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  • 圆锥体表面积公式的推导在上《圆柱与...“圆锥的表面积等你们到初三再学,现在我们来看体积。”蔡老师只满足了我们的一个愿望。“唉!为什么还要等三年呀!”见大家都无精打采了,蔡老师解释说“求圆锥体的表面积得...

    圆锥体表面积公式的推导

    在上

    《圆柱与圆锥》

    这单元中的圆锥时,

    蔡老师运用实物教学向我们详细地介绍

    了圆锥的特点。之后蔡老师问了一句:“你们还想知道有关圆锥的哪些内容

    呢?”

    “表面积!”

    “体积!”看来大多数同学竟和我的想法一样,真是英雄所见略同啊!

    “圆锥的表面积等你们到初三再学,

    现在我们来看体积。

    ”蔡老师只满足了我们

    的一个愿望。

    “唉!

    为什么还要等三年呀!

    ”见大家都无精打采了,

    蔡老师解释说“求圆锥体

    的表面积得用上母线

    l

    以及扇形圆心角的度数,

    这些对你们来说太深奥了,

    有兴

    趣的同学可以自己试着推算,遇到不懂的到办公室找我。”

    我的兴趣被蔡老师的解释彻底吊起来了,好,非得把这难题攻克!回到家里,

    我苦思冥想,

    在多次检验之后,

    我终于推导出圆锥的表面积公式。

    推导过程如下:

    如果用

    r

    来表示底面半径,

    l

    表示圆锥的母线,n°表示圆

    锥侧面扇形的圆心角的度数,则底面周长为

    2πr,所以扇形

    的弧线长度也为

    2πr,而弧线长度(扇形所占圆周长)就等

    n°/360°.扇形所占圆是以以母线

    l

    为半径的,所以它

    的周长为

    2πr,得出

    n

    /360 = 2πr/2πl = r/

    l

    r

    l

    就是弧线长度与扇形所占圆周长之比,也就是扇形与

    扇形所占圆的面积之比。所以,只需求出扇形所占圆的面积

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  • 圆锥体积:V=1/3Sh(S是底面积,h是高);...圆锥地方表面积和体积公式圆锥的表面积计算公式为:S=πr²+πrl。圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成,全面积(S)=S侧+S底。圆锥的表面积计算中,S...

    圆锥体积:V=1/3Sh(S是底面积,h是高);圆锥表面积的计算公式是:圆锥的表面积=底面积+侧面积(侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开,是一个扇形。),用字母表示就是S=πr²+πrl(其中l=母线,是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离)。

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    圆锥地方表面积和体积公式

    圆锥的表面积计算公式为:S=πr²+πrl。圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成,全面积(S)=S侧+S底。圆锥的表面积计算中,S为表面积,r为地面圆的半径,l为圆锥母线。

    一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:V=1/3Sh,其中S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

    圆锥母线:圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

    圆锥的高:圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;

    圆锥的侧面积:将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长。圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2;没展开时是一个曲面。

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  • 标题上说「不用积分」,只是说不是计算积分,而是按照定义导出未知面积和已知面积的关系,从而导出所需公式。 圆柱面积 对于圆柱,经常看到推法是把侧面展开成平面图形(长方形)。这虽然很直观,但到底什么...

    其实这里有个问题,就是表面积本来就是用积分定义的。标题上说「不用积分」,只是说不是计算积分,而是按照定义导出未知面积和已知面积的关系,从而导出所需公式。

    圆柱的侧面积

    对于圆柱,经常看到的推法是把侧面展开成平面图形(长方形)。这虽然很直观,但到底什么叫「展开」,根本说不清楚。

    用表面积的定义,可以严格化这个所谓的「展开法」。

    微积分对表面积的定义是「曲面切平面上的长方形面积微元和的极限」。那么圆柱的面积微元怎么取呢?容易看出,圆柱这个几何体是圆沿垂直方向拉出高的长度形成的,那么我们就作圆的外切正 n 边形,也拉出同样的高度,形成一个正棱柱。我们把这个正棱柱的每个侧面作为面积微元。然后把这些面积微元连起来铺到同一平面上,就形成了一个矩形,一边长是高 (设为 \(h\)),一边长是 \( 2nr\tan{\frac{\pi}{n}} \) (设半径为 r).

