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  • 哈希函数设计
    2020-11-10 20:39:33

    取模法的素数选择
    当数据量在32~64之间时,选择53

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  • 一、哈希表的定义: 二、哈希表举例: 哈希函数就是映射关系 三、哈希表应用举例: Leetcode上第387题: 思路:通过s.charAt(i)-'a’将字符串中的...哈希函数设计原则:一致性(equals相等这hash值相等)、高效性

    一、哈希表的定义:
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    二、哈希表举例:
    哈希函数就是映射关系
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    三、哈希表应用举例:
    Leetcode上第387题:
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    思路:通过s.charAt(i)-'a’将字符串中的字符映射成hash表,出现一次,在相应位置加一,左后找到第一个值为1的下标
    其他思路:当然此题解决方案很多,如一位一位的遍历亦可以

    在这里插入图片描述

    四、哈希函数:

    • 将业务场景中的键转化为索引的过程称为哈希表的核心
    • 即使再优秀的哈希表也保证不了一个键对应一个不同的索引,这就是哈希冲突
    • 哈希函数设计原则:一致性(equals相等这hash值相等)、高效性(简单高效)、均匀性(尽可能使得hash值分布均匀)
    • 哈希表体现了空间换时间的原理

    为了降低哈希冲突,需要采用大于实际存储数据数量的哈希表,这就是空间换时间的原理。

    五、常见哈希函数:
    1.整型
    小整数:

    • 小正整数:直接使用;如0-9
    • 小负整数:偏移成正整数再使用;如-10-0可以先加10再使用

    大整数:

    • 大整数取部分:如复杂的学号20210917141122,如果直接使用需要20210917141122长的哈希表,取部分,如17141122则可以节省很大的空间。

    • 大整数对m取模:m的值很重要,一般是质数取模,哈希冲突的概率小

    质数是除了1与自身之外没有其他约数的自然数;0与1既不是质数也不是合数

    业内总结数值区间与最优取模值,如下:
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    2.浮点型
    转化为整数即可
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    3.字符串
    通过直接转换或者B进制数,转化为整数即可
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    如果B很大可以每一项都先取模:
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    3.引用数据类型
    可以让其中的成员变量各自哈希得出;
    Java中的hashCode(),为我们计算string类型的hash值;
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    六、哈希冲突处理方法:

    再完美的hash算法也不可能避免hash冲突,因此需要有处理hash冲突的方法;

    1.链地址法(常用):
    hashMap、hashSet底层均是散列表;其解决hash冲突的方式就是链地址法;
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    2.开发地址法:
    如果遇到hash冲突,开放地址法有四种处理方案:
    线性探测法:冲突时,就去存相邻位置,以此类推
    平方探测法:冲突时,进行平方找位置,以此类推
    再哈希法: 再次用其他的hash算法,进行一次或多次hash
    合理扩容: 为了较少hash冲突可进行适当扩容
    在这里插入图片描述
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    千次阅读 2022-04-08 15:44:16
    构造哈希函数的方法很多。在介绍各种方法之前,首先需要明确什么是“好”的哈希函数。 若对于关键字集合中的任一个关键字,经哈希函数映像到地址集合中任何一个地址的概率是相等的,则称此类哈希函数为均匀的(Uniform)...

            构造哈希函数的方法很多。在介绍各种方法之前,首先需要明确什么是“好”的哈希函数。

            若对于关键字集合中的任一个关键字,经哈希函数映像到地址集合中任何一个地址的概率是相等的,则称此类哈希函数为均匀的(Uniform)哈希函数。换句话说,就是使关键字经过哈希函数得到一个“随机的地址”,以便使一组关键字的哈希地址均匀分布在整个地址区间中,从而减少冲突。

            常用的构造哈希函数的方法有:

    1.直接定址法

            取关键字或关键字的某个线性函数值为哈希地址。即:

            H(key)=key或H(key)=a\bulletkey+b

            其中a和b为常数(这种哈希函数叫做自身函数)。

            例如:有一个从1岁到100岁的人口数字统计表,其中,年龄作为关键字,哈希函数取关键字自身。如表1所示:

