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  • 2 线性表示 2.1 线性表示的概念 2.1.1线性表示 设是线性空间V中的向量,若存在V中一组向量{},及一组数,使得 则称向量能被向量组{}线性表示,或者线性表出。 2.1.2 线性相关 设{}是线性空间V中的一组向量...

    2 线性表示

    2.1 线性表示的概念

    2.1.1线性表示

    \beta是线性空间V中的向量,若存在V中一组向量{a_{1},a_{2},...a_{n}},及一组数x_{1},x_{2},...x_{n}\in F,使得

    \beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}

    则称向量\beta能被向量组{a_{1},a_{2},...a_{n}}线性表示,或者线性表出

     

    2.1.2 线性相关

    设{a_{1},a_{2},...a_{n}}是线性空间V中的一组向量,若存在一组不全为0的数:x_{1},x_{2},...x_{n},使得

    x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=O

    则称向量组{a_{1},a_{2},...a_{n}}线性相关

    2.1.3 线性无关

    设{a_{1},a_{2},...a_{n}}是线性空间V中的一组向量,若存在一组不全为0的数:x_{1},x_{2},...x_{n},使得

    x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}\neq O

    则称向量组{a_{1},a_{2},...a_{n}}线性无关

    2.1.4 线性无关的充要条件

    x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=O \Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=...x_{n}=0

    2.1.5 线性相关的充要条件

    {a_{1},a_{2},...a_{n}}中某个向量能够被其余的向量线性表示;

    2.1.6 其余性质

    单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关;

    {a_{1},a_{2},...a_{n}}线性无关,部分组成的向量组也线性无关;

    若向量组中部分向量组成的向量组线性相关,则原向量组线性相关。

     

    2.2 基与维数

    设{a_{1},a_{2},...a_{n}}是线性空间V的一组线性无关向量组,若对V中任意向量\beta,存在一组数{x_{1},x_{2},...x_{n}},使得

    \beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}

    则称:向量组{a_{1},a_{2},...a_{n}}为V的,V为n维线性空间,记为V^{n},线性空间的维数记为dim(V)=n。

     

    2.3 向量的坐标

    设向量组{a_{1},a_{2},...a_{n}}为线性空间V^{n}的基,则对V^{n}中任意元素\beta,有唯一的表示:

    \beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}

    x=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]^{T}

    x为向量\beta在基a_{1},a_{2},...a_{n}下的坐标

    结论1:

    \beta \in V^{n}在基{a_{1},a_{2},...a_{n}}下的坐标为x=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]^{T}

    B={x_{1},x_{2},...,x_{n}},则有\beta =x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=Bx(按矩阵和向量乘法运算法则

    结论2:

    存在V^{n}(F)\rightarrow F^{n}一一映射

    \alpha \in V^{n}(F) \leftrightarrow x=\left[ \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right] \in F^{n}

    \alpha=\mathcal{B} x, \quad \beta=\mathcal{B} y,则有

    \alpha+\beta \leftrightarrow x+y \quad k \alpha \leftrightarrow k x

    V^{n}(F)F^{n}(线性)同构。

    结论3:

    如果\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}对应的坐标x_{1},x_{2},...x_{n},那么\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}线性无关的充要条件就是它们对应的坐标x_{1},x_{2},...x_{n}线性无关

     

    2.4 过渡矩阵

    \mathcal{B}_{\alpha}=\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right\}, \mathcal{B}_{\beta}=\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\}V^{n}的两个基

    对基\mathcal{B}_{\beta } 中每个向量\beta _{i} ,可以求出其在基 \mathcal{B}_{\alpha }下的坐标,设为

    P_{i}=\left[ \begin{array}{llll}{p_{i 1}} & {p_{i 2}} & {\cdots} & {p_{i n}}\end{array}\right]^{\mathrm{T}} \in F^{n}

    写成向量形式:

    \beta_{i}=\mathcal{B}_{\alpha} P_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n

    P=\left[ \begin{array}{llll}{P_{1}} & {P_{2}} & {\cdots} & {P_{n}}\end{array}\right]

    由此得到

    \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\}=\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right\} \left[ \begin{array}{cccc}{p_{11}} & {p_{12}} & {\cdots} & {p_{1 n}} \\ {p_{21}} & {p_{22}} & {\cdots} & {p_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {p_{n 1}} & {p_{n 2}} & {\cdots} & {p_{n n}}\end{array}\right]

    写成矩阵形式

    \mathcal{B}_{\beta}=\mathcal{B}_{\alpha} P

    陈矩阵P为基\mathcal{B}_{\alpha }到基\mathcal{B}_{\beta}过渡矩阵(变换矩阵)

    过渡矩阵的性质:

    1. 过渡矩阵P是满秩矩阵;
    2. P是基\mathcal{B}_{\alpha }到基\mathcal{B}_{\beta}的过渡矩阵,则P^{-1}是基\mathcal{B}_{\beta}到基\mathcal{B}_{\alpha }的过渡矩阵;
    3. 若向量\alpha在基\mathcal{B}_{\alpha }下的坐标为x,即\alpha =\mathcal{B}_{\alpha }x,则向量\alpha在基\mathcal{B}_{\beta}下的坐标是:y=P^{-1}x.

