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    作者 | 蒋迅

    数字里有很多有个性的三位整数: 是最小的三位整数,也是最小的三位偶数;  是最小的三位奇数,也是最小的三位回文数和素数;  是第一百个素数,而且  和  都是素数。事实上,绝大部分的三位数都有它有意思的一面。我们认为,了解一下这些有意思的三位数可以帮助读者扩大视野,增加联想。在趣味中获得思维训练。

    在介绍我们喜欢的三位数之前,我们先要排除一些可能读者有兴趣的三位数。中国人可能会喜欢 ,但这个数在西方被称为“兽名数目”(Number of the Beast)。这与《圣经》的《启示录》有关。如果一定要让  与数学发生关系的话,那么我们可以说, 是最大的纯位(每位数字都相同)三角形数。与文化有关的还有 ,一个中国人自己发明的“告白日”。西方人把  看作天使数。(我不知道是什么原因,可能是因为  是能被  到  都整除的最小整数吧。)这样的数字不在我们的考虑范围内。

    我们先来看四个漂亮的数字:,, 和 。它们都有一个漂亮的名字:水仙花数(narcissistic number)。水仙花数也称为超完全数字不变数(pluperfect digital invariant, PPDI)、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数(Armstrong number),用来描述一个  位非负整数,其各位数字的  次方和等于该数本身。拿  来说,我们有:。珍惜这些漂亮的数字吧,因为总共只有  个(十进制的)水仙花数。

    我们可以在上述的表达式上做一些变化。比如,如果把三次幂换成阶乘呢?我们有 。可以证明这是唯一的一个满足这个性质的三位数。

    再来一个类似的问题:找三位数  使得 。答案有四个:,, 和 。你会怎么找到它们呢?答案是:最简单的方法是排查。写一个程序,从  到  一个一个验证就可以了。当然,这里我们只考虑三位整数,当位数增加后计算量就显著增加了。你会怎么解决这个问题?

     是一个受到过大数学家埃尔米特和数学专栏作家马丁・加德纳关注过的三位数。它的神奇在于  几乎就是一个整数:

    这样一个神奇的数被加德纳称作了“拉马努金常数”。其实它不是拉马努金提出的,而只是加德纳的愚人节笑话。虽说是笑话,这个神奇的现象并不是没有理由的,这正象拉马努金的思维一样,总是有他的道理的,只不过我们无法理解罢了。想知道其中的奥妙吗?请看匡世珉在知乎(http://t.cn/Ai8dp8w9)上的解答。不过,你要准备接受一点较为深入的话题。

    在知乎(http://t.cn/Ai8dp8w9)上匡世珉的例子的下面,我们看到王希给出的另一个有趣的数字:。它是一个卡迈克尔数(Carmichael number)。所谓“卡迈克尔数”是正合数 ,且使得对于所有跟  互素的整数 ,都成立 。费马小定理说明所有素数都满足这个性质。在这方面,卡迈克尔数和素数十分相似,所以它们称为伪素数。因为这些数的存在,使得费马素性检验变得不可靠。不过,它仍可用于证明一个数是合数。另一方面,随着数越来越大,卡迈克尔数变得越来越少, 至  有  个卡迈克尔数。 是最小的卡迈克尔数。

     是一个神奇的数。它是一个利克瑞尔数(Lychrel number)。所谓“利克瑞尔数”是将一个数字和该数字的各数位逆序排列后形成的新数相加、并将此过程反复迭代后,最后形成一个非回文数的自然数。利克瑞尔不是一个人名,它是由“Cheryl”这个名字经字母还位得来的。是不是所有的自然数都可以经过有限步后都得到一个回文数呢?至今人们还没有得到一个答案。 是第一个可能的利克瑞尔数,也就是说, 是第一个可能的反例。据说已经有人算到了  万步仍然没有得到回文数。

    我们可以把  称作黑洞数或卡布列克常数。其实黑洞数或卡布列克常数(Kaprekar's constant)是指一种专指四位数的特定函数关系,在某排列顺序后,其演算式最后都会对应到 。奇妙的是, 也具有这样的性质。读者可能会问,那么五位、六位、七位…数呢?可以告诉读者的是, 位数没有黑洞,但有  个循环;  位数有  个黑洞 631764、,还有  个  个成员的循环;  位数没有黑洞,只有  个  个成员的循环。……

    还有很多有趣的三位数。今天就先介绍这么多吧。

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  • 作者 | 蒋迅数字里有很多有个性的三位整数:是最小的三位整数,也是最小的三位偶数;是最小的三位奇数,也是最小的三位回文数和...介绍我们喜欢的三位数之前,我们先要排除一些可能读者有兴趣的三位数。中国人可能...

