概念:

　　哈密顿图:图G的一个回路,若它通过图的每一个节点一次,且仅一次,（那么，问题来了，既然要回到起始点，是不是应该说除了起点以外的点通过一次且仅一次，而起点这个点，作为哈密顿回路的时候需要两次到达）就是哈密顿回路.存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.哈密顿图就是从一点出发,经过所有的必须且只能一次,最终回到起点的路径.图中有的边可以不经过,但是不会有边被经过两次.

　　与欧拉图的区别:欧拉图讨论的实际上是图上关于边的可行便利问题,而哈密顿图的要求与点有关.

判定:

一:Dirac定理(充分条件)

　　设一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于N/2,则哈密顿回路一定存在.(N/2指的是⌈N/2⌉,向上取整)，用

二:基本的必要条件

　　设图G=<V, E>是哈密顿图,则对于v的任意一个非空子集S,若以|S|表示S中元素的数目,G-S表示G中删除了S中的点以及这些点所关联的边后得到的子图,则W(G-S)<=|S|成立.其中W(G-S)是G-S中联通分支数.

三:竞赛图(哈密顿通路)

　　N(N>=2)阶竞赛图一定存在哈密顿通路.

算法:

一:在Dirac定理的前提下构造哈密顿回路

过程:

　　1:任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径.即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上.

　　2:若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路.

　　3:若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, ..., vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 -> S,即形成了一个回路.

　　4:到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了.如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻.那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径.再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来.接着回到路径2.

证明:

　　可利用鸽巢原理（抽屉原理）证明.

抽屉原理

原理1： 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。

原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3：把无数还多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无数个物体。

原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述 [2]  。

第二抽屉原理

把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

伪代码:

　　设s为哈密顿回路的起始点，t为哈密顿回路中终点s之前的点。ans[ ]为最终的哈密顿回路。倒置的意思指的是将数组对应的区间中数字的排列顺序方向。

　　1:初始化,令s = 1,t为s的任意一个邻接点.

　　2:如果ans[]中元素的个数小于n,则从t开始向外扩展,如果有可扩展点v,放入ans[]的尾部,并且t=v,并继续扩展,如无法扩展进入步骤3.

　　3:将当前得到的ans[]倒置,s和t互换,从t开始向外扩展,如果有可扩展点v,放入ans[]尾部,并且t=v,并继续扩展.如无法扩展进入步骤4.

　　4:如果当前s和t相邻,进入步骤5.否则,遍历ans[],寻找点ans[i],使得ans[i]与t相连并且ans[i +１]与ｓ相连,将从ans[i + 1]到t部分的ans[]倒置,t=ans[i +１],进如步骤5.

　　5:如果当前ans[]中元素的个数等于n,算法结束,ans[]中保存了哈密顿回路(可看情况是否加入点s).否则,如果s与t连通,但是ans[]中的元素的个数小于n,则遍历ans[],寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一点(j)相连,则令s=ans[i - 1],t = j,将ans[]中s到ans[i - 1]部分的ans[]倒置,将ans[]中的ans[i]到t的部分倒置,将点j加入到ans[]的尾部,转步骤2.

时间复杂度:

　　如果说每次到步骤5算一轮的话,那么由于每一轮当中至少有一个节点被加入到路径S -> T中,所以总的轮数肯定不超过n轮,所以时间复杂度为O(n^2).空间上由于边数非常多,所以采用邻接矩阵来存储比较适合。

