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  • 校理说明:此文档原整理自贴吧的帖子,...圆锥曲线的一般方程 \[Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0\] 体现了圆锥曲线的普遍性质,但同时也包含了其退化形式,如圆、直线等。这里我们所要做的,是用能够体现圆锥曲线的三种形式...

    校理说明:此文档原整理自贴吧的帖子,作者是实验室之殇(贴吧用户)。现在查找来源时,原帖已搜不到,但可以搜到作者自己在百度文库上传的文档,内容相同(补了一张图)。特此说明。内容有待核实,改日补注。

    圆锥曲线的一般方程
    \[Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0\]
    体现了圆锥曲线的普遍性质,但同时也包含了其退化形式,如圆、直线等。这里我们所要做的,是用能够体现圆锥曲线的三种形式(椭圆、双曲线、抛物线)的特征的参数(离心率 、焦点、焦准距、倾斜角)在平面内表示出任意的圆锥曲线。

    首先,需要用到圆锥曲线在极坐标中的标准方程
    \[\rho=\frac{e\rho}{1-e\cos\theta}\quad(e>0,p>0)\]
    这个方程表示一个轴所在直线与极轴所在直线重合的圆锥曲线。其中极点为抛物线焦点,或椭圆左焦点,或抛物线右焦点。

    这里我们规定其轴的方向向量\(\vec{n}\),方向向右(即极轴的正方向),方便后文的解释说明。

    现在将方程对应的曲线绕极点逆时针旋转\(\alpha\)角(\(0\leq\alpha<2\pi\)),此时方程变为
    \[\rho=\frac{ep}{1-e\cos(\theta-\alpha)}\]
    与极轴的夹角对应为\(\alpha\)。展开方程,化简为
    \[\rho(1-e\cos\theta\cos\alpha-e\sin\theta\sin\alpha=ep\]
    以极轴端点为原点,极轴为\(x\)轴方向,建立平面直角坐标系,则有
    \[\begin{cases}\rho\cos\theta=x\\\rho\sin\theta=y\end{cases}\]
    代入方程,化简,得到如下方程:
    \[e|x\cos\alpha+y\sin\alpha+p|-\sqrt{x^2+y^2}=0\]
    横向平移\(g\)个单位,纵向平移\(h\)个单位,使圆锥曲线焦点从\((0,0)\)平移到\((g,h)\),对应方程为:
    \[e|(x-g)\cos\alpha+(y-h)\sin\alpha+p|=\sqrt{(x-g)^2+(y-h)^2}\]

    以上所得方程即为圆锥曲线在平面内的统一方程(以\(e\)为离心率,\(p\)为焦准距)。

    1. \(e>1\)时,表示以\(F(g,h)\)为一个焦点,\(\alpha\)\(\vec{n}\)与极轴所夹角的双曲线。
    2. \(e=1\)时,表示以\(F(g,h)\)为焦点,\(\alpha\)\(\vec{n}\)与极轴所夹角的抛物线。
    3. \(e<1\)时,表示以\(F(g,h)\)为一个焦点,\(\alpha\)\(\vec{n}\)与极轴所夹角的椭圆。

    同时,我们也可看到,当\(e=0\)时,方程表示点\(F(g,h)\)。这是圆锥曲线的一种退化形式。

    分析这个方程,可以发现仅有五个参数\((e,p,\alpha,g,h)\),就可以在平面内表示任意一个圆锥曲线,这恰能说明平面内五点可以确定一个圆锥曲线。(不包含其退化形式)

    此外,根据这个方程还可以推导出其他相关量。如\(F(g,h)\)对应的准线方程
    \[\frac x{\tan\alpha}+y+p\sqrt{1+\frac1{\tan\alpha}}-\frac g{\tan\alpha}-h=0\]
    \(\vec{n}\)所在直线方程:
    \[(x-g)\tan\alpha=y-h.\]

    转载于:https://www.cnblogs.com/xjtu-blacksmith/articles/conics.html

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  • 为了引入这一联系,我们讨论平面上圆锥曲线的一般方程。以椭圆为例,它的标准方程是 。然而,这仅仅适用于中心在原点,长轴与x轴重合的椭圆。如果要讨论处在任意条件下的椭圆,就会发现它的一般方程形如 。在系数取...

