坐标和广义动量为可遗坐标的理论。

    原则上,对可积系统总可使所有广义坐标全部是循环坐标,从而使正则方程求解大大简化。

    点变换与接触变换

    L ( q , q ˙ , t ) L(q, \dot{q}, t) L(q,q˙,t) ( q , q ˙ ) (q, \dot{q}) (q,q˙)为动力学的独立变量,而从运动学角度看,两者又是有关联的,所以我们称它们为在“动力学”上的独立变量,而在“运动学”上是相关变量。若对 Lagrange方程中的广义坐标作坐标变换:
    q ~ α = q ~ α ( q β ) ⇒ q ~ ˙ α = q ~ ˙ α ( q ˙ β , q β ) \tilde{q}_{\alpha}=\tilde{q}_{\alpha}\left(q_{\beta}\right) \Rightarrow \dot{\tilde{q}}_{\alpha}=\dot{\tilde{q}}_{\alpha}\left(\dot{q}_{\beta}, q_{\beta}\right) q~α=q~α(qβ)q~˙α=q~˙α(q˙β,qβ)
    L ( q , q ˙ , t ) ⇒ L ~ ( q ~ , q ~ ˙ , t ) L(q, \dot{q}, t) \Rightarrow \tilde{L}(\tilde{q}, \dot{\tilde{q}}, t) L(q,q˙,t)L~(q~,q~˙,t)
    d d t ∂ L ∂ q ˙ α − ∂ L ∂ q α = 0 ⇒ d d t ∂ L ~ ∂ q ˙ α − ∂ L ~ ∂ q ~ ˙ α = 0 \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=0 \Rightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{\tilde{q}}_{\alpha}}=0 dtdq˙αLqαL=0dtdq˙αL~q~˙αL~=0
    即 Lagrange方程形式保持不变,此种变换称为Lagrange方程的“点变换”。

    对一力学系统而言,描述它的 Lagrange方程是不会随此系统广义坐标的选择不同而改变其形式的。因此点变换不会影响L氏方程的结构。

    然而,对 Hamiltonian H = H ( q , p , t ) H=H(q, p, t) H=H(q,p,t),描述系统的坐标变为 Lagrangian的两倍,为 ( q , p ) (q, p) (q,p),故相应的坐标变换为“接触变换” { q ~ α = q ~ α ( q , p , t ) p ~ α = p ~ α ( q , p , t ) \left\{\begin{array}{l}\tilde{q}_{\alpha}=\tilde{q}_{\alpha}(q, p, t) \\ \tilde{p}_{\alpha}=\tilde{p}_{\alpha}(q, p, t)\end{array}\right. {q~α=q~α(q,p,t)p~α=p~α(q,p,t)
    H ( q , p , t ) ⇒ H ~ ( q ~ , p ~ , t ) H(q, p, t) \Rightarrow \tilde{H}(\tilde{q}, \tilde{p}, t) H(q,p,t)H~(q~,p~,t)
    此变换相对“点变换”任意性大,可选择的范围更多,但变换不能保证正则方程形式不变,即
    { q ˙ α = ∂ H ∂ p α p ˙ α = − ∂ H ∂ q α \left\{\begin{array}{l}\dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\end{array}\right. {q˙α=pαHp˙α=qαH不能保证 { q ˙ α = ∂ H ∂ p α p ˙ α = − ∂ H ∂ q α \left\{\begin{array}{l}\dot{q}_{\alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \dot{p}_{\alpha}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\end{array}\right. {q˙α=pαHp˙α=qαH

    我们思考是否存在满足正则方程的“接触变换”呢?如何能自动得到满足正则方程的“接触变换”呢?

    正则变换理论正是一种寻找能自动满足正则方程形式不变的接触变换!

