杀鸡用牛刀，我们用机器学习方法来算圆的面积。
询问任何人圆的面积是多少，他们都会告诉你不就是r²吗。但如果你问他们为什么，他们很可能并不知道。
这是因为圆的面积公式的证明在大多数情况下要么不直观，不令人满意，要么充斥着积分等高级数学概念。
借鉴统计学习和机器学习的核心原理，我们可以使用蒙特卡罗模拟和多项式/二次回归来创建基于计算的方法，以找到圆的面积公式。
在不使用任何数学运算的情况下得出圆的面积，我们使用了蒙特卡罗方法。从探索不规则形状的面积到预测股票市场的情况，都用到了蒙特卡罗方法。该方法的核心思想是引入随机性，并测量系统对其作出的反馈，甚至可以在不了解系统原理的情况下获得有效信息。
在使用蒙特卡罗来近似圆的面积时，我们先生成一些随机坐标点 (x1,x2)，这两个方向的坐标都是从负半径值到正半径值的均匀分布绘制得到的。我们在圆中放入 250,000 个这样的坐标点，如中心极限定理(或大数定律)所描述的，研究所用的真实随机样例点越多，得到的结果就会越准确。
对于圆内的每一个点，我们可以引入一个落入圆内的点的数目的计数变量。在所有随机点都被投入之后，圆内的点数除以总点数(该研究中为 250,000)的值就代表在正方形内圆的面积所占的分数。该正方形的边长是圆的半径的两倍，因此正方形的面积是 4r²，其中 r 是圆的半径。用 4r²乘之前得到的分数，就得到了圆的面积。通过蒙特卡罗方法，可以非常接近地得到圆的真实面积而无需数学计算公式。
道理很简单，结果几乎完全正确！
我们可以在给定半径 r 的情况下找到任何圆的面积，但此时此刻我们还没有归纳出圆的公式。为找到公式，我们需要创建一个二次方程式进行建模，该方程式需要一个半径并尝试输出面积。为了正确地拟合方程，我们必须为每个半径的蒙特卡洛近似面积收集数据。
import numpy as npfrom tqdm import tqdm #Just a progress bar indicator#Number of randomized points to generate for each approximationnum_points = 250_000#Lists to store the radius and its corresponding area approximationradii = []areas = []#For each of the 500 equally spaced values between 1 and 100 inclusive:for radius in tqdm(np.linspace(1,100,500)):    #A counter for the number of points in the circle    in_circle = 0    for i in range(num_points):        #Generate an x and y coordinate from a uniform distribution bounded by a tangent box        xcoor = np.random.uniform(-radius,radius)        ycoor = np.random.uniform(-radius,radius)        #If the point is inside the circle, add one to in_circle        if xcoor**2 + ycoor**2 
而下一步就是写一个拟合数据的二次项模型(回归模型)，y =ax²。我们可以通过绘图验证数据为二次项，而不是三阶或四阶多项式。从本质上讲，这是一个基础的机器学习问题，因此再回顾一些基本术语：
 模型参数：模型进行自动调整从而找到最佳参数，在这种情况下，参数为 a。如果具有 n 个参数，则该模型被称为 n 维。我们所使用的最基本模型是一维的，而对图像进行分类的深度神经网络有可能具有数百万个维度。
损失函数：损失函数是对当下模拟情况进行评估，并希望找到可以得到最低误差度的参数集，从而使得损失函数最小化。比如某个参数值 j 的损失函数值为 3，而参数值 k 的损失函数值为 2，则理应选择参数值 k。
平均绝对误差(MAE)：我们将使用损失函数/错误度量，其原因是因为它易于使用且易于理解。给定当前参数(a)和模型预测值，而平均绝对误差是指预测值与真实值之间平均相差有多大，较低的 MAE 意味着模型更适合数据。
学习率：为了优化参数，模型会在特定「方向」上逐渐调整参数。由于我们现在的模型仅优化一个参数(a)，因此仅需决定在一维平面上是增大或是减小参数值(任何变化都会产生较低的损失函数)。而模型在调整过程中的移动量称为学习率。较高的学习速度意味着模型有可能短时间内就能得到一组效果较好的参数，但无法保证其准确度，而较低的学习率能够获得非常不错的参数，并且拥有较高的准确度，唯一一点是需要大量的训练时间。
有了这些变量，我们可以构建一个非常基础简单的程序，使得它对这些数据拟合：
把参数 coef(a)初始化为 0.1。
对于训练周期中的每次迭代：
对 coef 提出两条路径；coef+lr 和 coef-lr，其中 lr 是学习率。
对使用 coef=coef+lr 的模型和使用 coef=coef-lr 的模型评估平均绝对误差。
将 coef 设置为等于 coef+lr 和 coef-lr 中平均绝对误差值较小的那个数字。
通过对平均绝对误差的反复优化，模型最终将收敛出一个「最佳」的 coef 值(从而最大程度地降低平均绝对误差)。这一思路正是机器学习的核心原理——通过反复地推断、评估和修正，计算机可以「磨炼」出一套最优的参数。
