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  • 展开全部表示唯一即需要A中向量不能相互表示,也就是A中向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb...也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。向量组个该...

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    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

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    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

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  • Riemann 问题基本解线性常数方程组,每个波是一个速度 行进间断( 为线性退化场)对非线性系统,波可以是间断(激波,接触间断)和光滑过度(稀疏波)在Riemann问题解中,出现类型,关键依赖封闭条件,...

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    结论: Riemann 问题的基本解

    1. 线性常数方程组,每个波是一个速度
      行进的间断(
      为线性退化场)
    2. 对非线性系统,波可以是间断(激波,接触间断)和光滑过度(稀疏波)

    在Riemann问题的解中,出现的波的类型,关键依赖封闭条件,(例如对Euler方程,我们只考虑状态方程,使得从出现的波仅是激波+接触间断+稀疏波)

    激波:两个常数状态

    通过单个跳跃间断连续,且满足:

    (1)RH条件

    (2) 熵条件

    接触间断

    (1) RH条件

    (2) 广义Riemann不变量,即

    ,且有m-1个独立的首次积分

    (3) 并行特征条件

    稀疏波

    (1) ) 广义Riemann不变量

    (2) 特征发散


    零、Review for Beginner(读过之前文章的,可以跳至一)

    回顾,第一篇文章

    里提到的计算流体力学——从原理到代码(一):对流方程的格式与实现里提到的线性对流方程:

    其中,A是一个常系数(矩阵)。

    我们这里,考虑u只有一维的情况,那么A就是常数。

    所有问题都要考虑自变量因变量,所以我们考虑,不同时间t上,给定空间的不同点x上,方程值u的变化。

    发现,所有的u沿着x-t平面上的射线保持不变,称之为特征线:

    此外

    (默认已知内容,不懂的查资料,很多)从流体力学三大守恒(质量、动量、能量)推出基本方程:

    这是一个双曲拟线性守恒方程 ,换句话说:

    单位体积微元,每时间单位体积里(质量、动量、能量)的变化
    ,等于体积微元与外界交换的流的变化

    第二篇文章里

    我们开始接触黎曼问题,一般的流体基本方程的Riemann问题的解的形式,即当初值是有限常数状态,

    ,这就叫做Riemann问题。

    为什么研究分片常数初值的PDE的解这么重要?还是那回事,我们使用离散的算法毕竟原先的连续数学问题,那么,计算机计算的时候,相当每次间断处都在求解一个分段函数初值的PDE,我们怎么相信计算机解的是“好”的,就要好好地研究CFD的Riemann问题?

    对于线性对流方程,只有一个变量u的黎曼问题

    ,
    处解不连续,作特征线,特征线上解断了,如图,
    特征线左右值恒为ul,ur

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    线性对流方程的黎曼问题,特征线左边恒为uL,右边恒为uR


    接着,我们通过双曲性,推得了,比如上一节的最后,我们得到了一般性的流体方程Riemann问题的解:

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    线性对流方程,按照特征线线性地传播的波

    一、走向非线性

    前面我们一直考虑的是线性系统:

    其中,A是一个常系数(矩阵)。

    现在考虑守恒律的拟线性形式:

    它的特征线(即沿着该线解为常数)满足

    (证明由定义推一下就可以)

    因为

    曲线上是常数,所以当然可以积分,得到从
    出发的特征线为:
    ,

    如果

    是一个标量,那么只要解还是光滑的,特征线一定都是射线。

    二、经典例子:Burgers 方程

    PDE中大名鼎鼎的 Burgers 方程:

    特征线

    ,但是呢,如果
    ,特征线就会相交,但是物理量不可能相互穿过而无影响(保持光滑),另一方面,如果
    ,特征线会发散。我们具体来看

    (一) 激波

    7e01463980dbcf15db154040def1b6f7.png

    于是,我们特别的,考虑他的Riemann问题

    ,特征线相交与射线:
    ,在这里形成一个激波。

    守恒律告诉我们:

    于是,我们得到激波的波速

    这个结果可以进一步而被推广到多元的方程组,我们称为Rankine-Hugoniot jump conditions(具体推导见下面第四部分)

    84718d42f2c1c3ab2de469e111f0eeff.png

    8f6875efb4ae6a63aeed15d1624b46a5.gif
    非线性例子:Burgers方程,可以发现在最中间处产生了激波!

