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  • 圆锥曲线总结

    千次阅读 2020-03-11 12:07:52
    过定点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​),作圆锥曲线的两条切线,连接切点构成的弦叫切点弦。(也叫(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)的极线) 2.解析式 对于圆(x−a)2+(x−b)2=r2(x-a)^2+(x-b)^2=r^2(x−a)2+(x−b)2=r2,切点...

    background:博主菜到退役,灰溜溜 回去准备高考,于是有了这篇小结。
    update 1:增加了曲线直线联立公式。

    1.切点弦(极线)解析式

    1.定义
    过定点(x0,y0)(x_0,y_0),作圆锥曲线的两条切线,连接切点构成的弦叫切点弦。(也叫(x0,y0)(x_0,y_0)的极线)
    2.解析式
    对于圆(xa)2+(xb)2=r2(x-a)^2+(x-b)^2=r^2,切点弦解析式:
    (xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2
    对于椭圆x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,切点弦解析式:
    xx0a2+yy0b2=1\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1
    对于双曲线x2a2y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,切点弦解析式:
    xx0a2yy0b2=1\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1
    对于抛物线y2=2pxy^2=2px,切点弦解析式:
    yy0=p(x+x0)yy_0=p(x+x_0)
    注意:以上公式不可直接在大题使用。

    2.三角形面积相关

    1.椭圆焦点三角形
    对于椭圆C:x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,P为其上面非长轴端点的一点,那么三角形PF1F2PF_1F_2就叫焦点三角形。设角F1PF2F_1PF_2α\alphaPF1PF_1PF2PF_2分别为r1r2r_1,r_2。那么将会有以下两个结论:
    S=b2tanα2S_{焦点三角形}=b^2\tan \frac{\alpha}{2}
    r1r2=2b21+cosαr_1r_2=\frac{2b^2}{1+\cos \alpha}

    2.双曲线焦点三角形
    对于双曲线C:x2a2y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,P为其上面非实轴端点的一点,那么三角形PF1F2PF_1F_2就叫焦点三角形。设角F1PF2F_1PF_2α\alphaPF1PF_1PF2PF_2分别为r1r2r_1,r_2。那么将会有以下两个结论:
    S=b2cotα2S_{焦点三角形}=b^2\cot \frac{\alpha}{2}
    r1r2=2b21cosαr_1r_2=\frac{2b^2}{1-\cos \alpha}
    3.抛物线焦点三角形
    对于抛物线F:y2=2pxy^2=2px,设A,B为抛物线上相异两点,直线AB过焦点F,O为坐标原点,那么三角形OAB叫焦点三角形。设AB的倾斜角为α\alpha,那么有以下结论:

    S=p22sinαS_{焦点三角形}=\frac{p^2}{2\sin\alpha}

    3.焦点弦

    A(x0,y0)A(x_0,y_0)为圆锥曲线上一点,F为焦点,|AF|为r,O是坐标原点。

    1.角度表示弦长(p为焦准距)
    r=ep1ecosαr=\frac{ep}{1-e\cos\alpha}
    对于椭圆,α\alpha指的是角OFA。
    对于双曲线,α\alpha指的是角OFA的补角。
    对于抛物线,α\alpha指的是角OFA的补角。
    记忆:可以把α\alpha理解为靠近曲线"内侧"的角。

    2.坐标表示弦长
    对于椭圆,r=a±ex0ex_0(左加右减)或a±ey0ey_0(下加上减)。
    对于双曲线,r=|ex0ex_0±a|(左加右减)或|ey0ey_0±a|(下加上减)。
    对于抛物线,r=到准线距离。

    4.椭圆(C:x2a2+y2b2=1(a>b)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b))

    第一定义:平面内与两定点F1,F2F_1,F_2的距离的和等于常数2a2a>F1F22a(2a>|F_1F_2|)的动点P的轨迹叫做椭圆。

    第二定义:平面内到定点c0(c,0)的距离和到定直线l:x=a2cl:x=\frac{a^2}{c}FF不在 ll上)的距离之比为常数 ca\frac{c}{a}(即离心率e ,0<e<1)的点的轨迹是椭圆。

    第三定义:到两定点(±a,0)的斜率之积为定值b2a2-\frac{b^2}{a^2}的动点轨迹是一个椭圆。(注意去掉了长轴端点)

    结论1:过原点的直线与椭圆交于A,B,设P为椭圆上异于A,B的动点。设PA斜率为kPAk_{PA},PB斜率为kPBk_{PB},那么有结论:
    kPAkPB=b2a2k_{PA}k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}
    这条结论很好记忆,可以结合仿射坐标系下椭圆对应的圆的性质记忆:圆直径所对圆周角是直角。

    结论2:(中点弦)设AB为椭圆的一条弦,M为弦的中点,O为坐标原点。设AB的斜率为kABk_{AB},OM的斜率为kOMk_{OM},那么有结论:
    kABkOM=b2a2k_{AB}k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}
    这条结论依然可以结合仿射坐标系下椭圆对应圆的性质记忆:圆心和弦中点的连线垂直于弦(垂径定理)。

    结论3:设P(x0,y0)P(x_0,y_0)为椭圆上异于长轴端点的定点,O为坐标原点。那么过P的两条直线分别与椭圆交于另外两点A,B。设这两条直线斜率分别为k1,k2k_1,k_2,AB斜率为kABk_{AB},OP斜率为kOPk_{OP},那么有结论:
    k1+k2=0kOPkAB=b2a2若k_1+k_2=0,则k_{OP}k_{AB}=\frac{b^2}{a^2}
    k1k2=1AB(a2b2a2+b2x0a2b2a2+b2y0)若k_1k_2=-1,则AB过定点(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_0,-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}y_0)
    对于第一条结论,依然可以结合仿射坐标系下椭圆对应的圆进行几何证明:证明P关于x轴的对称点与O的连线垂直于弦AB,可以用垂径定理和三线合一轻松证明。
    对于第二条结论,我暂时没有找到简单的非爆算证明方法,只能背了。