     

     

     

     

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  • 线性方程组解的分析:唯一解,无穷多解以及无解

    万次阅读 多人点赞 2018-06-03 16:50:20
    本文将总结关于线性方程组解的知识点。 线性方程组 定义1 线性方程组:我们将形如下式的方程组称为线性方程组。 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm(21)(21)a11x1+a12...

    本文将总结关于线性方程组解的知识点。

    线性方程组

    定义1 线性方程组:我们将形如下式的方程组称为线性方程组。

    a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm(9) (9) a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m

    其中,矩阵

    A=a11am1a1namn(10) (10) A = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n )
    称为该线性方程组的系数矩阵,而所有满足这个方程组的 X=(x1,,xn) X = ( x 1 , … , x n ) 的集合称为它的解集合。

    定义2 增广矩阵:上面线性方程组的系数矩阵如果加上右侧的 (b1,b2,,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n ) 就构成了该方程组的增广矩阵,记为 A¯ A ¯

    A=a11am1a1namnb1bn(11) (11) A = ( a 11 … a 1 n b 1 ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n b n )

    消元法解线性方程组

    消元法是最常用的解线性方程组的方法,他的核心在于对增广矩阵进行初等变换(即数乘,倍加和对调),使得增广矩阵变为阶梯型。具体做法大家应该都知道,我略了。

    线性方程组有解无解的判定

    将增广矩阵变为阶梯型后,我们就可以通过观察这个阶梯型矩阵判断方程组有无解。具体的做法是看增广矩阵左侧的系数矩阵,如果他的秩和增广矩阵的秩是相等的,则该方程组有解,否则无解。

    定理1 方程组有无解的判定:线性方程组有解的充要条件是 r(A)=r(A¯) r ( A ) = r ( A ¯ ) .

    线性方程组解的结构

    上面是判断有无解的方法,下面更进一步,在有解的情况下,又要分两种情况讨论了:即有唯一解和有无穷解。所以有必要了解线性方程组解的结构。简单起见,我们先研究齐次线性方程组。

    1. 齐次线性方程组解的结构

    齐次线性方程组说的是方程组右侧的向量 (b1,b2,,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n ) 都是0时的方程组。那么显然,齐次线性方程组的秩与其系数矩阵的秩肯定是相等的,也就是说它肯定有解。这个也好理解,零向量肯定是他的解嘛。关键问题在于,它什么时候会有非零解。

    定理2 齐次线性方程组有非零解的条件:齐次线性方程组有非零解的充要条件: r(A)<n r ( A ) < n .

    齐次线性方程组还有两个非常重要的性质(证明很容易,自己想想就能知道):

    • 两个解的和还是方程组的解
    • 一个解的倍数还是方程组的解

    上面两个性质综合起来,就是说,对于齐次线性方程组,任意解的线性组合还是解。既然如此,我们研究这么多解那就是毫无意义的,只需要关注那些线性无关的解即可。我们把一个齐次线性方程组的所有线性无关的解称为这个方程组的基础解系。

    定义3 基础解系:齐次线性方程组的一组解 η1,η2,,ηt η 1 , η 2 , … , η t 是它的基础解系,如果满足下列两个条件:

    • 该齐次线性方程组的任何一个解都能表示成 η1,η2,,ηt η 1 , η 2 , … , η t 的线性组合;
    • η1,η2,,ηt η 1 , η 2 , … , η t 线性无关;

    值得一提的是齐次线性方程组的基础解系的个数是 nr(A) n − r ( A ) . 这样,就了解了齐次线性方程组的结构:任意解都是它的基础解系的线性组合。

    2. 非齐次线性方程组解的结构

    现在升级一下,看非齐次方程组的解的结构。对于非齐次的方程组,我们把它右侧的 (b1,b2,,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n ) 改成0,就变成齐次了,那么这个齐次方程组也被称为这个非齐次线性方程组的导出组。而非齐次方程组和它的导出组之间是有密切联系的。具体地说,有以下两点:

    • 非齐次线性方程组任意两个解的差是它的导出组的解;
    • 非齐次线性方程组的任意解与它的导出组的和还是该非齐次线性方程组的解;

    既然有这两条性质,我们就不难推出非齐次线性方程组解的结构了。

    定理3 非齐次线性方程组的解:假设 γ0 γ 0 是非齐次线性方程组的一个特解(你就理解成一个解就行),那么该非齐次线性方程组的任意一个解都可以表示成:

    γ=γ0+k1η1+k2η2++knηn(12) (12) γ = γ 0 + k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n η n

    后面的 k1η1+k2η2++knηn k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n η n 是导出组基础解系的线性组合。

    根据定理3,我们也就不难推出非齐次线性方程组有唯一解的条件:即它的导出组只有零解。

    结论

    好了,最后总结一下线性方程组的解的各种情况:

    • 任何线性方程组,只要满足 r(A)=r(A¯) r ( A ) = r ( A ¯ ) ,则一定有解;否则一定无解(这是判断有无解的唯一标准)。
    • 对于齐次线性方程组,如果 r(A)<n r ( A ) < n ,则它有非零解,且线性无关的非零解的个数为 nr(A) n − r ( A ) ;否则只有零解。
    • 对于非齐次线性方程组,如果它的导出组有非零解( r(A)<n r ( A ) < n ),则它有无穷多解,每个解都是特解和导出组基础解系的线性组合;如果它的导出组只有零解,则它有唯一解。

    这块内容比较简单,简单介绍一下,备忘。如果恰能帮到谁,算是我的荣幸了~

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  • 线性方程组什么时候无解?多个解?唯一解?

    万次阅读 多人点赞 2018-02-26 16:50:18
    非齐次线性方程组,无解,多解,唯一解 非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵 【例1】求解下列线性方程组 化简后的有效方程组个数小于未知数个数,有...

    线性方程组什么时候无解?多个解?有唯一解?

    一。非齐次线性方程组,无解,多解,唯一解

    非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵

    【例1】求解下列线性方程组

    化 简 后 的 有 效 方 程 组 个 数 小 于 未 知 数 个 数 , 有 多 个 解

     2x1+3x2+x3=2 x12x2+2x3=4 3x1+x2+3x3=6  {   2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2   x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 4   3 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6  

    第一步,先列出增广矩阵,

    213321123|2|4|6 ( 2 3 1 | 2 1 − 2 2 | 4 3 1 3 | 6 )

    第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
    先把第2行换到第1行

    123231213|4|2|6 ( 1 − 2 2 | 4 2 3 1 | 2 3 1 3 | 6 )

    ,第2行减第1行的2倍,第3行减第1行的3倍,得到

    100277233|4|6|6 ( 1 − 2 2 | 4 0 7 − 3 | − 6 0 7 − 3 | − 6 )

    ,第3行减第2行,得到
    100270230|4|6|0 ( 1 − 2 2 | 4 0 7 − 3 | − 6 0 0 0 | 0 )

    ,化简后的方程组,等于

     2x1+3x2+x3=2 7x23x3=6 0x1+0x2+0x3=0  {   2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2   7 x 2 − 3 x 3 = 6   0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 0  

    这样, x2 x 2 可以通过 x3 x 3 来表示, x1 x 1 也可以通过 x3 x 3 来表示,这样 x3 x 3 就叫做自由变量, x3 x 3 可以取任意值。所以 x1,x2,x3 x 1 , x 2 , x 3 就有无穷多个解。

    可见,化简后的有效方程组个数,小于未知数个数。
    有效方程组个数=2,未知数个数=3

    化 简 后 的 有 效 方 程 组 个 数 , 小 于 未 知 数 个 数 。 这 样 的 方 程 组 有 无 穷 多 个 解

    【例2】求解下列线性方程组

    (0=d) 化 简 后 的 有 效 方 程 组 出 现 ( 0 = d ) 型 式 不 兼 容 方 程 , 则 无 解

     x17x2+6x3=2 2x1+3x28x3=3 x1+10x214x3=6  {   x 1 − 7 x 2 + 6 x 3 = 2   2 x 1 + 3 x 2 − 8 x 3 = 3   x 1 + 10 x 2 − 14 x 3 = 6  

    第一步,先列出增广矩阵,

    12173106814|2|3|6 ( 1 − 7 6 | 2 2 3 − 8 | 3 1 10 − 14 | 6 )

