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  • 复变函数(2)-复变函数及其解析

    千次阅读 2021-02-19 10:36:45
    复变函数(2)-复变函数及其解析性                            东风夜放花千树,更吹落,星如雨       2.1 复变函数的定义:  设DDD是复平面上一个非空点集。如果...

    复变函数(2)-复变函数及其解析性

     

                             东风夜放花千树,更吹落,星如雨
     
     
     

    2.1 复变函数的定义:

     设 D D D是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则 f f f,对于 D D D中的每一个点 z z z,都有一个或多个复数 w w w与之对应,则称复变数 w w w是复变数 z z z的函数,简称为复变函数,记为
    w = f ( z )   , z ∈ D w=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,zD 如果 z z z的一个值对应于 w w w的一个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是单值的,如果 z z z的一个值对应着 w w w的多个值,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)是多值的。
     复变函数也可以和两个二元实函数 u ( x , y )   ,   v ( x , y ) u(x,y)\ ,\ v(x,y) u(x,y) , v(x,y)联系起来,设 w = u + v i w=u+vi w=u+vi z = x + y i z=x+yi z=x+yi,则
    w = u + v i = f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

    2.2 指数函数:

     对于复变数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi,称复变数 w = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^x(cosy+isiny) w=ex(cosy+isiny)为复变数 z z z的指数函数,记作 w = e z w=e^z w=ez,即
    w = e z = e x ( c o s y + i s i n y ) w=e^z=e^x(cosy+isiny) w=ez=ex(cosy+isiny) { ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) \left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right. {ez=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,) 指数函数是单值函数,且在复平面上处处有定义。
     (注:这里单值函数是指在 z = x + y i z=x+yi z=x+yi这样的实部虚部表示法下,函数值 w = e z w=e^z w=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法 A r g ( e z ) = y + 2 k π Arg(e^z)=y+2k\pi Arg(ez)=y+2kπ,在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的,所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。)
     复指数函数具有以下性质:
    e 0 = 1 e^0=1 e0=1 e z ≠ 0 e^z\ne0 ez=0 e z 1 + z 2 = e 1 z e 2 z e^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2 ez1+z2=e1ze2z e − z = 1 e z e^{-z}=\frac{1}{e^z} ez=ez1 e z ‾ = e z ‾ \overline{e^z}=e^{\overline{z}} ez=ez e 2 k π i = 1 e^{2k\pi i}=1 e2kπi=1

    2.3 对数函数

     指数函数的反函数,即满足方程
    e w = z ( z ≠ 0 ) e^w=z\quad (z\ne 0) ew=z(z=0) 的复变数 w w w称为复变数 z z z的对数函数,记作 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z
     对于 w = u + v i w=u+vi w=u+vi
    ∣ z ∣ = ∣ e w ∣ = e u |z|=|e^w|=e^u z=ew=eu A r g   z = A r g   e w = v Arg\ z=Arg\ e^w=v Arg z=Arg ew=v 所以
    u = l n ∣ z ∣   , v = A r g   z u=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ z u=lnz ,v=Arg z L n   z = l n ∣ z ∣ + i A r g   z ( z ≠ 0 ) Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0) Ln z=lnz+iArg z(z=0) w = L n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z + 2 k π i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=Ln z=lnz+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示,所以对数函数是多值函数。给定确定 k = k 0 k=k_0 k=k0时,可以得到对数函数的一个分支,对数函数的每一个分支都是单值函数。
    k = 0 k=0 k=0时的分支称为对数函数 w = L n   z w=Ln\ z w=Ln z的主分支,对应的函数值为函数主值,记为 l n   z ln\ z ln z,有
    l n   z = l n ∣ z ∣ + i a r g   z ( z ≠ 0 ) ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0) ln z=lnz+iarg z(z=0)
     对数函数有如下性质
    L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 + L n   z 2 Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2 L n ( z 1 z 2 ) = L n   z 1 − L n   z 2 Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2 Ln(z2z1)=Ln z1Ln z2 等式两边都是多值函数,等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理,下面的式子不成立
    L n   z n ≠ n L n   z Ln\ z^n\ne nLn\ z Ln zn=nLn z L n   z n ≠ 1 n L n   z Ln\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ z Ln nz =n1Ln z