    结论4:设AB为椭圆的过焦点的弦,C为该焦点对应准线与x轴的焦点,O为坐标原点。那么有结论:
    OCACBOC平分\angle ACB。
    证明显然,利用椭圆第二定义和角平分线定理的逆定理可证明。

    结论5:(蒙日圆)在椭圆(双曲线)中,两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆,它的圆心是椭圆中心,半径等于长半轴短半轴平方和(差)的算术平方根,这个圆叫蒙日圆。解析法可证明。

    结论6:(光学性质)从椭圆的一个焦点出发的光线经过反射会经过另一个焦点。这里入射角和反射角指的是光线与反射点切线形成的角。翻译成数学语言,即若两条直线交于椭圆上一点,与椭圆上该点处切线所成角相等,且其中一条直线过焦点,那么另外一条直线过焦点。

    结论7:设P,Q为椭圆上两个动点,O为坐标原点。若OP垂直OQ,那么有结论:1OP2+1OQ2=1a2+1b2\frac{1}{|OP|^2}+\frac{1}{|OQ|^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}
    这个结论可以利用极坐标系计算证明。结合均值不等式,可以衍生出很多最值问题。

    结论8:以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。

    结论9:设P为椭圆内一点,那么被点P平分的弦的方程为
    xx0a2+yy0b2=x02a2+y02b2\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}
    这个结论是结论2的推论.也可以用仿射坐标系证明:仿射坐标系下需要证明的解析式变为xx0+yy0=x02+y02xx_0+yy_0=x_0^2+y_0^2,可以证明这个直线垂直于O’P’且经过P’,所以命题得证。

    结论10:设P为椭圆内一点,那么过P的弦的中点的轨迹为:
    xx0a2+yy0b2=x2a2+y2b2\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
    可以证明仿射坐标系下的解析式是以O’P’为直径的圆,简单推导即可证明,也可以用点差法或结合结论2证明。

    结论11:(配极原理)准线上的点对应的切点弦过准线对应的焦点。

    5.双曲线(C:x2a2y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)

    定义1:平面内与两个定点F1F_1F2F_2的距离的差的绝对值等于一个常数2a2a2a<F1F22a<|F_1F_2|)的轨迹称为双曲线。

    定义2:在平面直角坐标系中,二元二次方程Fxy=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线。
    Δ=b24ac>0Δ=b^2-4ac>0。

    结论1:已知F1,F2F_1,F_2是双曲线的左右焦点,P为双曲线上面一点,那么三角形PF1F2PF_1F_2的内切圆与x轴切于(±a,0)。

    结论2:双曲线上任意一点的切线与两条渐近线围成的三角形面积为ab。相似的结论也可以推广到对勾函数。

    下面的结论可以结合椭圆对应结论记忆。

    结论3:(中点弦)AB是双曲线的一条弦。设M为AB中点,O为坐标原点。若斜率AB和斜率OM均存在,设AB斜率为kABk_{AB},OM斜率为kOMk_{OM}。那么有结论:
    kABkOM=b2a2k_{AB}k_{OM}=\frac{b^2}{a^2}

    结论4:设P为双曲线内一点,那么被点P平分的弦的方程为
    xx0a2yy0b2=x02a2y02b2\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}

    结论5:设P为双曲线内一点,那么过P的弦的中点的轨迹为:
    xx0a2yy0b2=x2a2y2b2\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}

    区别结论4和结论5可以根据解析式的x,y的次数。

    结论6:(配极原理)准线上的点对应的切点弦过准线对应的焦点。

    结论7:设P,Q为双曲线上两个动点,O为坐标原点。若OP垂直OQ,那么有结论:1OP2+1OQ2=1a21b2\frac{1}{|OP|^2}+\frac{1}{|OQ|^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}
    与椭圆相同的,这个结论可以衍生出许多经典的最值问题。

    结论8:设P(x0,y0)P(x_0,y_0)为双曲线上的定点,O为坐标原点。那么过P的两条直线分别与双曲线交于另外两点A,B。设这两条直线斜率分别为k1,k2k_1,k_2,AB斜率为kABk_{AB},OP斜率为kOPk_{OP},那么有结论:
    k1+k2=0kOPkAB=b2a2若k_1+k_2=0,则k_{OP}k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}
    k1k2=1AB(a2+b2a2b2x0a2+b2a2b2y0)若k_1k_2=-1,则AB过定点(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}x_0,-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}y_0)

    结论9:(光学性质)从焦点出发的光线的反射光线的反向延长线经过另一个焦点。即两条直线交于双曲线上一点,且两条直线与该点切线所成角相同,若一条直线经过焦点,则另一条直线也经过焦点。

    6.抛物线(F:y2=2px(p>0)y^2=2px(p>0))

    定义:抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。

    结论1:已知AB为抛物线的一条弦,过定点(a,0)。设A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),那么有结论:
    x1x2=a2,y1y2=2pax_1x_2=a^2,y_1y_2=-2pa

    结论2:已知AB为抛物线的一条弦,过焦点F。那么有结论:
    1AF+1BF=2p\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}
    这样的结论依然可以衍生出许多焦点弦相关的最值问题。

    结论3:设O为坐标原点,若弦AB满足AOB=π2\angle AOB=\frac \pi 2,那么AB过定点(2p,0)(2p,0)。逆结论也成立。

    结论4:设AB为过焦点F的弦,则以AB为直径的圆与准线相切。以AF或BF为直径的圆与y轴相切。

    结论5:设PQ为一条弦,M(x0,y0)(x_0,y_0)为PQ中点。设PQ斜率为kPQk_{PQ},那么有结论:kPQ=py0k_{PQ}=\frac{p}{y_0}

