圆的面积推导

背景

这个方法是本人独立发现的，维基上了有相同的证明，称为洋葱证法(Onion proof)。
通过个方法，能帮助理清类似的积分应该情形。

圆的面积公式：

$$S = \pi r^2$$

推导

考虑从圆心以某一半径向外生长的方式，

某一个半径r处，如果半径增量很少，面积增量可以看成$2\pi r dr$, 即此处的柱面面积,生长速度即导数为$2\pi r$

关键点：增加面积为什么是可看成长方形或柱面面积?

类比于曲线积分算面积的情形，只要增加可以无限小，r+dr处的值就等于r处的值, 即增量就是一个长方形或柱面，增速与此处的数值成正比.

$$S = \int_0^r S'(r) dr = \int_0^r 2\pi r dr =[\pi r^2]_0^r = \pi r^2$$

相关应用：椎体体积公式

已知： 底面积S0及高h0, 求体积公式V

在底面积为S处，微增h所增加的体积为 Sdh, 于是有

$$V(h)' = S(h)$$

$$\frac{ S(h) } { S_0 } = ( \frac{ h } { h_0 })^2$$

$$S(h) = ( \frac{ h } { h_0 })^2 \cdot S_0$$

$$V(h) = \int_0^h V'(h) dh = \int_0^h ( \frac{ h } { h_0 })^2 \cdot S_0 dh = [\frac{h^3S_0}{3h_0^2}]_0^h = \frac{h^3S_0}{3h_0^2}$$

$$V(h_0) = \frac{h_0S_0}{3}$$

相关应用：球面积公式

从球的底端，沿弧线向上生成至顶端，弧度为x,半径为r,对应弧度角为$\frac{x}{r}$

$$S'(x) = C=2\pi \cdot r sin \frac{x}{r}$$

$$S(x) = \int_0^{\pi r}2\pi \cdot r sin \frac{x}{r} dx$$

$$S(x) = [-2\pi r^2 cos\frac{x}{r}]_0^{\pi r} = (-2\pi r^2 cos \pi) - (-2\pi r^2 cos 0 ) = 4 \pi r^2$$

积分必须有物理意义，这里选择切图周长沿弧积分，而不是沿高积分。举一个选错积分变量的例子：

圆锥体积
如果沿底面积半径进行积分，则会得到错误的结果，因为$Sdr$不表示体积

$$V' = S$$

$$V = \int S dr = \int \pi r^2 dr = \frac{\pi r^3}{3}$$
显示是错误的。

相关应用：球体积公式

$$V'(r) = 4\pi r^2$$

$$V(r) = \int 4\pi r^2 dr = \frac{4\pi r^3}{3}$$

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