哈密顿回路代码

const int maxN = 1e2 + 7;
int ans[maxN], N;
inline void reverse(int l, int r)   //将l到r部分翻转
{
    while(l < r)
    {
        swap(ans[l], ans[r]);
        l++; r--;
    }
}
bool vis[maxN], mp[maxN][maxN];
void Hamilton()
{
    for(int i=1; i<=N; i++) vis[i] = false;
    int s = 1, t;//初始化取s为1号点
    int have_node = 2;
    int i, j;
    int w;
    for(i = 1; i <= N; i++) if(mp[s][i]) break;
    t = i;//取任意邻接与s的点为t
    vis[s] = vis[t] = true;
    ans[0] = s; ans[1] = t;
    while(true)
    {
        while(true) //从t向外扩展
        {
            for(i = 1; i <= N; i++){
                if(mp[t][i] && !vis[i]){
                    ans[have_node++] = i;
                    vis[i] = true;
                    t = i;
                    break;
                }
            }
            if(i > N) break;
        }
        w = have_node - 1;//将当前得到的序列倒置,s和t互换,从t继续扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展
        i = 0;
        reverse(i, w);
        swap(s, t);
        while(true) //从新的t继续向外扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展
        {
            for(i = 1; i <= N; i++){
                if(mp[t][i] && !vis[i]){
                    ans[have_node++] = i;
                    vis[i] = true;
                    t = i;
                    break;
                }
            }
            if(i > N) break;
        }
        if(!mp[s][t])   //如果s和t不相邻,进行调整
        {
            for(i = 1; i < have_node - 2; i++)   //取序列中的一点i,使得ans[i]与t相连,并且ans[i+1]与s相连
                if(mp[ans[i]][t] && mp[s][ans[i + 1]])break;
            w = have_node - 1;
            i++;
            t = ans[i];
            reverse(i, w);  //将从ans[i +１]到ｔ部分的ans[]倒置
        }   //此时s和t相连
        if(have_node == N) return;   //如果当前序列包含n个元素,算法结束
        for(j = 1; j <= N; j++)   //当前序列中元素的个数小于n,寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一个点相连
        {
            if(vis[j]) continue;
            for(i = 1; i < have_node - 2; i++)if(mp[ans[i]][j])break;
            if(mp[ans[i]][j]) break;
        }
        s = ans[i - 1];
        t = j;  //将新找到的点j赋给t
        reverse(0, i - 1);  //将ans[]中s到ans[i-1]的部分倒置
        reverse(i, have_node - 1);   //将ans[]中ans[i]到t的部分倒置
        ans[have_node++] = j;    //将点j加入到ans[]尾部
        vis[j] = true;
    }
}

 

哈密顿通路

二:N(N>=2)阶竞赛图构造哈密顿通路

N阶竞赛图:含有N个顶点的有向图,且每对顶点之间都有一条边.对于N阶竞赛图一定存在哈密顿通路.

数学归纳法证明竞赛图在n >= 2时必存在哈密顿路:

(1)n = 2时结论显然成立；

(2)假设n = k时,结论也成立,哈密顿路为V1, V2, V3, ..., Vk;

  设当n = k+1时,第k + 1个节点为V(k+1),考虑到V(k+1)与Vi(1<=i<=k)的连通情况,可以分为以下两种情况.

    1:Vk与V(k+1)两点之间的弧为<Vk, V(k+1)>,则可构造哈密顿路径V1, V2,…, Vk, V(k+1).

    2:Vk与V(k+1)两点之间的弧为<V(k+1),Vk>,则从后往前寻找第一个出现的Vi(i=k-1,i>=1,--i),满足Vi与V(k+1)之间的弧为<Vi,V(k+1)>,则构造哈密顿路径V1, V2, …, Vi, V(k+1), V(i+1), …, V(k).若没找到满足条件的Vi,则说明对于所有的Vi(1<=i<=k)到V(k+1)的弧为<V(k+1),V(i)>,则构造哈密顿路径V(k+1), V1, V2, …, Vk.

证毕.

竞赛图构造哈密顿路时的算法同以上证明过程.

 

用图来说明:

假设此时已经存在路径V1 -> V2 -> V3 -> V4,这四个点与V5的连通情况有16种,给定由0/1组成的四个数,第i个数为0代表存在弧<V5,Vi>,反之为1,表示存在弧<Vi,V5>

sign[]={0, 0, 0, 0}.

很显然属于第二种情况,从后往前寻找不到1,即且不存在弧<Vi, V5>.

则构造哈密顿路:V5 -> V1 -> V2 -> V3 -> V4.

 

 

sign[]={0, 0, 0, 1}.

属于第一种情况,最后一个数字为1,即代表存在弧<Vi, V5>且i=4(最后一个点)

则构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.

 

 

 

sign[]={0, 0, 1, 0}.

属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为3.

构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V5 -> V4.

 

 

 

sign[]={0, 0, 1, 1}.

