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问答
  • 那么对于n=k+1时,也就是我们原来的二叉查找树中添加了一个结点,这个结点最终一定是二叉查找树的一个叶结点,其父结点一定存在(k>1),这个叶结点可能是其父结点的左子结点,也可能是其父结点的右子结点。...

    用数学归纳法证明:

    首先对n=1时,对于二叉查找树,只有一个结点,也就是根结点,这时无法旋转,因此有0(n-1)种可能的旋转,命题成立。

    假设对于n=kk>1)时,对于二叉查找树,有k-1种可能的旋转。

    那么对于n=k+1时,也就是我们在原来的二叉查找树中添加了一个结点,这个结点最终一定是二叉查找树的一个叶结点,其父结点一定存在(k>1),这个叶结点可能是其父结点的左子结点,也可能是其父结点的右子结点。如果是左子结点,那么相对于原二叉查找树,增加了一个右旋操作;如果是右子结点,那么增加了一个左旋的操作。这样加上原来的k-1种旋转可能,则对于有k+1个结点的新二叉查找树共有k种旋转可能。

    这样我们就证明了上述归纳假设的正确性。

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  • 二叉排序树中有n个结点,则在二叉排序树平均平均查找长度为( )。 (A) O(1) (B) O(log2n) (C) (D) O(n)
  • 例如, 5 / \ 3 7 /\ /\ 2 4 6 8 中,按结点数值大小顺序第三个结点的值为4。分析 通过中序遍历列出节点顺序列表 更加优化的解决办法是直接遍历的时候将k值带进去O(k)-O(n)import java.util.ArrayList; /* ...

    题目描述

    给定一颗二叉搜索树,请找出其中的第k小的结点。例如, 5 / \ 3 7 /\ /\ 2 4 6 8 中,按结点数值大小顺序第三个结点的值为4。

    分析
    通过中序遍历列出节点顺序列表
    更加优化的解决办法是直接在遍历的时候将k值带进去O(k)-O(n)

    import java.util.ArrayList;
    /*
    public class TreeNode {
        int val = 0;
        TreeNode left = null;
        TreeNode right = null;
    
        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
    
        }
    
    }
    */
    public class Solution {
        TreeNode KthNode(TreeNode pRoot, int k) {
             if (pRoot == null) {
                return null;
             }
             ArrayList<TreeNode> list = new ArrayList<TreeNode>();
             inOrderTree(pRoot, list);
             if (list.size() < k || k == 0) {
                return null;
             } else {
                return list.get(k-1);
             }
         }
    
        private void inOrderTree(TreeNode pRoot, ArrayList<TreeNode> list) {
            if(pRoot == null) {
                return;
            }
            inOrderTree(pRoot.left, list);
            list.add(pRoot);
            inOrderTree(pRoot.right, list);
        }
    }

    O(k):

    int cnt = 0;
    
    TreeNode KthNode(TreeNode pRoot, int k) {
        if (pRoot == null)
            return null;
        TreeNode t = KthNode(pRoot.left, k);
        if (t != null)
            return t;
        if (++cnt < k)
            return KthNode(pRoot.right, k);
        else if (cnt == k)
            return pRoot;
        return null;
    }
    
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  • 问题:设计并实现一个算法,找出二叉树中某两个结点的第一个共同祖先。不得将额外的结点储存另外的数据结构中。 注意:这不一定是二叉查找树。 是否解出:解出,但不是最优 书上解法: 设两个结点为p,q 情况1:...
    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <vector>
    #include <string>
    
    using namespace std;
    
    /*
    问题:设计并实现一个算法,找出二叉树中某两个结点的第一个共同祖先。不得将额外的结点储存在另外的数据结构中。
         注意:这不一定是二叉查找树。
    是否解出:解出,但不是最优
    书上解法:
    设两个结点为p,q
    情况1:如果p,q在根节点的两侧,那么直接返回根节点(牛逼,没有想到利用根节点两侧结点的共同祖先就是根节点),由于
    情况2:如果p,q中有一个为根节点,则直接返回根节点(考虑到p,q在一条链上的情况,很关键)
    由于从根节点一直向下做上述判断,就一定会进入情况1或情况2,从根节点向下,对每个结点进行上述处理,时间复杂度为O(N)
    
