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  • 在一个具有n个顶点的无向完全图中,包含有________条边,在一个具有n个顶点的有 完全图中,包含有________条边。
  • 给出一个已经以邻接矩阵形式存储的有向图G =(V,E),证明是否存在具有入度n - 1的顶点,并且可以O(n)时间内完成出度0,其中n是V顶点数。
  • 我们都是时间旅行者为了寻找生命中的光终其一生行走漫长旅途上安迪·安德鲁斯相邻关系:两个顶点之间存在条边,则表示两个顶点具有相邻关系路径:相邻顶点序偶所构成序列路径长度:路径上边数目回路:若一...
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    我们都是时间旅行者 

    为了寻找生命中的光 

    终其一生 

    行走在漫长的旅途上 

    安迪·安德鲁斯

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    相邻关系:两个顶点之间存在一条边,则表示两个顶点具有相邻关系路径:相邻顶点序偶所构成的序列路径长度:路径上边的数目回路:若一条路径中第一个顶点和最后一个顶点相同,则为回路连通:从顶点Vi到顶点Vj有路径,则称Vi和Vj连通连通图和连通分量是针对无向图的强连通图和强连通分量是针对有向图的d2351f0906b724db95d6a7f95949d56f.png

    由概念感觉两者像是形式不同但意思一样,但不一样的说法.
    任意两个不同顶点之间都存在方向相反的两条弧.

    看概念:

    • 如果图中任意两个顶点之间都连通,则称该图为连通图。

    • 连通

      从顶点Vi到顶点Vj有路径,则称Vi和Vj连通
    • 路径相邻顶点序偶所构成的序列
      其实最大的疑惑是路径是相邻顶点

    其实可看出,连通是两个顶点连通就可以,也就是说,连通图是说两个顶点连通,不一定非要是相邻的两个顶点。

    一个无向图G= (V,E)是连通的,那么边的数目大于等于顶点的数目减一

    有向完全图和强连通图的区别?

    有向完全图一定是强连通的,但强连通不一定是有向完全图。
    看概念:

    • 强连通图(Strongly Connected Graph)是指在有向图G中,如果对于每一对vi、vj,vi≠vj,从vi到vj和从vj到vi都存在路径,则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

    • 有向完全图:具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图

    有n个顶点的强连通图最多有n(n-1)条边,最少有n条边
    证明:

    • (1)最多的情况:即n个顶点中两两相连,若不计方向,n个点两两相连有n(n-1)/2条边,而由于强连通图是有向图,故每条边有两个方向,n(n-1)/2×2=n(n-1),故有n个顶点的强连通图最多有n(n-1)条边。94d23d564f3ed9c9815b6f784881173b.png

    • (2)最少的情况:即n个顶点围成一个圈,且圈上各边方向一致,即均为顺时针或者逆时针,此时有n条边。feed119b1bc2c64d080f8fd19a3b6ab0.png

    下面举例说明:如图1所示,设ABCD四个点构成强连通图,则:
    (1)边数最多有4×3=12条
    (2)边数最少有4条即:一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路,它至少包含每个节点一次

    图:由结点的有穷集合V和边的集合E组成。
    图的结点称为顶点,边是顶点的有序偶对。
    简单路径:序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
    网:边上带权的图称为带权图,也称为网
    无法在扩充顶点的连通子图称为极大连通子图
    一个图中的极大连通子图:从一个顶点开始作为子图,逐个添加和这个子图有边相连的顶点,直到所有相连顶点都被纳入其中,所生成的子图就是一个极大连通子图。

    图有多种存储方式,但一般用到的是邻接矩阵(顺序存储)和邻接表(链式存储)。邻接表:由单链表的表头形成的顶点表和单链表其余结点形成的边表两部分组成邻接多重表中,所有的依附于同一顶点的边串联在同一链表中,由于每条边依附于两个顶点,因此每个边结点同时链接在两个链表中。对无向图而言,其邻接多重表和邻接链表的差别仅仅在于,同一条边在邻接表中用两个结点表示,而在邻接多重表中只有一个结点。

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    每一个独立而丰富的灵魂,

    都有处可栖。

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    工具人点在看
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  • 令D =(V(D),A(D))为有向图,k≥2为整数。... 此外,我们k拟传递有向图中的(k + 1)-kings最小数目上获得了新结​​果。 Galeana-Sánchez等。 推测每k-拟传递有向图都有(k + 1)核。
  • 对于一个具有n个顶点的有向图的边数最多有(B)。A.nB.n(n-1)C.n(n-1)/2D.2n3.在一个具有n个顶点的向图中,要连通全部顶点至少需要(C)条边。A.nB.n+1C.n-1D.n/24.下面关于图的存储结...

