实验一 一阶、二阶系统阶跃响应曲线的绘制及系统稳定
 
性分析
 
【实验目的】熟悉采用Matlab 软件所进行的自动控制原理
 
分析。
 
【实验内容】1、一阶系统的阶跃响应曲线的绘制；
 
2、二阶系统的阶跃响应曲线的绘制；
 
3、求解系统闭环极点并判断系统的稳定性。
 
【实验步骤】
 
1、 已知系统传递函数为：
 
=)(s φ11
 
+Ts ，分别作T=0.1，1，10时的阶跃响应曲线。 其程序为：
 
subplot(3,1,1);num=1;den=[0.1,1];step(num,den);grid
 
subplot(3,1,2);den=[1,1];step(num,den);grid
 
subplot(3,1,3);den=[10,1];step(num,den);grid
 
2、 已知二阶系统222()()()2n n n
 
C s s R s s s w f zw w ==++；当w n =5
 
时，分别作出2,1,6.0,0=?的阶跃响应曲线。
 
其程序为：
 
num=25;den=[1,0,25];step(num,den);hold on
 
den=[1,6,25];step(num,den);hold on
 
den=[1,10,25];step(num,den);hold on
 
den=[1,20,25];step(num,den);axis([0, 5 ,0 ,2.2])
 
text(0.7,2.0,'\zeta=0','FontSize',8)
 
text(0.7,1.2,'0.6','FontSize',8)

相机响应曲线：外界光对应到拍摄的图像的像素值，中间的转化过程用曲线表示。
 ISO：感光度，衡量底片对光的灵敏程度。
 
 
上面这幅图就是相机的响应曲线
 横坐标为真实亮度的对数
 纵坐标为像素亮度/底片密度——在这里我们一般使用8bit的图，也就是（0,255），因此当灰度级别在50时，我们图像的值为0.5X255=78；灰度级别在100时，我们的图像的值为1X255=255
 我们可以看出，响应是一条s曲线，s曲线的好处就是较低数值响应不敏感，较高数值响应不敏感，中间数值响应敏感。人眼对中间灰度敏感，因此s曲线刚好提高了中间灰度的辨识度，又不至于直接丢失暗部和亮部的信息。
 这里我们还是需要用到输入、输出分析
 输入：场景中，物体表面光的亮度
 输出：拍摄图片中，该物体反映到数字（0-255）的灰度值。
 中间过程：输出=响应曲线X（输入）——I=f(j)
 
我们这张图同样可以看出我们的ISO做了哪些工作。数码相机的ISO是通过调整感光元件对光线的灵敏程度或者合并感光点来实现的对相机相应曲线进行调节，这里的调节一般情况下只是在x轴方向上的平移。
 ISO增大带来的影响是图像整体变亮了，实质为暗部向灰部迁移，灰部向亮部迁移，亮部全部过爆255。在图中我们能够看到，ISO变大，相机响应曲线左移，因此相机的暗部变为了敏感区域，而亮部则变成了100%的区域。
 这里就可以说明了，ISO变化只起到调节相机响应曲线左右移的左右，而不会改变相机响应曲线。

光谱响应函数（Spectral Response Function，SRF），又称光谱响应曲线，是传感器固有的系统参数。对于某束太阳光，其经大气，入射到物体表面后，又沿某一方向反射到传感器入瞳处的能量L是固定的，对于传感器S1如果某一波段a1nm的光谱响应函数为0.9，则入射进传感器的能量则为0.9L，另一传感器S2的光谱响应函数为0.8，则入射进传感器的能量为0.8L。不过由于冰污染等在轨环境的影响，传感器磨损老化等，包括SRF等在内的很多参数都可能发生变化。
 此外，通常计算传感器大气顶层波段平均太阳辐照度时，也用到SRF。由于是波段内平均，所以波长从a到b需要乘以太阳光谱曲线（sun spectrum，SS）进行积分，然后再除以SRF本身的积分，计算一个平均的太阳辐照度。什么是辐照度呢？辐射通量密度的一种，入射辐射通量/照射面积。
 

前言
 
在过程控制系统的学习中，测量一个被控对象的阶跃响应非常重要，因为根据阶跃响应曲线可以得到被控对象的许多非常重要的参数。而有一个非常重要的测量阶跃响应曲线的方法是矩形脉冲响应曲线法。在学习的过程中，我走了一些弯路，便在这里把自己的学习经验分享给大家。
 
