精华内容
下载资源
问答
  • _实验视频 的面积公式推导__实验目的通过实验的方式,将16等分圆转化成近似的长方形、梯形和三角形,进而寻找到转化前后图形间的联系,推导出的面积计算公式,帮助学生积累数学实验经验,提高逻辑推理能力。...
    7e42de134664610fdcf501143094e0c3.png

    设计者

    7e42de134664610fdcf501143094e0c3.png

    尤冰  谢凤梨

    常州市武进区星辰实验学校  

    常州市教坛新秀

    武进区学科带头人

    ce676f87b40044e90c239f581f7b1cad.png_7a35bb284bf08240a966a1d9fba97302.gif_

    实验视频

       圆的面积公式推导

    _cb1a40ced03d713186a510dc539b23ba.gif_dff1b2fd03df415abe2271d830c59272.png

    实验目的

    通过实验的方式,将16等分圆转化成近似的长方形、梯形和三角形,进而寻找到转化前后图形间的联系,推导出圆的面积计算公式,帮助学生积累数学实验经验,提高逻辑推理能力。

    _223dc55195975a92dfc15f8878bef8af.gif_

    16等份的圆。

    dff1b2fd03df415abe2271d830c59272.png

    实验工具

    _2e8c1d89da74ffa1b59b3cf945494720.gif_

    实验过程

    ____________5c6919f2522ce280ba86de9f5c01579b.gif

    古时候人们遇到一个羊吃草的问题:把一只羊用麻绳拴在木桩上,这只羊最多能吃到多大范围的草?要求“羊最多能吃到多大范围的草?” 就是求圆的面积。那么,圆的面积计算公式如何推导呢?这就是我们今天数学实验的内容。

    前面我们已经学会如何推导长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。前两种图形是用密铺度量的方式,后三种图形都是通过转化的思想推导出来的,这五类图形有一个共同的特点,都是直线型图形。

    a644fbddefe08eb479312ab5da166c27.png

    而圆和前五类图形不一样,它是由曲线围成的,属于曲线型图形。由于不能实现密铺,所以可行的方式还是转化,并尝试考虑将它转化为直线型图形。

    要转化为直线型图形,显然要对圆进行切割。我们发现经过直径切割,把圆等分成多个小扇形,最后可以拼成近似的长方形、三角形和梯形。

    下面我们来初步尝试,把16等分圆转化成直线型图形,,并计算出相应的面积。

    当然,在实验前,我们先要思考,如何把圆平均分成16等份呢?能否利用我们身边的物体,先画出一个圆?然后想办法把它等分成16份呢?同学们,不妨让我们动手试一试吧。

      相信很多同学,开动小脑筋,想到了怎么等分成16份了吧。好了,让我们开始数学实验吧。

    3b597e5f42413990e94f48900b4540cb.png

    实验活动一:把圆转化成近似的长方形

    dceded6c9976af259639848dfc208ee1.png

    实验活动二:把圆转化成近似的三角形

    9eee30ddcd6b4fce1699f5123dbc2d20.png

    实验活动三:把圆转化成近似的梯形

    b8d63b6d51719db324253bd06433a743.png

    活动解密:

    解密1:根据长方形面积计算公式推导圆的面积计算公式。

    圆的面积等于转化后的长方形面积,长方形的长相当于圆周长的一半,长方形的宽相当于圆的半径。

    根据“长方形面积=长×宽”,

    那么圆的面积 =½ C × r,化简后等于πr²。

    解密2:根据三角形面积计算公式推导圆的面积计算公式。

    圆的面积等于转化后的三角形面积,三角形的底相当于圆周长的十六分之四,三角形的高相当于圆的半径×4。

    根据“三角形面积=底×高÷2”,

    那么圆的面积=¼ C × 4r ÷ 2,化简后等于πr²。

    解密3:根据梯形面积计算公式推导圆的面积计算公式。

    圆形的面积等于转化后的梯形面积,梯形的上底加下底相当于圆周长的一半,梯形的高相当于圆的半径×2,

    根据“梯形面积=(上底+下底)×高÷2”,

    那么圆的面积=½ C × 2r ÷ 2,化简后等于πr²。

    同学们,通过我们由浅入深的探究,我们推导出圆的面积计算公式。现在羊吃草的问题能解决了吗?