    结论6:设AB为过焦点的一条弦,α\alpha是弦的倾斜角。那么有结论:AB=2psin2α|AB|=\frac{2p}{\sin^2\alpha}

    结论7:设AB为过焦点的一条弦,A‘和B’是A和B在准线上的垂线垂足。那么AOB‘三点共线,A’OB三点共线。

    结论7:设AB为过焦点F的一条弦,C’是AB中点C在准线上的垂线垂足,A‘和B’是A和B在准线上的垂线垂足。那么有结论C’F垂直AB,BC‘垂直平分B’F,AC‘垂直平分A’F。

    结论8:(光学性质)从焦点出发的光线经过反射会与抛物线对称轴平行。即两直线交于抛物线上一点,且与该点切线所成角相等,若一条直线过焦点,那么另一条直线将会平行于抛物线对称轴。其实可以类比椭圆,只不过另一个焦点在无穷远的地方,所以直线平行对称轴。

    结论9:(配极原理)准线上的点对应的切点弦过焦点。

    结论10:设P为抛物线准线上一点,那么作过P的抛物线的两条切线分别切于A,B。A‘,B’为A和B在准线上的垂线的垂足。由结论9可知AB过焦点F,有结论:

    • PF垂直AB
    • PA垂直PB
    • (射影定理)FAFB=PF2|FA||FB|=|PF|^2
    • PA平分BAA\angle BAA'
    • PB平分ABB\angle ABB'

    7.曲线直线联立公式

    椭圆:
    对于椭圆x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1和直线y=kx+my=kx+m联立消元可得:
    (b2+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2b2)=0(b^2+a^2k^2)x^2+2kma^2x+a^2(m^2-b^2)=0
    Δ=4a2b2(b2+a2k2m2)\Delta=4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2)
    双曲线
    对于双曲线x2a2y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1和直线y=kx+my=kx+m联立消元可得:
    (b2a2k2)x22kma2xa2(m2+b2)=0(b^2-a^2k^2)x^2-2kma^2x-a^2(m^2+b^2)=0
    Δ=4a2b2(b2a2k2+m2)\Delta=4a^2b^2(b^2-a^2k^2+m^2)
    如果只是用于判断Δ\Delta的正负,就无需计算4a2b24a^2b^2

    PS:由于博主菜到不会latex大括号,所以参数方程暂时咕咕咕。简单说一下,一般椭圆的参数方程可以大幅简化运算,结合辅助角公式可以解决很多最值问题。

    结束语:由于没有太多时间,所以粗略总结如上。如果有一些遗漏的常用性质,欢迎补充。如果发现哪里存在笔误,或者对哪条性质有所质疑,欢迎讨论指正。

    展开全文
  • 圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线;但由于圆和椭圆有近亲关系,都是封闭曲线,且椭圆的两个焦点合二为一时,椭圆就变成了圆;双曲线和抛物线都是非封闭曲线,这两个和前两个的区别就挺大了。 基础知识 直线\(l...

    前言

    圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线;但由于圆和椭圆有近亲关系,都是封闭曲线,且椭圆的两个焦点合二为一时,椭圆就变成了圆;双曲线和抛物线都是非封闭曲线,这两个和前两个的区别就挺大了。

    基础知识

    • 直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系

    1、从几何角度看,直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系可以分为三类:①无公共点;②仅有一个公共点;③有两个相异的公共点;

    2、从数的角度看,可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线\(l\)的方程\(Ax+By+C=0(A^2+B^2\neq 0\),或者说\(A\)\(B\)不同时为\(0\)),代入圆锥曲线\(C\)的方程\(F(x,y)=0\)中,消去\(y\)(或者\(x\))得到一个关于变量\(x\)(或者变量\(y\))的一元方程(仿二次方程),即由\(\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{F(x,y)=0}\end{array}\right.\),消去\(y\)得到\(ax^2+bx+c=0\)

    (1)当\(a\neq 0\)时,设一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式为\(\Delta\),则有

    \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相交于不同的两点;

    \(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相切;

    \(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相离,无公共点;

    (2)当\(a=0\)\(b\neq 0\)时,即得到一个一次方程,则直线\(l\)与圆锥曲线相交,且只有一个交点;此时

    \(C\)为双曲线,则直线\(l\)与双曲线\(C\)的渐近线的位置关系是平行;

    \(C\)为抛物线,则直线\(l\)与抛物线\(C\)的对称轴的位置关系是平行或者重合;

    典例剖析

    例1【教材改编】曲线\(x^2+\lambda y^2=1(\lambda\neq 0)\)恒过定点_________。\((\pm 1,0)\)

    法1:从数的角度思考分析,类比\(y=kx+1\)恒过定点\((0,1)\)的方法思路,令\(y=0\),得到\(x^2=1\),故上述曲线恒过定点\((\pm 1,0)\);

    法2:从形的角度思考分析,变形得到\(\cfrac{x^2}{1}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{\lambda}}=1\),用动态的观点思考,当\(\lambda\)变化时,椭圆或者双曲线与\(x\)轴的交点坐标\((-1,0)\)\((1,0)\)始终不变,故曲线恒过定点\((\pm 1,0)\);

    例2【教材改编】过点\((4,0)\)的直线交抛物线\(y^2=4x\)\(A\)\(B\)两点,\(O\)为坐标原点,则\(\angle AOB\)的值等于___________。\(\cfrac{\pi}{2}\)

    法1:常规方法求解,\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    法2:特殊化策略思考,当我们将直线由一般的有斜率的情形特殊化为无斜率的情形时,应该没有改变题目中的已知条件,故可以思考用特殊化策略,此时能轻松得到\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    例3【教材改编】点\(M(x,y)\)在椭圆\(\cfrac{x^2}{5}+y^2=1\)上,则\(x+y\)的取值范围为___________。\([-\sqrt{6},\sqrt{6}]\);