    所以有

    \( S_n = h \cdot 2nr\tan{\frac{\pi}{n}} \)  

    \( S_n = 2\pi rh\frac{\tan{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}} \)

    \( S = \lim_\limits{n\to\infty}S_n  \)

    \( S = 2\pi rh \cdot \lim_\limits{n\to\infty} \frac{\tan{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}} \)

    \( S = 2\pi rh \)

    圆锥的侧面积

    圆锥也可以展开,但展开图是个扇形,一个曲边的图形,这就不大好用跟上面一样的方法来处理。

    这里有一种更巧妙的方法。在圆锥的侧面上取一面积微元 \(\Delta\sigma'\), 则它在底面上的投影就是底面圆的面积微元 \( \Delta\sigma \). 而由面积微元的定义(在切平面上)和圆锥的性质可得,这两个面积微元间存在确定的比例关系 \( \Delta\sigma' = \frac{\Delta\sigma}{\cos{\theta}} \), 其中 \( \theta \) 为圆锥母线与底面的夹角。因为每对面积微元都存在这一比例关系,所以整块面积也就必然存在同一比例关系。由此可得:

    \( S = \frac{\pi r^2}{\cos{\theta}} \) ( \(r\) 为底面半径 )

    \( S = \pi r^2 \cdot \frac{l}{r} \) ( \(l\) 为母线长 )

    \( S = \pi rl \)

    球的表面积

    先来事后诸葛亮一下:球的表面积是 \(4\pi R^2\), 这表明球的表面积与其外接圆柱的侧面积相等。事实上球面上任意一个球带的面积都跟同高圆柱面(半径为球面的半径)的侧面积相等。

    神奇吧!对任意一个球带竟然都相等!这匪夷所思的事实给了我们明确的思路:证明球面上面积微元的大小与其外接圆柱面上的相等。

    (下面的说明有点抽象,但图实在是太难画了。把这个过程当作在柱坐标系下的积分的过程的一部分可能会比较容易理解。)

    作出半径为 \(R\) 的球的外接圆柱。用间隔为 \(\Delta h\) 的两个平行于圆柱底面的平面截这两个几何体,得到一个窄带。设窄带中央和球心的距离为 \(h\). 过窄带中央再作一个平行于圆柱底面的平面,与球相交得到一个小圆(半径设为 r),与圆柱相交得到一个与球上大圆等大的圆(它们是同心圆)。从圆心引射线把这两个圆同时分成 \(n\) 份,井以射线和圆的交点为切点作出这两个圆的外切正 \(n\) 边形,设球过切点的半径与竖直方向(与平面垂直的方向)的夹角为 \(\theta\) (\(\cos{\theta}=\frac{h}{R}\)), 以该正多边形的边长为一边长,以过切点的曲面的切平面在窄带内的最大向上延伸长度为为另一边长分别作两曲面的面积微元,可得

    圆柱的面积微元大小为

    \( \Delta\sigma = 2R\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \Delta h \)

    球面的面积微元大小为

    \( \Delta\sigma' = 2r\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{\Delta h}{\sin{\theta}} \)

    \( \Delta\sigma' = 2R\sin{\theta}\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{\Delta h}{\sin{\theta}} \)

    \( \Delta\sigma' = 2R\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \Delta h \)

    \( \Delta\sigma' = \Delta\sigma \)

    得证。

    由此得

    \( S = 2\pi R \cdot 2R \)

    \( S = 4\pi R^2 \)

    转载于:https://www.cnblogs.com/li-hua/p/6220263.html

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  • 未被重力场作用最密堆积形态重力干涉下最密堆积形态它微分等于表面积,首先假设山坡逐点不等高(等高线0间隔),n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式 - 知乎,山体表面积按照等高线积分或0...

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    自然山体形状体积表面积随机性,确定性地表示为——

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    一定是重力作用下的三维最大密度堆积形态,

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    未被重力场作用的最密堆积形态

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    重力干涉下的最密堆积形态

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    它的微分等于表面积,

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    首先假设山坡逐点不等高(等高线0间隔),

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    n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式 - 知乎,山体表面积按照等高线积分或0间隙堆积,堆积密度

    ,等高线堆积高度
    ,
    注销:n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式zhuanlan.zhihu.com
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    山体堆积密度

    ,设山顶到地面的垂直高度为

    山体表面积

    再加上等高间隔的水平面积部分
    ,山体表面积

    如何计算一座山的表面积?不能挖山——一般自然密堆积体的计算(归一区间密度波) - 知乎注销:如何计算一座山的表面积?不能挖山——一般自然密堆积体的计算(归一区间密度波)zhuanlan.zhihu.com
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    一座山的三维填充:

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    山体三维填充:

    ,有
    ,有
    ,自然有山体积

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    山的体积V表面积S,可以用小球(量子)概率表示——

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    山体,重力作用下的最大密度(x,yi),量子填充的最大概率,

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    XY=sinX

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    星体引力平面

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    如何计算一座山的表面积?www.zhihu.com
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    不需要质量几何结构的自然体参数算法——

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    自然山体一定是重力作用下的三维最大密度堆积形态,它的微分等于表面积,