    ____________

    结  语

    同学们,在生活和学习中,我们经常会遇到新问题。这时可以想一想和学过的哪些内容有关,试一试能不能把新问题转换成学过的旧问题,再找一找新旧问题之间的联系,或许就会发现解决新问题的方法啦,让我们一起利用这个假期来做数学小实验吧。

    _5baddf3a97a1d5b20666d07259d4cc78.png_

    让思考成为一种乐趣

    长按扫码关注我们

    c0366eadba08df1ed0372cbc45ed26cd.png
    展开全文
  • 术魏晋间人刘徽为了推导面积的计算公式并推求圆周率较精密之值,创造了「割术」,为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。 所谓圆周率,是指的周长与直径的比率。 在刘徽之前,中国通常采用的...

    割圆术

    魏晋间人刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精密之值,创造了「割圆术」,为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。 所谓圆周率,是指圆的周长与直径的比率。 在刘徽之前,中国通常采用的是「古率」,即取圆周率为3,很不精确,它实际上是圆内接正六边形周长与圆的直径之比,而不是圆的周长与直径之比。

    但是,刘徽却从中得到启发:如果把圆周分割成十二等分,作出圆内接正十二边形,那么它的面积和周长就相应地比圆内接正六边形接近于圆的面积和周长,因而用圆内接正十二边形周长与圆直径之比作圆周率的近似值,就比「周三径一」精确一些。 如果进一细分,作出圆内接二十四边形,那么又可求出更精确一些的圆周率近似值。

    「 割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣 」。 刘徽从圆内接正六边形开始,不断倍增图形的边数,边数愈多,多边形的面积便愈接近圆的面积,这就是刘徽所创的「割圆术」了。 刘徽从圆内接正六边形一直割到圆内接正一百十二边形,得出圆周率近似值为3.14 ,当刘徽把正多边形的边数倍增至3072时,又求得圆周率的分数值为 ,小数的近似值为3.1416 ,准确至四位小数。

    后世称这个数为「徽率」。 都是当时世界第一流水平的成就。 二百多年后,祖冲之继续推算,于得出了更精确的结果:

    3。1415926 <圆周率< 3。1415927

    (祖冲之是世界上第一位把圆周率值计算准确至七位小数的人)

    此外,祖冲之还给出了圆周率的两个分数值准确度较低的 (称为疏率)

    准确度较高的 (称为密率)

    然而,究竟祖冲之用什么方法把圆周率的值计算准确至七位小数,而他又怎样找出作为圆周率的近似分数呢?这些问题至今仍是数学史上的谜。

    据数学史家们分析,他很可能采用了刘徽的「割圆术」,如果言个分析不错话,那么,祖冲之就需要从圆内接正六边形分割到圆内接正12288边形和圆内接正24576边形 ,依次求出各多边形的周长和面积。 这个计算量是相当巨大的,至少要对九位数字反覆进行130次以上各种运算,其中乘方和开方就有近50次,任何一点微小的失误,都会导致推算失败。

    可知祖冲之深厚扎实的数学功底,严谨求实的科学态度。 祖冲之求得的这个圆周率值要在一千年以后才由阿拉伯数学家于1427年打破。

    会圆术

    是北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的杰出创造,给出了弓形的弦、矢和弧长之间的近似关系。

    「会圆术」是从《九章算术》的「方田」章所载的「弧田术」的基础发展而成的,所谓「会圆术」就是已知圆直径和弓形的高(即矢),而求弓形底(即弦)和弓形弧的方法。 用「弧田术」来计算所得的近似值,不很精密,但用「会圆术」来计算,虽然也只能得到近似值,但精确多了。

    沈括 出的求弧长的近似公式:

    其中d 为弧所在的圆径, c 为弧田的弦, v 为弧田的矢。

    重差术

    《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题,乃是测量城池、山高和井深之的测量问题,这种测量方法称为「重差术」。

    三国时代数学家刘徽为了解释「重差术」,便撰写《重差》一卷,附在《九章算术》中《勾股》章之后,到了唐初,这一部分才被人从《九章算术》中抽出来,成为一部独立的著作。 因为它的第一题是关于测量海岛的高和远的问题,故将《重差》更名为《海岛算经》。

    《海岛算经》第一题

    今有望海岛,立两表齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直,从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合,问岛高及去表各几何?