    输入:
    7(元素个数) 2(待寻找共同祖先的第一个结点的值) 5(待寻找共同祖先的第二个结点的值)
    6 3 9 1 4 2 5(所有各个结点的值)
    d(表示当前第1个结点有两个孩子,后续跟两个孩子结点下标) 2 3
    d 4 5
    z(表示当前第i个结点没有孩子结点)
    r(表示当前第i个结点只有一个右孩子结点,后面跟该右孩子结点下标) 6
    r 7
    z
    z
    
    7 2 9
    6 3 9 1 4 2 5
    d 2 3
    d 4 5
    z
    r 6
    r 7
    z
    z
    输出:
    3(共同祖先的值,如果没有,返回NULL)
    6
    
    关键:
    1 设两个结点为p,q
    情况1:如果p,q在根节点的两侧,那么直接返回根节点(牛逼,没有想到利用根节点两侧结点的共同祖先就是根节点),由于
    情况2:如果p,q中有一个为根节点,则直接返回根节点(考虑到p,q在一条链上的情况,很关键)
    由于从根节点一直向下做上述判断,就一定会进入情况1或情况2,从根节点向下,对每个结点进行上述处理,时间复杂度为O(N)
    	//如果两个结点中有一个为根节点,直接返回该结点即可
    	if(node1 == head)
    	{
    		return node1;
    	}
    	if(node2 == head)
    	{
    		return node2;
    	}
    	//如果两个结点分别位于根节点的两侧,则直接返回根节点
    	bool isNode1OnLeft = isChildNode(head->_pLeft , node1);
    	bool isNode2OnLeft = isChildNode(head->_pLeft , node2);
    	if(isNode1OnLeft != isNode2OnLeft)
    	{
    		return head;
    	}
    	//如果两个结点位于根节点同一侧,则令根节点为其同一侧子树的根节点
    	else
    	{
    		//如果都在根节点左侧
    		if(isNode1OnLeft)
    		{
    			return findCommonAncestor(head->_pLeft, node1 , node2);
    		}
    		else
    		{
    			return findCommonAncestor(head->_pRight, node1 , node2);
    		}
    	}
    
    2 判断一个结点A是否是某个结点P的子孙结点,如果结点等于P的左孩子结点或为P的右孩子结点,是;否则,
      从P的左孩子和右孩子分别为结点,继续搜索结点A是否为其孩子结点的孩子结点
    //实际上应该是判断当前结点是否为某个节点的孩子结点
    bool isChildNode(TreeNode* head , TreeNode* node)
    {
    	if(NULL == node)
    	{
    		return false;
    	}
    	//如果根节点都为空了,说明当前结点不是根节点的子孙结点
    	if(NULL == head)
    	{
    		return false;
    	}
    	if(node == head)
    	{
    		return true;
    	}
    	else
    	{
    		//递归处理,注意如果一个结点都不在根节点的左右孩子结点中,那么这个结点必定不是根节点的子孙结点,这里用"||"
    		return isChildNode(head->_pLeft , node) || isChildNode(head->_pRight , node);
    	}
    }
    
    */
    
    typedef struct TreeNode
    {
    	TreeNode* _pLeft;
    	TreeNode* _pRight;
    	TreeNode* _pParent;
    	int _value;
    }TreeNode;
    const int MAXSIZE = 10000;
    int g_index;
    TreeNode g_treeNodeArray[MAXSIZE];
    