    2.4 幂函数

     设 a a a是复常数,对于复变数 z ≠ 0 z\ne 0 z=0,称复变数 w = e a L n   z w=e^{aLn\ z} w=eaLn z为复变数 z z z的幂函数,即
    w = z a = e a L n   z w=z^a=e^{aLn\ z} w=za=eaLn z 当 a a a为正实数,且 z = 0 z=0 z=0时,规定 z a = 0 z^a=0 za=0
     指数函数的取值性需要分情况讨论。
     (1)当 a = n a=n a=n为整数时
    w = z n = e n L n   z = e n [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i + 2 n k π i = e n l n ∣ z ∣ + ( n a r g   z ) i ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) w=zn=enLn z=en[lnz+i(arg z+2kπ)]=enlnz+(narg z)i+2nkπi=enlnz+(narg z)i(k=0,±1,±2,) 所以此时幂函数为单值函数,当 n > 0 n>0 n>0时在复平面上处处有定义。当 n < 0 n<0 n<0时,在复平面除 z = 0 z=0 z=0点外处处有定义。
     (2)当 a = p q a=\frac{p}{q} a=qp p p p q q q为互质的整数, q > 0 q>0 q>0)为有理数时
    w = z a = e p q L n   z = e p q [ l n ∣ z ∣ + i ( a r g   z + 2 k π ) ] = e p q l n ∣ z ∣ + ( p q a r g   z ) i + 2 p q k π i w=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i} w=za=eqpLn z=eqp[lnz+i(arg z+2kπ)]=eqplnz+(qparg z)i+2qpkπi = e p q l n ∣ z ∣ [ c o s p q ( a r g   z + 2 k π ) + i s i n p q ( a r g   z + 2 k π ) ) ] ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) =e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots) =eqplnz[cosqp(arg z+2kπ)+isinqp(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,)
     根据三角函数的周期性,函数 w = z p q w=z^{\frac{p}{q}} w=zqp具有 q q q个不同的值,当 k = 0 , 1 , … , q − 1 k=0,1,\ldots,q-1 k=0,1,,q1时可以取得。
     (3)当 a a a为无理数或虚数时,幂函数是无穷多值的,在复平面上除了 z = 0 z=0 z=0外处处有定义,每一个单值分支对应于 L n   z Ln\ z Ln z的一个单值分支。

    2.5 三角函数

     分别称
    cos ⁡ ( z ) = e i z + e − i z 2 sin ⁡ ( z ) = e i z − e − i z 2 i \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} cos(z)=2eiz+eizsin(z)=2ieizeiz 为复变数的余弦函数和正弦函数。
     三角函数具有 2 π 2\pi 2π的周期性和奇偶性,但不再具有有界性,且
    cos ⁡ 2 z + sin ⁡ 2 z = 1 \cos^2{z}+\sin^2z=1 cos2z+sin2z=1 cos ⁡ ( z + π 2 ) = − sin ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + π ) = − cos ⁡ z \cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos z cos(z+2π)=sin(z),cos(z+π)=cosz sin ⁡ ( z + π 2 ) = cos ⁡ ( z ) , sin ⁡ ( z + π ) = − sin ⁡ z \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin z sin(z+2π)=cos(z),sin(z+π)=sinz sin ⁡ ( z 1 + z 2 ) = sin ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − cos ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2 sin(z1+z2)=sinz1cosz2cosz1sinz2 cos ⁡ ( z 1 + z 2 ) = cos ⁡ z 1 cos ⁡ z 2 − sin ⁡ z 1 sin ⁡ z 2 \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 cos(z1+z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2 同理可以定义复变数的正切,余切,正割,余割函数。
    tan ⁡ z = sin ⁡ z cos ⁡ z , cot ⁡ z = cos ⁡ z sin ⁡ z , sec ⁡ z = 1 cos ⁡ z , csc ⁡ z = 1 sin ⁡ z \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z} tanz=coszsinz,cotz=sinzcosz,secz=cosz1,cscz=sinz1