coef = 0.1 #Initial coefficient valuelearning_rate = 0.00001 #How fast the model 'learns'iterations = 100000 #How many times we want the model to 'practice and correct'for i in tqdm(range(iterations)): #note - tqdm is just a progressbar    #Propose two path for the coefficient:    up_coef = coef + learning_rate #Move up    down_coef = coef - learning_rate #Or move down    #Store the predictions for a model using parameters up_coef and down_coef    up_pred = []    down_pred = []    #For each radius value in the previously created list radii:    for r in radii:        #Append the model using up_coef's and down_coef's prediction (a*r^2)        up_pred.append(up_coef*(r**2))        down_pred.append(down_coef*(r**2))    #Find the MAE. Both are converted to NumPy arrays for easy operation.        up_coef_mae = np.abs(np.array([up_pred])-np.array([areas])).mean()    down_coef_mae = np.abs(np.array([down_pred])-np.array([areas])).mean()    #If moving the coefficient down yields a lower (better) MAE:        if down_coef_mae 
当我们查看训练的 coef 值时，可以看到它等于π：
print(str(coef)[:5]) #first four digits of coefficient (decimal point counts as a character)[Output]: '3.141'
当然，计算圆面积的公式很好记就是r²。无需使用微积分中的任何复杂的数学方法或其他证明，我们就能找到它的公式，并找到一种使用蒙特卡洛模拟和二次回归找到值的方法。使用这种思路就可以找到计算圆面积的方法——当然也可以找到任何图形的面积计算公式——椭圆、心形、二维的乌龟形状——只要参数可以说明它的轮廓。
近年来，计算机已经接手开始解决复杂的高可变数学问题，计算圆面积只是其中的一个简单的示例。如果想要更复杂、更具开创性的，那当然是四色定理了(每个无外飞地的地图都可以用不多于四种颜色来染色，且不会有两个邻接的区域颜色相同)。这是第一个由计算机先生成证明，又被数学家广泛接受的成果。
借助计算机，人类可以探索以往无法尝试进入的，极其复杂的数学领域。

	

询问任何人圆的面积是多少，他们都会告诉你不就是?r²吗。但如果你问他们为什么，他们很可能并不知道。
这是因为圆的面积公式的证明在大多数情况下要么不直观，不令人满意，要么充斥着积分等高级数学概念。
借鉴统计学习和机器学习的核心原理，我们可以使用蒙特卡罗模拟和多项式/二次回归来创建基于计算的方法，以找到圆的面积公式。
在不使用任何数学运算的情况下得出圆的面积，我们使用了蒙特卡罗方法。从探索不规则形状的面积到预测股票市场的情况，都用到了蒙特卡罗方法。该方法的核心思想是引入随机性，并测量系统对其作出的反馈，甚至可以在不了解系统原理的情况下获得有效信息。
在使用蒙特卡罗来近似圆的面积时，我们先生成一些随机坐标点 (x1,x2)，这两个方向的坐标都是从负半径值到正半径值的均匀分布绘制得到的。我们在圆中放入 250,000 个这样的坐标点，如中心极限定理(或大数定律)所描述的，研究所用的真实随机样例点越多，得到的结果就会越准确。
对于圆内的每一个点，我们可以引入一个落入圆内的点的数目的计数变量。在所有随机点都被投入之后，圆内的点数除以总点数(该研究中为 250,000)的值就代表在正方形内圆的面积所占的分数。该正方形的边长是圆的半径的两倍，因此正方形的面积是 4r²，其中 r 是圆的半径。用 4r²乘之前得到的分数，就得到了圆的面积。通过蒙特卡罗方法，可以非常接近地得到圆的真实面积而无需数学计算公式。
道理很简单，结果几乎完全正确！
我们可以在给定半径 r 的情况下找到任何圆的面积，但此时此刻我们还没有归纳出圆的公式。为找到公式，我们需要创建一个二次方程式进行建模，该方程式需要一个半径并尝试输出面积。为了正确地拟合方程，我们必须为每个半径的蒙特卡洛近似面积收集数据。
import numpy as npfrom tqdm import tqdm #Just a progress bar indicator#Number of randomized points to generate for each approximation
num_points = 250_000#Lists to store the radius and its corresponding area approximation