    TreeNode* createTreeNode()
    {
    	++g_index;
    	g_treeNodeArray[g_index]._pLeft = g_treeNodeArray[g_index]._pRight = g_treeNodeArray[g_index]._pParent = NULL;
    	return &g_treeNodeArray[g_index];
    }
    
    //建树
    void buildTree(vector<int>& vecData)
    {
    	int size = vecData.size();
    	g_index = 0;
    	if(vecData.empty())
    	{
    		return;
    	}
    	string childFlag;
    	int leftChild, rightChild;
    	for(int i = 1 ; i <= size ; i++ )
    	{
    		cin >> childFlag;
    		g_treeNodeArray[i]._value = vecData.at(i-1);
    		if("d" == childFlag)
    		{
    			cin >> leftChild >> rightChild;
    			g_treeNodeArray[i]._pLeft = &g_treeNodeArray[leftChild];
    			g_treeNodeArray[leftChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    			g_treeNodeArray[i]._pRight = &g_treeNodeArray[rightChild];
    			g_treeNodeArray[rightChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    		}
    		else if("r" == childFlag)
    		{
    			cin >> rightChild;
    			g_treeNodeArray[i]._pRight = &g_treeNodeArray[rightChild];
    			g_treeNodeArray[rightChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    		}
    		else if("l" == childFlag)
    		{
    			cin >> leftChild;
    			g_treeNodeArray[i]._pLeft = &g_treeNodeArray[leftChild];
    			g_treeNodeArray[leftChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    		}
    	}
    }
    
    //根据结点值找到指定结点,如果同时出现多个结点的值与给定值相同,就返回最先找到的结点
    TreeNode* findNode(TreeNode* head , int value)
    {
    	if(NULL == head)
    	{
    		return NULL;
    	}
    	if(value == head->_value)
    	{
    		return head;
    	}
    	TreeNode* leftChild = NULL;
    	TreeNode* rightChild = NULL;
    	if(head->_pLeft)
    	{
    		leftChild = findNode(head->_pLeft , value);
    	}
    	//在左子树找到,就直接返回结果;否则,递归查找右子树
    	if(leftChild != NULL)
    	{
    		return leftChild;
    	}
    	else
    	{
    		if(head->_pRight)
    		{
    			return findNode(head->_pRight , value);
    		}
    		else
    		{
    			return NULL;
    		}
    	}
    }
    
    //寻找根节点
    TreeNode* findRoot(TreeNode* node)
    {
    	if(NULL == node)
    	{
    		return NULL;
    	}
    	if(NULL == node->_pParent)
    	{
    		return node;
    	}
    	else
    	{
    		return findRoot(node->_pParent);
    	}
    }
    
    //判断当前结点是位于根节点的哪一侧,关键是自底向上遍历还是自上向下遍历,应该是自上向下遍历,自下向上遍历不能指示方向
    //实际上应该是判断当前结点是否为某个节点的孩子结点
    bool isChildNode(TreeNode* head , TreeNode* node)
    {
    	if(NULL == node)
    	{
    		return false;
    	}
    	//如果根节点都为空了,说明当前结点不是根节点的子孙结点
    	if(NULL == head)
    	{
    		return false;
    	}
    	if(node == head)
    	{
    		return true;
    	}
    	else
    	{
    		//递归处理,注意如果一个结点都不在根节点的左右孩子结点中,那么这个结点必定不是根节点的子孙结点,这里用"||"
    		return isChildNode(head->_pLeft , node) || isChildNode(head->_pRight , node);
    	}
    }
    