    第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
    第2行减去第1行*2,第3行减去第2行

    10071706200|2|1|5 ( 1 − 7 6 | 2 0 17 − 20 | − 1 0 0 0 | 5 )

    导出最后一个方程:
    0x1+0x2+0x3=5 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 5
    这个方程是不可能成立的,所以原线性方程组无解。
    这种形式的方程叫做 {0=d} 方程,其中d是非零数,这种叫做不相容方程,也是自相矛盾的方程。
    {0=d} 方程是一种自相矛盾的方程,左边全是0,右边是一个非零,这是自相矛盾的,是不相容的,所以无解。
    (0=d) 化 简 后 导 出 ( 0 = d ) 形 式 的 方 程 , 方 程 组 无 解

    判断有解无解总结:
    对于 Ax=b方程组
    通过高斯消元法,化简,化成阶梯行方程组
    1)先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程,如果出现,无解
    2)有解的情况下,再看看有效方程个数是否小于未知数个数,如果是,则有无穷多个解。如果正好相等,则有唯一解。

    二。齐次线性方程组,非零解,零解

    齐次线性方程组,就是方程组的等式右边全部是0的方程组,只有系数矩阵,不需要增广矩阵,所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况,只需要考虑是多个解,还是唯一解。

    对于齐次线性方程组,有 多 个 解 叫 做 有 非 零 解 。 唯 一 解 叫 做 零 解 。

    对于Ax=0的齐次线性方程组,列出其系数矩阵(不需要增广矩阵),使用高斯消元法化简,化为阶梯形矩阵,化简后,判断有效方程组个数是否小于未知数个数,
    如 果 有 效 方 程 组 个 数 小 于 未 知 数 个 数 , 叫 做 有 非 零 解 ( 多 个 解 )
    如 果 等 于 , 叫 做 只 有 零 解 ( 唯 一 解 )

    三。什么是矩阵的秩( zhi` z h i ` ),什么是detA?

    detAA ∗ ∗ d e t A ∗ ∗ 就 是 矩 阵 A 的 行 列 式 的 值
    什么叫做矩阵的秩?
    将矩阵用高斯消元法化简后,非零行的行数叫做行秩,非零列的列数叫做列秩。
    矩 阵 的 秩 是 方 阵 经 过 初 等 变 换 后 的 非 零 行 行 数 或 非 零 列 列 数
    可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是极大无关组中所含向量的个数。

    定义: A={aij}m×nA A = { a i j } m × n 的 不 为 零 的 子 式 得 最 大 阶 数 称 为 矩 阵 A 的 秩
    记做 rA r A ,或者 rankA r a n k A
    特别规定零矩阵的秩就是零。
    若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r< min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。
    由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,
    通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,满秩矩阵 detA0 d e t A ≠ 0
    不满秩矩阵就是奇异矩阵,奇异矩阵 detA=0 d e t A = 0
    由行列式性质知道,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

    四。通过矩阵的秩( zhi` z h i ` )来判断线性方程组无解,有多个解,唯一解的问题

    线性方程组什么时候无解,有多个解,唯一解?

    1.对于非齐次线性方程组,用矩阵的秩r(A)来判断

    对线性方程组进行初等变换(高斯消元法),化为最简型(阶梯形)矩阵,

    考查系数矩阵r(A),增广矩阵r(A,b),以及方程组未知数个数n
    如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b), r(A)<r(A,b) r ( A ) < r ( A , b ) , 那 么 方 程 组 无 解
    如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数, r(A)=r(A,b)<n r ( A ) = r ( A , b ) < n , 那 么 方 程 组 有 多 个 解
    如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数, r(A)=r(A,b)=n r ( A ) = r ( A , b ) = n , 那 么 方 程 组 有 唯 一 解

    2.对于齐次线性方程组,用行列式的值 detA来判断。

    不存在无解的情况
    判断detA, detA==0 如 果 d e t A == 0 , 则 有 非 零 解 ( 无 穷 多 个 解 )
    判断detA, detA0 如 果 d e t A ≠ 0 , 则 只 有 零 解 ( 只 有 唯 一 解 )

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  • 通过讨论非齐次线性差分方程周期解的唯一表示式,在环域BR2R1上研究算子T的不动点,根据压缩映象原理得到了高维拟线性离散系统存在唯一周期解的一组充分条件.
  • 应用有界线性算子的性质,讨论了一类广义线性微分方程边值问题解的存在唯一性。在假设条件下,将这类边值问题的解用格林矩阵的形式表示出来。
  • 线性回归问题解的唯一