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    注意时空平面(x-t)上,u值相同的射线斜率等于u值,这意味着他们之间会相互接触,波会接触,产生了激波——这就是非线性的独特之处

    (二)稀疏波

    另一方面,如果

    ,对于黎曼问题

    (和前面不同之处在于,x=0左右谁高谁低换了),会在x=0这条射线上,没有任何特征线通过,只有特征线发散出去,意味着没有物理量会通过这里,只会出去。这就是稀疏波,

    4fe405d3e58393e6aba61abd2acc1648.png

    此时,问题的一个弱解为:

    0178ee6e8ee252ed27bc14a55fc57e38.png

    但是, 可以验证,下面这个也是一个弱解:

    ,其中
    是任意的,

    因此,守恒律的弱解是不唯一的,需要加上额外的条件,以便从众多弱解中,选取出物理意义的解,这个条件被称为熵条件,或者叫做可容许条件

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    非线性例子:Burgers方程,的稀疏波例子

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    注意时空平面(x-t)上,u值相同的射线斜率等于u值,这意味着他们之间会相互分散,产生了稀疏波——这就是非线性的独特之处

    三、弱解与Rankine-Hugoniot条件

    徐政豪:计算流体力学——从原理到代码(四):有限体积法与Godunov Scheme 初步zhuanlan.zhihu.com
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    里,我简单的提到了弱解的不唯一性,我们回顾一下:

    之前,我们一直研究的是流体守恒方程的微分形式:

    上一节,我们讨论了非线性的流体问题,例如,Burgers equation:

    处的Riemann问题会产生解的非光滑性。
    而非光滑的地方,拟线性PDE则失效了

    但是这样的解,可以用积分形式来表示——因为积分形式的方程是流体守恒的更基本的描述(流体基本方程的推导过程,大家可以参考z站上的其他答案)

    拟线性双曲守恒律的积分形式:在区域

    ab48038908f9a582998c9f1a9879c99a.png

    对微分形式重积分,得

    (更严格来说,不仅仅要对区域

    成立,而是要对任意控制体都成立,大家明白意思就好)

    由散度定理,控制体上量的变化,等于时间微元内边缘的流的变化,即

    这样的方程的解

    被称为
    弱解

    此外,解的爆破我们介绍一下

    在特征线发生相交之前,单值解都可以用特征线的方法给出,如前所述的

    当特征线开始相交时,我们就说解爆破(Blow Up)此时解的偏导数

    变为无穷大,爆破发生在由
    发散出来的特征线
    ,其中 x0满足:
    ,且
    是最大值的点

    下面我们来建立Rankine-Hugoniot间断跳跃条件:

    间断线

    上, 令
    是下面四条曲线构成的闭回路,即在间断线的任意的一点
    附近取小邻域:

    由守恒律的积分形式:

    我们将

    拆成四条曲线,分别计算积分,得到:

    注意到

    因为t是固定的,所以这一项是0

    那么,上面的式子可以简化为

    数分里的常见思想,现在令

    所以

    由于

    是任意的,所以在间断线
    上,

    其中

    是间断速度,

    这样我们就得到了非线性守恒律激波和接触间断处解满足的条件,即Rankine-HugonIot条件

    给定

    和一个对应
    的特征场的速度为
    的间断或波,则跨越间断线的RH条件:

    举个例子,根据这个关系可以找出线性常系数双曲方程的Riemann问题的解

    比如说:

    7abf4869dd4b3c26418776a055a846d0.png
    线性常系数双曲方程的Riemann问题的解:中间部分的密度和速度记为rho_* , u_*

    对于

    ,特征值

    跨越速度为

    的1-波的RH条件为:

    由此:

    同理2-波处,由RH condition:

    联立二元方程组,就得到了Riemann问题的中间状态的:


    码子码latex太累了……

    没讲完的有熵条件,Riemann不变量

    感觉写得太细了,大家没什么人想看……

    大家了解一下什么是初等波,初等波的一些结论,以及一些定理和术语就好

    这一块的东西太PDE了

    就这样吧,如果想弄清细节的话,大家可以看Toro的书

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  • 基基是线性空间里一组向量,使得该线性空间中任何一个向量都可以唯一表示成这组基的线性组合。 如则(a,b)就是P点在这个线性空间下以X向量和Y向量为基坐标。要成为基要满足一些条件,首先这些向量要属于这个线性...

    线性空间

    线性空间即向量空间,如果空间中有一个原点O,那么空间中的所有点都可以用向量来表示,这些向量及其运算构成的即是向量空间。

    基是线性空间里的一组向量,使得该线性空间中任何一个向量都可以唯一表示成这组基的线性组合。
    这里写图片描述则(a,b)就是P点在这个线性空间下以X向量和Y向量为基的坐标。

    要成为基要满足一些条件,首先这些向量要属于这个线性空间:
    这里写图片描述
    并且这些向量v1…vk线性无关,而且k=n,那么这些向量构成该线性空间下的一组基。

    显然基不唯一,如何选择基(选择坐标系)是一个比较值得推敲的事情,选取一组好的基可以将问题简化(基的选择要取决于要研究的问题)。

    线性映射

    线性映射的本质就是保持线性结构的映射,如果V和W是两个实线性空间,如果从V到W的映射T:V->W满足:
    这里写图片描述
    那么T就是一个线性映射。所谓保持线性结构,看的也就是加法和乘法。

    到自身的线性映射T:V->V叫线性变换。

    线性变换的矩阵描述

    假设V和W分别为n维和m维的线性空间,那么一定存在:
    这里写图片描述
    分别是V和W的一组基,也就是说V和W上的所有向量都可以分别由这两组基内向量的线性组合唯一表示。
    T,α,β可以唯一决定一个矩阵:
    这里写图片描述
    我们只需要关注前面一个线性空间里的基内向量在T上的变换,因为T是从V到W的变换,而前面一个线性空间里的基内向量又都属于V,所以得到的向量一定属于线性空间W,那么就一定能用W上的基β的线性组合唯一表示!所以这个矩阵里的每个元素Aij这样来定义:
    这里写图片描述
    展开来看(反着推看起来顺一些),这个矩阵有这样的性质:
    这里写图片描述
    往往记为:
    这里写图片描述
    在不产生误解的情况下,还可以简记为:
    这里写图片描述
    显然这个矩阵和基的选取有密不可分的关系。从这个式子中可以看出,矩阵可以理解为线性映射在特定基下的一种定量描述

    针对换基的矩阵变换公式

    如果存在矩阵P和矩阵Q,分别是V和W里基的变换矩阵(新的基中每一个向量都是原来基中向量的线性组合),使变换后的基(仍然是那个线性空间的基)满足:
    这里写图片描述
    也就是说存在这样的矩阵:
    这里写图片描述
    从而:
    这里写图片描述
    (左边两块相等,是因为前面说了线性映射是保持加法和乘法的)
    把P移过去,也就是:
    这里写图片描述
    和前面线性变换的矩阵描述得到的式子比较一下,发现这块东西其实就是以α,β为基的线性变换T的描述矩阵,也就得到了:
    这里写图片描述
    也就是说可以直接用这两个基的变换矩阵去得到新的两个基的线性变换的描述矩阵。

    线性映射和算法的关联

    比如一个求斐波那契数的问题,就可以用线性映射来表示,因为斐波那契数列满足:
    这里写图片描述
    则相邻的两对斐波那契数组成的向量满足这样的线性映射:
    这里写图片描述
    也就是说这个问题可以转换成矩阵的乘法问题,而且可以用这样的映射求如此远的斐波那契数:
    这里写图片描述

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  • 1、向量三则运算设,则(1);(2)2、向量三则运算性质(1);...性质2:设线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示方法唯一。性质3:若一个向量线性无关,则其中任意一个部分向量组也必然性无关...