    目录:质点:圆锥曲线题目的三维矢量解法

    我们要做的事情是,把平面上的点(在解析几何中用

    表示。我们认为,这一坐标系是解析几何中固有的,并不是任意选取的。)与三维矢量
    建立起联系。为了引入这一联系,我们讨论平面上圆锥曲线的一般方程。

    以椭圆为例,它的标准方程是

    。然而,这仅仅适用于中心在原点,长轴与x轴重合的椭圆。如果要讨论处在任意条件下的椭圆,就会发现它的一般方程形如
    。在系数取适当值时,这个方程可以表示椭圆、抛物线以及双曲线;在系数取另外一些比较特殊的值时,它可能表示两条直线,一条直线,一个点,或者干脆方程无解(但是我们暂时不考虑这些特殊情况)。其实,这个方程看上去并不是十分的漂亮。
    如果我对这一个方程动一些手脚,它将会显得更加漂亮一些

    我在这个方程中把

    改为
    ,把
    改为
    ,并代入方程,经过整理后,得到
    。这个方程的好处是,它关于X,Y,Z的项均是二次的。
    更重要的好处是,如果我在三维空间中构造由椭圆参数决定的对称(0,2)型张量
    ,使得
    ,并把未知数X,Y,Z对应到未知矢量
    ,使得
    ,那么
    可以改写为
    如果把g选取作为度规,并用它来定义点乘,这个方程可以进一步简化,写成

    这一方程被改写得惊人的简洁,启示我们利用这种方法研究圆锥曲线。

    现在我们进入了最重要的环节,就是研究如何在平面上的点与三维矢量之间建立一个好的映射。我们的工作将分三步进行。

    第一步:在三维矢量空间中建立一个坐标系,把任意矢量

    写成分量

    第二步:利用坐标系,把平面上的某个点

    某个确定方向上的所有非零三维矢量建立起映射关系(注意,这不是一对一的映射,而是一对多的映射)。这一对应关系是,点
    映射到所有分量形如
    的矢量。反过来,
    ,以及任意形如
    将被映射到平面上的点
    (注:这里涉及到一个问题,就是分母有可能为0.这个问题我们在之后几章进行讨论)

    在完成前两步操作后,我们建立了一个关系,使得所有平面几何的对象以及对象间之间的关系都可以用带坐标系的三维矢量表示。具体地说,我们获得了两个函数

    ,它们使得矢量A可以对应成平面上点的坐标。平面几何的关系可以用关于
    的方程表示,因此也就可以改写成关于
    的方程。比如说一条正弦曲线
    ,它等价于关于A的方程
    。然而,对于这样的正弦曲线,用三维矢量方法求解
    完全没有任何好处。这是因为,这一方程涉及到求矢量的分量,再求解矢量的分量满足的复杂方程。既然终归得求矢量的分量,那么做这一层包装就属于画蛇添足了。我们使用三维矢量方法求解有好处,当且仅当关于矢量的方程是由极其简单自然的运算组成的。其中重要的一部分,是矢量与坐标系无关的运算,例如加法、数乘、以及定义了度规之后的点乘,等等。

    因此我们有以下的定义:

    如果平面几何量之间的关系经过前两步的操作对应到三维矢量后,可以改写为坐标系无关的等式,则称这个几何关系属于射影几何学。对于射影几何学的问题,用三维矢量法是最简单的做法。

    因此,我们的第三步是:抹去我们在前两步建立的坐标系的一切痕迹。对于一个具体问题,如果这一步是可以做到的,使用三维矢量法才具有优势。

    目录:质点:圆锥曲线题目的三维矢量解法

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  • 发现包含xy项的曲线也有可能是圆锥曲线的变体。 然而我们并没有用诸如旋转等变换方式来实现从x^2-y^2=1到xy=1的演变。 8个月前的连载二,我给出了方程在y方向拉伸到原来两倍的方法:先建立新变量Y,...

    本篇的标题跟上一篇很像。没错,这就是接上一篇的,而且会在上篇基础上继续深入。

    上篇我们走了“大胆假设,小心求证”的路线,通过表面现象猜测xy=1的焦点,并且代入到双曲线的性质公式中进行证明。发现包含xy项的曲线也有可能是圆锥曲线的变体。

    然而我们并没有用诸如旋转等变换方式来实现从x^2-y^2=1到xy=1的演变。

    8个月前的连载二,我给出了方程在y方向拉伸到原来两倍的方法:先建立新变量Y,然后让Y=2y,接着算出y=Y/2,即可代入到缩放前的方程中,从而得到包含新变量Y的方程了。

    通过观察我们知道,x^2-y^2=1可以通过正向旋转45度得到xy=1(忽略缩放部分)。跟缩放不同,旋转会同时更改x和y,因此,除了Y,我们还要建立新变量X。

    然后我们从8个月前连载五中把旋转公式搬过来:

    X=x*cosθ-y*sinθ,Y=x*sinθ+y*cosθ

    然后我们把x,y跟X,Y之间的关系求出来代入即可。

    怎么又要解二元一次方程了?emmm,现在我们当然首选逆矩阵了。

    逆矩阵形式上过于抽象,在文章里我们不妨就站在业务角度上来分析。从(x,y)到(X,Y)变换是正向旋转θ度,所以从功能上看就可以得知从(X,Y)到(x,y)是负向旋转θ度,即

    x=X*cos(-θ)-Y*sin(-θ),y=X*sinθ+Y*cosθ

    然后我们试试让θ=45度,并且代入到x^2-y^2=1中,看是否能化成XY=1这种形式的双曲线。

    为便于大家观看,我先把几条关系式用MathType写出来并放到一起。

    然后前两条式子分别代入到最后一条式子的x和y中,得到:

    果然成功化出来了,跟XY=1相比只是差了个系数,再加个缩放就完事(让X'=X/2或者让Y'=Y/2都可以)。

    至此我们得到了一个结论,双曲线标准方程旋转后可以产生xy项,那么,是不是包含xy项的都是双曲线呢?我们试试其它的圆锥曲线。

    为了让变换公式在博客上看起来不太复杂,我把中心点都放在坐标原点上。不在原点的情况有兴趣的朋友可自行演算。

    圆心在原点上的圆的方程为

    我们也用上面的公式代入

    得到

    旋转前后没有发生任何变化。对于圆来说,45度换成别的任意角度都会得到一样的结果(大家可自行代入看看),这跟我们平时生活观察到的现象不谋而合,轮子,圆盘绕中轴旋转,圆的外轮廓都不会有丝毫的变动。

    因此圆的旋转不会产生xy项,怎么旋转都不会让圆发生倾斜,哪怕中心点不在坐标原点上。

    接着我们看椭圆。

    代入旋转变换,得

    产生了XY项,当且仅当a^2=b^2时xy项系数为0,而这个时候的曲线正好是圆。(注意原始方程中x^2和y^2的系数是1/a^2和1/b^2,所以哪怕a=-b,曲线也还是圆)。

    然后我们再来看看抛物线。

    也产生了xy项,并且在旋转45度的情况下,xy项始终不等于0。

    四种曲线都旋转过了,现在我们来总结下,发现除了圆以外,其它圆锥曲线在旋转后都能产生xy项,因此,包含xy项的二元二次方程有可能是椭圆,双曲线,抛物线的其中一种,但不确定是否还包含其它类型的曲线。

    现在我们让它通用一点,把旋转角度全部改成任意角,但是我不贴出推导过程了,而是直接给出旋转后的方程,并且中心点不做偏移。然后我再给一个结论:中心点位置不会对旋转后的xy系数产生任何影响,证明从略,读者可自行推导。

    首先是圆,旋转前后不发生变化,方程为

    椭圆的则等于

    哇,看着好蛋疼啊。虽然演算过程不困难也不复杂,但截图出来会吓跑人的。

    双曲线的则等于

    抛物线的则等于

    四种圆锥曲线的方程都化成一般式了。那么反过来问,给你一条一般式

     

    你能知道它是属于哪种圆锥曲线么?还是说不是圆锥曲线?

    或者说,二元二次方程一般式

    当6个系数满足什么条件的时候是圆,满足什么条件的时候又是椭圆,双曲线,抛物线呢?什么条件又可以让四种曲线都不是?

    就目前的经验,我们只能得到一个结论:包含xy项的二元二次方程一定不是圆。但是要如何识别是其它3种的哪一种?

    假设我觉得它是椭圆,那我们可以用待定系数法得到一个方程组(此处先忽略一次项的部分,因为上面给出的公式不带偏移):

    这是一个包含3个未知数,未知数最高次数为2,且包含三角函数的方程组,且不说这个求解有多困难,3个未知数4个方程(事实上是6个,只是一次项没放进去而已),有没有解都还不知道。无解那还得再试别的曲线,运气不好可能3种都试不出来。那用此法岂不是找死了么?

