二维哈尔小波变换算法——MATLAB、C++实现

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兹于2017年12月，应《多媒体技术基础》课程实验的要求，本人就基于二维哈尔小波变换算法做了较为深入的理解，用MATLAB和C++语言实现二维哈尔小波变换算法。二维哈尔小波变换算法一、实验目的掌握小波及小波变换相关...

兹于2017年12月，应《多媒体技术基础》课程实验的要求，本人就基于二维哈尔小波变换算法做了较为深入的理解，用MATLAB和C++语言实现二维哈尔小波变换算法。




二维哈尔小波变换算法








一、实验目的
掌握小波及小波变换相关算法。
 
二、实验设备与环境
Windows 7，MATLAB，DEV C++
 
三、实验内容、程序清单及运行结果
实验要求
根据课本内容，实现图像小波变换算法。
具体可参考《多媒体技术基础（第三版）》，可以在这里下载PDF电子书


小波与小波变换算法概述
小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。
小波变换算法求有限信号的均值和差值：
例如：假设有一幅分辨率只有4个像素p0、p1、p2、p3 的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为：
[ 9   7     3     5 ]
计算它的哈尔小波变换系数。
计算步骤如下：
步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应的像素值为：
[ 8       4 ]
步骤2：求差值(differencing)。很明显，用2个像系表示这幅图像时，图像的信息已经部分丢失。为了能够从由2个像素组成的图像重构出由4个像素组成的原始图像，就需变存储一些图像的细节系数(detail coefficient)，以便在重构时找回丢失的信息。方法是把像素对的第一个像素值减去这个像索对的平均值.或者使用这个像素对的差值除以2。在这个例子中，第一个细节系数是(9-8)=1，因为计算得到的平均值是8，它比9小1面比7大1，存储这个细节系数就可以恢复原始图像的前两个像素值。使用同样的方法，第二个细节系数是(3-4)=-1，存储这个细节系数就可以恢复后2个像素值。因此，原始图像就可以用下面的两个平均值和两个细节系数表示：
[ 8       4     1     -1 ]
步骤3：重复步骤1和2，把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就用一个像素的平均值6和三个细节系数2、1和-1表示整幅图像：
[ 6       2     1     -1 ]
这个分解过程见下表：

 
  
   
    
     
      
       
      
     
         分辨率     平均值      细节系数     
4       [ 9   7     3     5 ]        
2 [ 8   4 ] [ 1   -1 ]
1 [ 6 ] [ 2 ]
    
   
  
 



由此可见，通过上述分解就把由4个像素组成的一幅图像用一个平均像素值和3个细节系数表示，这个过程就叫做哈尔小波变换( Haar wavelet transform)，也称哈尔小波分解(Haarwavelet decomposition)。这个概念可以推广到使用其他小波基的变换。
从这个例子中我们可以看到：
（1）变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。
（2）对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为l的图像基础上重构出分辨率为2的图像，在分辨率为2的图像基础上重构出分辨率为4的图像。
（3）通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小，这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一些微不足道的细节系数并不影响对重构图像的理解。




小波与小波变换算法步骤及核心程序
二维哈尔小波变换是将一个由8*8像素组成的图像块的矩阵，进行小波变换时，对矩阵中的每一行进行行变换，然后对行变换后的矩阵每一列进行列变换，最后将变换后的矩阵进行编码。
其次可通过设置阈值δ，例如δ≤5，表示把绝对值小于5的细节系数当作“0”看待，从而对编码后的矩阵进行压缩。
最后通过逆变换重构源图像矩阵的近似矩阵。
 