    千次阅读 2012-08-03 16:57:53
    这也就意味着线性回归问题的解是唯一的。 我们现在要证明这个解的唯一性。在证明唯一性之前,先求解线性回归问题。 定义1:观察数据X。 样本数据由一个m×(n+1)的矩阵X表达,其中m是样本数,n是样

    线性回归问题在Andrew Ng的视频教学《机器学习》的第二章中有提到,可以用梯度下降的方法来解决其中的参数估计问题。Ng指出梯度下降法在线性回归问题中必然全局收敛,因为这个问题只有一个极值点。这也就意味着线性回归问题的解是唯一的。
    我们现在要证明这个解的唯一性。在证明唯一性之前,先求解线性回归问题。

    定义1:观察数据 X
    样本数据由一个 m×(n+1) 的矩阵 X 表达,其中 m 是样本数, n 是样本的特征的数量。

    X=x10xm0x1nxmn(1)

    为了表示每一个样本,我们引入每个样本的列向量标记 x(1),,x(m) ,其中 x(i)=(xi0,xi1,,xin)T 。需要说明的是:第0维为 xi0=1 ,其余都是观察数据。
    定义2:目标值 y
    m 个样本的目标值分别为 y(1),,y(m) ,用列向量表示:
    y=y(1)y(m)(2)

    定义3:线性回归模型 hθ(x) ,用于预测给定输入后得到的输出。
    我们定义线性回归模型如下:
    hθ(x)=θ0+θ1x1++θnxn=j=0nθjxj=θTx(3)

    ( 3 )中为了连加符号的连贯性,定义 x0=1 θ 是线性回归模型中的参数,是一个 n+1 维的列向量。
    定义4,总误差函数 J(θ) ,用于衡量线性回归模型 hθ(x) 在给定观察数据 X 的情况下的误差。
    J(θ)=12i=1m[hθ(x(i))y(i)]2(4)

    问题的求解目标:我们要计算出线性回归模型中的参数 θ ,这个 θ 能够使总误差函数 J(θ) 在给定观察数据 X 的情况下达到最小。
    求解路线:将( 4 )表达成矩阵的形式,然后用求导的方法求出解的必要性条件,最后证明解的存在性和唯一性。

    解答:
    将( 1 )写成行分块的形式:

    X=(x(1))T(x(2))T(x(m))T(5)

    误差向量 error(θ) 可以写成如下形式:
    error(θ)=(x(1))Tθy(1)(x(2))Tθy(2)(x(m))Tθy(m)=Xθy(6)

    易知( 6 )和自身的内积可以和( 4 )产生关联:
    J(θ)=12errorT(θ)error(θ)=12(Xθy)T(Xθy)=12(θTXTXθ2yTXθ+yTy)(7)

    极值点的必要性条件:
    J(θ)θ=XTXθXTy=0(8)

    现在探讨 XTX 的性质,首先,它是一个半正定矩阵。用任意的 n+1 维非零向量 d 考察 XTX
    dTXTXd=(Xd)T(Xd)=||Xd||20(9)

    当且仅当 d
    Xd=0(10)

    的非零解的时候, 9 才会取到等号。也就是说只有当 m×(n+1) 维的矩阵 X 不满秩的时候,才会使 d 有非零解:
    rank(X)<min(m,n+1)(11)

    这需要区分两种情况,观察数据组成的矩阵 X 呈现长条状还是扁平状。 待续
    ( 11 )成立的条件是同一个数据点被多次采样,这在数据获取或者数据过滤阶段可以避免。所以我们就可以认为 X 是满秩的,相应的 XTX 也是满秩的( 待续).在这个条件下,我们解出 8
    θ=(XTX)1XTy(12)

    这里我们给出了解,也回答了开头提出的解的唯一性问题。另外,我们回答另一个问题,即如果采用梯度下降算法,是有全局最优解的,这是因为函数 J(θ) 的二阶导数是正定的。
    2(J(θ))θ2=θ(XTXθXTy)=XTX (13) 2(J(θ))θ2=θ(XTXθXTy)=XTX (13)

    2(J(θ))θ2=θ(XTXθXTy)=XTX(13)


    ( 9 )说明了二阶导数 XTX 的正定性,所以可以用梯度下降法来计算参数 θ :

    θk=θk1α(J(θ))θθ0=0⃗ (14)



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  • 对齐次线性方程组同解充要条件的新理解

    千次阅读 多人点赞 2020-08-07 22:17:55
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    线性方程组
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  • 线性模型分析

    千次阅读 2018-01-31 16:07:59
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    千次阅读 2019-04-04 14:03:43
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    千次阅读 2020-03-12 18:11:47
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