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  • 你是求面积还是周长还是体积啊这是他的相关公式的定义〗几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做.定点称为圆心,定长称为半径.轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的...

    你是求面积还是周长还是体积啊这是他的相关公式〖圆的定义〗

    几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点称为圆心,定长称为半径.

    轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆.

    集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

    〖圆的相关量〗

    圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是3.14159265358979323846…,通常用π表示,计算中常取3.1416为它的近似值.

    圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.

    圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角.

    内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心.

    扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形.圆锥侧面展开图是一个扇形.这个扇形的半径成为圆锥的母线.

    〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

    圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d

    扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S

    〖圆和其他图形的位置关系〗

    圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r.

    直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r.

    两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交.两圆圆心之间的距离叫做圆心距.两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r.

    【圆的平面几何性质和定理】

    〖有关圆的基本性质与定理〗

    圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆.

    圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心.

    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.

    〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗

    在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等.

    一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

    直径所对的圆周角是直角.90度的圆周角所对的弦是直径.

    〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

    一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆.外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等.

    〖有关切线的性质和定理〗

    圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线.

    切线判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

    切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.(3)圆的切线垂直于经过切点的半径.

    切线的长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等.

    〖有关圆的计算公式〗

    1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长l=nπr/180

    4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl

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  • 圆面积公式平均分成若干份,可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于半径(r),长方形的长就是周长(C)的一半。长方形的面积是ab,那的面积就是:半径(r)乘以二分之一周长C,S=r*C/2=r*πr...

    圆面积公式
    把圆平均分成若干份,可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径(r),长方形的长就是圆周长(C)的一半。长方形的面积是ab,那圆的面积就是:圆的半径(r)乘以二分之一周长C,S=r*C/2=r*πr。
    圆周长公式
    圆周长(C):圆的直径(d),那圆的周长(C)除以圆的直径(d)等于π,那利用乘法的意义,就等于 π乘以圆的直径(d)等于圆的周长(C),C=πd。而同圆的直径(d)是圆的半径(r)的两倍,所以就圆的周长(C)等于2乘以π乘以圆的半径(r),C=2πr。

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  • 我们很早就学过,面积计算公式:面积计算公式但是以前从没想过他是怎么推导来的,今天突发奇想,用微积分推导了一下,然后上网看了下高手们的推导,真的是各种方法无奇不有啊,于是就有了写这篇文章的冲动,...

    我们很早就学过,圆的面积计算公式:

    d68b51ef604f

    圆的面积计算公式

    但是以前从没想过他是怎么推导来的,今天突发奇想,用微积分推导了一下,然后上网看了下高手们的推导,真的是各种方法无奇不有啊,于是就有了写这篇文章的冲动,总结下各种计算圆面积的方法。

    不需要常数π的方法

    计算圆的面积中有一个重要常数π,现在假设我们不知道π的值,该怎么计算圆的面积呢?

    蒙特卡罗方法(或飞镖法)

    不知道常数π的值,也就没法直接求出圆的周长和面积,很好想到的一个方法就是:将圆镶嵌在一个正方形中,然后求出圆占这个正方形面积的百分比:

    d68b51ef604f

    你可以胡乱朝这个区域投掷飞镖,当飞镖数量足够大,并假设飞镖投到这个区域任意位置的概率是一样的,那么你最后就可以通过飞镖数量求出圆占整个正方形面积的比,设圆的半径为r,正方形面积为:

    d68b51ef604f

    由知道了比值,自然就可以算出圆的面积

    需要常数π的方法

    常数π是个重要的常数,它表示圆的周长C和圆的直径d之比:

    d70ef7f50df13fd9072c1e6b6f5133a5.png

    如果要用公式:

    d68b51ef604f

    计算圆的面积,当然需要知道π的值。

    知道了π的定义,最简单的办法就是滚粗法:

    220px-Pi-unrolled-720.gif

    操作起来就是:

    先用绳子围绕标准圆一周,然后测量绳子长度:

    d68b51ef604f

    接着找准圆心,然后用尺子测出圆的直径:

    d68b51ef604f

    这两的比值就是常数π了。当然为了更好的精确度,可以采用多次测量取平均值的方法。

    其实上面讲到的蒙特卡洛方法也可以用来计算常数π,只需将圆的半径设为1就好。

    还有一种经典的蒙特卡洛方法,叫做蒲风投针实验:

    设针的长度是l,平行线之间的距离为t,x为针的中心和最近的平行线的距离,θ为针和线之间的锐角。

    d68b51ef604f

    可以推导:

    1b420d7ae8c0114da491cf09f4d6e447.png的概率密度函数为

    83cfa83f553c919a5ed57bc094f78672.png

    812f16bcbd152b5aa7fcf0791f3626e1.png

    的概率密度函数为:

    cebc9fadb9f2d2ad314d50453ec4d4e5.png

    x和θ两个随机变数互相独立,因此两者结合的概率密度函数只是两者的积:

    8a93f84e658fb8c2dfc36b471ab9363e.png

    针和线相交时:

    64e94d290e8c8ae091faf0624392bece.png

    求上式的积分,得到针和线相交的概率:

    2474fe6b9ac4c7c038053047b33a0725.png

    即抛n针,其中有h针和线相交的概率为:

    ff9ab31a51b6ec5d0b8060c920970051.png

    由此可以得到π:

    0364a63f9d46f9e9406133c244d9a2c6.png

    具体操作时,我们可以取t=2l,然后投掷n针,除以针和线相交的次数h,就得到π:

    d68b51ef604f

    当然还有更多计算π的方法,像数列求极限等,感兴趣的请参考这里

    好了,解决了常数π,下面回到正题,如何计算圆的面积?

    剪纸法

    剪纸法的思想就是化整为零,再重新拼接。

    d68b51ef604f

    剪纸法

    将一个圆剪成很多小的扇形,然后再将其拼成如上图的一个矩形,由于圆的周长是2πr,蓝色和黄色各占一半,所以拼成的长方形的长约为π*r,而长方形的宽约为圆的半径r,所以圆的面积等于长方形的面积:

    d68b51ef604f

    变形法

    其实这个方法和上个方法基本思想是一样的:圆的面积我们不知道,那能不能把圆转换成我们熟悉的形状呢?比如三角形:

    d68b51ef604f

    三角形的面积公式我们知道,那与它等价的圆的面积自然也就能计算了:

    32b96ab96339b0675b5c2b1fec63ce1f.png

    微积分法

    大学里学了微积分,用微积分来计算圆的面积,那不是拿着刀俎,鱼肉随便切吗。不过虽然都是用微积分,出发思想不一样,解法也不一样。

    洋葱法

    使用微积分,我们将圆象洋葱一样分为薄圆环,递增地求出面积。

    d68b51ef604f

    对“洋葱”,以 t 为半径的无穷薄圆环,贡献的面积是 2πt dt,周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为 r 的圆给出了一个初等积分:

    975017ef22ee344c12902141406aab8f.png

    极坐标法

    极坐标也是一种变换的方法,就像傅里叶变换一样,极坐标变换将直角坐标系下看似复杂的东西变成极坐标系下极其简单的东西,就像在直角坐标系下的一个圆环,在极坐标系下却是长方形:

    d68b51ef604f

    从笛卡尔到极坐标的区域变换

    唯一要注意的是,直角坐标系下的面积微元为:dxdy,而极坐标下却是:tdtdθ,不懂可以参考这里

    使用极坐标下的二重积分,积分函数为f(x)=1, 积分区域为圆C,则:

    0e4d5c316a7d29f9b765314280d433d9.png

    分割伞形法

    类似于洋葱法,我们也可以把圆分割为一系列小的伞形区域,则每个区域的面积近似为二分之一的弧长(rdθ)乘以半径r:

    d68b51ef604f

    d68b51ef604f

    然后将dθ从0到2π积分,就可以计算出圆的面积:

    d68b51ef604f

    半圆法

    我们知道,圆的方程为:

    d68b51ef604f

    由此可得,当y>0时,半圆的方程为:

    d68b51ef604f

    d68b51ef604f

    对函数y从-r到r积分,由积分的定义知,积分的结果为二分之一圆的面积。

    要计算:

    d5c3d38eb2ffb1b2ced61e17a15d0391.png

    我们先假设:

    a7b7ed14a6ee3c40303af3263f90f88b.png

    则:

    058b1096bd75d5c1e3a937af7c865684.png

    6475ab8d8b914070ce3b9a02ff094947.png

    那么:

    d5c3d38eb2ffb1b2ced61e17a15d0391.png

    8a0854d8fcec51401ef0e0a0b3a8d461.png

    b46c1a2769ecf619b6392c12d54a0582.png

    3db96712aac8ebdca2bb1e96b615ae5c.png

    b0c0ca2ccf133e479786229132893de9.png

    3df1f1b7f1ab85c19cde89f3205f3fc2.png

    当然,你可以通过mathmatica,直接得到结果:

    d68b51ef604f

    总结

    以上的一些方法,归根结底就两类思想:要么是转化的思想,将圆转化为熟悉的图形计算,要么是微积分的思想,把圆细分为微单元,然后再将这些微单元相加。一个简单的圆面积公式,都有这么多的解法,数学的魅力就在这里。

    参考文献

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  • 宇宙第一小仙女\(^o^)/~~萌量爆表求带飞=≡Σ((( つ^o^)つ~ dalao们点个关注呗~~ ------------------------------------我只是一条可爱哒分界线---------------------------------...(一)三角形内切 ...

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    --------------------------------我只是一条可爱哒分界线-------------------------------

     

    (一)三角形内切圆

     

    1.  半径计算公式:

     

    公式一:

    1)公式:r = (a+b-c) / 2.0

    2)证明:

    设Rt△ABC中,∠C=90度,BC=a,AC=b,AB=c
    证明方法一般有两种:
    方法一:
    如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接ODOE
    显然有ODACOE⊥BC,ODOE
    所以四边形CDOE是正方形
    所以CDCE=r
    所以AD=b-r,BE=a-r,
    因为AD=AF,CECF
    所以AF=b-r,CF=a-r
    因为AF+CF=AB=r
    所以b-r+a-r=r
    内切圆半径r=(a+b-c)/2
    即内切圆直径L=a+b-c
    方法二:
    如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OFOA、OB、OC
    显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
    所以S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB
    所以ab/2=br/2+ar/2+cr/2
    所以r=ab/(a+b+c)
    =ab(a+b-c)/(a+b+c)(a+b-c)
    =ab(a+b-c)/[(a+b)^2-c^2]
    因为a^2+b^2=c^2
    所以内切圆半径r=(a+b-c)/2
    即内切圆直径L=a+b-c

     

    公式二:

    1)公式: r = 2.0*S / (a+b+c)

    2)证明:式中S是三角形的面积,(a+b+c)是三角形的周长。

    2*S = S△OBC + S△OCA + S△OAC = a*r + b*r + c*r

    移项化简即为 r = 2.0*S / (a+b+c)

     

    公式三:

    1)公式: r = sqrt ( ( (p-a)*(p-b)*(p-c) / p ) )

    2)证明:

    已知三角形三边 a,b,c,求其内切圆半径 r;

    已知海伦公式:S = √(p*(p - a)*(p - b)*(p - c));

    已知:p = (a + b + c) / 2.0,S = p*r;

    得:r = S / p;

    所以:r = √ ( (p-a)*(p-b)*(p-c) / p ) ;

     

    2. 相关概念:

    1)与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆

    2)圆心叫做三角形的内心。

    3)三角形叫做圆的外切三角形。

    4)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

    5)三角形一定有内切圆且内切圆圆心定在三角形内部。

     


    (二)三角形外接圆

     

    1.  半径计算公式:

    1)公式:R = (a*b*c) / (4.0*s)

    2)证明:式中a,b,c分别为三角形的三边,S为面积。

    R = ( a*b*c ) / (4.0*S)

    R = ( ¼ *a*b*c ) / √ [ p*(p-a)*(p-b)*(p-c) ]

    R = ( a*b*c ) / √ [ (a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c) ]

     

    2.相关概念:

    1)与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

    2)三角形有外接圆,其他的图形不一定有外接圆。

    3)三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。

    4)三角形外接圆圆心叫外心。

     


    (三)r,R,S之间的关系

     

    关系公式:r*R = ( S / p ) * ( ( a*b*c ) / ( 4.0*S ) ) = ( a*b*c ) / [ 2.0*(a+b+c) ]

     

    --------------------------------我也是有底线的---------------------------------

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空空如也

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圆的面积公式直径和半径