    //寻找两个结点的最近公共祖先,从上向下遍历
    TreeNode* findCommonAncestor(TreeNode* head, TreeNode* node1 , TreeNode* node2)
    {
    	//鲁棒性
    	if(NULL == head || NULL == node1 || NULL == node2)
    	{
    		return NULL;
    	}
    	//如果两个结点中有一个为根节点,直接返回该结点即可
    	if(node1 == head)
    	{
    		return node1;
    	}
    	if(node2 == head)
    	{
    		return node2;
    	}
    	//如果两个结点分别位于根节点的两侧,则直接返回根节点
    	bool isNode1OnLeft = isChildNode(head->_pLeft , node1);
    	bool isNode2OnLeft = isChildNode(head->_pLeft , node2);
    	if(isNode1OnLeft != isNode2OnLeft)
    	{
    		return head;
    	}
    	//如果两个结点位于根节点同一侧,则令根节点为其同一侧子树的根节点
    	else
    	{
    		//如果都在根节点左侧
    		if(isNode1OnLeft)
    		{
    			return findCommonAncestor(head->_pLeft, node1 , node2);
    		}
    		else
    		{
    			return findCommonAncestor(head->_pRight, node1 , node2);
    		}
    	}
    }
    
    void process()
    {
    	int nodeNum ; 
    	int firstValue;
    	int secondValue;
    	int value;
    	vector<int> vecData;
    	while(cin >> nodeNum >> firstValue >> secondValue)
    	{
    		vecData.clear();
    		for(int i = 0 ; i < nodeNum ; i++)
    		{
    			cin >> value;
    			vecData.push_back( value );
    		}
    		//输入完成接下来需要建树
    		buildTree(vecData);
    		//建树完成后,就是寻找共同父节点
    		TreeNode* root = findRoot(&g_treeNodeArray[1]);
    		TreeNode* node1 = findNode(root , firstValue);
    		TreeNode* node2 = findNode(root , secondValue);
    		TreeNode* ancestorNode = findCommonAncestor(root , node1 , node2);
    		if(ancestorNode)
    		{
    			cout << ancestorNode->_value << endl;
    		}
    		else
    		{
    			cout << "NULL" << endl;
    		}
    	}
    }
    
    int main(int argc , char* argv[])
    {
    	process();
    	getchar();
    	return 0;
    }

    展开全文
  • 问题:设计并实现一个算法,找出二叉树中某两个结点的第一个共同祖先。不得将额外的结点储存另外的数据结构中。 注意:这不一定是二叉查找树。 分析:一种方式是根据结点,向上遍历,得到从当前结点到根节点的一个...
    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <vector>
    #include <string>
    
    using namespace std;
    
    /*
    问题:设计并实现一个算法,找出二叉树中某两个结点的第一个共同祖先。不得将额外的结点储存在另外的数据结构中。
         注意:这不一定是二叉查找树。
    分析:一种方式是根据结点,向上遍历,得到从当前结点到根节点的一个链表,设长链表的长度为L1,设短链表的长度为L2,
         将两个链表中较长的链表先走L1-L2步,然后寻找共同结点。
    	 问题中说明:不得将结点额外存储。而采用链表的方式是需要额外存储结构的。如果不能用额外存储结构只能用这样的方式。
    	 O(n^2)方法,设两个结点分别为n1,n2,
    	 遍历n1,设当前结点为c,如果n1!=n2,令n2=n2->parent,
    
    输入:
    7(元素个数) 2(待寻找共同祖先的第一个结点的值) 5(待寻找共同祖先的第二个结点的值)
    6 3 9 1 4 2 5(所有各个结点的值)
    d(表示当前第1个结点有两个孩子,后续跟两个孩子结点下标) 2 3
    d 4 5
    z(表示当前第i个结点没有孩子结点)
    r(表示当前第i个结点只有一个右孩子结点,后面跟该右孩子结点下标) 6
    r 7
    z
    z
    
    7 2 9
    6 3 9 1 4 2 5
    d 2 3
    d 4 5
    z
    r 6
    r 7
    z
    z
    输出:
    3(共同祖先的值,如果没有,返回NULL)
    6
    */
    
    typedef struct TreeNode
    {
    	TreeNode* _pLeft;
    	TreeNode* _pRight;
    	TreeNode* _pParent;
    	int _value;
    }TreeNode;
    const int MAXSIZE = 10000;
    int g_index;
    TreeNode g_treeNodeArray[MAXSIZE];
    