    ===Tips: 点击上方 蓝字 关注,分类速查更多信息===

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    1.在一个有向图中,所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的(B)倍。

    A.1/2

    B.1

    C.2

    D.4

    2.对于一个具有n个顶点的有向图的边数最多有(B)

    A.n

    B.n(n-1)

    C.n(n-1)/2

    D.2n

    3.在一个具有n个顶点的无向图中,要连通全部顶点至少需要(C)条边。

    A.n

    B.n+1

    C.n-1

    D.n/2

    4.下面关于图的存储结构的叙述中正确的是(A)

    A.用邻接矩阵存储图,占用空间大小只与图中顶点数有关,而与边数无关

    B.用邻接矩阵存储图,占用空间大小只与图中边数有关,而与顶点数无关

    C.用邻接表存储图,占用空间大小只与图中顶点数有关,而与边数无关

    D.用邻接表存储图,占用空间大小只与图中边数有关,而与顶点数无关

    5.无向图顶点v的度是关联于该顶点(B)的数目。

    A.顶点

    B.边

    C.序号

    D.下标

    6.有n个顶点的无向图的邻接矩阵是用(B)数组存储。

    A.一维

    B.n行n列

    C.任意行n列

    D.n行任意列

    7.对于一个具有n个顶点和e条边的无向图,采用邻接表表示,则表头向量大小为(C)

    A.n-1

    B.n+1

    C.n

    D.n+e

    8.在图的表示法中,表示形式唯一的是(A)

    A.邻接矩阵表示法

    B.邻接表表示法

    C.逆邻接表表示法

    D.邻接表和逆邻接表表示法

    9.在一个具有n个顶点e条边的图中,所有顶点的度数之和等于(C)

    A.n

    B.e

    C.2e

    D.2n

    10.连通分量是(C)的极大连通子图。

    A.树

    B.图

    C.无向图

    D.有向图

    11.图8-33中,度为3的结点是(B)

    A.V1

    B.V2

    C.V3

    D.V4

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    12.图8-34是(A)

    A.连通图

    B.强连通图

    C.生成树

    D.无环图

    13.如图8-35所示,从顶点a出发,按深度优先进行遍历,则可能得到的一种顶点序列为(D)

    A.a,b,e,c,d,f

    B.a,c,f,e,b,d

    C.a,e,b,c,f,d

    D.a,e,d,f,c,b

    14.如图8-35所示,从顶点a出发,按广度优先进行遍历,则可能得到的一种顶点序列为(A)

    A.a,b,e,c,d,f

    B.a,b,e,c,f,d

    C.a,e,b,c,f,d

    D.a,e,d,f,c,b

    15.深度优先遍历类似于二叉树的(A)

    A.先序遍历

    B.中序遍历

    C.后序遍历

    D.层次遍历

    16.广度优先遍历类似于二叉树的(D)

    A.先序遍历

    B.中序遍历

    C.后序遍历

    D.层次遍历

    17.如果从无向图的任意一个顶点出发进行一次深度优先遍历即可访问所有顶点,则该图一定是(B)

    A.强连通图

    B.连通图

    C.回路

    D.一棵树

    18.任何一个无向连通图的最小生成树(B)

    A.只有一棵

    B.一棵或多棵

    C.一定有多棵

    D.可能不存在

    19.在一个带权连通图G中,权值最小的边一定包含在G的(A)生成树中。

    A.最小

    B.任何

    C.广度优先

    D.深度优先

    20.求最短路径的Dijkstra算法的时间复杂度为(C)

    A.O(n)

    B.O(n+e)

    C.O(n2)

    D.O(n×e)

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  • 为了对该问题进行求解,提出了贪婪搜索算法(GP,greedy path),该算法先将一个有向无环图转化为一棵深度为k+1的网树,然后计算每个网树节点的树根叶子路径数,并以此计算图中个顶点的总路径数,之后从网树的第k+1层...
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  • ()有向无环图的应用:拓扑排序

    千次阅读 2018-02-10 17:24:06
    AOV网(Activity On Vertex Network):在一个表示工程的有向图中,顶点表示活动,弧表示活动之间的优先关系设G={V,E}是一个具有n个顶点的有向图,V中的顶点序列V1,V2,......,Vn,满足若从顶点Vi到Vj有一条路径,则...