MATLAB代码：

% % 使用线性代数方法计算哈尔小波变换
disp '设第1次相乘的矩阵为M1，第2次为M2，第3次为M3。W=M1*M2*M3：'
W = [1/8,1/8,1/4,0,1/2,0,0,0
	1/8,1/8,1/4,0,-1/2,0,0,0
    1/8,1/8,-1/4,0,0,1/2,0,0
    1/8,1/8,-1/4,0,0,-1/2,0,0
    1/8,-1/8,0,1/4,0,0,1/2,0
    1/8,-1/8,0,1/4,0,0,-1/2,0
    1/8,-1/8,0,-1/4,0,0,0,1/2
    1/8,-1/8,0,-1/4,0,0,0,-1/2]


disp '源图像的一个图像块矩阵：'
A = [64,2,3,61,60,6,7,57
	 9,55,54,12,13,51,50,16
     17,47,46,20,21,43,42,24
     40,26,27,37,36,30,31,33
     32,34,35,29,28,38,39,25
     41,23,22,44,45,19,18,48
     49,15,14,52,53,11,10,56
     8,58,59,5,4,62,63,1]
 
disp '求均值差值后的矩阵：'
 T = W'*A*W
 
% %  设阈值为5，绝对值小于等于5的元素设为0
 for i=1:8
    for j=1:8
       if(abs(T(i,j))<=5)
           T(i,j)=0;
       end
    end
 end
 
disp '设置阈值变换后的矩阵：'
 T


disp '逆变换重构后的近似矩阵：'
 LA = ((W')^(-1))*T*W^(-1)


运行结果：












C++代码：
#include<iostream>
#include<cmath>
#define N 8 //把图像划分成8*8个图像块 
using namespace std;
/*使用线性代数方法计算哈尔小波变换*/

/*矩阵转置函数*/
bool  MatrixTranspose(const double source[N][N],double transpose[N][N]){
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			transpose[i][j] = source[j][i];
		}
	}
	return true;
}

/*矩阵乘法*/
bool MatrixMultiplication(const double operand1[N][N], const double operand2[N][N], double result[N][N]){
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			double sum=0.0;
			for(int k=0;k<N;k++){
				sum = sum + operand1[i][k]*operand2[k][j];
			}
			result[i][j] = sum;
		}
	}
	return true;
} 

int main(){
	/*设第1次相乘的矩阵为M1，第2次为M2，第3次为M3。W=M1*M2*M3*/
	double W[N][N] = {1.0/8,1.0/8,1.0/4,0,1.0/2,0,0,0,
					  1.0/8,1.0/8,1.0/4,0,-1.0/2,0,0,0,
					  1.0/8,1.0/8,-1.0/4,0,0,1.0/2,0,0,
					  1.0/8,1.0/8,-1.0/4,0,0,-1.0/2,0,0,
					  1.0/8,-1.0/8,0,1.0/4,0,0,1.0/2,0,
					  1.0/8,-1.0/8,0,1.0/4,0,0,-1.0/2,0,
					  1.0/8,-1.0/8,0,-1.0/4,0,0,0,1.0/2,
					  1.0/8,-1.0/8,0,-1.0/4,0,0,0,-1.0/2};
					  
	cout<<"设第1次相乘的矩阵为M1，第2次为M2，第3次为M3。W=M1*M2*M3，W矩阵:"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			cout<<W[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	
	/*源图像的一个图像块矩阵*/
	double A[N][N] = {64,2,3,61,60,6,7,57,
					  9,55,54,12,13,51,50,16,
					  17,47,46,20,21,43,42,24,
					  40,26,27,37,36,30,31,33,
					  32,34,35,29,28,38,39,25,
					  41,23,22,44,45,19,18,48,
					  49,15,14,52,53,11,10,56,
					  8,58,59,5,4,62,63,1};
	
	cout<<"源图像的一个图像块矩阵:"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			cout<<A[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	/*矩阵W的转置矩阵*/
	double WT[N][N];
	MatrixTranspose(W,WT);
	