    此题提出望见有一个海岛,不知道它的高度和离岸距离,讨论如何量度海岛的高度和离岸距离。

    刘徽给出的解法是:

    立下两个高度都是h尺的标杆,两杆之间的距离是d尺,并且使这两个标杆和海岛的位置都处于一条直线上。

    从前面标杆后退 a 尺,人目落地,观测杆顶和山顶在一条直线上。 再从后面的标杆后退 b 尺,人目落地,也可以观测到杆顶和山顶在一条直线上。

    问海岛的高和海岛离岸距离:

    海岛的高

    海岛的远

    由于这种计算需要两个差数,即 d 和 b - a ,故古代称为「重差术」。

    解: a = 127 步, b = 127 步, h = 3 丈= 30 尺= 5 步, d = 1000 步

    岛高 (1 里 = 300 步 )

    岛远

    盈不足术

    盈不足术,在中国数学发展史上,有着很悠久历史,是一个原始的解题方法,(现在高等数学中求方程式实根近似值的假借法就是由古代的盈不足术发展而来的),后来的数学家并不十分重视,但是它流传到中亚细亚和欧洲之后,在欧洲代数学没有发达之前,曾广泛用这方法解决代数学上的问题好几百年,所以盈不足术在世界数学史上有光荣的地位的。

    《九章算术 》解这类问题的术文相当于公式:

    人数:

    物价:

    程大位解法的歌词是:

    算家欲知盈不足,

    两家互乘并为物 ,

    并盈、不足 为人实数(被除数),

    分率相减 余为法(除数),法除物实为物价,

    法除人实人数目。

    例: 今有(人)共买物,人出八,盈三;人出七,不足四;问人数物各几何?

    答曰:七人;物价五十三

    解:

    物价= 人数=

    方程

    两千年前,中国古代有一部数学名著叫《九章算术》,其中一章名叫「方程」,是讲多元一次方程组的问题,对应于现今的线性方程组(System of linear equations),十七世纪前后,欧洲代数首次传入中国,当时译'equation'为「相等式」。

    十九世纪中叶,近代西方数学再次传入中国,1859年清数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译《代数初步》,其中,'equation'的译名就是借用了中国古代的「方程」一词,这样,「方程」一词首次意为「含有未知数的等式」。 1873年,清数学家华蘅芳与英国传教士传兰雅合译《代数学》,他们则把'equation'译为「方程式」,他们的意思是,「方程」与「方程式」应该区别开来,「方程」仍指《九章算术》中的意思,而「方程式」是指「含有未知数的等式」。

    直到1934年,中国数学学对数学名词进行逐一审查,确定「方程」与「方程式」者意义相通,至此「方程」与「方程式」同义,自此一直 沿用下来 。

    贾宪三角

    宋代数学家杨辉于公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,记载了一幅「 开方作法本源图 」,人们把它称为「杨辉三角」,是一个用数字排列成的三角阵。

    西方把这个三角形称为「巴斯卡三角形」,但法国数学家巴斯卡造出它已经是十七世纪的事了。 据杨辉说「开方作法本源图」:「出《释锁算书》,贾宪用此术」,贾宪是十一世纪初北宋的一位数学家,比杨辉早两个多世纪,因此应把这个三角形称为「贾宪三角」。

    「贾宪三角」实际上是将二项式a b乘方后展开式的系数表:见「开方作法本图」下面的五句话:

    「 左袤乃积数,右袤乃偶算,中藏者皆廉,以廉乘商方,命实而除之。

    前三句说明了贾宪三角的结构,后二句明各系数在立成释锁方法中的作用。

    ( 长方形土地东西的长叫做广,南北的长叫做袤。南北引申为上下。 )

    「 左袤乃积数 」指左边由上而下的那一行「一一一一一一一」是二项展开式中常数项系数;

    「 右袤乃偶算 」指右边由上而下的「一一一一一一一」是展开式中最高次项系数;

    「 中藏者皆廉 」指中间那些数是对应各次项的系数;