    AOV网(Activity On Vertex Network):

    在一个表示工程的有向图中,顶点表示活动弧表示活动之间的优先关系

    设G={V,E}是一个具有n个顶点的有向图,V中的顶点序列V1,V2,......,Vn,满足若从顶点Vi到Vj有一条路径,则在顶点序列中顶点Vi必须在Vj之前。这样的顶点序列称为拓扑序列。


    在上图的AOV网中,拓扑序列有多条。

    序列V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16

    序列V0 V1 V4 V3 V2 V7 V6 V5 V8 V10 V9 V12 V11 V14 V13 V15 V16都是拓扑序列

    拓扑排序,其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程


    拓扑排序算法

    基本思路:从AOV网中选一个入度为0的顶点输出,然后删去该顶点,并删除以此顶点为尾的弧,重复此步骤,直到输出所有顶点或者网中不存在入度为0的顶点

    序列V由于需要删除顶点,用邻接表更方便,所以我们要为AOV网建立一个邻接表,要查找入度为0的顶点,所以我们在顶点表结点结构中加一个入度域in,



    实例如下:


    算法思路个人理解:

    1.用栈保存入度为0的顶点,输出栈顶元素并将与其有关的边删除,

    2.减少与栈顶元素连线的顶点入度数量

    3.把入度为0的顶点也入栈

    使用栈结构的目的:

    是存储入度为0的顶点,避免每个查找时都要去遍历顶点表有没有入度为0的顶点


    顶点表结构代码:

    typedef struct EdegeNode   //边表结点 
    {
    	int adjvex;				//邻接点域 ,存储顶点下标 
    	int weight;				 
    	struct EdgeNode *next;		//指向下一邻接点 
    }EdgeNode; 
    
    typedef struct VertexNode  //顶点表结点 
    {
    	int in;					//入度域 
    	int data;				
    	EdegeNode *firstedge;	//边表头指针 
    }VertexNode,AdjList[MAX]; 
    
    typedef struct
    {
    	AdjList adjList;
    	int numVertexes,numEdges;
    }graphAdjList,*GraphAdjList; 

    拓扑排序代码:

    Status TopologicalSort(GraphAdjList G)
    {
    	EdgeNode *e;
    	int i,k,gettop;
    	int top=0;      	//栈顶下标 
    	int count=0;
    	int *stack;           //int指针类型的栈 
    	stack=(int *)malloc(G->numVertexes*sizeof(int));
    	for(i=0;i<G->numVertexes;i++)
    		if(G->adjList[i].in==0)
    			{
    				stack[++top]=i;			//相当于stack[top]=i;    //将入度为0的顶点入栈 
    										//top++;
    			}
    	while(top!=0)
    	{
    		gettop=stack[top--];//出栈  相当于 gettop=stack[top];
    										 //top--; 
    		printf("%d->",G->adjList[gettop].data);
    		count++;
    		for(e=G->adjList[gettop].firstedge;e;e=e->next)  //遍历此顶点边表 
    		{
    			k=e->adjvex;
    			if(!(--G->adjList[k].in))   //将k号顶点邻接点的入度减一 
    			//相当于 --G->dajList[k].in;   if(!(--G->adjList[k].in));
    				stack[++top]=k;       //若入度为0则入度
    				//相当于top++;  stack[top];	
    		}								 
    		if(count<G->numVertexes)
    			return ERROR;                //全部顶点输出了就代表无环路 
    		else
    			return OK;	 
    	}	
    }

    注:++top是先+1再运算,
           而TOP++是先运算再加1


    时间复杂度:

    对于一个有n个顶点,e条弧的AOV网而言,第9行扫描顶点表找入度0的顶点时间复杂度O(n),

    while循环中每个顶点进一次栈,出一次栈,入度减一的操作共执行了e次,

    故整个算法时间复杂度O(n+e)



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  • 设G={V,E}是一个具有 n 个顶点的有向图,V的顶点序列 v1,v2,......,vn,满足若从顶点 vi 到 vj 有一条路径,则在顶点序列顶点 vi 必在顶点 vj 之前。则称这样的顶点序列为一个拓扑序列。 在一个表示工程...