    分析:椭圆上任意一点的坐标的参数方程为\((\sqrt{5}cos\theta,sin\theta)\)\(\theta\in [0,2\pi)\)

    \(x+y=\sqrt{5}cos\theta+sin\theta=\sqrt{6}sin(\theta+\phi)\),故\(x+y\in [-\sqrt{6},\sqrt{6}]\);

    解后反思:椭圆的参数方程的优越性;变量集中;三角函数;求值域中的三角换元;知一求二类[(\(sinx+cosx\)\(sinx-cosx\)\(sinx\cdot cosx\))(奇偶性,周期性,对称性)]

    例4【教材改编】直线\(y=kx-k+1\)与椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)的位置关系为【】

    $A.相交$ $B.相切$ $C.相离$ $D.不确定$

    法一:从数的角度思考,常规方法,将直线\(y=kx-k+1\)代入椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)中,[注意运算技巧]

    化简整理为\((9k^2+4)x^2+18k(1-k)x+9(1-k^2)=0\)\(\Delta =\cdots=1152k^2+288k+4\times 108>0\)

    则直线和椭圆相交,故选\(A\)

    法2:从形的角度思考,将直线变形为\(y-1=k(x-1)\),则可知其恒过定点\((1,1)\)

    \((1,1)\)代入\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}\),得到\(\cfrac{1^2}{9}+\cfrac{1^2}{4}<1\),即点\((1,1)\)在椭圆内,

    则直线和椭圆必然相交,故选\(A\)

    相关阅读: 1、曲线或函数恒过定点

    例5【教材改编】点\(M\)在椭圆\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)\(F_1\)\(F_2\)为其焦点,则\(\angle F_1MF_2\)的最大值为________。

    分析:特殊化策略,当点\(M\)位于椭圆的上下顶点位置时,\(\angle F_1MF_2\)最大,最大值为\(\cfrac{\pi}{3}\)

    • 直线与曲线交于一点的误区:

    例6【教材改编】过点\((0,1)\)作直线,使它与抛物线\(y^2=4x\)仅有一个公共点,这样的直线有_________条。

    分析:如图所示,过点\((0,1)\)做直线,和抛物线仅有一个公共点时,这样的直线有切线和非切线两种情形:

    992978-20190729201239371-412764748.png

    当为切线时,其一为直线\(x=0\),此时直线无斜率;其二为\(y=kx+1\),设切点为\((x_0,y_0)\),则

    \(\left\{\begin{array}{l}{y_0=kx_0+1}\\{y_0^2=4x_0}\\{k=\frac{1}{\sqrt{x_0}}}\end{array}\right.\),解得\(x_0=\cfrac{1}{2}\)\(y_0=\sqrt{2}\)\(k=2(\sqrt{2}-1)\)

    故另一条切线为\(y=(2\sqrt{2}-1)x+1\)

    当为非切线时,直线为\(y=1\),故这样的直线分别为\(x=0\)\(y=1\)\(y=(2\sqrt{2}-1)x+1\)

    例7【教材改编】直线\(y=-\cfrac{3}{2}x+2\)与双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1\)有_______个交点;

    分析:由于直线和渐近线平行,故只能有一个交点。

    例8直线\(y=kx+m\)与椭圆\(\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{y^2}{3}=1\)只有一个公共点,则\(k\)\(m\)的关系式为__________。\(m^2=2k^2+3\)

    法1:判别式法,利用\(\Delta=0\),得到\(m^2=2k^2+3\)

    法2:平行线法。

    例2设抛物线\(C:y^2=3x\)的焦点,过\(F\)且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交\(C\)\(A\)\(B\)两点,则\(|AB|\)等于()

    $A.\cfrac{\sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\sqrt{3}$

    【法1】:常规方法,利用两点间距离公式,由于\(2p=3\),则\(\cfrac{p}{2}=\cfrac{3}{4}\),故焦点\(F(\cfrac{3}{4},0)\),又斜率为\(k=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)

    则直线\(AB\)的方程为\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)

    联立直线\(AB\)和抛物线方程,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y^2=3x}\\{y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})}\end{array}\right.\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    \(y\)得到\(16x^2-24\times7x+9=0\),设点\(A(x_1,y_1)\),点\(B(x_2,y_2)\)

    \(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(x_1x_2=\cfrac{9}{16}\)

    \(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)

    \(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12\)

    【法2】:利用直线\(AB\)的参数方程的参数的几何意义,

    直线\(AB\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{3}{4}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=0+\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\),将其代入\(y^2=3x\)中,

    整理得到\(t^2-6\sqrt{3}t-9=0\),设\(A\)\(B\)对应的参数分别为\(t_1\)\(t_2\)

    \(\Delta>0\),且有\(t_1+t_2=6\sqrt{3}\)\(t_1t_2=-9\)

    \(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{36\times3-4\times(-9)}=12\)

    【法3】:利用抛物线的定义可知,\(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    故由法1中,得到\(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(p=\cfrac{3}{2}\),即\(|AB|=x_1+x_2+p=12\)

    法4:利用抛物线的焦点弦长公式:\(|AB|=\frac{2p}{sin^2\alpha}\),则\(|AB|=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{1}{2})^2}=12\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11265541.html

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  • 圆锥曲线方程,其本质是求解\(a\),\(b\),或\(p\)的值,所以常常直接求解其值,或者利用题目给定的等量关系建立方程组求解,利用等量关系时,务必记住使用圆锥曲线的定义。 圆锥曲线的定义式 椭圆 文字语言:...