    「 以廉乘商方,命实而除之 」指开方或解方程时用所得的商去乘各次项系数,再从实中减去。

    杨辉之后,朱世杰《四元玉鉴》也有同样的图,

    名为「 古法七乘方图 」

    增乘开方法

    即高次方程数值解法,这方法可以求得任意高次展开式的系数。

    高次方程数值解法是中国传统数学中最重要内容之一,源远流长,成就卓著,在汉代的《九章算术》中已有开平方、开立方的明确而规范的步骤,以及求解一元二次方程的记载,此后,南北朝祖冲之父子的《缀术》,唐代王孝通《缉古算经》中都研究了三次方程解法,北宋时期,刘益创立正负开方术,突破了以往方程系数仅为正数的限制;贾宪着有《黄帝九章算法细草》,其中一部分被杨辉采入《详解九章算法》,保留了贾宪的杰出数学成就:增乘开方法;贾宪发展了增乘开方法,创立开方作法本源,解决了一般的开高次方问题。

    开方作法本源图是一个由数字排列成三角形的数表,称为贾宪三角形,给出了二项式展开式中的系数。

    大衍总数术

    就是求解联立一次同余式组问题,这类问题,在中国古代数学中由来已久,至少可以上溯到汉代历法中上元积年的推算。

    《孙子算经》「物不知数」的数学模型,表明这一方法在南北朝时期已相当成熟,十三世纪秦九韶给出了完整方法,将其推广到最一般的情形,这方法称为「大衍总数术」,通常把中国古代求一次同余问题的解法称为「大衍求一术」。 在欧洲,经过欧拉( Euler , 公元 1707 - 1783 )、拉格朗日( Lagrange , 公元 1736 - 1813 )、高斯( Gauss , 公元 1777 - 1855 )、三位数学家六十多年的努力才达到相同水准,但已在秦九韶之后五百五十多年了。

    中国古代数学这一杰出创造被方学者称为「中国剩余定理」,中国数学史界认为应叫做「孙子定理」。

    天元术

    天元是指问题中的未知数,「立天元某某」相当于现在的「设x为某某」的意思。 这种建立只包含一固未知数的一元代数方程的一般方法,被称为「天元术」。

    「天元术」的起源大概是十三世纪初年的前后,创作者名字和年代不可考,流传下来的有元李治的《测圆海镜》和宋朱世杰的《四元玉鉴》、《算学启蒙》。

    一元多次方程表示法「元」字的左边是一次项的系数,

    上层依次为二次及三次项系数,下层为常数项,右图所示方程

    四元术

    是中国古代处理多元高方次程组问题(可多至四个未知数)的一套代数方法。

    是将「天元术」只包含一个未知数的一元方程推广至二元、三元以至四元的高次联立方程组,因未知数可以有四个之多,后人把扩充后的天元术称为「四元术」。 「四元术」中的天、地、人、物四元,相当于现在的x 、 y 、 z 、 w ,而方程的各项,在筹式中都有各自相应的固定位置。

    多元一次式表示法不同未知数以不同「元」表示,

    计有天元、地元、人元和物元等 ,再把「太」字放在各元中间,下为天元,上为物元,左为地元,右为人元。

    右图所示方程2 x 6 y 3 z 7 w = 0

    招差术

    即内插法,是中国数学史上有世界意义的重要成就,汉代历法中已经使用了一次内插法,隋唐时期创用了二次内插法,元数学家王恂用了三次内插法,并将其运用到历法中的许多问题,朱世杰在此基础上更进一步,把垛积与招差视为相对互逆的运算,利用三角垛系统的结果建立了四次内插公式,这比西方的同类成果早了三百多年。

    垛积术

    即高阶等差级数求和问题。 设有一些形状及大小均相同的离散物体堆积为一个规则台体,应如何计算这些物体的个数 ?

    在《九章算术》中己经绘出各种台体,拟台体的体积公式,但离散物体的垛积问题直到沈括正式提出,并得到完满的解决,这一成就构成了中国垛积术研究的开端,以后续有人研究,南宋杨辉在《详解九章算法》及《算法通变本末》中给出了三个垛积公式:

    三角垛

    四隅垛

    方垛垛 ( 其中 n 为垛层数 )

    后来元代朱世杰较大的发展,在《四元玉鉴》中有系统而深入的研究垛积问题,取得了极为辉煌的成就,并使之在其后数百年中一直成为数学家们关注的课题。

    朱世杰的许多级数求和问题中,可归纳出一串有着重要意义的公式:

    这类求和公式统称为三角垛公式。

    到十九世纪李善兰的《垛积比类》集中算史上垛积之大成,乃有进一步发挥。 在此基础上产生了李善兰恒等式和「尖锥术」等一系列优秀成果。

    纵横图

    即现代所谓幻方( Magic Square ),一般是指由1到n的连续自然数组成的一个方阵,每行、每列及两条对角线上的n个数之和均相同,至迟在战国时代已经出现,被称为洛书或九宫,但在后来的一千多年中并无进一步发展。

    洛书显然是一个三阶幻方,其横 、 纵 、对角线各行三数之和都是十五。 据北周甄鸶注《数术记遗》: 「九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央」,是世界上最古老的三阶幻方 。

    洛书

    4 9 2

    3 5 7

    8 1 6

    杨辉在他的《续古摘奇算法》中创「纵横图」之名,收入幻方十三个,包括:洛书数(三阶幻方)一,花十六图(四阶幻方)二,五五图(五阶幻方)二,六六图(六阶幻方)二,衍数图(七阶幻方)二,易数图(八阶幻方)二,九九图(九阶幻方)一,百子图(十阶幻方)一,另外还有聚五、聚六、聚五、攒九、八阵、连环诸图,是一些呈圆形的数学阵,具有与幻方类似的性质。

    杨辉不仅记了许多幻方,而且对于奇数阶 3 n 阶及双数阶幻方提示了具有一般性的造方法,成为中国数学史上第一位对幻方进行系统的数学探讨的数学家。 此外,明代王文素着的《算学宝鉴》中亦有记载多种纵横图,程大位着的《算法统宗》在卷17里载有14种纵横图。

    清代方中通的《数度衍》在卷首之一的「九九图说」后附有14种纵横图,它与杨辉著作中的基本上相同。 欧洲的同类工作直到十六世纪才得以系统地展开。

    46 8 16 20 29 7 49

    3 40 35 36 18 41 2

    44 12 33 23 19 38 6

    28 26 11 25 39 24 22

    5 37 31 27 17 13 45

    48 9 15 14 32 10 47

    1 43 34 30 21 42 4

    衍数图(七阶幻方) (纵横斜175 )

    31 76 13 36 81 18 29 74 11

    22 40 58 27 45 63 20 38 56

    67 4 49 72 9 54 65 2 47

    30 75 12 32 77 14 34 79 16

    21 39 57 23 41 59 25 43 61

    66 3 48 68 5 50 70 7 52

    35 80 17 28 73 10 33 78 15

    26 44 62 19 37 55 24 42 60

    71 8 53 64 1 46 69 6 51

    九九图(九阶幻方) (纵横斜369 )

    右图是杨辉的九九图,可以清楚地看出他以三阶幻方为基础构造一般的3 n阶幻方的尝试:

    这一九阶幻方明显地划分为九个阶方阵,每个三阶为阵的各数都由九的倍数加上图中蓝色方框中的数字构成,且结构完全一致,其和谐、对称,富有规律,在数学上达到了十分优美的境界。

    体现了杨辉幻方研究的高度理论水准。

    1 20 21 40 41 60 61 80 81 100

    99 82 79 62 59 42 39 22 19 2

    3 18 23 38 43 58 63 78 83 98

    97 84 77 64 57 44 37 24 17 4

    5 16 25 36 45 56 65 76 85 96

    95 86 75 66 55 46 35 26 15 6

    14 7 34 27 54 47 74 67 94 87

    88 93 68 73 48 53 28 33 8 13

    12 9 32 29 52 49 72 69 92 89

    91 90 71 70 51 50 31 30 11 10

    百子图(十阶幻方) (纵横斜505 )

    尖锥术

    公元 1845 年李善兰在其《方圆阐释》一书中建立了一套相当于简单形式的积分学 — 尖锥术理论,提出:

    体积是由面积积迭而成,面积是由线段积迭而成。

    体积可变为面积,面积可变为线段。

    勾股形

    勾股形为什么在中国古代直角三角形会叫「勾股形」呢?