    设G={V,E}是一个具有 n 个顶点的有向图,V中的顶点序列 v1,v2,......,vn,满足若从顶点 vi 到 vj 有一条路径,则在顶点序列中顶点 vi 必在顶点 vj 之前。则称这样的顶点序列为一个拓扑序列


    在一个表示工程的有向图中,用顶点表示活动,用弧表示活动之间的优先关系,这样的有向图为顶点表示活动的网,称为 AOV 网(Activity On Vertex Network)。


    拓扑排序,其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。构造时会有两个结果,如果此网的全部顶点都被输出,则说明它是不存在(回路)的 AOV 网;如果输出顶点数少了,哪怕是少了一个,也说明这个网存在环(回路),不是 AOV 网。


    对 AOV 网进行拓扑排序的基本思路是:从 AOV 网中选择一个入度为 0 的顶点输出,然后删除此顶点,并删除以此顶点为尾的弧,继续重复此步骤,直到输出全部顶点或者 AOV 网中不存在入度为0的顶点为止。


    具体代码如下:(代码虽然能输出正确答案,但会报错,我自己找不到原因.....还请大家多多指点。

    /*TopologicalSort.h头文件*/
    /*用邻接表的方式建立有向图,并完成拓扑排序*/
    #include<iostream>
    #define OK 1
    #define ERROR 0
    #define MAXVEX 100
    typedef int Status;
    using namespace std;
    
    class EdgeNode{	/*边表结点*/
    public:
    	EdgeNode(){}
    	~EdgeNode();
    	int adjvex;	/*邻接点域,存储该顶点对应的下标*/
    	int weight;	/*用于存储权值,对于非网图可以不需要*/
    	class EdgeNode *next;	/*链域,指向下一个邻接点*/
    };
    
    class VertexNode{	/*顶点表结点*/
    public:
    	VertexNode():in(0),data(0),firstedge(NULL){}
    	~VertexNode();
    	int in;	/*顶点入度*/
    	int data;	/*顶点域,存储顶点信息*/
    	EdgeNode *firstedge;	/*边表头指针*/
    };
    
    class graphAdjList{
    public:
    	graphAdjList(){
    		for (int x=0;x<MAXVEX;x++)
    		{
    			adjList[x] = new VertexNode;
    		}
    	}
    	~graphAdjList();
    	VertexNode* adjList[MAXVEX];
    	int numVertexes,numEdges;	/*图中当前顶点数和边数*/
    };
    
    void CreateALGraph(graphAdjList **G)		/*建立图的邻接表结构*/
    {
    	int i,j,k;
    	EdgeNode *e;
    	cout<<"输入顶点数和边数:"<<endl;
    	cin>>(*G)->numVertexes>>(*G)->numEdges;
    	cin.clear();
    	for(i=0; i<(*G)->numVertexes; i++)
    	{
    		cout<<"输入各顶点信息:"<<endl;
    		cin>>(*(*G)->adjList)[i].data;
    		cin.clear();
    		(*(*G)->adjList)[i].firstedge = NULL;
    		(*(*G)->adjList)[i].in = 0;
    	}
    	for(k=0; k<(*G)->numEdges; k++)
    	{
    		cout<<"输入边(vi,vj)上的顶点序号:"<<endl;
    		cin>>i>>j;
    		cin.clear();
    		++(*(*G)->adjList)[j].in;
    		e = new EdgeNode;
    		e->adjvex = j;
    		e->next = (*(*G)->adjList)[i].firstedge;
    		(*(*G)->adjList)[i].firstedge = e;
    	}
    }
    