	/*求均值差值后的矩阵 T = W'*A*W */
	double T[N][N];
	double temp[N][N];
	MatrixMultiplication(WT,A,temp);// temp = W'*A
	MatrixMultiplication(temp,W,T);// T = temp*W
	
	cout<<"求均值差值后的矩阵:"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			cout<<T[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	/*设阈值为5，绝对值小于等于5的元素设为0 */
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			if(abs(T[i][j])<=5){
				T[i][j] = 0.0;
			}
		}
	}
	
	cout<<"设置阈值变换后的矩阵:"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			cout<<T[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	/*本来想通过用逆变换式子直接用数学公式 A = (W')^(-1)*T*W'  但是C++没有求逆矩阵的库函数，自己编写又太长，故而使用下面这照片这种模拟人工运算方法 */
		
	double tem[N];//该数组作为每一次由均值和差值计算出的结果 
	/*列逆变换*/
	for(int j=0;j<N;j++){
		for(int k=0;k<3;k++){//每列8个元素，需要循环3次均值和差值计算
			int t = pow(2,k);//t为每次运算结束的位置 
			for(int i=0;i<t;i++){
				tem[2*i] = T[i][j]+T[i+t][j];	//运算得到结果的第一个 
				tem[2*i+1] = T[i][j]-T[i+t][j]; //运算得到结果的第二个
			}
			for(int i=0;i<t;i++){				//一次循环完成后要更新T矩阵，因为下次循环要基于上一次循环的结果，但是为什么不在上面那个循环里面不直接赋值给T，不用tem呢，因为上面循环赋值会导致上面运算后续的一些运算的值被覆盖导致错误结果 
				T[2*i][j] = tem[2*i];
				T[2*i+1][j] = tem[2*i+1];
			} 
		}
	}
	
	cout<<"列逆变换后的矩阵:"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			cout<<T[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}


	/*行逆变换*/
	//原理与列逆变换一样 
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int k=0;k<3;k++){//循环3次 
			int t = pow(2,k);
			for(int j=0;j<t;j++){
				tem[2*j] = T[i][j]+T[i][j+t];
				tem[2*j+1] = T[i][j]-T[i][j+t];
			}
			for(int j=0;j<t;j++){
				T[i][2*j] = tem[2*j];
				T[i][2*j+1] = tem[2*j+1];
			} 
		}
	}
	
	cout<<"行逆变换,得到重构后的近似矩阵:"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
			cout<<T[i][j]<<"\t";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	return 0;
} 




运行结果：









    四、实验结论、实验体会
    本次实验的算法思路很清晰、也比较简单。但是这是相对于来说的，假如是用MATLAB编程，则只要几分钟就能完成这次的实验，因为MATLAB是强大的矩阵处理语言，有非常多的系统类库进行调用，而且语法非常简单。而用C/C++则是非常的麻烦，所有的细节都要自己编写，而且每个细节都要编好长的一段，编码时非常地痛苦，花了很长时间去实现。在进行逆变换时，要用到求解逆矩阵，而求逆矩阵C/C++却没有类库，需要大量的编码工作，所以我选择通过模拟人工计算方式进行逆变换，在这个模拟过程中需要不断地计算每一时刻计算所处的位置、值、和所要存放的位置，存放时是否会跟其它运算是否冲突造成值覆盖等等，非常地麻烦。将整个算法在脑子里一步一步地演进找出所有可能的错误，然后在VS2010进行DEBUG跟踪程序执行，最终完成了此次实验。
    这次实验让我更深刻地理解使用数学方法对算法进行精简不仅可以减轻编程人员的负担，同时也能简化计算，提高效率。