属于第一种情况,最后一个数字为1,即代表存在弧<Vi, V5>且i=4(最后一个点)

则构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.

 

 

 

sign[]={0, 1, 0, 0}.

属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为2.

构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V5 -> V3-> V4.

 

 

 

sign[]={0, 1, 0, 1}.

属于第一种情况,最后一个数字为1,即代表存在弧<Vi, V5>且i=4(最后一个点)

则构造哈密顿路:V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.(就不举末尾为1的栗子了~~)

 

 

 

sign[]={1, 0, 1, 0}.

属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为3.

构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V5-> V4.

 

 

 

sign[]={1, 1, 1, 0}.

属于第二种情况,从后往前找到1出现的第一个位置为3.

构造哈密顿路: V1 -> V2 -> V3 -> V5-> V4.

 

 

 

(还是举一个吧~~~)

sign[]={1, 1, 1, 1}.

同样最后一位为1,代表存在<Vi, V5>且i=4(最后一位)

则构造哈密顿路:V1 -> V2 -> V3 -> V4 -> V5.以上是当N=4时(N+1=5),用图来阐述算法的过程.

注意从后往前找不是找这个点编号之前的点,即不是按照编号来的,而是按照当前哈密顿序列从后往前找的.举个栗子:

4

2 1

1 3

3 2

4 1

4 2

4 3

第一步ans={1}

第二步ans={2,1}

第三步sign={0, 1}(map[3][2] = 0,map[3][1] = 1,当前序列为2,1) ,而不是{1, 0}(1,2),因为存在弧<V1, V3>和<V3, V2>.这里需要注意下.

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 1e2 + 7;
int ans[maxN], mp[maxN][maxN], N;
inline void Insert(int &len, int l, int r)    //The ans[] length is len, insert key befor arv[index]
{
    len++;
    for(int i=r; i>=l; i--)
    {
        ans[i + 1] = ans[i];
    }
    ans[l] = len;
}
void Hamilton()
{
    int have_node = 0;
    ans[++have_node] = 1;
    for(int i = 2; i <= N; i++) //插入点i
    {
        if(mp[ans[have_node]][i]) ans[++have_node] = i; //第一种情况,直接把当前点添加到序列末尾
        else
        {
            bool flag = false;
            for(int j = have_node - 1; j; j--)   //在当前序列中,从后往前找到第一个满足条件的点j,使得存在<Vj,Vi>且<Vi, Vj+1>.
            {
                if(mp[ans[j]][i])  //找到后把该点插入到序列的第j + 1个点前.
                {
                    flag = true;
                    Insert(have_node, j + 1, have_node);
                    break;
                }
            }
            if(!flag) Insert(have_node, 1, have_node);    //否则说明所有点都邻接自点i,则把该点直接插入到序列首端.
        }
    }
}

int main()
{
    int t; scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &N);
        memset(mp, 0, sizeof(mp));
        int M = N * (N - 1) / 2;
        for(int i = 0; i < M; i++)
        {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            mp[u][v] = 1;
        }
        Hamilton();
        for(int i = 1; i <= N; i++) printf(i == 1 ? "%d":" %d", ans[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

 

一个自动闯关的脚本，不知道你有没有玩过这种一笔从头滑到尾的游戏

自动化脚本总共分为三个部分：

• 提取图片信息，转换为 无向图 的邻接矩阵
• 根据邻接矩阵利用DFS+回溯，递归求解通路（暴力求解，在这种小规模情况下python程序可以在2秒内求出一条有效通路）
• 将通路路径转化为坐标点，利用adb操作手机进行模拟点击

技术难点主要在于提取图片中的信息，如何准确识别出图片中的灰色方块和起点方块，并转化成可处理的数据。信息提取这个过程占据了我开发精力的80%，想了很多办法，最后无意中发现了cv2的一些图片处理的功能才迎刃而解。下面简单介绍一下方块信息提取的思路。

