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  • 本代码主要利用MATLAB工具实现MATLAB——计算圆面积公式,简单明了,易于理解
  • 我们很早就学过,面积计算公式:面积计算公式但是以前从没想过他是怎么推导来的,今天突发奇想,用微积分推导了一下,然后上网看了下高手们的推导,真的是各种方法无奇不有啊,于是就有了写这篇文章的冲动,...

    我们很早就学过,圆的面积计算公式:

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    圆的面积计算公式

    但是以前从没想过他是怎么推导来的,今天突发奇想,用微积分推导了一下,然后上网看了下高手们的推导,真的是各种方法无奇不有啊,于是就有了写这篇文章的冲动,总结下各种计算圆面积的方法。

    不需要常数π的方法

    计算圆的面积中有一个重要常数π,现在假设我们不知道π的值,该怎么计算圆的面积呢?

    蒙特卡罗方法(或飞镖法)

    不知道常数π的值,也就没法直接求出圆的周长和面积,很好想到的一个方法就是:将圆镶嵌在一个正方形中,然后求出圆占这个正方形面积的百分比:

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    你可以胡乱朝这个区域投掷飞镖,当飞镖数量足够大,并假设飞镖投到这个区域任意位置的概率是一样的,那么你最后就可以通过飞镖数量求出圆占整个正方形面积的比,设圆的半径为r,正方形面积为:

    d68b51ef604f

    由知道了比值,自然就可以算出圆的面积

    需要常数π的方法

    常数π是个重要的常数,它表示圆的周长C和圆的直径d之比:

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    如果要用公式:

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    计算圆的面积,当然需要知道π的值。

    知道了π的定义,最简单的办法就是滚粗法:

    220px-Pi-unrolled-720.gif

    操作起来就是:

    先用绳子围绕标准圆一周,然后测量绳子长度:

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    接着找准圆心,然后用尺子测出圆的直径:

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    这两的比值就是常数π了。当然为了更好的精确度,可以采用多次测量取平均值的方法。

    其实上面讲到的蒙特卡洛方法也可以用来计算常数π,只需将圆的半径设为1就好。

    还有一种经典的蒙特卡洛方法,叫做蒲风投针实验:

    设针的长度是l,平行线之间的距离为t,x为针的中心和最近的平行线的距离,θ为针和线之间的锐角。

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    可以推导:

    1b420d7ae8c0114da491cf09f4d6e447.png的概率密度函数为

    83cfa83f553c919a5ed57bc094f78672.png

    812f16bcbd152b5aa7fcf0791f3626e1.png

    的概率密度函数为:

    cebc9fadb9f2d2ad314d50453ec4d4e5.png

    x和θ两个随机变数互相独立,因此两者结合的概率密度函数只是两者的积:

    8a93f84e658fb8c2dfc36b471ab9363e.png

    针和线相交时:

    64e94d290e8c8ae091faf0624392bece.png

    求上式的积分,得到针和线相交的概率:

    2474fe6b9ac4c7c038053047b33a0725.png

    即抛n针,其中有h针和线相交的概率为:

    ff9ab31a51b6ec5d0b8060c920970051.png

    由此可以得到π:

    0364a63f9d46f9e9406133c244d9a2c6.png

    具体操作时,我们可以取t=2l,然后投掷n针,除以针和线相交的次数h,就得到π:

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    当然还有更多计算π的方法,像数列求极限等,感兴趣的请参考这里

    好了,解决了常数π,下面回到正题,如何计算圆的面积?

    剪纸法

    剪纸法的思想就是化整为零,再重新拼接。

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    剪纸法

    将一个圆剪成很多小的扇形,然后再将其拼成如上图的一个矩形,由于圆的周长是2πr,蓝色和黄色各占一半,所以拼成的长方形的长约为π*r,而长方形的宽约为圆的半径r,所以圆的面积等于长方形的面积:

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    变形法

    其实这个方法和上个方法基本思想是一样的:圆的面积我们不知道,那能不能把圆转换成我们熟悉的形状呢?比如三角形:

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    三角形的面积公式我们知道,那与它等价的圆的面积自然也就能计算了:

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    微积分法

    大学里学了微积分,用微积分来计算圆的面积,那不是拿着刀俎,鱼肉随便切吗。不过虽然都是用微积分,出发思想不一样,解法也不一样。

    洋葱法

    使用微积分,我们将圆象洋葱一样分为薄圆环,递增地求出面积。

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    对“洋葱”,以 t 为半径的无穷薄圆环,贡献的面积是 2πt dt,周长的长度乘以其无穷小宽度。这样对半径为 r 的圆给出了一个初等积分:

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    极坐标法

    极坐标也是一种变换的方法,就像傅里叶变换一样,极坐标变换将直角坐标系下看似复杂的东西变成极坐标系下极其简单的东西,就像在直角坐标系下的一个圆环,在极坐标系下却是长方形:

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    从笛卡尔到极坐标的区域变换

    唯一要注意的是,直角坐标系下的面积微元为:dxdy,而极坐标下却是:tdtdθ,不懂可以参考这里

    使用极坐标下的二重积分,积分函数为f(x)=1, 积分区域为圆C,则:

    0e4d5c316a7d29f9b765314280d433d9.png

    分割伞形法

    类似于洋葱法,我们也可以把圆分割为一系列小的伞形区域,则每个区域的面积近似为二分之一的弧长(rdθ)乘以半径r:

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    然后将dθ从0到2π积分,就可以计算出圆的面积:

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    半圆法

    我们知道,圆的方程为:

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    由此可得,当y>0时,半圆的方程为:

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    对函数y从-r到r积分,由积分的定义知,积分的结果为二分之一圆的面积。

    要计算:

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    我们先假设:

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    则:

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    那么:

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    当然,你可以通过mathmatica,直接得到结果:

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    总结

    以上的一些方法,归根结底就两类思想:要么是转化的思想,将圆转化为熟悉的图形计算,要么是微积分的思想,把圆细分为微单元,然后再将这些微单元相加。一个简单的圆面积公式,都有这么多的解法,数学的魅力就在这里。

    参考文献

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    圆柱体积计算公式有哪些

    π是圆周率,一般取3.14

    r是圆柱底面半径

    h为圆柱的高

    圆柱体体积=底面积×高

    V=πr2h=V=sh

    还可以是

    v=1/2ch×r

    侧面积的一半×半径

    2

    圆柱体积相关公式

    圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

    圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

    圆柱的体积=底面积×高

    3

    圆柱的体积怎么计算

    求圆柱体积先要求圆基的半径。两个圆都会做,因为它们大小相同。如果你已经知道半径,你可以继续前进。如果你不知道半径,那么你可以用尺子测量圆的最宽部分,然后除以2。这将比测量直径的一半更准确。我们说,这个圆筒的半径是1英寸(2.5 厘米)。把它写下来。如果你知道这个圆的直径,就把它分成2个。如果你知道周长,然后除以2π得到半径。

    计算圆形基的面积。要做到这一点,只是用公式求圆的面积,πR2 =。只要把你找到的半径插进去就可以了。这里是如何做到这一点:aπx 12 = =πx 1。因为π约3.14到三的数字,你可以说,圆形底座的面积是3.14。

    找到圆柱体的高度。如果你已经知道高度了,继续前进。如果没有,用尺子量一下。高度是两个基棱之间的距离。比方说,圆柱体的高度是4英寸(10.2 厘米)。把它写下来。

    把基础的面积乘以高度。你可以把圆柱体的体积看作是圆柱体的面积在圆柱的整个高度上延伸的体积。因为你知道基的面积是3.14的2,高度是4,你可以把两者相乘,得到圆柱体的体积。3.14英寸,2英寸,4英寸。= 12.56。这是你最后的答案。总是以立方单位陈述你的最终答案,因为体积是三维空间的量度。

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    接触了圆这个几何图形后,就会一一对它进行剖析,比如要知道其面积公式的由来,是如何推导得到的?如果仅依靠黑板教具来讲解,恐怕不能让学生们深刻明白,这时老师就可以借助动态绘图工具来实现,通过演示将圆转化为长方形的过程,从而知道面积公式的由来。

    专业绘图工具几何画板就可以演示推导圆面积计算公式的过程,该软件免费获取地址http://wm.makeding.com/iclk/?zoneid=13398

    圆面积计算公式推导课件模板样图:

    圆面积的推导课件 
    圆面积公式的推导过程

    制作本课件的基本原理:在直角坐标系中,x轴或平行于x轴的线段上的点自左向右,横坐标逐渐增大,但纵坐标不变;y轴或平行于y轴的线段上的点自下向上,横坐标不变,但纵坐标逐渐增大。该性质与构造分段函数计算平移值和旋转角的目的不谋而合。而展开值和平移值的变化范围均为【0,1】,因此构造三角形的点。点有时横坐标由0逐渐增大至1,纵坐标为0;有时横坐标为0,纵坐标由0逐渐增大至1。这样即可构造三角形边界上的点,以其横纵坐标分别表示展开值和平移值。

    具体的制作步骤如下:

    1.确定半径R、构造控制点

    画两条线段AB和CD,度量AB长度即为半径R。构造线段CD的中点E及线段上的点F,F为化圆为方的控制点。度量F在CD上的值,记为旋转角度 。

    2.计算相关参数

    计算相关参数

    3.制作平移框架

    画自由点G,将其平移(R,90°)至G',构造线段GG’及其中点G’’。以G为中心,将G"旋转 旋转角度至G'",构造线段GG'"。选中 和线段GG'",“绘制”—“绘制线段上的点”得H,平移(R,-90°)至H',构造线段HH'。

    4.制作扇形展开图

    画出自由点I,平移(弦长, 旋转角度 )至I',构造线段II’及其中点J和中垂线。构造以J为圆心,弦高为半径的圆,与垂线交于K。构造以K为圆心的弧II'、扇形内部、线段IK及I'K。以HH'为镜面,将扇形反射,以G'为中心,将两个扇形旋转180°。以I→I'、t1→t1+2(迭代深度为N-1)为迭代规则,进行深度迭代。

    5.合并平移和展开图

    依次点击I、G’并合并点I、G',同理合并H、G。完善图像,美化界面。

    这样就实现了化圆为方,此时底边即为圆周长的一半πR,高即为圆心到弧的距离R,所以推导出圆的面积公式为:πR×R=πR2

    老师们有了该课件,就可以演示圆面积计算公式推导的动态过程。另外,还可以对扇形面积公式进行推导,具体课件可参考演示扇形面积公式推导过程理


    以上课件转载自:http://www.jihehuaban.com.cn/zhuanjiaji/tuidao-yuanmianji.html

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空空如也

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圆计算面积公式