    前言

    求圆锥曲线方程,其本质是求解\(a\)\(b\),或\(p\)的值,所以常常直接求解其值,或者利用题目给定的等量关系建立方程组求解,利用等量关系时,务必记住使用圆锥曲线的定义。

    圆锥曲线的定义式

    • 椭圆

    文字语言:平面内到两个定点\(F_1\)\(F_2\)的距离之和等于常数(\(>|F_1F_2|\))的动点\(P\)的集合称为椭圆,即\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)

    数学语言:

    图形语言:

    • 双曲线

    文字语言:

    数学语言:

    图形语言:

    • 抛物线

    文字语言:

    数学语言:

    图形语言:

    典例剖析

    例0【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】以双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{12}=1\)的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为【】

    $A.\cfrac{y^2}{16}+\cfrac{x^2}{12}=1$ $B.\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{12}=1$ $C.\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{4}=1$ $D.\cfrac{y^2}{12}+\cfrac{x^2}{4}=1$

    分析:对双曲线而言,\(a^2=4\)\(b^2=12\),则\(c^2=a^2+b^2=16\),故\(c=4\),其焦点为\((\pm 4,0)\),故椭圆的一组顶点坐标为\((\pm 4,0)\)

    双曲线的顶点坐标为\((\pm 2,0)\),故椭圆的焦点坐标为\((\pm 2,0)\),故椭圆的\(c=2\)\(a=4\),故\(b^2=12\),则椭圆的方程为\(\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{12}=1\),故选\(B\)

    例1设\(F_1\)\(F_2\)是双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(b>0)\)的左右焦点,过\(F_1\)的直线\(l\)交双曲线的左支与\(A\)\(B\)两点,若\(|AF_2|+|BF_2|\)的最小值为13,则双曲线的离心率为【】

    $A.\cfrac{3}{2}$ $B.\cfrac{5}{3}$ $C.\sqrt{3}$ $D.\sqrt{5}$

    分析:如图所示,可知\(a=2\)



    由双曲线的定义可知,\(|AF_2|-|AF_1|=2a=4\)\(|BF_2|-|BF_1|=2a=4\)

    \(|AF_2|=|AF_1|+4\)\(|BF_2|=|BF_1|+4\)

    又由于\(|AF_2|+|BF_2|\ge 13\),即\(|AF_1|+4+|BF_1|+4\ge 13\)

    \(|AF_1|+|BF_1|\ge 5\),即\(|AB|\ge 5\)

    又由于过焦点的弦中,只有通径最小,故\(AB\)为通径,

    则可知\(A(-c,\cfrac{5}{2})\)

    \(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{b^2}=1}\\{x=-c}\end{array}\right.\),以及\(y=\cfrac{5}{2}\)

    代入得到\(\cfrac{c^2}{4}-1=\cfrac{y^2}{b^2}\),即变形得到\(b^2\cdot \cfrac{c^2-4}{4}=y^2=\cfrac{25}{4}\)

    \(b^2(c^2-4)=25\),即\((c^2-4)(c^2-4)=25\),即\(c^2-4=5\)

    \(c=3\),又\(a=2\),则\(e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{3}{2}\),故选\(A\)

    例2设\(O\)为坐标原点,\(A\)\(B\)为抛物线\(C:y^2=mx(m>0)\)上的两点,且\(\triangle OAB\)\(OA=OB=2\sqrt{2}\)\(S_{\triangle OAB}=4\),则焦点\(C\)到准线的距离为【】

    $A.2$ $B.4$ $C.3$ $D.1$

    分析:如图所示,

    由题可知,焦点坐标为\((\cfrac{m}{4},0)\),准线为\(x=-\cfrac{m}{4}\)

    故焦点\(C\)到准线的距离为\(\cfrac{m}{2}\)

    又由于\(OA=OB=2\sqrt{2}\)\(S_{\triangle OAB}=4\)

    \(S_{\triangle OAB}=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\times sin\angle AOB=4\)

    \(sin\angle AOB=1\),即\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    \(\triangle OAB\)为等腰直角三角形,则\(A(2,2)\)

    代入\(y^2=mx\)求得,\(m=2\)

    故焦点\(C\)到准线的距离为\(\cfrac{m}{2}=1\);故选\(D\)

    例3【定义法】已知圆\(M:(x+1)^2+y^2=1\),圆\(N:(x-1)^2+y^2=9\),动圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切,圆心\(P\)的轨迹方程为曲线\(C\),求\(C\)的方程;

    分析:由已知得,圆\(M\)的圆心为\(M(-1,0)\),半径\(r_1=1\);圆\(N\)的圆心为\(N(1,0)\),半径\(r_2=3\)

    设圆\(P\)的圆心为\(P(x,y)\),半径为\(R\);由于圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切,

    所以\(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4\),由[椭圆的定义]可知,曲线\(C\)是以\(M\)\(N\)为左右焦点,长半轴长为2,短半轴长为\(\sqrt{3}\)的椭圆(左顶点除外),

    其轨迹方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1(x\neq -2)\)

    例4【2017凤翔中学高三理科第三次月考第14题】【利用椭圆的定义求解】

    已知直线\(l\)交椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{5}=1\)\(A、B\)两点,\(F_1\)是椭圆的左焦点,当直线\(l\)经过椭圆的右焦点时,求\(\Delta ABF_1\)的周长。

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    分析:由题可知,\(a=3\),如图所示,由椭圆的定义可知\(|AF_1|+|AF_2|=2a\)\(|BF_1|+|BF_2|=2a\)

    \(\Delta ABF_1\)的周长为\(|AF_1|+|BF_1|+|AB|=|AF_1|+|BF_1|+|AF_2|+|BF_2|=4a=12\)

    例5已知\(F_1,F_2\)是椭圆\(C\)的两个焦点,\(P\)\(C\)上一点,若\(PF_1\perp PF_2\),且\(\angle PF_2F_1=60^{\circ}\),则\(C\)的离心率是【】