radii = []
areas = []#For each of the 500 equally spaced values between 1 and 100 inclusive:for radius in tqdm(np.linspace(1,100,500)):#A counter for the number of points in the circle
    in_circle = 0for i in range(num_points):#Generate an x and y coordinate from a uniform distribution bounded by a tangent box
        xcoor = np.random.uniform(-radius,radius)
        ycoor = np.random.uniform(-radius,radius)#If the point is inside the circle, add one to in_circleif xcoor**2 + ycoor**2 2:
            in_circle += 1#Get the fraction of the points that were inside the circle
    area_frac = in_circle/num_points#Append the approximated area and the radius
    areas.append(area_frac*(4*(radius**2)))
    radii.append(radius)
而下一步就是写一个拟合数据的二次项模型(回归模型)，y =ax²。我们可以通过绘图验证数据为二次项，而不是三阶或四阶多项式。从本质上讲，这是一个基础的机器学习问题，因此再回顾一些基本术语：
 模型参数：模型进行自动调整从而找到最佳参数，在这种情况下，参数为 a。如果具有 n 个参数，则该模型被称为 n 维。我们所使用的最基本模型是一维的，而对图像进行分类的深度神经网络有可能具有数百万个维度。
损失函数：损失函数是对当下模拟情况进行评估，并希望找到可以得到最低误差度的参数集，从而使得损失函数最小化。比如某个参数值 j 的损失函数值为 3，而参数值 k 的损失函数值为 2，则理应选择参数值 k。
平均绝对误差(MAE)：我们将使用损失函数/错误度量，其原因是因为它易于使用且易于理解。给定当前参数(a)和模型预测值，而平均绝对误差是指预测值与真实值之间平均相差有多大，较低的 MAE 意味着模型更适合数据。
学习率：为了优化参数，模型会在特定「方向」上逐渐调整参数。由于我们现在的模型仅优化一个参数(a)，因此仅需决定在一维平面上是增大或是减小参数值(任何变化都会产生较低的损失函数)。而模型在调整过程中的移动量称为学习率。较高的学习速度意味着模型有可能短时间内就能得到一组效果较好的参数，但无法保证其准确度，而较低的学习率能够获得非常不错的参数，并且拥有较高的准确度，唯一一点是需要大量的训练时间。
有了这些变量，我们可以构建一个非常基础简单的程序，使得它对这些数据拟合：
把参数 coef(a)初始化为 0.1。
对于训练周期中的每次迭代：
对 coef 提出两条路径；coef+lr 和 coef-lr，其中 lr 是学习率。
对使用 coef=coef+lr 的模型和使用 coef=coef-lr 的模型评估平均绝对误差。
将 coef 设置为等于 coef+lr 和 coef-lr 中平均绝对误差值较小的那个数字。
通过对平均绝对误差的反复优化，模型最终将收敛出一个「最佳」的 coef 值(从而最大程度地降低平均绝对误差)。这一思路正是机器学习的核心原理——通过反复地推断、评估和修正，计算机可以「磨炼」出一套最优的参数。
coef = 0.1 #Initial coefficient value
learning_rate = 0.00001 #How fast the model 'learns'
iterations = 100000 #How many times we want the model to 'practice and correct'for i in tqdm(range(iterations)): #note - tqdm is just a progressbar#Propose two path for the coefficient:
    up_coef = coef + learning_rate #Move up
    down_coef = coef - learning_rate #Or move down#Store the predictions for a model using parameters up_coef and down_coef
    up_pred = []
    down_pred = []#For each radius value in the previously created list radii:for r in radii:#Append the model using up_coef's and down_coef's prediction (a*r^2)
        up_pred.append(up_coef*(r**2))
        down_pred.append(down_coef*(r**2))#Find the MAE. Both are converted to NumPy arrays for easy operation.    
