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  • 一个连续的函数

    千次阅读 2018-06-06 09:16:00
    参考 ...  呵呵,其实很简单,想法来源于Dirichlet函数,就是当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,显然这...那么我们对其做一点修改,就可以满足只一点连续了,改法为:当x为有理数时f(x)=x-a,当x为无理数时f(x)=0...

    参考

    https://www.zybang.com/question/1e243c73143fcc884ed7fd58ea8374ae.html

     

    呵呵,其实很简单,想法来源于Dirichlet函数,就是
    当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,
    显然这函数处处不连续.
    那么我们对其做一点修改,就可以满足只在一点连续了,改法为:
    当x为有理数时f(x)=x-a,当x为无理数时f(x)=0,
    其中a为有理数.
    那么f(x)就只在a点连续了.
    具体证明你想想就知道了.
    类似地,我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数.只需把有理点上的f(x)=x-a换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数.

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  • 为什么说函数孤立连续

    千次阅读 2011-09-19 09:54:25
    我们先来看孤立的定义: 集合 S 的一个 x,如果存在x的一个邻域U(x,δ),除了点x以外,U(x,...从图像上来看,函数孤立连续这个结论很难理解。 但是从连续函数的定义和孤立的定义上进行分析,这个结论却很

    我们先来看孤立点的定义:

    集合 S 的一个点 x,如果存在x的一个邻域U(x,δ),除了点x以外,U(x,δ)不包含S中的其他点,则称点x为孤点或孤立点


    从图像上来看,函数在孤立点处连续这个结论很难理解。

    但是从连续函数的定义和孤立点的定义上进行分析,这个结论却很明显:

    (由于博客很难编辑数学公式,为了方便,就直接在word上编辑后抓图了:-))



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  • 视频18 一 函数连续性的定义函数y=f(x) 一点出x0处连续性的定义定义: 设y=f(x), N(x0) 内有... 0,则称y=f(x)在点x0 处是连续的。limΔy = 0 , 称 y=f(x)在点x0 处 是连续的。(Δx->0)或者定义 1 l...
    视频18 
    一 函数连续性的定义
    函数y=f(x) 在一点出x0处连续性的定义


    定义: 设y=f(x), 在N(x0) 内有定义,

    x属于N(x0),如果当自变量的增量Δx=x-x0 -> 0,

    对应函数的增量Δy=f(x0+Δx) - f(x0) -> 0,
    则称y=f(x)在点x0 处是连续的。


    limΔy = 0 , 称 y=f(x)在点x0 处 是连续的。(Δx->0)


    或者

    定义 1 limΔy(Δx->0) 等价 lim(x->x0) f(x) = f(x0)
    定义 2 设 y=f(x) 在N(x0)内有定义, x属于 N(x0),如果 lim(x->x0)f(x) = f(x0), 则称y=f(x) 在 x0点处连续。
    定义 3 函数极限 δ~ε 语言来叙述y=f(x) 在x0 处的连续。

    如果一个函数 y = f(x) 在(a,b)内每一个点内都连续, 则称y=f(x) 在(a,b)内连续。
    记为f(x) 属于C(a,b),(a,b)称为y=f(x) 的连续区间。


    左连续与右连续的定义
    如果lim(x->x0-) f(x) = f(x0) , 则称y=f(x)在x0这一个点称为左连续。

    右连续

    如果lim(x->x0+) f(x)  = f(x0) 则称y=f(x) 在x0 这一点右连续。 



    如果y=f(x)在开区间(a,b)内是连续的, 且在a点处他是右连续的, 在b点处f(x) 是左连续的, 则称y=f(x)在闭区间[a,b]上连续。记为f(x) 属于 C[a,b]


    证明: 一个函数是连续的


    例1 , 证明:y = sqrx在 (0,+∞)内处处连续。
    证明:


    二、函数的间断点
    间断点:若函数y=f(x) 在x0 点上不连续, 则称x0 为 y=f(x) 的间断点。
    函数  y = f(x) 在 x0 点处连续 


    lim(x->x0) f(x) = f(x0)


    要求: 
    (1)f(x) 在x0 这一个点 要有定义
    (2)lim(x->x0) f(x)存在, 即f(x0-0),f(x0+0) 存在, 
    (3)f(x0-0) = f(x0+0) = f(x0)
    如果以上三个条件之一不满足, 则称f(x)在点x0处是间断的。


    间断点的分类:
    第一类:若 f(x0-0), f(x0+0) 都存在, 但不相等 
    或 f(x0 + 0) = f(x0 - 0) <> f(x0), 则称x0 是f(x)的 第一类间断点。 


    例如 (1) 设f(x) = x+1,(x<1) , x^2 (x>=1)
    x=1 是 函数f(x) 的 第一类间断点


    例 2 g(x) = x^2-1 / x - 1 
    g(1+0)=g(1-0) = 0, 但 函数g(x) 在x = 1时没有定义, x=1 是f(x)的第一类间断点