• 首先需要将无关区域去掉，只保留中间连线区域（如下图），使问题简单化，需要根据手机的屏幕尺寸进行处理（参数我都在config.json文件中进行了说明）
  
• 随后对区域进行灰度和二值化处理，可以简单理解为先将彩色图片处理为只有灰度的图片，然后寻找一个灰度的阀值将图片转换成只有白色和黑色的图片，处理结果如下
  
• 利用OpenCV的求轮廓算法cv2.findContours()，将方块包含坐标点的轮廓数据求出，此步骤可以实现最关键的将图形中的方块位置转化成可处理的数据信息。求轮廓前还需对一些细节进行处理，比如去掉尾巴和胡须，以免对结果产生干扰，比如上图倒数第二个起点方块的尾巴部分就和其他方块连接在了一起，需要提前将连通区域断开，方法也很简单。
  
• 利用boundingRect求出每个轮廓的外接矩形，可确定每个方块中心点的坐标，利用contourArea求出每个轮廓的面积可确定图的起点。

至此图的信息提取完成，只需将坐标信息转换成邻接矩阵表示的图，再利用以下的递归求解算法便可计算出图的通路。

递归求解算法如下，核心代码不超过15行：

    def find_path(self, optimize=True):
        """
        dfs+回溯 递归求解
        :param optimize: 是否对最终结果进行优化，优化可有效减少滑动次数，但模拟滑动操作可能会不稳定
        :return:
        """
        current = time.time() * 1000
        visited = []
        visited.append( self.blocks[self.begin_index])
        self.find_path_fun(visited, self.blocks[self.begin_index])
        path = []
        for item in visited:
            path.append((item.center[0], item.center[1]))
        print("求解耗时 %d ms" % (time.time()*1000 - current,))
        return path if not optimize else self.optimize_path(path)

    def find_path_fun(self, visited, start):
        for item in self.matrix[self.block_map[start]]:
            if item is not None and item not in visited:
                visited.append(item)
                if len(visited) == len(self.blocks):
                    return True
                if self.find_path_fun(visited, item):
                    return True
                else:
                    visited.pop()
        return False

• 最后就是将路径转化成adb模拟滑动和点击的坐标点即可完成自动化闯关的功能。
• 其实为了达到100%的自动化闯关，项目中有许多细节上的处理，可具体参考代码GitHub:https://github.com/EnthuDai/lian_xian
  
  总结：之前看到LeetCode排名榜上的大神写过相似的脚本，当时就觉得这样的东西很有意思，放假在家看到有 连线达人 的广告，生成闯关获得的金币可以提现，遂萌生出写这个项目的念头。这个项目虽然小，但是结合了图片处理、数据结构、算法、安卓adb等相关的知识，十分综合，而且写出来之后看着自动闯关的过程相当享受。

本文为图论的学习总结，讲解欧拉通路和哈密顿通路。

欧拉通路与欧拉回路

图 $G$ 中的欧拉回路是包含图中每条边的简单回路，欧拉通路是包含图中每条边的简单通路。

含有至少 2 个顶点的连通多重图具有欧拉回路且仅当每个顶点度为偶数。

连通多重图具有欧拉通路但无欧拉回路当且仅当它恰有 2 个度为奇数的顶点。

费勒里（Fleury）算法

该算法用来构造欧拉回路。从连通多重图任意一个顶点开始，连续地选择边来形成一条回路。选择后就删除该边，使得每条边从上一条边结束度地方开始，且不是割边，除非别无选择。

哈密顿通路与哈密顿回路

经过图中每个顶点恰好一次的简单通路称为哈密顿通路，经过每个顶点恰好一次的简单回路称为哈密顿回路。

哈密顿回路存在条件

哈密顿回路不能包含更小的回路。

当 $n\ge 3$ 时，$K_n$ 有哈密顿回路。一个图的边越多，越可能有哈密顿回路。

狄拉克定理

每个顶点的度都至少为 $n/2$，则有哈密顿回路。

欧尔定理

对每对不相邻的顶点 $u,v$，都有 $\mathrm{deg}(u)+\mathrm{deg}(v)\ge n$，则有哈密顿回路。

应用

旅行商问题（TSP）要求一个旅行商微了访问一组城市应当选择的最短路线，实质为一个图中寻找哈密顿回路，使回路的边权和最小。

求解 TSP 问题最直接的做法是检查所有的哈密顿回路，选择总权值最小的一条回路。

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