    up_coef_mae = np.abs(np.array([up_pred])-np.array([areas])).mean()
    down_coef_mae = np.abs(np.array([down_pred])-np.array([areas])).mean()#If moving the coefficient down yields a lower (better) MAE:    if down_coef_mae #Set it equal to down_coef
        coef = down_coef#Otherwise (moving the coefficient up yields a lower (better) or equal MAE:else:#Set it equal to up_coef
        coef = up_coef
当我们查看训练的 coef 值时，可以看到它等于π：
print(str(coef)[:5]) #first four digits of coefficient (decimal point counts as a character)
[Output]: '3.141'
当然，计算圆面积的公式很好记就是?r²。无需使用微积分中的任何复杂的数学方法或其他证明，我们就能找到它的公式，并找到一种使用蒙特卡洛模拟和二次回归找到?值的方法。使用这种思路就可以找到计算圆面积的方法——当然也可以找到任何图形的面积计算公式——椭圆、心形、二维的乌龟形状——只要参数可以说明它的轮廓。
近年来，计算机已经接手开始解决复杂的高可变数学问题，计算圆面积只是其中的一个简单的示例。如果想要更复杂、更具开创性的，那当然是四色定理了(每个无外飞地的地图都可以用不多于四种颜色来染色，且不会有两个邻接的区域颜色相同)。这是第一个由计算机先生成证明，又被数学家广泛接受的成果。
借助计算机，人类可以探索以往无法尝试进入的，极其复杂的数学领域。
原文链接：https://medium.com/swlh/finding-the-formula-for-circle-area-without-using-any-math-898cbee70253
▼
往期精彩回顾
▼
写代码也是一份人命关天的工作：盘点改变世界的那些代码
如何用Python了解女朋友的情绪变化？
B站大热的虚拟主播竟是这样来的！
微博丨睡前带你看未来
官网丨school.futurelab.tv
合作丨service@futurelab.tv

	

教材同步()
1、(P68页“做一做”)一个圆形茶几桌面的直径是1m，它的面积是多少平方米？
正确答案
3.14×(1÷2)2
=3.14×0.25
=0.785(平方米)
答：它的面积是0.785平方米．
解析
直径是1m，半径是0.5米，然后利用圆的面积公式S=πr2，即可得解．
2、(P68页“做一做”)一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？
正确答案
50÷2=25(米)
10÷2=5(米)
3.14×(252-52)
=3.14×(625-25)
=3.14×600
=1884(平方米)，
答：草坪的占地面积是1884平方米．
解析
根据环形面积=外圆面积-内圆面积，再根据圆的面积公式：S=πr2，把数据代入公式解答即可．
3、(P70页“做一做”)右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？
正确答案
3.14×(24÷2)2
=3.14×144
=452.16(平方厘米)
24×(24÷2)÷2×2
=24×12÷2×2
=288(平方厘米)
452.16-288=164.16(平方厘米)
答：外面的圆与内部的正方形之间的面积是164.16平方厘米．
解析
根据题意，圆的直径是24厘米，也就是这个正方形的对角线长24厘米，根据圆的面积公式S=πr2解答即可．
练习十五(P71-74页)
4、完成下表。
正确答案
解析
解：表中第一行：
d=4×2=8(cm)
S=3.14×42=50.24(cm2)；