    这堆蛋疼的变换功能上只不过是个旋转,每个变量之间都受到一定的约束,所以不排除其中有两道或以上的方程之间存在等价关系。本篇我们的推导过程是对不包含xy项的标准式进行旋转,然后展开为一般式。所以,这过程跟上面的问题截然相反,我们要知道一般式是由哪个标准式变换过来的话,就完全可以通过旋转一般式,消除xy项来跟标准式进行对应。

    我感觉到自己越写越枯燥了,有睡意了没?理论的东西就是这样,以前找我出书的编辑很强调文字的生动形象,什么东西都应该拿故事或者生活中的例子来类比,加强趣味性和可读性。嗯没错,简单的小东西,做人的大道理很容易跟万事万物产生关联。但随着问题的逐步深入,细节的逐步展开,一切都将变得越来越抽象和细化,导致我们越来越难在生活中找到原型,或者说勉强找到了例子,但代入进去并不严谨,无法把本质问题给说清楚。

    先不说枯燥不枯燥,文章已经写长了,那么从一般式逆推回标准式的事情就放到下一篇去,今天上班了,但是我上级因为堵在路上而还没赶回公司,所以我才能继续再写一篇,后面的能不能写的这么顺利我还真不确定。既然如此,那就顺其自然,一切随缘吧!下篇见~

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  • PAGEPAGE 1圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合...

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    圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)

    圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?

    定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为的直线经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则

    (1)当焦点在x轴上时,弦AB的长;

    (2)当焦点在y轴上时,弦AB的长.

    推论:

    (1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.

    (2)焦点在y轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.

    典题妙解

    下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

    例1(06湖南文第21题)已知椭圆,抛物线(>0),且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.

    (Ⅰ)当轴时,求p,m的值,并判断抛物线的焦点是否在直线AB上;

    OABxy(Ⅱ)若且抛物线的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB

    O

    A

    B

    x

    y

    ABCDOxyP例2(07全国Ⅰ文第22题)已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,垂足为

    A

    B

    C

    D

    O

    x

    y

    P

    (1)设P点的坐标为,证明:<1.

    (2)求四边形ABCD的面积的最小值.

    例3(08全国Ⅰ理第21题文第22题)双曲线的中心为原点O,焦点在x上,两条渐近线分别为、,经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点. 已知、、成等差数列,且与同向.

    (Ⅰ)求双曲线的离心率;

    ABy O F xNM(

    A

    B

    y

    O F x

    N

    M

    金指点睛

    1. 已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点,则=_________.

    2. 过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点,则=_________.

    3. 已知椭圆,过左焦点F作直线交A、B两点,O为坐标原点,求△AOB的最大面积.

    B

    B

    O x

    y

    A

    F

    yO F xAB4. 已知抛物线(>0),弦AB过焦点F,设,△AOB的面积为S,求证: 为定值.

    y

    O F x

    A

    B

    5.(05全国Ⅱ文第22题)P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知与共线,与共线,且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.

    O x

    O x

    N

    P

    y

    M

    Q

    F

    6. (07重庆文第22题)如图,倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.

    (Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程;

    (Ⅱ)若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交轴于点P,证明为定值,并求此定值.

    y

    y

    O F x

    A

    B

    D

    E

    C

    m

    P

    7. 点M与点的距离比它到直线的距离小1.

    (1)求点M的轨迹方程;

    FO xABDCy(2)经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B;C

    F

    O x

    A

    B

    D

    C

    y

    8. 已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同,且以抛物线的准线为其中一条准线.

    (1)求双曲线的方程;

    yAO xBCD (2)若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B;C

    y

    A

    O x

    B

    C

    D

    圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案

    证明:设双曲线方程为(>0,>0),通径,离心率,弦AB所在的直线的方程为(其中,为直线的倾斜角),其参数方程为

    .

    代入双曲线方程并整理得:.

    由t的几何意义可得:

    例1.解:(Ⅰ)当轴时,点A、B关于x轴对称,,直线AB的方程为.

    从而点A的坐标为或.

    点A在抛物线上,

    此时抛物线的焦点坐标为,该焦点不在直线AB上.

    (Ⅱ)设直线AB的倾斜角为,由(Ⅰ)知.

    则直线AB的方程为.

    抛物线的对称轴平行于轴,焦点在AB上,通径,离心率,于是有

    又AB过椭圆的右焦点,通径,离心率.

    OAB

    O

    A

    B

    x

    y

    解之得:.

    抛物线的焦点在直线上,

    ,从而.

    当时,直线

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  • 2.6 一般函数光栅化 69 2.7 扫描转换—显示生成 71 2.7.1 实时扫描转换 71 2.7.2 使用指针简单活化边表 72 2.7.3 排序活化边表 72 2.7.4 使用链表活化边表 74 2.7.5 修改链表 74 2.8 图像压缩 77 ...

空空如也

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圆锥曲线的一般方程