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    作者 | 蒋迅

    数字里有很多有个性的三位整数: 是最小的三位整数,也是最小的三位偶数;  是最小的三位奇数,也是最小的三位回文数和素数;  是第一百个素数,而且  和  都是素数。事实上,绝大部分的三位数都有它有意思的一面。我们认为,了解一下这些有意思的三位数可以帮助读者扩大视野,增加联想。在趣味中获得思维训练。

    在介绍我们喜欢的三位数之前,我们先要排除一些可能读者有兴趣的三位数。中国人可能会喜欢 ,但这个数在西方被称为“兽名数目”(Number of the Beast)。这与《圣经》的《启示录》有关。如果一定要让  与数学发生关系的话,那么我们可以说, 是最大的纯位(每位数字都相同)三角形数。与文化有关的还有 ,一个中国人自己发明的“告白日”。西方人把  看作天使数。(我不知道是什么原因,可能是因为  是能被  到  都整除的最小整数吧。)这样的数字不在我们的考虑范围内。

    我们先来看四个漂亮的数字:,, 和 。它们都有一个漂亮的名字:水仙花数(narcissistic number)。水仙花数也称为超完全数字不变数(pluperfect digital invariant, PPDI)、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数(Armstrong number),用来描述一个  位非负整数,其各位数字的  次方和等于该数本身。拿  来说,我们有:。珍惜这些漂亮的数字吧,因为总共只有  个(十进制的)水仙花数。

    我们可以在上述的表达式上做一些变化。比如,如果把三次幂换成阶乘呢?我们有 。可以证明这是唯一的一个满足这个性质的三位数。

    再来一个类似的问题:找三位数  使得 。答案有四个:,, 和 。你会怎么找到它们呢?答案是:最简单的方法是排查。写一个程序,从  到  一个一个验证就可以了。当然,这里我们只考虑三位整数,当位数增加后计算量就显著增加了。你会怎么解决这个问题?

     是一个受到过大数学家埃尔米特和数学专栏作家马丁・加德纳关注过的三位数。它的神奇在于  几乎就是一个整数:

    这样一个神奇的数被加德纳称作了“拉马努金常数”。其实它不是拉马努金提出的,而只是加德纳的愚人节笑话。虽说是笑话,这个神奇的现象并不是没有理由的,这正象拉马努金的思维一样,总是有他的道理的,只不过我们无法理解罢了。想知道其中的奥妙吗?请看匡世珉在知乎(http://t.cn/Ai8dp8w9)上的解答。不过,你要准备接受一点较为深入的话题。

    在知乎(http://t.cn/Ai8dp8w9)上匡世珉的例子的下面,我们看到王希给出的另一个有趣的数字:。它是一个卡迈克尔数(Carmichael number)。所谓“卡迈克尔数”是正合数 ,且使得对于所有跟  互素的整数 ,都成立 。费马小定理说明所有素数都满足这个性质。在这方面,卡迈克尔数和素数十分相似,所以它们称为伪素数。因为这些数的存在,使得费马素性检验变得不可靠。不过,它仍可用于证明一个数是合数。另一方面,随着数越来越大,卡迈克尔数变得越来越少, 至  有  个卡迈克尔数。 是最小的卡迈克尔数。

     是一个神奇的数。它是一个利克瑞尔数(Lychrel number)。所谓“利克瑞尔数”是将一个数字和该数字的各数位逆序排列后形成的新数相加、并将此过程反复迭代后,最后形成一个非回文数的自然数。利克瑞尔不是一个人名,它是由“Cheryl”这个名字经字母还位得来的。是不是所有的自然数都可以经过有限步后都得到一个回文数呢?至今人们还没有得到一个答案。 是第一个可能的利克瑞尔数,也就是说, 是第一个可能的反例。据说已经有人算到了  万步仍然没有得到回文数。