    /*拓扑排序,若GL无回路,则输出拓扑排序序列并返回OK,若有回路返回ERROR*/
    Status TopologicalSort(graphAdjList *GL)
    {
    	EdgeNode *e;
    	int i,k,gettop;
    	int top = 0;	/*用于栈指针下标*/
    	int count = 0;	/*用于统计输出顶点的个数*/
    	int *stack = new int[GL->numVertexes];		/*建栈存储入度为0的顶点*/
    	for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
    		if(0 == (*(GL->adjList))[i].in)
    			stack[top++] = i;
    	cout<<"拓扑排序为:"<<endl;
    	while(0 != top)
    	{
    		gettop = stack[--top];	/*出栈*/
    		cout<<(*(GL->adjList))[gettop].data<<" -> ";	/*打印此顶点*/
    		count++;	/*统计输出顶点数*/
    		for(e=(*(GL->adjList))[gettop].firstedge; e; e=e->next)
    		{	/*对此顶点弧表遍历*/
    			k = e->adjvex;
    			if(!(--(*(GL->adjList))[k].in))	/*将k号顶点邻接点的入度减1*/
    				stack[top++] = k;	/*若为0则入栈,以便于下次循环输出*/
    		}
    	}
    	cout<<endl;
    	delete[] stack;
    	if (count < GL->numVertexes)	/*如果count小于顶点数,说明存在环*/
    	{
    		cout<<"存在环"<<endl;
    		return ERROR;
    	}
    	else
    	{
    		cout<<"不存在环"<<endl;
    		return OK;
    	}
    }

    对于如下的有向图:


    运行结果如下:


    但是同时还存在这样一个报错,请大家指点是为什么。。。。感激万分。


    转载于:https://www.cnblogs.com/fengty90/p/3768850.html

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  • 1

    2019-12-01 13:27:29
    图的组成部分:点和线。故图的定义是点的集合与边的集合。 需要注意的是:图的顶点不能为0 !...(2)要连通具有n个顶点的有向图,至少需要( )条边。 n (3)若无向图G=(V,E)含7个顶点,则保证图G...
  • 习题六参考答案 一选择题 在一个n个顶点的有向图中若所有顶点的出度之和为s则所有顶点的入度之和为A A. s B. s-1 C. s 一个有向图有n个顶点则每个顶点的度可能的最大值是B A.n-1 B.2(n-1) C.n D.2n 具有6个顶点的...
  • 在一个无向图G中所有顶点的度数之和等于所有边数之和的 倍 A l/2 B1 C 2 D4 2在一个有向图中 所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的 倍 Al/2 B1 C2 3一个具有 n 个顶点的无向图最多包含 A n Cn-1 4一个具有 n ...
  • 图的应用(AOV网、AOE网、图连通性): AOV网: 在一个表示工程的有向图中,用顶点表示活动,用弧表示活动之间的...设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图,V中的顶点序列v1, v2, …, vn称为一个拓扑序列,当且仅当满...
  • 图的拓扑排序

    2013-06-18 16:04:45
    1、概念活动的网(AOV网):在一个表示工程的有向图中,用顶点表示活动,用弧表示活动之间的优先关系,...拓扑序列:设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图,V中的顶点序列v1,v2,……,vn,满足若从顶点vi到vj有一条路径...
  • PAGE # 单项选择题 TOC \o "1-5" \h \z 1在一个无向图 G 中所有顶点的度数之和等于所有边数之和的 倍 Al/2 B1 C2D C2 2在一个有向图中 所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的 倍 B1A B1 C2 D4 3一个具有 ...
  • 在一个个顶点的有向图中若所有顶点的出度之和为 则所有顶点的入度之和为 A A. B. C. D. 2. 一个有向图有 个顶点则每个顶点的度可能的最大值是 B A. B. C. D. 3. 具有 6 个顶点的无向图至少应有 A 条边才能确保是...
  • 第7章 图 一单项选择题 1在一个无向图G中所有顶点的度数之和等于所有边数之和的_倍 Al/2 B1 C2 D4 2在一个有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的_倍 Al/2 B1 C2 D4 3一个具有n个顶点的无向图最多包含_...
  • n个顶点组成的有向图中,若有n*(n-1)条边,则称之为有向完全图。 b)权:某些图中,边具有与之相关的数值,称为权重。权重可以表示从个顶点到另一个顶点的距离、花费的代价等等。这种带权图也叫作网络。 c)...
  • 算法与数据结构之

    2020-10-21 23:33:04
    4. 在n个顶点的有向图中,若要使得任意两个顶点可达,则至少需要?条弧。、 5. n个顶点的无向连通图的连通分量个数为?个。 6. n个顶点的非空无向图中,最多有?个连通分量。 7. n个顶点的连通无向图,其边的...

空空如也

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在一个具有n个顶点的有向图中