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  • OpenGL球体绘制与球体贴图
  • 高维球体的体积是多少

    千次阅读 2020-06-20 11:02:18
    二维球体(圆)的体积(面积)是πr2\pi r^2πr2,三维球体的体积是43πr3\frac43\pi r^334​πr3,那么再高维的球体的体积是多少呢?是否存在通项公式呢?本文就带大家通过数学求出高维球体体积。 计算思路 在计算...

    引言

    二维球体(圆)的体积(面积)是 π r 2 \pi r^2 πr2,三维球体的体积是 4 3 π r 3 \frac43\pi r^3 34πr3,那么再高维的球体的体积是多少呢?是否存在通项公式呢?本文就带大家通过数学求出高维球体体积。

    计算思路

    在计算三位球体的时候,有这样一种思路,就是将球体分为极薄的圆层,通过积分求出体积: V = ∫ − R R π R 2 − h 2 2   d h V=\int_{-R}^R{\pi\sqrt{R^2-h^2}^2\space{\rm d}h} V=RRπR2h2 2 dh事实上,求高维球体体积也可以用类似方法。不难想到可以先求出递推式。

    推导递推式

    很明显, n n n维球体体积肯定和 R n R^n Rn成正比,因此设 V n = a n R n V_n=a_nR^n Vn=anRn V n = ∫ − R R a n − 1 R 2 − h 2 n − 1   d h V_n=\int_{-R}^R{a_{n-1}\sqrt{R^2-h^2}^{n-1}\space{\rm d}h} Vn=RRan1R2h2 n1 dh因此 a n = a n − 1 ∫ − 1 1 1 − ( h R ) 2 n − 1   d ( h R ) a_n=a_{n-1}\int_{-1}^1{\sqrt{1-\left(\frac hR\right)^2}^{n-1}\space{\rm d}\left(\frac hR\right)} an=an1111(Rh)2 n1 d(Rh)

    积分

    x = sin ⁡ t ( − π / 2 ≤ x ≤ π / 2 ) x=\sin t(-\pi/2\le x\le \pi/2) x=sint(π/2xπ/2),则 ∫ − 1 1 1 − x 2 n − 1   d x = ∫ − π / 2 π / 2 cos ⁡ n − 1 x cos ⁡ x   d x = ∫ − π / 2 π / 2 cos ⁡ n x   d x \int_{-1}^1{\sqrt{1-x^2}^{n-1}\space{\rm d}x}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}{\cos^{n-1}x\cos x\space{\rm d}x}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}{\cos^nx\space{\rm d}x} 111x2 n1 dx=π/2π/2cosn1xcosx dx=π/2π/2cosnx dx根据 W a l l i s Wallis Wallis积分公式(似乎百度不到,可以见知乎-Wallis积分,证明方法用数归),可知 ∫ − π / 2 π / 2 cos ⁡ n x   d x = 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ n x   d x = 2 W n = { π ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 为 偶 数 2 ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 为 奇 数 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}{\cos^nx\space{\rm d}x}=2\int_0^{\pi/2}{\cos^nx\space{\rm d}x}=2W_n=\left\{\begin{matrix} \pi\frac{(n-1)!!}{n!!}&n为偶数 \\ 2\frac{(n-1)!!}{n!!}&n为奇数 \end{matrix}\right. π/2π/2cosnx dx=20π/2cosnx dx=2Wn={πn!!(n1)!!2n!!(n1)!!nn

    求通项

    根据上述积分可知 a n = ( n − 1 ) ! ! n ! ! a n − 1 { π n 为 偶 数 2 n 为 奇 数 = ( n − 1 ) ! ! n ! ! ( n − 2 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! 2 π a n − 2 = 2 π a n − 2 n a_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}a_{n-1}\left\{\begin{matrix} \pi&n为偶数 \\ 2&n为奇数 \end{matrix}\right.=\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{(n-2)!!}{(n-1)!!}2\pi a_{n-2}=\frac{2\pi a_{n-2}}n an=n!!(n1)!!an1{π2nn=n!!(n1)!!(n1)!!(n2)!!2πan2=n2πan2 n n n为偶数时, a n = 2 n / 2 ⋅ π n / 2 − 1 a 2 n ! ! = 2 n / 2 ⋅ π n / 2 n ! ! a_n=\frac{2^{n/2}\cdot \pi^{n/2-1}a_2}{n!!}=\frac{2^{n/2}\cdot \pi^{n/2}}{n!!} an=n!!2n/2πn/21a2=n!!2n/2πn/2 n n n为奇数时, a n = 3 ⋅ 2 ( n − 3 ) / 2 ⋅ π ( n − 3 ) / 2 ⋅ a 3 n ! ! = 2 ( n + 1 ) / 2 ⋅ π ( n − 1 ) / 2 n ! ! a_n=\frac{3\cdot2^{(n-3)/2}\cdot \pi^{(n-3)/2}\cdot a_3}{n!!}=\frac{2^{(n+1)/2}\cdot\pi^{(n-1)/2}}{n!!} an=n!!32(n3)/2π(n3)/2a3=n!!2(n+1)/2π(n1)/2将两式合并得到 a n = 2 ⌈ n / 2 ⌉ π ⌊ n / 2 ⌋ n ! ! a_n=\frac{2^{\lceil n/2\rceil}\pi^{\lfloor n/2\rfloor}}{n!!} an=n!!2n/2πn/2其中, ⌈ x ⌉ \lceil x\rceil x表示 x x x向上取整, ⌊ x ⌋ \lfloor x\rfloor x表示 x x x向下取整。
    特别地,当 n n n为偶数时, n ! ! = 2 n / 2 ( n / 2 ) ! n!!=2^{n/2}(n/2)! n!!=2n/2(n/2)!,故 a n = π n / 2 / ( n / 2 ) ! a_n=\pi^{n/2}/(n/2)! an=πn/2/(n/2)!