    2.6 反三角函数

     余弦函数的反函数,满足 cos ⁡ w = z \cos w=z cosw=z的复变数 w w w称为复变数 z z z的反余弦函数,记作 w = A r c cos ⁡ z w=Arc\cos z w=Arccosz
     根据 cos ⁡ w = e i w + e − i w 2 = z \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z cosw=2eiw+eiw=z可以解得
    w = A r c cos ⁡ z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) w=Arccosz=iLn(z+z21 ) z 2 − 1 \sqrt{z^2-1} z21 是双值函数, L n   z Ln\ z Ln z是多值函数,所以反余弦函数是多值函数。
     同理可以定义反正弦函数和反正切函数
    w = A r c sin ⁡ z = − i L n ( z i + 1 − z 2 ) w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2}) w=Arcsinz=iLn(zi+1z2 ) w = A r c tan ⁡ z = − i 2 L n i − z i + z w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z} w=Arctanz=2iLni+ziz
     它们都是多值函数。

    2.7 复变函数的极限

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) z 0 z_0 z0的去心邻域 U ˚ ( z 0 , ρ ) \mathring{U}(z_0,\rho) U˚(z0,ρ)内有定义, A A A是复常数。若对于任意给定的正实数 ε \varepsilon ε,总存在正实数 δ < ρ \delta <\rho δ<ρ,使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<zz0<δ时, ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon f(z)A<ε,则称 A A A是函数 f ( z ) f(z) f(z) z z z趋近于 z 0 z_0 z0的极限,记作 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A,或当 z → z 0 z\to z_0 zz0时, f ( z ) → A f(z)\to A f(z)A.
     设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i的某一去心邻域内有定义,常数 A = u 0 + v 0 i A=u_0+v_0i A=u0+v0i,则 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A的充要条件是
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = u 0 , lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = v 0 \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\quad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0 (x,y)(x0,y0)limu(x,y)=u0,(x,y)(x0,y0)limv(x,y)=v0 如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B zz0limg(z)=B,那么
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ± lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\pm \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\pm B zz0lim[f(z)±g(z)]=zz0limf(z)±zz0limg(z)=A±B lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ⋅ g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) ⋅ lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A ⋅ B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\cdot B zz0lim[f(z)g(z)]=zz0limf(z)zz0limg(z)=AB
    lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) g ( z ) ] = lim ⁡ z → z 0 f ( z ) lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}{ \lim\limits_{z\to z_0}g(z)}=\frac{A}{B}\quad (B\ne 0) zz0lim[g(z)f(z)]=zz0limg(z)zz0limf(z)=BA(B=0) 对于有理整函数(多项式)
    w = P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n w=P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n w=P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn lim ⁡ z → z 0 P ( z ) = P ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}P(z)=P(z_0) zz0limP(z)=P(z0) 对于有理分式函数
    w = P ( z ) Q ( z ) w=\frac{P(z)}{Q(z)} w=Q(z)P(z) lim ⁡ z → z 0 P ( z ) Q ( z ) = P ( z 0 ) Q ( z 0 ) ( Q ( z 0 ) ≠ 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}\quad (Q(z_0)\ne 0) zz0limQ(z)P(z)=Q(z0)P(z0)(Q(z0)=0)

    2.8 复变函数的连续性

     设函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) zz0limf(z)=f(z0),则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点连续。若 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D的每一点都连续,则称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内连续。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i z 0 = x 0 + y 0 i z_0=x_0+y_0i z0=x0+y0i连续的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
     连续的性质同实函数。