    标图1 直接定址哈希函数例之一题

            这样,若要询问25岁的人有多少,则只要查表的第25项即可。

            又如:有一个解放后出生的人口调查表,关键字是年份,哈希函数取关键字加一常数:H(key)-key+(-1948),如表2所示。

    图2 直接定址哈希函数列之二

            这样,若要查1970年出生的人数,则只要查第(1970—1948)=22项即可。

            由于直接定址所得地址集合和关键字集合的大小相同。因此,对于不同的关键字不会发生冲突。但实际中能使用这种哈希函数的情况很少。

    2.数字分析法

            假设关键字是以r为基的数(如:以10为基的十进制数),并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的,则可取关键字的若干数位组成哈希地址。

            例如有80个记录,其关键字为8位十进制数。假设哈希表的表长为100%,则可取两位十进制数组成哈希地址。'取哪两位?原则是使得到的哈希地址尽量避免产生冲突,则需从分析这80个关键字着手。假设这80个关键字中的一部分如下所列:

            对关键字全体的分析中我们发现:第①②位都是“8 1”,第③位只可能取1、2、3或4,第⑧位只可能取2,5或7,因此这4位都不可取。由于中间的4位可看成是近乎随机的,因此可取其中任意两位,或取其中两位与另外两位的叠加求和后舍去进位作为哈希地址。

    3.平方取中法

            取关键字平方后的中间几位为哈希地址。这是一种较常用的构造哈希函数的方法。通常在选定哈希函数时不一定能知道关键字的全部情况,取其中哪几位也不一定合适,而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关,由此使随机分布的关键字得到的哈希地址也是随机的。取的位数由表长决定。

            例如:为 BASIC源程序中的标识符建立一个哈希表。假设BASIC语言中允许的标识符为一个字母,或一个字母和一个数字。在计算机内可用两位八进制数表示字母和数字,如图3(a)所示。取标识符在计算机中的八进制数为它的关键字。假设表长为512=2^{9},则可取关键字平方后的中间9位二进制数为哈希地址。例如,图3(b)列出了一些标识符及它们的哈希地址。

    图3(a)字符的八进制表示对照表

    标题图3(b)标识符及其哈希地址

    4.折叠法

            将关键字分割成位数相同的几部分(最后一部分的位数可以不同),然后取这几部分的叠加和(舍去进位)作为哈希地址,这方法称为折叠法(folding)。关键字位数很多,而且关键字中每一-位上数字分布大致均匀时,可以采用折叠法得到哈希地址。

            例如:每一种西文图书都有一个国际标准图书编号(ISBN),它是一个10位的十进制数字,若要以它作关键字建立一个哈希表,当馆藏书种类不到10 000时,可采用折叠法构造一个四位数的哈希函数。在折叠法中数位叠加可以有移位叠加和间界叠加两种方法。移位叠加是将分割后的每一部分的最低位对齐,然后相加;间界叠加是从一端向另一端沿分割界来回折叠,然后对齐相加。如国际标准图书编号0-442-20586-4的哈希地址分别如图4(a)和(b)所示。

    图4 由折叠法求得哈希地址(a)移位叠加 (b)间界叠加

    5.除留余数发

            取关键字被某个不大于哈希表表长m的数p除后所得余数为哈希地址。即

            H(key) = key  MOD  p, p\leqm

            这是一种最简单,也最常用的构造哈希函数的方法。它不仅可以对关键字直接取模(MOD),也可在折叠,平方取中等运算之后取模。

            值得注意的是,在使用除留余数法时,对p的选择很重要。若p选的不好,容易产生同义词。请看下面3个例子。

            假设取标识符在计算机中的二进制表示为它的关键字(标识符中每个字母均用两位八进制数表示),然后对p=2^{6}取模。这个运算在计算机中只要移位便可实现,将关键字左移直至只留下最低的6位二进制数。这等于将关键字的所有高位值都忽略不计。因而使得所有最后一个字符相同的标识符,如a1,i1 , temp1,cp1等均成为同义词。