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    无论它包含的成分怎样,力学最密确定无疑——质量概念似乎是多余的,力学在这里成为几何,黎曼的,高斯的,最终展平为欧几里德几何,

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    如果第三层放到和第一层一样的地方:这时我们得到了ABAB.....的结构,这就是六方最密堆积。

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    (注意上下两个红色的方向)

    如果第三层放到和第二层、第一层都不一样的地方(参看图1,第一层为原子位,第二层假设放到hcp位点,则第三层放到fcc位点)。这时我们得到了ABCABC.....的结构,这就是面心立方最密堆积。

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    (上面蓝色和下面红色的方向相反)

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    形状记忆合金在加热升温后能完全消除其在较低温度下发生的形变,恢复形变前的原始状态。这种合金的另一个独特性质是在特定温度下发生“超弹性”效应,表现为能承载比一般金属大几倍甚至几十倍的可恢复应变。形状记忆合金以镍钛诺记忆合金为典型代表,在医疗、建筑、航空航天等领域应用广泛。

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    在这里计算表面积,连几何结构似乎也是多余的(相互拓扑,密堆积不变),

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    几何结构,密堆积的一个“相”——

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    板凳的结构密度波,参数计算

    东北大学的研究小组发现,新的超轻镁钪合金除了具有以往镁合金的六方最密堆积结晶构造,还可形成体心立方结构,在零下150摄氏度时展现出超弹性特征。此外,还可通过改变钪的含量来改变镁钪合金发生超弹性效应的操作温度。这种合金因此弹性极好且有形状记忆特性,在高强度和高延展性方面具有很好的平衡性。首先假设山坡逐点不等高(等高线0间隔),

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    n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式 - 知乎,山体表面积按照等高线积分或0间隙堆积,堆积密度

    ,等高线堆积高度
    ,
    注销:n维空间微积分微元——n维最大填充密度x=sin(nx)计算公式zhuanlan.zhihu.com
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    山体堆积密度

    ,

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    设山顶到地面的垂直高度为

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    山体表面积

    再加上有等高线间隔的平面面积部分

    ,山体表面积

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    质量体积概念似乎是多余的。不需要质量体积的计算显然来自“波”动概念,山坡真的变成了“山波”连绵——

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    山高的计算也体现出这一猜想——

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    假设测量者站满山坡,人均占有面积1平方,

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    下山站成一排报数,末尾数

    ,山体表面积

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    ,垂向受重力最大密度制约
    ,水平向受地球自转等参数制约(譬如傅科摆效应)

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    无论楼有多高,心有多大线就有多长....

    重力作用下的最密堆积山高,不规则的乱序排列,逐点不等高顺序排列,任一密堆积体可用下图规范表示

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    重力下的自然山高

    、山脚轴截面覆盖密度径长
    统一为

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    猜想,山体坐地周长S/连绵主径ψ=π

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    由于等边圆锥外观看着舒适,且具有稳定的性质,所以等边圆锥的应用很广泛。例如:冰淇淋的奶油会成等边圆锥状,沙漏内部为两个等边圆锥,甚至一些建筑物也才用等边圆锥的形状,

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    对金属铜的测定得到以下结果:铜晶胞为面心立方最密堆积,边长为361p... 562x222

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    人类在地球表面的最密堆积路径

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    如何让引力密堆积的星系造一座山?

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    山体表面积不变的平面拓扑像一个星系

    如果集合全世界的力量,造一座山,这座山能造多高? - 知乎,问题可以简化成:我们从高处撒下所有建筑材料,最后堆成一个什么样的锥体?或者说,在角度多大的边坡上,一次随机的塌落不会制造连锁反应?

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    一山基压力分布

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    如果集合全世界的力量,造一座山,这座山能造多高?www.zhihu.com

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    因为我们没法在表面和内部都做到自然界山体那种紧密结构,而且也不会用纯粹的石方来堆山,势必会用很多更松散的土。实际上,连高百米左右,纯粹由石料构成的矸石山也不会用到52度的极限。

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    生产消费品单元生产什么生产工艺是多余的,市场波动货币化股指曲线就够了