    正则变换

    定义:正则变换就是既要保留 Hamilton力学的已有成果,如 Hamiltonian与 Lagrangian之间的Legrand变换关系和 Hamilton正则方程,同时又能增加可遗坐标的一种特殊接触变换
    H ( q , p , t ) ⇒ H ~ ( q ~ , p ~ , t ) H ( p , q , t ) = ∑ α = 1 s q ˙ α p α − L ( q ˙ , q , t ) ⇒ H ~ ( p ~ , q ~ , t ) = ∑ α = 1 s q ~ ˙ α p ~ α − L ~ ( q ~ ˙ , q ~ , t ) \begin{aligned} H(q, p, t) & \Rightarrow \tilde{H}(\tilde{q}, \tilde{p}, t) \\ H(p, q, t) &=\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-L(\dot{q}, q, t) \\ \Rightarrow \tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t) &=\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{\tilde{q}}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}-\tilde{L}(\dot{\tilde{q}}, \tilde{q}, t) \end{aligned} H(q,p,t)H(p,q,t)H~(p~,q~,t)H~(q~,p~,t)=α=1sq˙αpαL(q˙,q,t)=α=1sq~˙αp~αL~(q~˙,q~,t)

    我们使用生成函数来得到符合以上性质的变换,回到开始的开始——生成函数:要求变换前后均满足Hamilton作用量原理:
    δ S = δ ∫ L d t = δ ∫ [ ∑ α = 1 s q ˙ α p α − H ( p , q , t ) ] d t = 0 δ S ~ = δ ∫ L ~ d t = δ ∫ [ ∑ α = 1 s q ~ ˙ α p ~ α − H ~ ( p ~ , q ~ , t ) ] d t = 0 \begin{aligned} \delta S &=\delta \int L d t=\delta \int\left[\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-H(p, q, t)\right] d t=0 \\ \delta \tilde{S} &=\delta \int \tilde{L} d t=\delta \int\left[\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{\tilde{q}}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}-\tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t)\right] d t=0 \end{aligned} δSδS~=δLdt=δ[α=1sq˙αpαH(p,q,t)]dt=0=δL~dt=δ[α=1sq~˙αp~αH~(p~,q~,t)]dt=0

    由 Hamilton原理可以得到 Lagrange方程;将Hamiltonian与 Lagrangian之间的 Legrand变换代入其中,又可以得到 Hamilton正则方程,必有:
    ∑ α = 1 s q ˙ α p α − H ( p , q , t ) = [ ∑ α = 1 s q ~ ˙ α p ~ α − H ~ ( p ~ , q ~ , t ) ] + d F d t \sum_{\alpha=1}^{s} \dot{q}_{\alpha} p_{\alpha}-H(p, q, t)=\left[\sum_{\alpha=1}^{s} \dot{\tilde{q}}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}-\tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t)\right]+\frac{d F}{d t} α=1sq˙αpαH(p,q,t)=[α=1sq~˙αp~αH~(p~,q~,t)]+dtdF

    即有
    ∑ α = 1 s p α d q α − ∑ α = 1 s p ~ α d q ~ α + [ H ~ ( p ~ , q ~ , t ) − H ( p , q , t ) ] d t = d F \sum_{\alpha=1}^{s} p_{\alpha} d q_{\alpha}-\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{p}_{\alpha} d \tilde{q}_{\alpha}+[\tilde{H}(\tilde{p}, \tilde{q}, t)-H(p, q, t)] d t=d F α=1spαdqαα=1sp~αdq~α+[H~(p~,q~,t)H(p,q,t)]dt=dF
    我们称其为Pfaff型方程,是微分形式的正则变换条件(F为任意形式的函数)。

    注意式中 H ~ , F \tilde{H}, F H~,F都未确定,所以此条件较易满足。可先设定函数 F F F,据此确定正则变换关系,最后定出 H H H

    函数 F F F完全决定了整个正则变换,故称为正则变换的生成函数(母函数)。它必须同时与新老变量有关。

    对Pfaff型方程进行不同的 Legrand变换,可得到4类不同类型的生成函数和正则变换(根据独立变量的选择方式不同而不同):