    $A.1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $B.2-\sqrt{3}$ $C.\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ $D.\sqrt{3}-1$

    分析:自行做出示意图,由图可知,在\(Rt\Delta PF_1F_2\)中,\(\angle F_1PF_2=90^{\circ}\)\(\angle PF_2F_1=60^{\circ}\)\(F_1F_2=2c\),故\(PF_2=c\)\(PF_1=\sqrt{3}c\)

    由椭圆的定义可知,\(|PF_1|+|PF_2|=2a\),即\(c+\sqrt{3}c=2a\),解得\(e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\),故选D。

    【建议】用圆锥曲线的定义解题,是高考中的一个高频考查方式。

    例6【2017高考理科数学Ⅲ卷第5题】【2019高三理科二轮限时训练3】已知双曲线\(C:\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\) \((a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y=\cfrac{\sqrt{5}}{2}x\),且与椭圆\(\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{3}=1\)有公共焦点,则\(C\)的方程为【】

    $A.\cfrac{x^2}{8}-\cfrac{y^2}{10}=1$ $B.\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{5}=1$ $C.\cfrac{x^2}{5}-\cfrac{y^2}{4}=1$ $D.\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{3}=1$

    分析:由双曲线\(C:\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)可知其渐进线为\(y=\cfrac{b}{a}x\),由已知渐近线方程为\(y=\cfrac{\sqrt{5}}{2}x\)

    则可设\(a=2k\)\(b=\sqrt{5}k(k>0)\),则\(c=3k\),又由椭圆的\(c=3\),可可知\(3k=3\),即\(k=1\),故双曲线的\(a=2\)\(b=\sqrt{5}\),则其方程为\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{5}=1\),故选\(B\)

    例7【2018高考新课标Ⅲ卷第16题】已知点\(M(-1,1)\)和抛物线\(C:y^2=4x\),过\(C\)的焦点且斜率为\(k\)的直线与\(C\)交于\(A\)\(B\)两点,若\(\angle AMB=90^{\circ}\),则\(k\)=_________。

    法1:点差法,做出如下示意图,连结\(MH\)\(H\)为焦点弦\(AB\)的中点,

    由于\(\triangle AMB\)为直角三角形,\(H\)\(AB\)的中点,则\(MH=\cfrac{1}{2}AB\)

    又由于\(AB=AF+BF=AP+BQ\),则\(MH=\cfrac{1}{2}AB=\cfrac{1}{2}(AP+BQ)\)

    \(MH\)为直角梯形的中位线,则\(MH//x\)轴,

    \(A(x_1,y_1)\)\(B(x_2,y_2)\),则有\(y_1^2=4x_1\) ①,\(y_2^2=4x_2\) ②,

    ①-②得到,\(y_1^2-y_2^2=4(x_1-x_2)\),即\((y_1+y_2)(y_1-y_2)=4(x_1-x_2)\)

    则有\(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{4}{y_1+y_2}\),即\(k=\cfrac{4}{y_1+y_2}\)

    又由于\(MH//x\)轴,\(M(-1,1)\),则\(H\)点的纵坐标为1,即\(\cfrac{y_1+y_2}{2}=1\),则\(y_1+y_2=2\),代入上式,

    得到\(k=\cfrac{4}{y_1+y_2}=2\).

    法2:向量法,设直线\(AB:y=k(x-1)\),由于点\(A,B\)都在抛物线上,故设\(A(4t_1^2,4t_1)\)\(B(4t_2^2,4t_2)\)

    联立直线和抛物线,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{y^2=4x}\end{array}\right.\),消\(x\)得到,

    \(y^2-\cfrac{4}{k}y-4=0\),则由韦达定理可知,\(4t_1+4t_2=\cfrac{4}{k}\)\(4t_1\cdot 4t_2=-4\)

    \(t_1+t_2=\cfrac{1}{k}\)\(t_1\cdot t_2=-\cfrac{1}{4}\)

    \(\overrightarrow{MA}=(4t_1^2+1,4t_1-1)\)\(\overrightarrow{MB}=(4t_2^2+1,4t_2-1)\)\(\angle AMB=90^{\circ}\)

    \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\),即\((4t_1^2+1)(4t_2^2+1)+(4t_1-1)(4t_2-1)=0\)

    打开整理得到,\(16(t_1t_2)^2+4(t_1^2+t_2^2)+1+16t_1t_2-4(t_1+t_2)+1=0\)

    代入整理得到,\(\cfrac{4}{k^2}-\cfrac{4}{k}+1=0\),即\((\cfrac{2}{k}-1)^2=0\),解得\(k=2\)

    例8【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第8题】平面直角坐标系\(xoy\)中,动点\(P\)与圆\((x-2)^2+y^2=1\)上的点的最短距离与其到直线\(x=-1\)的距离相等,则点\(P\)的轨迹方程为【】

    $A.y^2=8x$ $B.x^2=8y$ $C.y^2=4x$ $D.x^2=4y$

    分析:由题意可知,\(|PQ|=|PD|\),但是用这个不好建立轨迹方程,或者不能有效的和抛物线的定义建立联系,

    故等价转化为\(|PA|=|PB|\),且其模型为\(y^2=2px\)

    这样就可以理解为平面内一个动点\(P\)到一个定点\(A\)的距离等于其到定直线\(x=-2\)的距离。

    由抛物线的定义可知,\(-\cfrac{p}{2}=-2\),即\(p=4\),故\(y^2=2\times 4x=8x\),故选\(A\)

    • 注意:抛物线的定义是高考考查时的高频考点。

    例9设抛物线\(C:y^2=3x\)的焦点,过F且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交C于A,B两点,则\(|AB|\)等于()