    我们可以把  称作黑洞数或卡布列克常数。其实黑洞数或卡布列克常数(Kaprekar's constant)是指一种专指四位数的特定函数关系,在某排列顺序后,其演算式最后都会对应到 。奇妙的是, 也具有这样的性质。读者可能会问,那么五位、六位、七位…数呢?可以告诉读者的是, 位数没有黑洞,但有  个循环;  位数有  个黑洞 631764、,还有  个  个成员的循环;  位数没有黑洞,只有  个  个成员的循环。……

    还有很多有趣的三位数。今天就先介绍这么多吧。

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  • 如果有N个数值(N为偶数),则中位数位于N/2 与N/2+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果N为奇数,中位数的位置(N+1)/2。2、四分位数将整批数据一分为四的数值,叫做四分位数。最小的四分位数(Q1)称为...

    1、中位数

    将整批数据按从小到大顺序排列后,可以一分为二的数值,叫做中位数。

    如果有N个数值(N为偶数),则中位数位于N/2 与N/2+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果N为奇数,中位数的位置在(N+1)/2。

    2、四分位数

    将整批数据一分为四的数值,叫做四分位数。

    最小的四分位数(Q1)称为下四分位数或第一四分位数,最大的四分位数(Q3)称为上四分位数或第三四分位数。中间的四分位数(Q2)是中位数。

    四分位距=上四分位数-下四分位数

    如果有N个数,

    求下四分位数的位置:

    计算N/4,如果结果为整数,则下四分位数位于N/4和N/4+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果结果不是整数,则向上取整,所得结果为下四分位数的位置。

    求上四分位数的位置:

    计算N/4*3,如果结果为整数,则上四分位数位于3N/4和3N/4+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果结果不是整数,则向上取整,所得结果为下四分位数的位置。

    3、百分位数

    将整批数据一分为百的数值,叫做百分位数。第K百分位数就是位于数据范围k%处的数值,记为

    求第K百分位数的位置:

    计算KN/100,如果结果为整数,则取KN/100,与KN/100+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果结果不是整数,则向上取整。

    4、箱线图

    显示数据的全距、四分位距以及中位数。

    箱子上左右两边分别代表下四分位数和上四分位数,箱中的线表示中位数,箱子的两边分别为全距的上界、下界。

    下面是某位球员的得分:

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    71594f88df3d051251cd5c2ce8b80bae.png

    五、标准差

    量度分散性的一种方法,描述了典型值与均值之间的距离。标准差越大,表示数值离均值较远,标准差越小,表示数值距离均值较近。

    六、标准分

    标准分等于距离均值的标准差个数

    七、条件概率

    以另一个事件的发生为条件的某个事件的发生概率,用‘丨’符号表示‘已知条件’。

    以事件B为已知条件的事件A的概率:

    =

    全概率公式:

    贝叶斯定理:

    =

    八、概率树

    从同一点上衍生出来的所有分支的概率之和等于1

    c612447b88e20550dccef5d7818644bb.png

    九、概率的几何分布

    应用条件:

    进行一系列独立试验,每一次试验或成功或失败,每一次试验的成功概率相同,主要想得到:取得第一次成功需要进行多少次试验。

    变量X表示为了取得第一次成功所需进行的实验次数,p为成功概率,q=1-p为失败概率:

    为了取得第一次成功需要尝试的次数大于r的概率:

    如果有一个变量X的概率符合几何分布,且单次试验的成功概率为p:

    十、二项分布

    应用条件:

    进行一系列次数有限的独立试验,每一次试验或成功或失败,每一次试验的成功概率相同,主要想知道:在n次实验中能成功多少次。

    p是每一次试验的成功概率,n是试验次数,X为成功次数。

    十一、泊松分布

    应用条件:

    单个事件在给定区间内随机、独立地发生,已知给定区间内的事件平均发生次数,且这个发生次数是有限的,只要想知道的是:给定区间内的事件发生次数。

    如果X符合泊松分布,且每个区间内平均发生λ次:

    如果Y也符合泊松分布,且每个区间内平均发生

    次,且X和Y是独立随机变量:

    十二、正态分布

    正态分布具有钟形曲线,曲线对称,中央部位的概率密度最大。μ指出曲线中央位置,

    指出分散性。如果一个连续随机变量X符合均值为μ,标准差为
    的正态分布:

    展开全文
  • 如果有N个数值(N为偶数),则中位数位于N/2 与N/2+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果N为奇数,中位数的位置(N+1)/2。2、四分位数将整批数据一分为四的数值,叫做四分位数。最小的四分位数(Q1)称为...

    1、中位数

    将整批数据按从小到大顺序排列后,可以一分为二的数值,叫做中位数。

    如果有N个数值(N为偶数),则中位数位于N/2 与N/2+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果N为奇数,中位数的位置在(N+1)/2。

    2、四分位数

    将整批数据一分为四的数值,叫做四分位数。

    最小的四分位数(Q1)称为下四分位数或第一四分位数,最大的四分位数(Q3)称为上四分位数或第三四分位数。中间的四分位数(Q2)是中位数。

    四分位距=上四分位数-下四分位数

    如果有N个数,

    求下四分位数的位置:

    计算N/4,如果结果为整数,则下四分位数位于N/4和N/4+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果结果不是整数,则向上取整,所得结果为下四分位数的位置。

    求上四分位数的位置:

    计算N/4*3,如果结果为整数,则上四分位数位于3N/4和3N/4+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果结果不是整数,则向上取整,所得结果为下四分位数的位置。

    3、百分位数

    将整批数据一分为百的数值,叫做百分位数。第K百分位数就是位于数据范围k%处的数值,记为

    求第K百分位数的位置:

    计算KN/100,如果结果为整数,则取KN/100,与KN/100+1这两个位置,取这两个位置上数值的均值。如果结果不是整数,则向上取整。

    4、箱线图

    显示数据的全距、四分位距以及中位数。

    箱子上左右两边分别代表下四分位数和上四分位数,箱中的线表示中位数,箱子的两边分别为全距的上界、下界。

    下面是某位球员的得分:

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    五、标准差

    量度分散性的一种方法,描述了典型值与均值之间的距离。标准差越大,表示数值离均值较远,标准差越小,表示数值距离均值较近。

    六、标准分

    标准分等于距离均值的标准差个数

    七、条件概率

    以另一个事件的发生为条件的某个事件的发生概率,用‘丨’符号表示‘已知条件’。

    以事件B为已知条件的事件A的概率:

    =

    全概率公式:

    贝叶斯定理:

    =

    八、概率树

    从同一点上衍生出来的所有分支的概率之和等于1

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    九、概率的几何分布

    应用条件:

    进行一系列独立试验,每一次试验或成功或失败,每一次试验的成功概率相同,主要想得到:取得第一次成功需要进行多少次试验。

    变量X表示为了取得第一次成功所需进行的实验次数,p为成功概率,q=1-p为失败概率:

    为了取得第一次成功需要尝试的次数大于r的概率:

    如果有一个变量X的概率符合几何分布,且单次试验的成功概率为p:

    十、二项分布

    应用条件:

    进行一系列次数有限的独立试验,每一次试验或成功或失败,每一次试验的成功概率相同,主要想知道:在n次实验中能成功多少次。

    p是每一次试验的成功概率,n是试验次数,X为成功次数。

    十一、泊松分布

    应用条件:

    单个事件在给定区间内随机、独立地发生,已知给定区间内的事件平均发生次数,且这个发生次数是有限的,只要想知道的是:给定区间内的事件发生次数。

    如果X符合泊松分布,且每个区间内平均发生λ次:

    如果Y也符合泊松分布,且每个区间内平均发生

    次,且X和Y是独立随机变量:

    十二、正态分布

    正态分布具有钟形曲线,曲线对称,中央部位的概率密度最大。μ指出曲线中央位置,

    指出分散性。如果一个连续随机变量X符合均值为μ,标准差为
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空空如也

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在三位数中最小的偶数