第二行：
r=9÷2=4.5(cm)
S=3.14×4.52=63.585(cm2)；
第三行：
r=6÷2=3(cm)
S=3.14×32=28.26(cm2)；
第四行：
d=20×2=40(cm)
S=3.14×202=1256(cm2)．
根据圆面积公式“S=πr2”，及半径与直径的关系“d=2r、r=”分别计算出表中各数据，然后再填表即可．
5、计算下面各圆的周长和面积。
正确答案
左图：周长是：3.14×10=31.4(cm)
面积是：3.14×(10÷2)2
=3.14×25
=78.5(cm2)
答：它的周长是31.4cm，面积是78.5cm2；
右图：周长是：2×3.14×3=18.84(cm)
面积是：3.14×32
=3.14×9
=28.26(cm2)
答：它的周长是18.84cm，面积是28.26cm2．
解析
根据圆的周长公式：C=πd=2πr，圆的面积公式：S=πr2，把数据代入它们的公式进行解答．
6、公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，它能喷灌的面积是多少？
正确答案
3.14×102=314(平方米)；
答：它能喷灌面积是314平方米．
解析
最大喷灌面积就是这个半径为10米的圆的面积，由此利用圆的面积公式即可解答．
7、小刚量得一棵树干的周长是125.6cm。这棵树干的横截面近似于圆，它的面积大约是多少？
正确答案
125.6÷(2×3.14)2
解析
根据圆的周长公式：C=2πr可知r=C÷2π，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S=πr2解答．
8、右图是一块玉璧，外直径18cm，内直径7cm。这块玉璧的面积是多少？
正确答案
18÷2=9(厘米)
7÷2=3.5(厘米)
3.14×(92-3.52)
=3.14×(81-12.25)
=3.14×68.75
=215.875(平方厘米)
答：这块玉璧的面积是215.875平方厘米．
解析
根据题意，这块玉璧呈圆环形，因此可用圆环的面积S=π(R2-r2)，根据题干得出外半径与内圆的半径，代入数据即可解答．
9、左图中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影部分的面积。
正确答案
3.14×62-3.14×(6÷2)2
=113.04-28.26
=84.78(cm2)，
答：阴影部分的面积是84.78cm2．
解析
观察图形可知，阴影部分的面积=大圆的面积减去小圆的面积，据此根据圆的面积=πr2计算即可解答．
10、计算下面左边图形的周长和右边圆环的面积。
正确答案
(1)周长：
3.14×12÷2+3.14×8÷2+(12-8)
=18.84+12.56+4
=35.4(cm)
答：周长是35.4cm．
(2)面积：
3.14×(122-82)
=3.14×(144-64)
=3.14×80
=251.2(cm2)
答：圆环面积是251.2cm2．
解析
(1)半圆环的周长等于直径为12厘米和直径为8厘米的圆周长一半的和再加上长12-8=4厘米长的线段，圆的周长计算方法是：C=πd，解答即可；
(2)根据圆环面积的计算方法：S=π(R2-r2)解答即可．
11、在你的生活里找找圆环形的物体，测量一下，再算算它的面积。
正确答案
提示：找出生活里圆环形的物体，先测量尺寸，再计算面积。
解析
提示：找出生活里圆环形的物体，先测量尺寸，再计算面积。
12、一个铜钱直径22.5mm，中间的正方形边长为6mm。这个铜钱的面积是多少？
正确答案
3.14×(22.5÷2)2-6×6
=3.14×11.252-36
=3.14×126.5625-36
=397.40625-36
=361.40625(mm2)；
答：这个铜钱的面积是361.40625mm2．
解析
根据正方形和圆的面积公式，分别求出圆的面积和正方形的面积；然后用圆的面积减去正方形的面积，求出这个铜钱的面积是多少即可．
13、一个运动场如右图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？