    $A.\cfrac{\sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\sqrt{3}$

    【法1】:常规方法,利用两点间距离公式,由于\(2p=3\),则\(\cfrac{p}{2}=\cfrac{3}{4}\),故焦点\(F(\cfrac{3}{4},0)\),又斜率为\(k=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)

    则直线\(AB\)的方程为\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)

    联立直线\(AB\)和抛物线方程,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y^2=3x}\\{y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})}\end{array}\right.\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    \(y\)得到\(16x^2-24\times7x+9=0\),设点\(A(x_1,y_1)\),点\(B(x_2,y_2)\)

    \(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(x_1x_2=\cfrac{9}{16}\)

    \(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)

    \(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12\)

    【法2】:利用直线\(AB\)的参数方程的参数的几何意义,

    直线\(AB\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{3}{4}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=0+\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\),将其代入\(y^2=3x\)中,

    整理得到\(t^2-6\sqrt{3}t-9=0\),设\(A\)\(B\)对应的参数分别为\(t_1\)\(t_2\)

    \(\Delta>0\),且有\(t_1+t_2=6\sqrt{3}\)\(t_1t_2=-9\)

    \(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{36\times3-4\times(-9)}=12\)

    【法3】:利用抛物线的定义可知,\(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    故由法1中,得到\(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(p=\cfrac{3}{2}\),即\(|AB|=x_1+x_2+p=12\)

    法4:利用抛物线的焦点弦长公式:\(|AB|=\cfrac{2p}{sin^2\alpha}\)

    \(|AB|=\cfrac{2\times \cfrac{3}{2}}{(\cfrac{1}{2})^2}=12\)

    例10【2019届高三理科数学三轮用题】已知顶点在原点,焦点在\(x\)轴正半轴上的抛物线\(C\),若其焦点到准线的距离为4,准线交\(x\)轴于点\(K\),点\(A\)在抛物线\(C\)上,\(|AK|=\sqrt{2}|AF|\),则\(\triangle AFK\)的面积为【】

    $A.4$ $B.6$ $C.8$ $D.12$

    分析:如图所示,由题可知,\(|OF|=|OK|=2\)\(|KF|=4\),由抛物线定义可知,\(|AF|=|AB|\),则\(|AK|=\sqrt{2}|AB|\)

    992978-20190507181649734-1175420003.jpg

    故可知\(\angle AKF=45^{\circ}\),在\(\triangle AKF\)中,\(|KF|=4\),设\(|AF|=x\),则\(|AK|=\sqrt{2}x\)

    由余弦定理可知,\(|AF|=4\),其高为\(|KB|=4\),故\(S_{\triangle AFK}=\cfrac{1}{2}\times 4\times 4=8\),故选\(C\)

    例11【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知点\(A\)在离心率为\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)的椭圆\(C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上,左、右焦点分别为\(F_1\)\(F_2\)\(\triangle AF_1F_2\)的内切圆的半径\(r=\sqrt{2}-1\),且\(S_{\triangle AF_1F_2}=1\),求椭圆\(C\)的方程;

    分析:由三角形面积公式可知,\(S_{\triangle AF_1F_2}=\cfrac{1}{2}(|AF_1|+|AF_2|+|F_1F_2|)\cdot r=1\)

    \(\cfrac{1}{2}(2a+2c)(\sqrt{2}-1)=1\),化简得到\(a+c=\sqrt{2}+1\)①;

    \(\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)②,两式联立,解得\(c=1\)\(a=\sqrt{2}\),则\(b^2=a^2-c^2=1\)

    故椭圆\(C\)的方程为\(\cfrac{x^2}{2}+y^2=1\)

    例12【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知曲线\(C\)上的点到两定点\(F_1(-\sqrt{5},0)\)\(F_2(\sqrt{5},0)\)的距离之和为定值,且该定值是原点\(O\)到直线\(x-y+\sqrt{3}=0\)的距离的\(4\)倍,求曲线\(C\)的方程。

    分析:原点\(O\)到直线\(x-y+\sqrt{3}=0\)的距离为\(d=\cfrac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{6}}{2}\),故\(4d=2\sqrt{6}\)

    由椭圆的定义可知,曲线\(C\)为一椭圆,其长轴长为\(2\sqrt{6}\),焦点\(F_1(-\sqrt{5},0)\)\(F_2(\sqrt{5},0)\)

    则短轴长为\(2\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=2\),所以曲线\(C\)的方程为\(\cfrac{x^2}{6}+y^2=1\).

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  • 前言读本文前,你应该有基本的圆锥曲线知识,能够应对中等难度的题目;能够熟练运用韦达定理等传统方法解题;且有一定的数学功底。阅读本文后,你可以尝试自己推导所有结论,并形成较为系统的笔记,方便以后复习。...
  • 圆锥曲线常用结论

    2020-01-03 21:53:17
    弦长公式 切线与弦直线公式 其他结论 双曲线 焦点三角形面积 焦半径公式 切线直线方程 其他结论 写在前面 退役OIer只能学习文化课了qwq 文化课依然那么菜 只能一些自己不是很会的东西了 (图就自己画吧qwq) ...
  • 焦点参数:p(过焦点且垂直于轴的弦长之半,即图中CD之长的一半) 焦点半径: r(抛物线上一点到焦点的距离,如图中MF之长) 直径:直线EMH(平行于抛物线的直线) 准线:直线L(与轴垂直,到顶点A的距离为p/2,到...
  • 通常涉及直线与圆锥曲线的位置关系、最值及范围、定点、定值等一系列的问题。 解析几何型解答题,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解时除了运用设而不求,整体思维外,还要用到平面几何的基本知识和向量的基本...
  • 注:上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上),用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边为(x+1)/(x-1),其他不变。 ✔2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+...
  • 注:上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上),用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边为(x+1)/(x-1),其他不变。2 . 函数的周期性问题(记忆三个)(1)若f(x)=-f(x+k),则T=2k;(2)...
  • 另外,尽管上述各种方法尤其是 B 样条方法较成功地解决了自由型曲线/曲面的数学描述问题,但将它应用于圆锥截线及初等解析曲面却不成功,都只能给出近似表示(通常,这类初等解析曲面主要由代数几何里的隐方程形式...
  • haha