    1e8c16a97dc108f3d9f7a9b64b91e4f0.gif

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    1、向量的三则运算

    a0ab3585e5e3631fa242fe5c32fa6cbf.png,则

    (1)ed713ef8195f6e27ee98eac820b7b0fc.png

    (2)8a81c0a64b83ead45135d5dd0ccf54ed.png

    63bc9fe62f442ed91faca33407119b8f.gif

    2、向量的三则运算性质

    (1)4bb13a2d1c57caf68b6d68587a60b9f4.png;        

    (2)42ac5443ed5cfbdc600bb94404066ef3.png

    (3)9bc1da2261ceb01d64f70e77cfd6b820.png     

    (4)88356c1be6e28f690adbf5c5374679a7.png

    63bc9fe62f442ed91faca33407119b8f.gif

    3、内积的性质

     (1)840f349fe961d93fa04d9f582b7d586f.png

     (2)5df87e032129085d15a6ea21102597da.png的充分必要条件是598c696108855880b4bb1b145723b3c0.png

     (3)eaea23a1e8f463101b8a4aefcaf2140e.png

    63bc9fe62f442ed91faca33407119b8f.gif

    4、向量组相关性与线性表示理论

    性质1:270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png线性相关,则其中至少有一个向量可由其余向量表出。

    性质2:270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png线性无关,而177c17efab2d2450a999d0f47c48ea62.png线性相关,则5ccde25350dccaea0176db760d51f38c.png可由270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png线性表示,且表示方法唯一。

    性质3:若一个向量线性无关,则其中任意一个部分向量组也必然性无关。

    性质4:若一个向量组的一个部分向量组线性相关,则此向量组一定线性相关。

    性质5:270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png为n个n维向量,则270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png线性无关8a96f8abc003232203e1f6b431c4c381.pnge6b06c62dbea7c714ad1feb6daa859d7.png

    性质6:若一个向量组的个数大于维数,则此向量组一定线性相关。

    性质7:bfb1a75de64c18a3d12683e41744e4f2.png70252177d28ad8d0c05874fbab811156.png扩充了分量的向量组,若向量组70252177d28ad8d0c05874fbab811156.png线性无关,则向量组bfb1a75de64c18a3d12683e41744e4f2.png也线性无关,反之不对。

    性质8:270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png为一个两两正交的非零向量组,则270d4bee046bf6f123f44cce9b109045.png线性无关。

    5f39311ec4b41ae75cefdb215b84c536.png

    63bc9fe62f442ed91faca33407119b8f.gif

    5、向量组秩的性质

    性质1:矩阵的行向量组的秩、列向量组的秩及矩阵的秩都相等

    性质2:ce17e8672bb256f2fde9c2f69fcf0795.png为两个向量组,若A组可由B组线性表示,则A组的秩不超过B组的秩

    性质3:等价的向量组有相等的秩,反之,若两个向量组的秩相等,则两个向量组不一定等价。

    82b2ed2c31fbf57ad3ebeba0bfe73f3b.png2021考研正在招生中......