写得不是很好，望各位大神多多指正，不喜勿喷。

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基于透镜成像学习策略的灰狼优化算法（LISGWO）	[1]龙文,伍铁斌,唐明珠,徐明,蔡绍洪.基于透镜成像学习策略的灰狼优化算法[J].自动化学报,2020,46(10):2148-2164.
一种优化局部搜索能力的灰狼算法（IGWO）	[1]王习涛.一种优化局部搜索能力的灰狼算法[J].计算机时代,2020(12):53-55.
基于自适应头狼的灰狼优化算法（ALGWO）	[1]郭阳,张涛,胡玉蝶,杜航.基于自适应头狼的灰狼优化算法[J].成都大学学报(自然科学版),2020,39(01):60-63+73.
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改进非线性收敛因子灰狼优化算法（GWOS）	[1]王正通,尤文,李双.改进非线性收敛因子灰狼优化算法[J].长春工业大学学报,2020,41(02):122-127.
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具有自适应调整策略的混沌灰狼优化算法(CLSGWO)	[1]张悦,孙惠香,魏政磊,韩博.具有自适应调整策略的混沌灰狼优化算法[J].计算机科学,2017,44(S2):119-122+159.
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名称	说明或者参考文献
灰狼优化的BP神经网络（预测）	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/112149776（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
灰狼优化的BP神经网络（分类）	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/112149394（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
基于灰狼优化的Elman神经网络数据预测	[https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/111411128 （原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
基于灰狼算法优化的SVM数据分类	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/110523352（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
基于灰狼算法优化的最大熵图像多阈值分割	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108203775（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
基于灰狼算法的二维Otsu图像阈值分割	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108023193（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
灰狼算法优化的otsu多阈值分割	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108019744（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
灰狼优化的PID参数优化	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/109306387（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）
基于灰狼优化(GWO)的路径规划算法	https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/109100220（原理一样，只是优化算法为灰狼算法）

SURF算法

千次阅读 2018-10-28 10:02:50

SURF (Speeded Up Robust Features, 加速稳健特征) 是一个稳健的图像识别和描述算法，首先于2006年发表在ECCV大会上。这个算法可被用于计算机视觉任务，如物件识别和3D重构。他部分的灵感来自于 SIFT 算法。SURF标.....

转自：https://blog.csdn.net/lz20120808/article/details/49302373

SURF算法简介：
SURF (Speeded Up Robust Features, 加速稳健特征) 是一个稳健的图像识别和描述算法，首先于2006年发表在ECCV大会上。这个算法可被用于计算机视觉任务，如物件识别和3D重构。他部分的灵感来自于 SIFT 算法。SURF标准的版本比SIFT要快数倍，并且其作者声称在不同图像变换方面比SIFT更加稳健。

SURF使用海森矩阵（Hessian）的行列式值作特征点响应侦测并用积分图加速运算；SURF 的描述子基于 2D 离散小波变换响应Harr小波并且有效地利用了积分图。

SURF算法的概念及步骤均建立在SIFT之上，但详细的流程略有不同。

SURF算法包含以下三个步骤:特征点侦测、特征邻近描述、描述子配对。

1.特征点侦测:

SIFT对原图像不断地进行Gauss平滑+降采样。得到金字塔图像后，有进一步得到了DoG图，边和斑状结构就是通过DoG图得到其在原图的位置。而高斯核的尺度因子即sigma是不同的。

SURF使用了方型滤波器取代SIFT中的高斯滤波器，借此达到高斯糢糊的近似。图像大小保持不变，改变的是滤波器的大小。其滤波器可表示为:

此外使用方型滤波器可利用积分图大幅提高运算速度，仅需计算位于滤波器方型的四个角落値即可。

SURF使用了斑点侦测的海森矩阵来侦测特征点，其行列式值代表相素点周围的变化量，因此特征点需取行列式值为极大、极小值。除此之外，为了达到尺度上的不变，SURF还使用了尺度σ的行列式值作特征点的侦测，给定图形中的一点x=(x, y)，在尺度σ的海森矩阵为H(x, σ):

使用近似的Hessian矩阵行列式来表示图像中某一点x处的斑点响应值，遍历图像中所有的像元点，便形成了在某一尺度下特征点检测的响应图像。使用不同的模板尺寸，便形成了多尺度特征点响应的金字塔图像，利用这一金字塔图像，就可以进行特征点响应极值点的搜索，其过程完全与SIFT算法类同。
作者为了加速卷积的速度，采用了方型滤波器（box filter）对高斯滤波器二阶偏导进行近似。