正确答案
(1)运动场的周长为：
3.14×32×2+100×2，
=200.96+200，
=400.96(m)；
(2)运动场的面积为：
100×(32×2)+3.14×322
=6400+3215.36，
=9615.36(m2)．
答：这个运动场的周长是400.96m，面积是9615.36m2．
解析
根据等量关系：运动场的周长=圆的周长+长方形的长×2；运动场的面积=长方形的面积+圆的面积．据此便可以求得运动场的周长和面积．
14、右图中的花瓣状门洞的边是由4个直径相等的半圆组成的。这个门洞的周长和面积分别是多少？
正确答案
周长：3.14×1×2=6.28(m)
面积：3.14×(1÷2)2×2+1×1
=3.14×0.25×2+1×1
=1.57+1
=2.57(m2)
答：这个门洞的周长是6.28m，面积是2.57m2．
解析
因图中的花瓣门洞的边是由4个直径相等的半圆组成的，所以这个门洞的周长是2个直径为1米的圆的周长，面积是两个直径1米的圆的面积与一个边长为1米的正方形的面积，据此解答．
15、土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，被列入“世界物质文化名录”，土楼的外围形状有圆形、方形、椭圆形等．圭峰楼和德逊楼是福建省南靖县两座地面是圆环形的土楼，圭峰楼外直径33m，内直径14m；德逊楼外直径26.4m，内直径14.4m．两座土楼的房屋占地面积相差多少？
正确答案
圭峰楼的房屋占地面积：2-(14÷2)2]2)2-(14.4÷2)2]2)2)．2．
解析
首先根据圆的面积公式，分别求出圭峰楼、德逊楼外圆、内圆的面积，进而求出它们的房屋占地面积；然后用面积大的减去面积小的，求出两座土楼的房屋占地面积相差多少即可．
16、一个圆的周长是62.8m，半径增加了2m后，面积增加了多少？
正确答案
原来圆的半径：
62.8÷3.14÷2=10(米)
增加后的半径：
10+2=12(米)
3.14×(122-102)
=3.14×(144-100)
=3.14×44
=138.16(平方米)
答：面积增加138.16平方米．
解析
根据题意可知：增加的面积是环形，根据环形面积=外圆面积-内圆面积，据此解答．
17、篮球场上的3分线是由两条平行线段和一个半圆组成的。请你根据图中的数据计算出3分线的长度和3分线内区域的面积。(得数保留两位小数。) 
正确答案
(1)6.75×3.14=21.195(米)
1.575×2=3.15(米)
21.195+3.15=24.345(米)≈24.35(m)
答：三分线的长度为24.35m．
(2)6.75×6.75×3.14÷2+6.75×2×1.575
=71.533125+21.2625
≈92.80(m2)
答：3分线内区域的面积是92.80m2．
解析
(1)先求半圆的长度：6.75×3.14=21.195(米)，再算两平行线段的长度：1.575×2=3.15(米)，最后再算三分线的长度：21.195+3.15=24.345(米)≈24.35(米)
(2)因为三分线内的面积=半圆面积+长方形面积，所以6.75×6.75×3.14÷2+6.75×2×1.575，计算即可．
18、在每个正方形中分别画一个最大的圆，并完成下表。
正确答案
发现：在正方形内画一个最大的圆，那么正方形的面积与圆的面积之比是4：π。验证：设正方形的边长为5cm，则正方形的面积为25cm2，圆的面积为6.25πcm2，正方形与圆的面积之比为4：π，能得出相同的结论。
解析
由题意可知，正方形内的圆的半径是正方形的边长的一半，再根据正方形和圆形的面积计算公式进行计算，最后得出正方形和圆形的面积的比即可．
19、有一根绳子长31.4m，小红、小东和小林分别想用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？
正确答案
在所有的平面图形中，当周长一定时，围成的圆的面积最大；
围成圆的半径为：31.4÷3.14÷2=5(米)，
围成圆的面积为：3.14×52=78.5(平方米)，
答：把绳子围成圆形面积最大，面积是78.5平方米．