    • 第一类生成函数及生成方程:Pfaff方程中母函数 F F F自变量是 ( q , q ~ , t ) (q, \tilde{q}, t) (q,q~,t),记为 F 1 ( q , q ~ , t ) F_{1}(q, \tilde{q}, t) F1(q,q~,t),于是我们有:
      ∑ α = 1 S p α d q α − ∑ α = 1 p ~ α d q ~ α + ( H ~ − H ) d t = d F 1 ( q , q ~ , t ) \sum_{\alpha=1}^{S} p_{\alpha} d q_{\alpha}-\sum_{\alpha=1} \tilde{p}_{\alpha} d \tilde{q}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{1}(q, \tilde{q}, t) α=1Spαdqαα=1p~αdq~α+(H~H)dt=dF1(q,q~,t)
      其生成方程为 { p α = ∂ F 1 ∂ q α p ~ α = − ∂ F 1 ∂ q ~ α H ~ = H + ∂ F 1 ∂ t \left\{\begin{array}{l}p_{\alpha}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{\alpha}} \\ \tilde{p}_{\alpha}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial \tilde{q}_{\alpha}} \\ \tilde{H}=H+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}\end{array}\right. pα=qαF1p~α=q~αF1H~=H+tF1
      可先从生成方程前两式中解出 ( q , p ) (q, p) (q,p) ( q , p ) (q, p) (q,p)的函数,再代入第三式,即可得到 H ~ ( q ~ , p ~ , t ) \tilde{H}(\tilde{q}, \tilde{p}, t) H~(q~,p~,t),从而得到新的正则方程。
    • 第二类生成函数及生成方程:Pfa方程中母函数F自变量是 ( q , p ~ , t ) (q, \tilde{p}, t) (q,p~,t),记为 F 2 ( q , p ~ , t ) F_{2}(q, \tilde{p}, t) F2(q,p~,t)。可对第一类生成函数进行部分变量 Legrand变换
      d ( F 1 + ∑ α q ~ α p ~ α ) = ∑ α = 1 s p α d q α + ∑ α = 1 s q ~ α d p ~ α + ( H ~ − H ) d t = d F 2 ( q , q ~ , t ) d\left(F_{1}+\sum_{\alpha} \tilde{q}_{\alpha} \tilde{p}_{\alpha}\right)=\sum_{\alpha=1}^{s} p_{\alpha} d q_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{q}_{\alpha} d \tilde{p}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{2}(q, \tilde{q}, t) d(F1+αq~αp~α)=α=1spαdqα+α=1sq~αdp~α+(H~H)dt=dF2(q,q~,t)
      有生成方程 { p α = ∂ F 2 ∂ q α q ~ α = ∂ F 2 ∂ p ~ α H ~ = H + ∂ F 2 ∂ t \left\{\begin{array}{l}p_{\alpha}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{\alpha}} \\ \tilde{q}_{\alpha}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \tilde{p}_{\alpha}} \\ \tilde{H}=H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}\end{array}\right. pα=qαF2q~α=p~αF2H~=H+tF2
    • 第三类生成函数及生成方程:Pfa方程中母函数F自变量是 ( p , q ~ , t ) (p, \tilde{q}, t) (p,q~,t),记为 F 3 ( p , q ~ , t ) F_{3}(p, \tilde{q}, t) F3(p,q~,t)。对第一类生成函数进行部分变量 Legrand变换
      d ( F 1 − ∑ α q α p α ) = − ∑ α = 1 s q α d p α − ∑ α = 1 s p ~ α d q ~ α + ( H ~ − H ) d t = d F 3 ( p , q ~ , t ) d\left(F_{1}-\sum_{\alpha} q_{\alpha} p_{\alpha}\right)=-\sum_{\alpha=1}^{s} q_{\alpha} d p_{\alpha}-\sum_{\alpha=1}^{s} \tilde{p}_{\alpha} d \tilde{q}_{\alpha}+(\tilde{H}-H) d t=d F_{3}(p, \tilde{q}, t) d(F1αqαpα)=α=1sqαdpαα=1sp~αdq~α+(H~