本文主要包含以下几个内容：
 
矩形脉冲响应曲线的定义；
矩形脉冲响应曲线和阶跃响应曲线之间的关系及绘制阶跃响应曲线；
使用 Python 完成阶跃响应曲线的绘制。
 
本文主要参考书籍为：李国勇.《过程控制系统》（第3版）. 北京. 电子工业出版社. 2017
 
下面，我们正式开始👇
 
 
一、矩形脉冲响应曲线的定义
 
矩形脉冲响应曲线的定义：用矩形脉冲输入代替通常的阶跃输入，即大幅度的阶跃扰动施加一小段时间之后立即将它切除。这样得到的矩形脉冲响应不同于正规的阶跃响应，但两者之间关系密切，可以用矩形脉冲响应曲线求取对应的阶跃响应曲线。
 
用矩形脉冲响应曲线的原因：为防止被控量变化超过允许范围，生产实际不允许有较长时间和较大幅度的输入变化。这时可用矩形脉冲信号作为过程的输入信号，测出过程的矩形脉冲响应曲线（阶跃响应曲线由于测试时间较长而不合适），转化为阶跃响应曲线对参数估计。
 
 
二、绘制阶跃响应曲线
 

 变换方法：输出响应可看作由两个时间相差 $t_0$、极性相反、形状完全相同的阶跃响应的叠加而成。所以：$y_2(t)=y_1(t-t_0)$，$y(t)=y_1(t)+y_2(t)=y_1(t)-y_1(t-t_0)$，$y_1(t)=y(t)+y_1(t-t_0)$，其中 $y_1(t)$ 为阶跃响应值，$y(t)$ 为矩形脉冲响应值。
 
注意：
 
并不是一直叠加即可，一直叠加只是采样时间和脉冲时长相等时的特殊情况。
由于变换方法的限制，采样的时间点一定是等间隔的。
 
例题：已知某一液位对象，其矩形脉冲相应的实验数据如下：
 
t/s
0
10
20
40
60
80
100
120
140
160
180
h/cm
0
0
0.2
0.6
1.2
1.6
1.8
2.0
1.9
1.7
1.6
t/s
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
h/cm
1.0
0.8
0.7
0.65
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.15
0.1
已知矩形脉冲赋值 $\Delta u(t)=20\%$ 阀门开度变化，脉冲宽度 $\Delta t=20s$，试将矩形脉冲响应转化为阶跃响应。
 
解答：找到 $20s$ 点，其实际值为 $2.0+0$，$20s$ 之前的均为阶跃响应的值，之后的就是矩形脉冲响应值。所以 $y_1(40)=y(40)+y_1(40-20)$，即 $y_1(40)=0.6+0.2=0.8$。之后依次计算，即可得到最终的阶跃响应曲线的值。
 
 
三、编程绘制阶跃响应曲线
 
1、流程图
 
 
2、Python
 
使用较为常用的 Python 进行编程实现，使用 Numpy、Matplotlib 两个常用库。
 
源码如下：
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 初始化
t0 = 20
t1 = 20
n = int(t0 / t1)
y = np.array([0, 0.2, 0.6, 1.2, 1.6, 1.8, 2.0, 1.9, 1.7, 1.6, 1,
              0.8, 0.7, 0.7, 0.6, 0.6, 0.4, 0.2, 0.2, 0.15, 0.15])
x = np.linspace(start=0, stop=400, num=y.size)
y1 = np.zeros([y.size])

# 找阶跃响应消失点
# 消失点之前直接赋值
y1[0:n] = y[0:n]
# print(y1)

# 消失点之后加间隔数
index = 0
while index <= (y.size - n - 1):
    y1[n + index] = y1[index] + y[n + index]
    index += 1

# 绘图
plot = plt.plot(x, y1)
plt.show()

 
3、结果
 
 
总结
 
本文先介绍了矩形脉冲响应曲线的定义，后分析了使用矩形脉冲响应曲线的原因。之后讲解了如何将矩形脉冲响应曲线转换为阶跃响应曲线，并提供了 Python 的程序绘制阶跃响应曲线。