解析
根据在所有的平面图形中，周长一定围成的圆的面积最大，所以可以把这根绳子围成一个圆形，然后再根据圆的周长公式C=2πr确定圆的半径，最后再根据圆的面积公式：S=πr2进行计算即可得到答案．
20、为什么草原上蒙古包的底面是圆形的？为什么绝大多数的根和茎的横截面是圆形的？请你试着从数学的角度解释一下。
正确答案
草原上蒙古包的底面是圆形的：周长相等时,圆面积最大,利用面积大；蒙古包为了节省建筑材料就设计为圆形；还有一个重要的因素，草原风大就是减少风力。绝大多数的根和茎的横截面是圆形的，可以最大面积地吸收水分。
解析
根据圆的特征进行分析：首先，在占有材料相同的情况下，圆形具有最大的面积．几何学告诉我们，周长相等中圆的面积比其他任何形状的面积都来得大；其次，圆柱形具有最大的支撑力和向心力。
声明：本公众号尊重知识产权，素材来源于网络，若有侵权请联系删除。
关注我，获取更多资料

请问：三条边长分别为13，14，15的三角形，其内切圆和外接圆半径是多少？
不要慌，大家不要疑惑，我们今天的确想分享一下三角形的面积计算公式，而不是内切圆、外接圆的半径问题。那么为什么要问这个问题呢？
这是因为这个问题和我们今天要讲解三角形面积计算是有紧密联系的。在很多国际数学竞赛中，比如美国数学竞赛(AMC)，三角形是非常常见且重要的一类图形，考察非常普遍，那么对于三角形面积公式你知道多少呢？
先看下图：
这里我们罗列了几个计算公式：
（1） 
二分之一底乘高，这个公式是怎么来的呢？可以用两个一样的三角形拼成一个矩形或者平行四边形，然后除以2就可以了。
（2） 
 ，所以还是二分之一底乘高；
（3） 
 为外接圆半径，这是借助了正弦定理(Law of sine) 
 ，所以 
 带入公式(2)中，就得到了这个公式。
讲了外接圆我们看看内切圆。
（4） 
连结内切圆圆心与三角形的三个顶点，把 
 分成了三个小三角形，那么

就是我们的半周长乘以内切圆半径。
讲到这，我们就想着解决最开始的问题了：
请问：三条边长分别为13，14，15的三角形，其内切圆和外接圆半径是多少？
因为内切圆半径、外接圆半径我们都可以通过面积建立等式，所以现在关键点就是要计算出三角形的面积。对于这样一个三角形，似乎我们前面的公式都不是很好用。
那么我们介绍下面的公式（5）海伦公式
海伦公式证明：
根据余弦定理： 
 ，

三角恒等式： 

所以，

带入 
 中可知：

其中， 
 为半周长。 
有了海伦公式那么任意三角形的面积我们都能够计算了，比如13-14-15，我们带入公式可知面积为84，所以最开始的问题以13-14-15为三边的三角形的内接圆半径为：
内切圆半径为：
 。
其实以13-14-15为三边的三角形是由5-12-13与9-12-15两个直角三角形拼接而成的。
对于任意的三角形我们如果要计算其内切圆半径、外接圆半径，我们就可以通过海伦公式 
 先得到其面积，然后再借助公式 
 、 
 得到其内切圆半径或外接圆半径。
当然三角形的面积计算公式还有（6） 
可以拆成两个同底不等高的三角形面积之和。
当知道三角形三个顶点的坐标时，我们也可以用（7）Shoelace Theorem
关于定理的证明详见《任意多边形面积计算公式》
如果再特殊一点，三角形的顶点都在格点上，我们还可以用（8）Pick's Theorem
总结：
这里我们介绍了很多种三角形面积的计算公式，在竞赛中我们就根据题目所给的条件选择合适的公式进行计算，有时候我们会有简单的方法计算，再不济我们还有海伦公式，比如2019-AMC12B-18：
当然，学了这么多三角形的面积计算公式还是要灵活应用，比如计算外接圆半径与内切圆半径时，我们都是通过三角形面积作为中间桥梁得到的。
不知道对于三角形面积大家还有什么想法，欢迎交流沟通~~
想了解任意四边形或多边形面积公式的可看下列文章：
双木止月Tong：【国际数学竞赛】四边形面积公式知多少？​zhuanlan.zhihu.com
双木止月Tong：【国际数学竞赛】任意多边形面积计算公式​zhuanlan.zhihu.com
想了解更多国际数学竞赛及课程的知识，可参阅：
双木止月Tong：国际数学竞赛及课程​zhuanlan.zhihu.com