    2.9 复变函数的导数

     设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在区域 D D D内有定义, z 0 z_0 z0 D D D内一点。当 z z z z 0 z_0 z0取得改变量 Δ z \Delta z Δz,且 z 0 + Δ z ∈ D z_0+\Delta z\in D z0+ΔzD时,相应的函数值有改变量 Δ w = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) \Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0) Δw=f(z0+Δz)f(z0)。如果极限
    lim ⁡ Δ z → 0 Δ w Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} Δz0limΔzΔw=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 存在,则称函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点可导。该极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0点的导数,记作
    f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0)=\frac{dw}{dz}\Big|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} f(z0)=dzdwz=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域D内的每个点都可导,称 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内可导。从而区域 D D D内每个点对应着 f ( z ) f(z) f(z)的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为 f ( z ) f(z) f(z)的导函数,记为 f ′ ( z ) f'(z) f(z)或者 d w d z \frac{dw}{dz} dzdw
     设函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)在区域 D D D内可导,有
    [ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) [f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z) [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) [f(z) g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z) g'(z) [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z) [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0 ) [\frac{f(z)}{ g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},\quad (g(z)\ne 0) [g(z)f(z)]=g2(z)f(z)g(z)f(z)g(z),(g(z)=0) { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) , ( w = g ( z ) ) \{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)) {f[g(z)]}=f(w)g(z),(w=g(z)) 如果 f ( z ) f(z) f(z) φ ( w ) \varphi(w) φ(w)是互为反函数的单值函数,且 φ ′ ( w ) ≠ 0 \varphi'(w)\ne 0 φ(w)=0,则 f ′ ( z ) = 1 φ ′ ( w ) f'(z)=\frac{1}{\varphi'(w)} f(z)=φ(w)1
     有理整函数在复平面内处处可导
    P ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn P ′ ( z ) = a 1 z + 2 a 2 z + ⋯ + n a n z n − 1 P'(z)=a_1z+2a_2z+\cdots+na_nz^{n-1} P(z)=a1z+2a2z++nanzn1 对于有理分式函数
    f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f(z)=Q(z)P(z) 在 Q ( z ) ≠ 0 Q(z)\ne 0 Q(z)=0的点可导
    f ( z ) ′ = P ′ ( z ) Q ( z ) − P ( z ) Q ′ ( z ) Q 2 ( z ) , ( Q ( z ) ≠ 0 ) f(z)'=\frac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q^2(z)},\quad (Q(z)\ne 0) f(z)=Q2(z)P(z)Q(z)P(z)Q(z),(Q(z)=0) 复变函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)的微分定义为 d w = f ′ ( z ) d z dw=f'(z)dz dw=f(z)dz

    2.10 解析函数

     如果函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在点 z z z的某个邻域内可导,那么称函数 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z解析。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内每一点都解析,称函数 f ( z ) f(z) f(z) D D D内解析,或称 f ( z ) f(z) f(z) D D D内的解析函数。如果 f ( z ) f(z) f(z)在点 z z z不解析,那么称点 z z z为函数 f ( z ) f(z) f(z)的奇点。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在点 z = x + y i z=x+yi z=x+yi处可导的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微,且满足柯西-黎曼方程
    ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yv,yu=xv 从而有
    f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x i = ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y i f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i f(z)=xu+xvi=yvyui 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是二元实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在区域 D D D内可微,且满足柯西-黎曼方程。

    2.11 调和函数

     如果二元实函数 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)在区域 D D D内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
    ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 x22φ+y22φ=0 那么称 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y)为区域 D D D内的调和函数。
     任何在区域 D D D内解析的函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i,它的实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和和虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)都是 D D D内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件,所以又称虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。
     即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域 D D D内以该函数为实部,其共轭调和函数为虚部,所构成的复变函数在区域 D D D内是解析的。
     函数 f ( z ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域 D D D内解析的充要条件是它的虚部 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)是实部 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的共轭调和函数。

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  • 复合函数求导解析及练习

    千次阅读 2020-12-30 05:55:25
    复合函数求导课题复合函数求导法则课型:新授课主备教师:刘素梅总课时:第课时学习目标1、牢记基本初等函数求导公式2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数3、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导...