            若p含有质因子Pf,则所有含有pf因子的关键字的哈希地址均为pf的倍数。例如﹐当p=21( =3×7)时,下列含因子7的关键字对21取模的哈希地址均为7的倍数。

            假设有两个标识符xy 和yx,其中x,y均为字符,又假设它们的机器代码(6位二进制数)分别为c(z)和c(y),则上述两个标识符的关键字分别为

            key1 = 2^{6}c(x) + c(y) 和key2 = 2^{6}c(y) + c(x)

            假设用除留余数法求哈希地址,且力=tq,t是某个常数,q是某个质数。则当q=3时,这两个关键字将被散列在差为3的地址上。因为

            由众人的经验得知:一般情况下,可以选p为质数或不包含小于20的质因数的合数。

    6.随机数法

            选择一个随机函数,取关键字的随机函数值为它的哈希地址,即 H(key)=random(key),其中random为随机函数。通常﹐当关键字长度不等时采用此法构造哈希函数较恰当。

            实际工作中需视不同的情况采用不同的哈希函数。通常,考虑的因素有:

            (1)计算哈希函数所需时间(包括硬件指令的因素);

            (2)关键字的长度;

            (3)哈希表的大小;

            (4)关键字的分布情况;

            (5)记录的查找频率。

    然后今天就讲到这里啦,大家记得点赞收藏,分享转发,关注小哥哥哦! 最后,如果你想学或者正在学C/C++编程,可以加入小编的编程学习C/C++企鹅圈https://jq.qq.com/?_wv=1027&k=vLNylJeG

        

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  • 3. 解决哈希冲突的方法:数组扩容,设计优秀的哈希函数,开放寻址法和链表法为哈希值找到合适的映射。 4. 开放寻址法,插入、查找、删除都需要相同的寻址逻辑,所以时间复杂度一样。数组中元素越多,空闲位置越少,...

    一、什么是哈希表

    哈希表就是数组+哈希函数,其核心思想是利用数组可以按照下标索引随机访问数据的特性。

    举个栗子:一个班级有50个人,每个人都有学号,按自然数顺序编号,学号1是小明,学号2是小红,学号3是小强,以此类推。在这个栗子中一个班级就是一个数组容器,学号就是数组的下标,学生就是数组中的元素,通过学号找人就是利用数组下标随机访问元素的特性。而如何给学生编号就是哈希函数的事情了。

    在这里插入图片描述

    二、哈希函数

    哈希函数,顾名思义,是一个函数,表达式:hash(key),key就是与数组下标不相干的关键词,而哈希函数计算的值就是与数组下标建立联系,可以直接作为数组下标,也可以将哈希值做取模等运算得到数组下标。

    刚才学号的栗子就是hash(自然数)=自然数,计算得到的哈希值可以直接用作数组下标,而深入到哈希表的实际应用,往往计算出的哈希值会很大,将其直接作为数组下标的话会使数组的长度很长,浪费内存。所以在有限的数组中通过哈希函数映射下标,势必会造成哈希冲突。

    三、哈希冲突的原因与解决方法

    产生哈希冲突的原因不仅仅是因为数组的有界,还包括哈希函数的计算以及对哈希值的映射都会产生哈希冲突。

    解决哈希冲突的方式也是根据这三个原因对症下药:

    1. 数组有界就适当扩容。
    2. 设计优秀的哈希算法。
    3. 开放寻址法和链表法为哈希值找到合适的映射。

    1、数组扩容

    数组中空闲的位置越多,一定程度上哈希冲突也会越小。但是不能因为这个原因就把数组的长度设置的很长,而是设置一个合理的初始长度,后面再慢慢扩容。

    什么时候扩容?扩容多少?都是有考究的。扩容太少导致频繁扩容影响性能,扩容太多浪费内存。一般经验所得,当元素个数占数组长度的3/4时扩容,扩容后的长度是原来的两倍。这也是java中HashMap的扩容思想,但是还是需要根据实际情况做调整。