    TreeNode* createTreeNode()
    {
    	++g_index;
    	g_treeNodeArray[g_index]._pLeft = g_treeNodeArray[g_index]._pRight = g_treeNodeArray[g_index]._pParent = NULL;
    	return &g_treeNodeArray[g_index];
    }
    
    //建树
    void buildTree(vector<int>& vecData)
    {
    	int size = vecData.size();
    	g_index = 0;
    	if(vecData.empty())
    	{
    		return;
    	}
    	string childFlag;
    	int leftChild, rightChild;
    	for(int i = 1 ; i <= size ; i++ )
    	{
    		cin >> childFlag;
    		g_treeNodeArray[i]._value = vecData.at(i-1);
    		if("d" == childFlag)
    		{
    			cin >> leftChild >> rightChild;
    			g_treeNodeArray[i]._pLeft = &g_treeNodeArray[leftChild];
    			g_treeNodeArray[leftChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    			g_treeNodeArray[i]._pRight = &g_treeNodeArray[rightChild];
    			g_treeNodeArray[rightChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    		}
    		else if("r" == childFlag)
    		{
    			cin >> rightChild;
    			g_treeNodeArray[i]._pRight = &g_treeNodeArray[rightChild];
    			g_treeNodeArray[rightChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    		}
    		else if("l" == childFlag)
    		{
    			cin >> leftChild;
    			g_treeNodeArray[i]._pLeft = &g_treeNodeArray[leftChild];
    			g_treeNodeArray[leftChild]._pParent = &g_treeNodeArray[i];
    		}
    	}
    }
    
    //根据结点值找到指定结点,如果同时出现多个结点的值与给定值相同,就返回最先找到的结点
    TreeNode* findNode(TreeNode* head , int value)
    {
    	if(NULL == head)
    	{
    		return NULL;
    	}
    	if(value == head->_value)
    	{
    		return head;
    	}
    	TreeNode* leftChild = NULL;
    	TreeNode* rightChild = NULL;
    	if(head->_pLeft)
    	{
    		leftChild = findNode(head->_pLeft , value);
    	}
    	//在左子树找到,就直接返回结果;否则,递归查找右子树
    	if(leftChild != NULL)
    	{
    		return leftChild;
    	}
    	else
    	{
    		if(head->_pRight)
    		{
    			return findNode(head->_pRight , value);
    		}
    		else
    		{
    			return NULL;
    		}
    	}
    }
    
    //寻找根节点
    TreeNode* findRoot(TreeNode* node)
    {
    	if(NULL == node)
    	{
    		return NULL;
    	}
    	if(NULL == node->_pParent)
    	{
    		return node;
    	}
    	else
    	{
    		return findRoot(node->_pParent);
    	}
    }
    
    //寻找两个结点的最近公共祖先,不使用额外的数据结构存放结点
    TreeNode* findCommonAncestor(TreeNode* node1 , TreeNode* node2)
    {
    	TreeNode* tempNode2 = node2;
    	TreeNode* tempNode1 = node1;
    	while(tempNode2)
    	{
    		//遍历第一个结点链表,看是否找到与当前结点相同的结点
    		while(tempNode1)
    		{
    			if(tempNode1->_value == tempNode2->_value)
    			{
    				return tempNode1;
    			}
    			else
    			{
    				tempNode1 = tempNode1->_pParent;
    			}
    		}
    		//到这里就是把结点1所在链表的所有结点都遍历完,且没有找到共同祖先,此时就应该使得结点2等于结点2的父节点
    		tempNode2 = tempNode2->_pParent;
    		tempNode1 = node1;
    	}
    