上图分别为X方向，Y方向，XY方向的近似模板。

由SURF原作者得出w的值近似为0.9。

2.尺度空间描述与特征点定位:

1.特征点定位

因为影像会在不同的尺度下作比较，特征点往往会在不同尺度下被侦测到。为特征点具有尺度不变性，在SIFT中，由于连续的高斯糢糊处理以及影像的降采样，在尺度上会形成类似金字塔的概念，例如高斯金字塔。

而SURF中尺度是由方型滤波器的大小决定的，并不是连续的斯糢糊及降采样处理。其中最底层的尺度(初始尺度)的方型滤波器大小为9*9，近似于σ=1.2的高斯滤波器。越往上层的尺度滤波器的大小也就跟着增加，例如15*15、21*21、27*27……。

即第一层的每组相隔6，第二层的每组相隔12，第三层的每组相隔24。。。
在通常尺度分析情况下，随着尺度的增大，被检测到的斑点数量迅速衰减。所以一般进行3-4组就可以了，与此同时，为了减少运算量，提高计算的速度，可以考虑在滤波时，将采样间隔设为2。
与SIFT相同，SURF会使用特征点海森矩阵的行列式值作邻近资料插补来定位特征点。

为了在图像及不同尺寸中定位兴趣点，我们用了3×3×3邻域非最大值抑制：所有小于预设极值的取值都被丢弃，增加极值使检测到的特征点数量减少，最终只有几个特征最强点会被检测出来。该尺度层图像中9个像素点之一作为检测特征点与自身尺度层中其余8个点和在其之上及之下的两个尺度层9个点进行比较，共26个点，图中标记‘x’的像素点的特征值（hessian矩阵行列式）若大于周围像素则可确定该点为该区域的特征点。

2.特征点描述

为了特征点具有旋转不变的特性，需要赋予特征点一个描述子，使其能保有其不变性且能够轻易地被区分。大多数的描述子建立的方法为描述特征点与其相邻的相素点间的变化，因此描述子往往都是区域性的。

同时描述子的维度也是描述子重要的考量之一，一个维度不足的描述子可能会使能特征点不易区分，然而维度过大的描述子要耗费的计算也就越复杂。SURF的描述子使用了哈尔小波转换的概念，并利用积分图简化描述子的计算。
方位定向：
以特征点为中心，计算半径为6s(S为特征点所在的尺度值)的圆形邻域内的点在x、y方向的Haar小波(Haar小波边长取4s)响应，Harr小波模板如图所示：

分别为X,Y方向响应
计算出图像在哈尔小波的x和y方向上的响应值之后，对两个值进行因子为2S的高斯加权，加权后的值分别表示在水平和垂直方向上的方向分量。Harr特征值反应了图像灰度变化的情况，那么这个主方向就是描述那些灰度变化特别剧烈的区域方向。接着，以特征点为中心，张角为π/3的扇形滑动，计算窗口内的Harr小波响应值dx、dy的累加：

在所有的向量当中最长的(即x、y分量最大的)即为此特征点的方向。

特征点特征矢量的生成
选定了特征点的方向后，其周围相素点需要以此方向为基准来建立描述子。以特征点为中心，构造一个20*20的正方形窗口（为特征点所在窗口的尺度值）。其后将将该窗口划分为更小的4X4个子区域，在每个子区域内按照5X5的大小进行取样，计算子区域内的x、y方向(此时以平行特征点方向为x、垂直特征点方向为y)的哈尔小波转换总合sum dx、sum dx与其向量长度总合sum |dx|、sum |dy|共四个量值，共可产生一个4X4X4=64维资料的描述子。

3.匹配

为了加速匹配过程，作者借助Laplacian（比如Hessian矩阵的迹）的符号使匹配过程索引加快。

相关知识点简介附：
对于OPENCV，opencvsurf和opencv中的surf是不同的，这点要清楚。否则网上有很多surf源码分析，让人摸不着头脑。
opencv中的surf类继承结构如下：

积分图解释如下：

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2.算法流程图

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