    什么时候扩容有一个名词,装载因子,代表元素个数占数组长度的比例:装载因子=元素个数/数组长度。装载因子的设置要权衡时间和空间复杂度,装载因子太大,哈希冲突越严重,装载因子太小,内存浪费严重。

    如果内存空间不紧张,对执行效率要求很高,可以降低装载因子的阈值;相反,如果内存空间紧张,对执行效率要求又不高,可以增加装载因子的大小,甚至可以大于 1(对于链表法冲突解决)。

    对于单纯的数组扩容,数据的迁移很简单,对应位置复制过去即可,但是哈希表的扩容迁移就比较复杂,哈希表的长度变了,元素的位置也变了,需要一个个重新计算哈希映射新位置。扩容的时间复杂度是O(n),简单的插入一个数据的时间复杂度是O(1),如果刚好碰上扩容,时间复杂度就是O(n)。
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    扩容在一定程度上影响插入数据的性能,所以要避免无效的扩容,除了设计合理的装载因子和扩容比例,还可以从扩容的过程中优化:

    (1)扩容动作摊分到每个插入操作中,新数据插入新数组中,插入数据的同时复制一个旧数组中的一个元素到新数组,这样每次插入操作的时间复杂度都是O(1),但是需要兼容维护新旧数组,查找和删除操作先到旧数组查找,没有再到新数组查找。(jdk1.8 ConcurrentHashMap多线程扩容思想)

    (2)对于链表法解决冲突构成的哈希表,迁移时可以链表为单位复制,无需所有元素重新计算哈希值。(ConcurrentHashMap扩容以链表为单位整体迁移复制)

    2、一个优秀的哈希函数

    一个不合理的哈希函数,会使得数组扩容功亏一篑。若计算的哈希值本身很容易冲突,或者映射到数组下标不均匀分布,再多的空闲位置也没用。这就要求一个优秀的哈希函数必须具有以下2个要素:

    • 哈希值尽量随机且均匀分布,这样不仅可以最小化哈希冲突,而且即使出现了冲突,也会平均在各个位置,有利于冲突的解决改善(开放寻址法和链表法)。
    • 哈希算法的计算性能要高,不能影响哈希表的正常操作。

    数组扩容和优秀的哈希函数仍然无法避免哈希冲突,还可以从哈希值映射上下手,常用的方法有开放寻址法和链表法。

    3、开放寻址法

    开放寻址法,就是当发生哈希冲突时,重新找到空闲的位置,然后插入元素。寻址方式有多种,常用的有线性寻址、二次方寻址、双重哈希寻址:

    • 线性寻址,当需要插入元素的位置被占用时,顺序向后寻址,如果到数组最后也没找到一个空闲位置,则从数组开头寻址,直到找到一个空闲位置插入数据。线性寻址的每次寻址步长是1,寻址公式hash(key)+n(n是寻址的次数)。
    • 二次方寻址,就是线性寻址的总步长的二次方,即hash(key)+n^2
    • 双重哈希寻址,顾名思义就是多次哈希直到找到一个不冲突的哈希值。
      在这里插入图片描述

    采用开放寻址法解决哈希冲突,又该如何查找元素和删除元素呢?

    查找元素的过程和插入元素类似,用相同的寻址方式,寻址的同时比对key或者value是否相等,相等则认为元素存在,不相等则继续寻址,如果探测到空闲位置依然没有找到则认为该元素不存在

    删除有些特别,不能单纯的把要删除的元素设置为空,因为在查找元素的过程中探测到的空闲位置是删除元素的位置,就会使得查找元素的寻址算法失效,本来存在的元素误判定为不存在。该如何解决这个问题呢?