    	//如果最终没有找到共同祖先,返回空
    	return NULL;
    }
    
    void process()
    {
    	int nodeNum ; 
    	int firstValue;
    	int secondValue;
    	int value;
    	vector<int> vecData;
    	while(cin >> nodeNum >> firstValue >> secondValue)
    	{
    		vecData.clear();
    		for(int i = 0 ; i < nodeNum ; i++)
    		{
    			cin >> value;
    			vecData.push_back( value );
    		}
    		//输入完成接下来需要建树
    		buildTree(vecData);
    		//建树完成后,就是寻找共同父节点
    		TreeNode* root = findRoot(&g_treeNodeArray[1]);
    		TreeNode* node1 = findNode(root , firstValue);
    		TreeNode* node2 = findNode(root , secondValue);
    		TreeNode* ancestorNode = findCommonAncestor(node1 , node2);
    		if(ancestorNode)
    		{
    			cout << ancestorNode->_value << endl;
    		}
    		else
    		{
    			cout << "NULL" << endl;
    		}
    	}
    }
    
    int main(int argc , char* argv[])
    {
    	process();
    	getchar();
    	return 0;
    }

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  • 一棵完全二叉树上有1001个结点,其中叶子结点的个数是501。 满二叉树应是210-1=1023个节点,这里是1001个节点,完全二叉树比满二叉树少最后一行,少了1023-1001=22个节点,满二叉树最后一行是210-1=512个节点;...
  • 二叉搜索树或者是一棵空树,或者是具有...输入格式:输入第一行给出一正整数 N (≤1000),为插入数字个数。第二行给出 N [−1000,1000] 区间内整数。数字间以空格分隔。 输出格式:一行中输出最下面 2 层
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  • 一、 二叉树二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是...2 两个特别的二叉树完全二叉树:对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n...
  • 二叉搜索树

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  • 题目 二叉搜索树或者是一棵空树,或者是具有下列性质...输入第一行给出一正整数 N (≤1000),为插入数字个数。第二行给出 N [−1000,1000] 区间内整数。数字间以空格分隔。 输出格式: 一行中输出最下
  • 二叉排序树与堆区别

    千次阅读 2019-06-03 11:34:08
    二叉排序树中,每个结点的值均大于其左子树上所有结点的值,小于其右子树上所有结点的值,对二叉排序树进行中序遍历得到一个有序...具有n个结点的二叉排序树,其深度取决于给定集合的初始排列顺序,最好情况下其...
  • 二叉排序树和堆区别

    万次阅读 多人点赞 2015-11-20 12:36:32
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  •   二叉树性质: 二叉树的第 i 层上至多有2i-1个结点。 深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点(k≥1) 对任何一棵二叉树,若它含有n0个叶子结点、n2个度为 ... 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层...
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  • 这里,我有一疑惑,我这样建堆是无法遍及root,假设根结点和其左孩子逆序,这里parent计算结果是0,无法进入循环,所以根节点总是不能动 循环结束条件又无法改变,仅当parent=-1/2取整为0时结束循环,...
  • 前言:在二叉搜索树中,对于每个结点,它的所有左子树结点的元素小于当前节点数据,所有右子树结点大于当前结点。 二叉搜索树的三种常见操作:查找、删除、插入。 查找 查找操作中,就可以看到二叉搜索树的...
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    2019-09-27 18:31:16
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  • 二叉查找树

    2019-09-21 02:38:02
    1.一棵二叉查找树(BST...2.N个随机键构造的二叉查找树中,查找命中平均所需的比较次数为~2lnN(约1.39lgN)。 3.N个随机键构造的二叉查找树中,插入操作和查找未命中平均所需的比较次数为~2lnN(约1.39lgN...
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    热门讨论 2010-12-26 15:25:31
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  • 中序线索化

    2017-06-02 18:30:25
    n个结点的二叉链表中含有n+1个空指针,在n个结点的二叉链表中含有2n-(n-1)=n+1个空指针。可以利用这些空指针,存放指向结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针。这种附加的指针称为线索,加上了线索的二叉链表...

空空如也

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在n个结点的二叉