    复合函数求导

    复合函数求导法则

    课型:新授

    主备教师:

    素梅

    总课时:

    课时

    学习目标

    1

    、牢记基本初等函数求导公式

    2

    、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数

    3

    、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式

    4

    、会求简单的形如

    f

    ax

    b

    的复合函数的导数

    教学重难点

    重点

    会分解简单的复合函数及会求导

    难点

    正确分解复合函数的复合过程

    一.创设情景

    复习

    :求下列函数的导数

    (

    1

    )

    3

    2

    4

    y

    x

    x

    (

    3

    )

    s

    in

    x

    y

    x

    (

    2

    )

    3

    c

    o

    s

    4

    s

    i

    n

    y

    x

    x

    (

    4

    )

    2

    2

    3

    y

    x

    (

    5

    )

    l

    n

    2

    y

    x

    设置情境:

    (

    4

    )利用基本初等函数求导公式如何求导

    ?(5)

    能用学过的公式求导吗

    ?

    二.新课讲授

    探究

    1

    探究函数

    l

    n

    2

    y

    x

    的结构特点

    探究

    :

    指出下列函数的复合关系

    复合函数的概念

    一般地,对于两个函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    ,如果通过变

    u

    y

    可以表示成

    x

    的函数,那么称这个函数为函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    复合函数,

    记作

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    复合函数的导数

    复合函数

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    的导数和函数

    (

    )

    y

    f

    u

    (

    )

    u

    g

    x

    导数间的关系为

    x

    u

    x

    y

    y

    u

    ,即

    y

    x

    的导数等于

    y

    u

    的导数与

    u

    x

    的导

    数的乘积.

    (

    )

    y

    f

    g

    x

    ,则

    ()

    ()

    ()

    y

    f

    g

    x

    f

    g

    x

    g

    x

    三.典例分析

    1

    (课本例

    4

    )

    求下列函数的导数:

    (

    1

    )

    2

    (

    2

    3

    )

    y

    x

    (

    2

    )

    0

    .

    0

    5

    1

    x

    y

    e

    (

    3

    )

    s

    i

    n

    (

    )

    y

    x

    (其中

    ,

    均为常数)

    备课札记

    1

    1

    )

    (

    )

    2

    )

    s

    i

    n

    (

    )

    n

    m

    y

    a

    b

    x

    y

    x

    x

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  • 我们常见的二次函数解析式主要分为:① 一般式;② 顶点式;③ 交点式(两根式);三种表示形式,针对于一些特殊情况我们可以利用二次函数的另外三种:④对称式法;⑤待定系数法;⑥平移法;来更快的确定出二次函数的...

    二次函数在初中数学的知识体系中算得上是一个重要内容, 而在高中数学中只能算得上一个重要的基础知识了,因而起到了一个“承上启下”的作用,所以学好二次函数的相关知识至关重要;我们常见的二次函数解析式主要分为:① 一般式;② 顶点式;③ 交点式(两根式);三种表示形式,针对于一些特殊情况我们可以利用二次函数的另外三种:④对称式法;⑤待定系数法;⑥平移法;来更快的确定出二次函数的解析式;因而前三种常见的二次函数解析式需要牢记掌握,后三种侧重于方法类,需要灵活进行运用即可.

    1.一般式:y=ax²+bx+c(a≠0)

    如果已知二次函数的图象上的三个点的坐标(或称函数的三对对应值)(x₁,y₁)、 (x₂,y₂) 、(x₃,y₃),那么我们可以直接借助方程组:

    image-69.png

    就可以唯一确定a、b、c的值,从而求得函数解析式 y=ax²+bx+c(a≠0).

    总结:      

    ①任何二次函数都可以整理成一般式y=ax²+bx+c(a≠0)的形式.

    ②已知任意3点坐标,可用一般式联立方程组求解二次函数解析式.

    2.顶点式:y=a(x-h)²+k (a≠0)

    我们可以首先由二次函数的一般式 y=ax²+bx+c(a≠0)进行配方得:

    image-73.png

    总结:

    ①已知顶点坐标或对称轴时,可用顶点式求解二次函数解析式.

    ②已知二次函数的顶点和图象上的任意一点,都可以用顶点式来确定解析式.