    原来,中国古代在进行天文测量时,在地上??一根木竿,叫做「表」。

    「表」在地面上投射出一道日影,于是表和日影构成了一个直角三角形的两条直角边。 中国古代就把直角三角形称为「勾股形」,「表」那条直角边称为「勾」,日影那条直角边称为「股」,勾股形的斜边称为「弦」 。

    测出勾股的长度,便可以粗略地 推算出太阳的高度。

    全部

    展开全文
  • 实例1 求的周长 实例2 求一元二次方程ax2+bx+c=0的根 支持网站 什么是算法 算法就是解决问题的方法现实生活中有很多涉及到算法的例子如洗衣机的操作指南一道菜谱还记得春晚的一个小品么把大象装冰箱总共几步第...
  • 更多资料请关注微信公众号:小学资源园地我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、和扇形图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表:实际问题中...

    更多资料请关注微信公众号:小学资源园地

    3aeae00f1289cde3f030ba78766e8334.gif

    我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表:

    5697ed6bdbf9c9f501334e482e531733.png

    实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

    那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。

    先看三道例题感受一下——

    例1 如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

    e02a5989174f8df34463bc5f99b626bc.png

    一句话:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面积之和。

    例2 如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积.

    1755a64d525ea94b8a4067380c0d185c.png

    一句话:因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,都等于正方形ABCD面积的三分之一,也就是12厘米.

    解:

    S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12

    在△ABE中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

    ∴△ECF的面积为2×2÷2=2。

    所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。

    例3 两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的面积。

    3b73a83e905111e95313d4fdeaf7c300.png

    一句话:阴影部分面积=S△ABG-S△BEF,S△ABG和S△BEF都是等腰三角形

    总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。

    常用的基本方法有:

    一、相加法 这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积.

    例如:求下图整个图形的面积

    ee31bf85abdd80f95113ae15247fd842.png

    一句话:半圆的面积+正方形的面积=总面积

    二、相减法 这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    33e7980eb620c22224a88df75e1e8656.png

    一句话:先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.

    三、直接求法 这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    0cefde7da917a91ccec5fb11618cdc19.png

    一句话:通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形

    四、重新组合法 这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    185ef61284fd2970fb7e1684c1997c69.png

    一句话:拆开图形,使阴影部分分布在正方形的4个角处,如下图。

    0429ff723fa9da039b1ff480e77a30a7.png

    五、辅助线法 这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可

    例如:下图,求两个正方形中阴影部分的面积。

    506484555bf9b5ca240ee94aed1355fe.png

    一句话:此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便(如下图)

    56fb2432ea04b52844551adf92863399.png

    根据梯形两侧三角形面积相等原理(蝴蝶定理),可用三角形丁的面积替换丙的面积,组成一个大三角ABE,这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.

    六、割补法法 这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.

    例如:下图,若求阴影部分的面积。

    be6d28f6466dd9f066ff6e8f09fdc29c.png

    一句话:把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.

    七、平移法 这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    4595b7884968317594871aac0b8b8648.png

    一句话:可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。

    八、旋转法 这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积.

    例如:下图(1),求阴影部分的面积。

    64e7fb8d63f784a214a910ba674ec045.png

    一句话:左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合,从而构成右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

    c1391fdc52b6bf64c344985430212fc5.png

    九、对称添补法 这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    9b458a4b894d624b8e7d8e46c53d0c4d.png

    一句话:沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

    98635c2b9885336ed771e821c312904c.png

    十、重叠法 这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    3d43be060ea57a88ddf7f9c8f02fc561.png

    一句话:可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.

    展开全文
  • /*UVA11524 平面几何: 使用到的知识比较零碎: 1、三角形内切是角平分线的交点,...4、当代数式太复杂,手动难以化简,考虑用计算方法二解决。 */ #include<iostream> #include<stdio.h> ...
    /*UVA11524
    平面几何:
    使用到的知识比较零碎:
    1、三角形内切圆是角平分线的交点,所以连接圆心和顶点,能产生3对全等三角形
    2、利用等量关系表示其他量
    3、求三角形的两种方法:海伦公式+周长*半径/2
    4、当代数式太复杂,手动难以化简,考虑用计算方法二分解决。
    */
    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    #include<stdlib.h>
    #include<math.h>
    #include<queue>
    #include<vector>
    #include<map>
    #define LL long long
    
    using namespace std;
    