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  • 线性同余方程

    2020-02-13 22:31:00
    题目链接 题意:给定n组数据ai,bi,mi,对于每组数求...输出共n行,每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi,如果无解则输出impossible。 每组数据结果占一行,结果可能不唯一,输出任意一个满足条件的结果均可。...
  • 求解线性同余方程

    2019-08-25 20:07:32
    给定n组数据ai,bi,mi,对于每组数求...输出共n行,每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi,如果无解则输出impossible。 每组数据结果占一行,结果可能不唯一,输出任意一个满足条件的结果均可。 输出答案必须在...
  • 可逆矩阵等价条件

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  • 给定n组数据ai,bi,mi,对于每组数求...输出共n行,每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi,如果无解则输出impossible。 每组数据结果占一行,结果可能不唯一,输出任意一个满足条件的结果均可。 输出答案必须在...
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  • 输出共n行,每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi,如果无解则输出impossible。 每组数据结果占一行,结果可能不唯一,输出任意一个满足条件的结果均可。 输出答案必须在int范围之内。 思路: 代码: import ...
  • 输出共n行,每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi,如果无解则输出impossible。 每组数据结果占一行,结果可能不唯一,输出任意一个满足条件的结果均可。 输出答案必须在int范围之内。 数据范围 1≤n≤10^5...
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  • 3.3向量组

    2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关组定理向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)定理行秩与列秩定理例题参考 极大线性无关组 一个向量组用极大无关组就可以...这个部分组是极大线性无关组的条件是: 极大无关组不唯一,但是任意...
  • 解毒:第一个条件的意思是基向量必定是一个线性无关向量组,第二个条件的意思是向量空间 内任意向量都可以由该向量空间内任意一组基向量(基向量不唯一线性表示。大白话就是:基向量是这个向量空间里最最基本...
  • 在双重周期域情况下,我们获得了一些必要充分条件,每个条件都明确地用一个不等式明确表示,有趣地将涡旋数与域耦合参数和大小相关联,以找到这些系统解。 在平面情况下,我们建立了任何涡数和耦合参数...
  • 这样材料可以通过经典统计系统来实现,该系统不允许唯一的平衡状态。 我们用经典波函数描述了信息从边界到主体传播。 波函数对整体中超曲面位置依赖性由线性演化方程控制,该方程可以看作是广义Schrö...
  • 然后得出结论,与这些保留长度约束条件相容的唯一可能理论被证明是轨距不变PGG,而相应无质量(伪)金石模式自然地收集在四分体和自旋连接新兴轨距场中。 在最小理论情况下曲率线性的情况下,我们不可...
  • 1205/2016

    2016-12-05 23:26:03
    以及完整解答了当给出一个线性方程组时(线性方程组利用向量组的线性组合表示),有解,有唯一的条件,以及线性方程组解的集合含义(其次方程组解构成了n-r维的线性子空间,非其次方程组构成的空间是在其次方程组...
  • 语音识别MATLAB实现

    热门讨论 2009-03-03 21:39:18
    使 在均方误差最小的条件下,可求得唯一的 ,此过程即为LPC分析过程。 这里采用的是Levinson-Durbin法。由上面的式子有: 其中, 为待分析与引信号的自相关序列: 因此:Levinson-Durbin算法为: 1. 初始...
  • 线代个人总结

    2016-04-30 00:06:00
    1.R(A)=R(Ab)=n唯一解(n为max,毕竟系数矩阵是方阵是方程组有唯一必要条件) 2.R(A)=R(Ab)<n无穷解 3.R(A)<R(Ab)无解 线性相关与线性无关与矩阵解 定义:在线性代数里,矢量空间一组元素中,若...
  • LINGO软件学习

    2009-08-08 22:36:50
    LINGO是用来求解线性和非线性优化问题简易工具。LINGO内置了一种建立最优化模型语言,可以简便地表达大规模问题,利用LINGO高效求解器可快速求解并分析结果。 §1 LINGO快速入门 当你在windows下开始运行...
  • 需要满足3个条件 1、正定 2、齐次,因为范数是定义在线性空间上,线性空间有加法和数乘。 3、三角不等式 同一个线性空间可以定义不同范数 各个范数几何表示形状 有限维空间上任意范数都是等价。其实...

空空如也

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唯一线性表示的条件