    只需要删除元素不是物理删除而是逻辑删除。给删除的元素做上delete标记,当查询元素寻址时遇到delete标记的位置时不会停下来而是继续向后探测,但是在插入元素寻址遇到delete标记的位置就会把应该删除的元素替换掉。

    三种寻址方式都有着明显的不足:

    • 线性寻址,寻址的性能虽然元素个数的增多逐步下降,最坏时间复杂度是O(n)。
    • 二次方寻址,寻址的次数比线性寻址较低了,但是会因为步长是二次方,所以需要较长的数组长度,内存利用率可能较低。
    • 双重哈希寻址,多次哈希可能会浪费时间,需要优质的哈希函数做支撑。

    而整个开放寻址法的不足也很明显:

    • 插入、查找、删除都需要寻址。
    • 数组中元素越多,空闲位置越少,哈希冲突越剧烈。所以装载因子不能太大,要及时扩容减小冲突,但是数组内存利用率较低。

    看似开放寻址法有挺多问题,但是也有一些优点:

    • 数据都存储在数组中,可以有效地利用 CPU 缓存加快查询速度。
    • 而且,这种方法实现的哈希表,序列化也简单,不像链表还要考虑指针。

    总结而得,当数据量比较小、装载因子小的时候,适合采用开放寻址法。这也是 Java 中ThreadLocal内部类ThreadLocalMap使用开放寻址法解决散列冲突的原因。

    4、链表法

    链表法相对于开放寻址法实现起来简单一些,在数组内存利用率上比开放寻址法高,同时对装载因子的忍耐度也相对较高。开放寻址法的装载因子只能小于1,越趋近于1,冲突越剧烈,寻址过程越耗时,而链表法的装载因子可以大于1(但是内存不紧张,在意性能的一般不会装载因子不会大于1)。

    链表法就是将产生哈希冲突的元素链接成一个链表,每个链表可以设想成一个桶(bucket)或者槽(slot):

    • 插入元素就是通过哈希找到对应的桶,然后插入到链表中,时间复杂度为O(1);
    • 查找元素也是通过哈希找到对应的桶,然后遍历链表;
    • 删除元素同样通过哈希找到对应的桶,遍历链表找到需要删除的元素删除。

    当哈希比较均匀时,理论上查询和删除的时间复杂度为O(n/m),n是数组中元素的个数,m是数组中桶的个数。但是当哈希冲突非常严重时,数据都集中在一个桶里,数组退化成链表,查找和删除的时间复杂度为趋近与O(n)。
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    针对数组退化成链表或者链表过长导致的性能下降,可以在合适的时机将链表转换为红黑树,极端情况下数组退化成一个红黑树,时间复杂度也是O(logn),比O(n)强多了。(jdk8中ConcurrentHashMap对于jdk7有所优化,当链表节点的个数大于8个且数组的长度大于64时,链表转换为红黑树;当红黑树的节点小于8个时又退化为链表。)

    可以容忍的缺点:

    • 因为链表节点需要存放指针,所以内存占用上比开放寻址法高。
    • 链表中的节点在内存中是不连续分布的,所以对CPU缓存的利用率也不高,序列化也比开放寻址法复杂。

    优点:

    • 内存利用率较高。
    • 优化策略灵活,红黑树和链表可以互相转换。

    四、总结

    哈希表的两个核心哈希函数的设计与哈希冲突的解决。

    1. 哈希表就是数组+哈希函数,其核心思想是利用数组可以按照下标索引随机访问数据的特性。
    2. 哈希冲突的原因:数组的有界,哈希函数的计算,哈希值的映射。
    3. 解决哈希冲突的方法:数组扩容,设计优秀的哈希函数,开放寻址法和链表法为哈希值找到合适的映射。
    4. 开放寻址法,插入、查找、删除都需要相同的寻址逻辑,所以时间复杂度一样。数组中元素越多,空闲位置越少,哈希冲突越剧烈。
    5. 链表法需要注意,当哈希冲突非常严重时,数组会退化成链表,查找和删除的时间复杂度趋近于O(n),可以采用红黑树进行优化。

    参考:极客时间专栏《数据结构与算法之美》。

    PS: 如若文章中有错误理解,欢迎批评指正,同时非常期待你的评论、点赞和收藏。我是徐同学,愿与你共同进步!

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