    3.交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)

    我们可以根据二次函数的一般式结合配方法推导出二次函数的交点式或者说是两根式:

    image-74.png

    注意:这里 x₁,x₂,分别是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根.

    所以针对于题目中已知二次函数的图象与x轴有交点(或者说对应的一元二次方程

    ax²+bx+c=0(a≠0)有实根)时,此时我们就可以令函数解析式为y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0),从而求得此函数的解析式.

    总结:

    ①已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可用交点式求解二次函数解析式.

    ②已知二次函数与x轴的交点坐标,和图象上任意一点时,可用交点式求解二次函数解析式.

    ③已知二次函数与x轴的交点坐标(x₁,0),(x₂,0),可知二次函数的对称轴为x=( x₁+x₂ )÷2.

    ④根据二次函数的对称性可知,对于函数图象上的两点(x₁,0),(x₂,0),如果它们有相同的纵坐标,则可知二次函数的对称轴为 x=( x₁+x₂ )÷2.

    ⑤同时针对于任意的二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)我们可以进行如下推导:

    image-75.png

    4.对称式: y=a(x-x₁)(x-x₂) +k (a≠0)

    总结:

    当抛物线经过点(x₁,k),(x₂,k) 时,我们可以直接设出对称式:

    y=a(x-x₁)(x-x₂) +k (a≠0),然后再将另一个坐标代入式子中,求出a的值即可确定二次函数的解析式.

    注意:

    任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即b²-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示,同时要注意任意二次函数的解析式这三种基本形式都是可以互化的.

    5.待定系数法确定解析式

    image-76.png

    6.平移法确定解析式

    (1)化成顶点式后平移:

    ①先利用配方法把二次函数化成 y=a(x-h)²+k (a≠0) 的形式,接着再利用顶点的平移来确定新的顶点坐标,然后再写出新的函数解析式即可.

    ②最后在原有函数的基础遵从“左加右减,上加下减”的规则进行平移即可解答.

    (2)对一般式直接平移:

    对于任意的二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的平移,也都可以直接用“左加右减,上加下减”来进行平移.

    本文由Math实验室原创文章,如果你需要可编辑的文档文件可以联系我,希望本文对你有所帮助~

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    复变量

    Gamma

    函数及解析性质

    赵成兵

    1

    ,李牛顿

    2

    【摘

    要】

    本论文主要研究复变量

    Gamma

    函数计算方法以及复

    Gamma

    函数

    的解析性质,得到复变量

    Gamma

    函数的积分在复平面内沿直线和简单曲线从

    原点至无穷远点情况下的积分结果,以及在右半平面内复

    Gamma

    函数的解析

    性质。

    【期刊名称】

    南阳理工学院学报

    【年

    (

    ),

    期】

    2019(011)002

    【总页数】

    3

    【关键词】

    关键词

    :

    复变量

    Gammma

    函数;留数定理;解析函数

    基金项目:国家社科基金项目

    (13BJY079)

    ;安徽省教育厅自然科学基金重点项

    (KJ2011A061)

    0

    引言

    在数学分析参考书,如文献

    [1

    2]

    中,对于实的

    Gamma

    函数的定义有两种形

    式,即

    Euler

    引进的广义积分形式和

    Bohr-MOllerup

    定义的函数形式。同时

    Gamma

    函数和

    Beta

    函数之间有着很广泛的联系,如倍元公式和同余公式等,

    对于解决一些特殊的积分具有很好的应用。在文献

    [3,4,5]

    中给出了复变量的

    Gamma

    函数积分、无穷级数乘积和极限形式

    ,

    本文分别从积分和极限形式研究

    了复变量的

    Gamma

    函数在右半平面的解析性质以及在负半轴上孤立奇点的留

    数计算,得到复变量的

    Gamma

    函数在绕不同曲线情况下的积分。

    1

    复变量

    Gamma

    函数及解析性质

    定义

    1

    Euler

    形式:广义积分

    Γ(s)=xs

    -1e-xdx

    ,其中

    s>0

    称为

    Gamma

    函数。

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