    //输入 r,m1, n1, m2, n2, m3 and n3
    
    double r,m1,n1,m2,n2,m3,n3;
    int t;
    
    double Helen(double a)
    {
        double b=(m3+n3)/n3*m1/(n1+m1)*a;
        double c=(m2+n2)/m2*n1/(m1+n1)*a;
        double k=(a+b+c)/2;
        return sqrt(k*(k-a)*(k-b)*(k-c));
    }
    double F(double x)//x是二分变量AB
    {
        double b=(m3+n3)/n3*m1/(n1+m1)*x;
        double c=(m2+n2)/m2*n1/(m1+n1)*x;
        double hel=Helen(x);
        double Fx=hel*2/(x+b+c)-r;
        return Fx;
    }
    int main()
    {
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            cin>>r>>m1>>n1>>m2>>n2>>m3>>n3;
            double L=0,R=10000000;
            while(R-L>1e-7)//F(x)单调递增,先负后正
            {
                double x=(L+R)/2;
                double Fx=F(x);
                if (Fx<0) L=x;else R=x;
            }
            printf("%.5lf\n",Helen(L));
        }
        return 0;
    }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/little-w/p/3570194.html

    展开全文
  • 1:按所测得的量(参数)是否为欲测之量分类(1)直接测量 :从测量器具的读数装置上得到欲测之量...一般来说,直接测量比间接测量(受计算公式和计算精度影响)的精度高,无法进行直接测量的场合采用间接测量。2:按测量...
  • 2·1 约·通 2·2 分式的四则运算 2·3 繁分式 2·4 比例式 3. 无理数·无理式 3·1 平方根·不尽根数 3·2 开方法 3·3 无理数的计算 3·4 无理式的计算 4. 实数的绝对值 4·1 绝对值的意义·记号 4·2 含有...
  • 2·1 约·通 2·2 分式的四则运算 2·3 繁分式 2·4 比例式 3. 无理数·无理式 3·1 平方根·不尽根数 3·2 开方法 3·3 无理数的计算 3·4 无理式的计算 4. 实数的绝对值 4·1 绝对值的意义·记号 4·2 含有...
  • 就是说A点任意确定即可,然后我们可以等分一个半圆枚举B点,求出C点到AB距离的期望。 一开始是写出AB的表达式,然后再用距离公式求出期望,发现。。。积分积不动。 参考这张图。 A点是确定一点,B点是等分枚举点。 ...
  • 之前和大家一起学习了小学应用题...小学几何主要以求图形的面积周长为主,学习三角形、正方形、长方形、平行四边形、图形、圆等图形的定义以及求出周长或面积,这一类的图形都一称为规则图形,只要同学熟记公式定义...
  • 龙贝格算法求解椭球周长

    千次阅读 2018-12-19 18:45:56
    数值积分: 在实际应用中经常应用到计算方法去求解一些不易测量的零件的周长或面积。已知一个椭圆形边框如下图...(1)将区间[a,b] 划分为 n等分,分点: ;根据梯形公式,求出 ,再根据和之间的递推公式求出; ...
  • #运算符 ##【变量的赋值与计算都离不开表达式,...假设用程序来计算圆的面积,S、π、r均为变量,省略的乘号为运算符,r的2次方可以描述为r*r。则上面的公式即为求面积的表达式。 结合上面的案例,本节课程分为三
  • 通过本课的学习你将掌握运用表达式和运算符完成变量赋值、条件判断、数学运算、逻辑运算功能操作】在讲述课程内容之前,先看一个求面积的问题。求面积的公式为;其中S为面积,π为圆周率,r为半径。假设用...
  • 小学数学第十二册教学计划 ... 教学要求: 1、掌握圆柱、圆锥的特征,掌握几何体体积的计算公式,学会正确计算它们的体积。 2、学会绘制复式统计表和统计图,并能看懂、分析统计图表中的数据所说明的问题。 3、...
  • 并修改了数据转换为"人民币中文大写形式、人民币数字形式(例如:1435.75、人民币壹仟肆佰叁拾伍柒角伍、¥1435.75)的一些BUG,大大方便了财务、票据方面的工作,输入的任何数据和计算结果可自动输入在其它...
  • 一、基本理解 1.朴素贝叶斯分类器: 例:如果有一种水果具有红、椭圆形、直径约3英寸特征,则该水果可以被判定为是苹果。 尽管这些特征相互依赖或者有些特征由其他特征决定,然而...步骤3:使用贝叶斯公式计算每一
  • 关于地图投影的C程序的一些说明 ...角圆锥投影(main1计算,main2兼作图,以河北省为例);3。角圆柱投影(main3为 河北省,main4为全球,即墨卡托投影);4。高斯—克吕格投影(main1为3度...
  • 6.2 差序列 263 6.3 威尔逊定理 263 6.4 约数个数 263 6.5 行列式的值 264 6.6 最小二乘法 264 第7章 解析几何 265 7.1 四边形 265 7.2 抛物线 265 7.3 双曲线 265 7.4 椭圆 266 第8章 平面立体几何 267...
  • 的面积公式………………………………………… 正方形与圆形………………………………………… π值…………………………………………………… π的特性……………………………………………… π值的演变…………...
  • 接着详细讲解了算法在排序、查找、数学计算、数论、历史趣题、游戏领域中的应用;后梳理和精选了一些经典的算法面试题,供读者开拓思维之用。 第1章 算法和实现算法的Java语法 1.1 建立算法初步概念 1.1.1 什么...
  • excel的使用