    2009-05-14 13:59:54
    高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系, .2.德摩根公式 .3.包含关系 4.容斥原理. 5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有 –2个...
  • 有价值的题目:4,8,9,10,11,12,13,14,15,16 例7【2019届高三理科数学二轮用题】若二项式\((x-\cfrac{1}{\sqrt{x}})^n\)的展开式中第\(m\)项为常数项,则\(m...分析:由于\((a+b)^n\)的二项展开式的通项公式...
  • 在工作学习中,我们经常会遇到高中数学教案这样的问题。歌德说过:经验丰富的人读书用两只眼睛,一只眼睛看到那纸面上的话,则另一眼睛看到纸的背面。...S=b²tan(A/2)在双曲线中:S=b²/tan(A/2)说明:适用于.
  • 曲线 \(C:f(x,y)=0\) 按向量 \(\vec{a}=(h,k)\) 平移后得到图像 \(C'\) ,则 \(C'\) 的方程为 \(f(x-h,y-k)=0\) ; 向量 \(\vec{m}=(x,y)\) 按向量 \(\vec{a}=(h,k)\) 平移后得到的向量仍然为向量 \(\vec{m}...
  • 题型141、直线与圆锥曲线的位置关系 题型142、中点弦问题 题型143、弦长与面积问题 题型144、平面向量在解析几何中的应用 题型145、定点问题 题型146、定值问题 题型147、最值问题 题型148、已知流程框图,求...
  • ④当涉及等比数列的$S_n$时,若下标$n$比较小的时候,我们常常使用定义式求解而不是用公式, 比如已知等比数列的$S_n=8$,则可知$a_1+a_2+a_3=8$,这样可以有效的避免分类讨论, 而不是利用$\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-...
  • 一个逼近函数“表达能力”体现在该函数的未知参数(即公式(2.1)-(2.3)中的系数)与样本点个数的差,也称为“自由度”。如果逼近函数的未知参数越多,则表达能力越强。然而,在实际的拟合问题中,逼近函数的拟合能力...
  • 如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式? 53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?) 54.在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数...
  • 高斯分带投影 高斯分带投影的计算 投影带重叠的规定 投影带与坐标系 ==小结==: 1、高斯投影的投影方式是(C) A、等角横切圆锥投影 B、等角竖切圆锥投影 C、等角横切椭圆柱投影 D、等角竖切椭圆柱投影 2、下列关于...
  • 第3篇 曲面设计 第7章 创成式曲面设计(Generative Shape Design) 第8章 曲面编辑及分析 第9章 自由曲面设计 第10章 曲线和曲面分析 第7章 创成式曲面设计(Generative Shape Design) 7.1 构造曲线(Wireframe) ...
  • 就参数方程而言,主要考查参数方程与普通方程的互化,圆、椭圆、直线参数方程的几何意义,直线的参数方程在直线与圆锥曲线的位置关系中,弦长、割线长等的计算问题。坐标系与参数方程轮换考或结合起来考;不等式近几...
  • 【温馨提示】各位同学:大家好,以下视频可以随时打开收看学习。...圆锥曲线三种弦长问题(三十七)   1-38. 圆锥曲线最值问题(三十八)   1-39. 定点定值问题(三十九)   1-40. 圆锥曲线中的探究...
  • 线(现在的术语称为曲线)是没有宽度的长度; 定义3.直线是同一线上各点平齐的线。 亚里士多德指出:对某一概念的定义必须用已知的概念来描述,因为不可能有无源之水 。所以他断言,必然有未定义的概念做为开始。...
  • 圆锥曲线方程 椭圆 双曲线 抛物线 直 线与圆锥曲线的位置关系 轨迹问题 圆锥曲线的应用 直线 平面 简单几何体 空间直线 直线 与平面 平面与平面 棱柱 棱锥 球 空间向量 排列 组合和概率 排列 组合应用题 二 项式定理...
  • 利用几何关系求最值+弦长公式+切点弦方程微课视频圆锥曲线:直线与圆锥联立及交点个数问题 数列微课视频:等差数列(1)三个视频微课视频:等差数列(2)三个视频微课视频:等差数列(3)三个视频微课视频:等差数列(4)三个...
  • 一个逼近函数“表达能力”体现在该函数的未知参数(即公式(2.1)-(2.3)中的系数)与样本点个数的差,也称为“自由度”。如果逼近函数的未知参数越多,则表达能力越强。然而,在实际的拟合问题中,逼近函数的拟合能力...
  • 机翼的翼型和升力

    万次阅读 2017-08-10 20:15:55
    如NACA2412,第一个数字2代表中弧线最大弧高是2%,第二个数字4代表最大弧高在前缘算起40%的位置,第三、四数字12代表最大厚度是弦长的12%,所以NACA0010,因第一、二个数字都是0,代表对称翼,最大厚度是弦长的10%,...
  • 圆锥曲线 3.6 其他曲线 4 复数 5 矢量微积分 6 应用 6.1 行星运动的开普勒定律 7 三维空间 7.1 圆柱坐标系 7.2 球坐标系 8 相关内容 9 参考 ...
  • 反思:解决圆锥曲线问题,一定不要忘了使用定义式;两点之间线段最短, 例11【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第11题】 分析:将 \(\alpha-\beta>sin\alpha-sin\beta\) ,等价转化为 \(sin\beta-\beta>sin\alpha...

空空如也

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圆锥曲线弦长公式