    结论

    n n n为球体的体积为 V n = 2 ⌈ n / 2 ⌉ π ⌊ n / 2 ⌋ n ! ! R n V_n=\frac{2^{\lceil n/2\rceil}\pi^{\lfloor n/2\rfloor}}{n!!}R^n Vn=n!!2n/2πn/2Rn下表为十一维以内的球体体积系数(即 a n a_n an):

    n n n a n a_n an n n n a n a_n an
    2 π \pi π7 16 π 3 / 105 16\pi^3/105 16π3/105
    3 4 π / 3 4\pi/3 4π/38 π 4 / 24 \pi^4/24 π4/24
    4 π 2 / 2 \pi^2/2 π2/29 32 π 4 / 945 32\pi^4/945 32π4/945
    5 8 π 2 / 15 8\pi^2/15 8π2/1510 π 5 / 120 \pi^5/120 π5/120
    6 π 3 / 6 \pi^3/6 π3/611 64 π 5 / 10395 64\pi^5/10395 64π5/10395

    化成小数形式为:

    n n n a n a_n an n n n a n a_n an
    2 3.14159 3.14159 3.141597 4.72477 4.72477 4.72477
    3 4.18879 4.18879 4.188798 4.05871 4.05871 4.05871
    4 4.93480 4.93480 4.934809 3.29851 3.29851 3.29851
    5 5.26379 5.26379 5.2637910 2.55016 2.55016 2.55016
    6 5.16771 5.16771 5.1677111 1.88410 1.88410 1.88410

    画成图像为a_n

    总结

    求高维球体体积首先先列出递推式,然后用积分公式化简递推式,最后转化为通项公式即可。

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    2014-06-30 16:54:48
    用OPengl绘制一个光照球体,希望能够对你有所帮助
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    球体纹理是自动映射纹理中的一种。环境纹理图像创建并载入后,调用OpenGL的环境纹理贴图算法,该算法在球体表面找到一个与

    被渲染的物体上的点具有相同正切面的点,并把球体上这个点的颜色绘制成物体上对应点的颜色。

    glTexGeni(GL_S, GL_TEXTURE_GEN_MODE, GL_SPHERE_MAP);

    glTexGeni(GL_T, GL_TEXTURE_GEN_MODE, GL_SPHERE_MAP);

    glEnable(GL_TEXTURE_GEN_S);

    glEnable(GL_TEXTURE_GEN_T);

    转载于:https://www.cnblogs.com/wangxiuqiang/p/3164438.html

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    2013-06-02 15:41:07
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    题目描述

    已知球体的半径r,计算并输出该球体的体积。
    

    输入要求

    输入球体半径r。
    

    输出要求

    计算球体体积并输出,保留2位小数。
    

    输入样例

    96.2
    

    输出样例

    3727293.58

    参考代码

    #include<stdio.h>
    
    #define PI 3.14
    
    int main()
    {
        double r,v;
        scanf("%lf",&r);
        v=(4.0/3.0)*PI*r*r*r;
        printf("%.2lf\n",v);
    
        return 0;
    }

     

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    2018-11-06 01:06:04
    OpenGL绘制球体

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    //球心坐标为(x,y,z),球的半径为radius,M,N分别表示球体的横纵向被分成多少份void drawSphere(GLfloat xx, GLfloat yy, GLfloat zz, GLfloat radius, GLfloat M, GLfloat N)float step_z = PI/M; float step_xy = 2*PI/N; float x[4],y[4],z[4]; float angle_z = 0.0float angle_xy = 0.0int i=0, j=0; glBegin(GL_QUADS);  for(i=0; i<M; i++)  {   angle_z = i * step_z;      for(j=0; j<N; j++)   {    angle_xy = j * step_xy;    x[0] = radius * sin(angle_z) * cos(angle_xy);    y[0] = radius * sin(angle_z) * sin(angle_xy);    z[0] = radius * cos(angle_z);    x[1] = radius * sin(angle_z + step_z) * cos(angle_xy);    y[1] = radius * sin(angle_z + step_z) * sin(angle_xy);    z[1] = radius * cos(angle_z + step_z);    x[2] = radius*sin(angle_z + step_z)*cos(angle_xy + step_xy);    y[2] = radius*sin(angle_z + step_z)*sin(angle_xy + step_xy);    z[2] = radius*cos(angle_z + step_z);    x[3] = radius * sin(angle_z) * cos(angle_xy + step_xy);    y[3] = radius * sin(angle_z) * sin(angle_xy + step_xy);    z[3] = radius * cos(angle_z);    for(int k=0; k<4; k++)    {     glVertex3f(xx+x[k], yy+y[k],zz+z[k]);    }   }  } glEnd();}


     

               

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