    2012-11-25 17:06:01
    #_k"克"” 可以看到,使用条件格式,千符和均匀间隔指示符的组合,不用增加公式的数目就可以改进工作表的可读性和效率。另外,我们还可以运用自定义格式来达到隐藏输入数据的目的,比如格式";##;0"只显示...
  • 有限元方法的数学基础.pdf

    热门讨论 2009-11-27 00:19:31
    本书适合高等院校计算数学和应用数学专业的研究生及高年级本科生,也可作为有兴趣于数学理论方面的工程师的参考书。 目录: 引论第1章 变分原理1·1 可微二次凸泛函的极小化问题1·2 不可微凸泛函的极小化问题1·3...
  • 6.6.1 割术 186 6.6.2 蒙特卡罗算法 189 6.6.3 级数公式 191 6.7 矩阵运算 193 6.7.1 矩阵加法 193 6.7.2 矩阵减法 195 6.7.3 矩阵乘法 196 6.8 方程求解 198 6.8.1 线性方程求解——高斯消元法 198 ...
  • c语言经典案例

    2014-10-30 08:06:57
    计算公式 344 实例231 利用宏定义求偶数和 345 实例232 利用文件包含设计输出模式 346 实例233 使用条件编译隐藏密码 347 第16章 文件读写 349 实例234 关闭所有打开的文件 350 实例235 同时显示两个文件的内容 352 ...
  • 《C/C++常用算法手册》3篇,共13章,“第1篇算法基础篇”介绍了算法概述,重点分析了数据结构和基本算法思想;“第2篇算法基本应用篇”详细讲解了算法在排序、查找、数值计算、数论、经典趣题和游戏中的应用;“第...
  • 《C/C++常用算法手册》3篇,共13章,“第1篇算法基础篇”介绍了算法概述,重点分析了数据结构和基本算法思想;“第2篇算法基本应用篇”详细讲解了算法在排序、查找、数值计算、数论、经典趣题和游戏中的应用;“第...
  • 操作系统重点

    2013-01-15 16:59:50
     要求:能利用图表形式列出各作业或进程的有关时间值,如到达时间、运行时间、开始时间、完成时间,利用评价公式计算出各指标的值,如周转时间、带权周转时间、平均周转时间、平均带权周转时间。  【理解】  1....
  • temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta,转化为矩阵形式 J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值 for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数 h...
  • 除数学基础理论外,还收入各种应用领域的常用的数学工具和方法,如数理统计、数值分析、最优化理论与方法、有限元方法、运筹学、图论、信息论;注意编排技巧,并附有便于读者检索的比较详尽的索引。 近年来,数学...
  • 4.9输入一个华氏温度,要求输出摄氏温度,公式为C=(5/9)(F-32) 9 输出要有文字说明,取2位小数。 9 第5章 选择结构程序设计 10 5.2语言中如何表示“真”和“假”?系统如何判断一个量的“真”和“假”? 10 5.3写出...

空空如也

空空如也

1 2 3
收藏数 46
精华内容 18
关键字:

圆等分计算公式