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    那个像连绵群山一样恰似成行,神秘地看得见

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  • 这部分的公式比较多,共涉及两大类几何体——多面体和旋转体,两个主题——面积和体积,其中面积又分为表面积和侧面积。很多同学记不住,或者过段时间就忘了,下面宋老师帮你梳理一下这块知识点,告诉你几个巧记...
  • 解题公式、方法1、几何图形计算公式:1) 正方形:周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a2) 正方体:表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3) 长方形:周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) ...
  • ②圆柱体积=底面积x高,V=Sh2、圆柱体积计算公式的应用教材参考答案第25页 做一做第26页 做一做第27页 做一做练习五同步练习提升练习1.求如图所示图形绕轴旋转一周后形成立体图形体积。3.14×12×3=9.42...
  • 点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师,...③能计算简单组合体的表面积。直棱柱展开直棱柱的侧面展开后,整体的外观形状是矩形。所以,直棱柱的表面积就比较方便计算了:直棱柱表面积=侧面积+2×底面积直棱...
  • 注意圆锥的表面积包括底面和侧面。 Input 一行一个整数,表示表面积S。(1 <= S <= 10^9) Output 一行一个实数,表示体积。 Input示例 8 Output示例 1.504506 思路: 将圆锥表面积公式...
  • 常用下料计算:有圆柱、圆台、圆锥的表面积、体积等等的计算,并配有公式和图形
  • 计算几何相关公式

    2019-02-28 12:57:00
    已知圆锥表面积S求最大体积V V = S * sqrt(S / (72 * Pi)) 顶点坐标均是整点简单多边形:面积 = 内部格点数目 + 边上格点数目 / 2 - 1 S = n + s / 2 - 1(其中n表示多边形内部点数,s表示多边形边界上...
  • 51nod 1629 B君的圆锥

    2018-10-06 11:04:22
    圆锥表面积计算公式:S=πrl+πr²; 圆锥体积:V=1/3πr²h 令a=r²; 根据最小抛物线最高点公式得到   #include <iostream> #include <math.h> #include <...
  • 的计算

    2012-10-22 11:50:13
    /* ... * All rights reserved. * 作者:李全港 * 完成日期:2012 年10月20日 * 版本号:v1.0 ...* 输入描述:输入圆半径...* 程序输出:圆,圆锥,圆柱一些表面积及体积,  算法设计: #include  #inclu
  • 关于圆的计算

    2012-10-20 11:30:17
    /* ... * All rights reserved. * 作者:庄子豪 * 完成日期:2012 年10月20日 * 版本号:v1.0 ...* 输入描述:输入圆半径...* 程序输出:圆,圆锥,圆柱一些表面积及体积,  算法设计: #include #include us
  • 10.3.8 计算圆锥的表面积和体积 10.3.9 计算圆柱体的体积 10.3.10 计算棱椎的体积 10.4 解联立方程 10.5 舍入数字 10.5.1 基本舍入公式 10.5.2 舍入到最近倍数 10.5.3 舍入货币值 10.5.4 处理以分数表示...
  • 10.3.8 计算圆锥的表面积和体积 10.3.9 计算圆柱体的体积 10.3.10 计算棱椎的体积 10.4 解联立方程 10.5 舍入数字 10.5.1 基本舍入公式 10.5.2 舍入到最近倍数 10.5.3 舍入货币值 10.5.4 处理以分数表示...
  • 圆锥的表面积 向您推荐老师必备工具“易查分”,她是一个在线工具,它的功能是将Excel电子表格文件转换成在线查询网页,不仅能查询,在查询后还可以修改老师设置的可修改列,达到查询、核对、填表的功能;百度“易...
  • 计算任意三角形、弓形、扇形的面积、球的表面积和圆的周长。★计算球、锥体、台体的体积。★计算万有引力、静电力。★计算单摆、锥摆、弹簧振子的振动周期。★关于匀变速直线运动的计算。★计算行星的质量、密度,...
  • 我们提出了一种新的公式,用于计算在强耦合扩展幂为β= 2N / g2情况下,SU(N)Yang-Mills规范理论在晶格上纠缠熵,其中g是耦合常数。 使用复制方法,我们拉格朗日形式主义在晶格上保持轨距不变。 在O(β2...
  • excel使用

    2012-11-25 17:06:01
    (7) 在单元格中显示公式如果工作数据多数是由公式生成,想要快速知道每个单元格中的公式形式,以便编辑修改,可以这样做:用鼠标左键单击“工具”菜单,选取“选项”命令,出现“选项”对话框,单击“视图...
  • EXCEL 2007 宝典 附光盘文件

    热门讨论 2010-04-02 14:43:05
    worksheet functions.xlsx:包含一个列举和描述了每个工作表函数的表的工作簿。 table formulas.xlsx:用于演示表内公式的使用的工作簿 Chapter 12 character set.xlsx:一个以任意安装在系统中的字体显示字符的...
  • MAPGIS地质制图工具

    2013-05-06 16:15:30
    若事先未打开Excel,那么将会把选择的表(Sheet)中的所有数据(直到最后为空值行;有空数据行但下面仍有数据行,继续插入数据;有引用公式当做有数据)转到MapGis里面; 2、如果需要把Excel中的线也输入到MapGis中,...
  • 几何体的表面积,体积计算公式:1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积: πR2h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体:a-...

空空如也

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圆锥的表面积计算公式