    (3) g(x)= xsin1/x,(x<>0) , 1,x=1(x=0)
    所以x = 0  是g(x)第一类间断点


    对于 例2  对g(x) 补充 定义: g(1)=2


    对应 例3 改变定义, g(0) = 0  , 则g(x) 在x=0 , 处是连续的。
    在第一类间断点中,把左右极限存在f(x0+0)=f(x0-0)的间断点, 称为可取间断点(通过补充第一, 和 改变定义)


    第二类间断点
    凡是不是第一类的间断点, 就统称为第二类间断点,即f(x0-0)与f(x0+0 ) 至少有一个不存在

    例如 : f(x) = 1 / x - 1 . lim(x->1)f(x) = ∞


    g(x) = sin 1 / x, x=0, 是g(x)的第二类间断点
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  • 函数的连续性与间断

    千次阅读 2018-09-23 17:06:09
    1.函数在y = f(x) 在x0的某一邻域内有定义,如果在x-&gt;x0的时候,limf(x) = f(x0),那么就称函数f(x)在x0出连续 在区间上每一点都连续的函数叫做该区间上的连续函数 2.分段函数在某一点上有定义要使在...
  • 函数极限存在,连续,可导三者之间的关系

    万次阅读 多人点赞 2018-11-07 23:57:43
    1.设函数f(x)在x0的去心邻域U0(x0,δ)内有定义,则lim⁡x→x0f(x)=A的充要条件为limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)f(x)在x_0的去心邻域U^{0}(x_0,\delta)内有定义,则\lim_{x\rightarrow x0}f(x)=A的充要条件为lim_{x\...
  • 定理一:两函数都在点x连续,则它们的和差积商都在x点连续 定理二:如果函数在区间I上单调增/减且连续,那么它的反函数也在对应区间上dan单调增/减,且连续 定理三:两函数复合成一个复合函数,则复合函数的极限...
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  • 高数复习-连续性与间断极限定义函数极限的局部保号性连续性定义间断定义证明题:在点x0x_0x0​连续且f(X0)≠0f(X_0)\neq0f(X0​)​=0时,存在某一领域满足f(x)≠0f(x)\neq0f(x)​=0 极限 定义 如果存在常熟δ...
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  • x_0的某\xi 邻域U(x_0,\xi)内有定义设函数f(x)在点x=x0​的某ξ邻域U(x0​,ξ)内有定义,若当自变量的增量Δx=x−x0→0时\Delta x=x-x_0 \rightarrow 0时Δx=x−x0​→0时,函数的增量Δy=y−y0→0函数的增量\...
  • 问题:这两组数据我想一个图表上显示出来,他们的x轴都是时间,但是时间的数据是不统一的,请问echart能否实现固定一个x轴,数据自动对应到相应的时间轴上的 解决方法: 整理数据 把时间x轴合并 x轴:['1:...
  • 高数函数的连续性与间断

    万次阅读 多人点赞 2016-11-30 16:19:57
    这几天做的真题中涉及到的函数的连续性和间断的题也不少,而且正确率不高,下面总结一下这部分知识。  【知识】  一、连续性  所谓连续,顾名思义,下面有两种定义方法... (2)设函数f(x)在点X0的某一领域内有
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  • 关于函数连续性的逐定义

    千次阅读 2018-03-19 13:10:48
    大约十八世纪60年代,德国数学家魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass, 1815-1897)给出如下定义:给定函数y=f(x)以及其定义域内的一个给定点x0 f (x) iscontinuous at x = x0 if ?ε&gt;0 ?δ&gt;0 such ...
  • 一致连续

    2020-10-07 12:27:20
    尽管我们可以说函数f(x)f(x)f(x)区间XXX上连续,但实际上连续的作用目标是“区间上的每一个”,即 ∀x0∈X,∀ε>0,∃δ(ε,x0)>0,s.t.∀x∈U(x0;δ)∩X,∣f(x)−f(x0)∣<ε. \forall x_0\in X,\forall ...
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  • 连续函数的和、乘积、商的连续性(1) 有限个某个点连续的函数的代数和任然是点连续的函数(2)有限个某个点连续的函数他们的乘积仍然是改点连续的函数(3)两个点连续的函数他们的商仍然是点连续...
  • 函数的连续

    2019-12-11 20:57:53
    函数在点连续的定义 设函数f(x)内有定义,如果函数f(x)当时的极限存在,且等于它在点处的数值, 即,那么称函数在点连续。 单侧连续 若函数f(x)在连续,那么f(x)既左连续又右连续 连续函数与连续区间 ...
  • 则称函数 f(x) 在点 x0 处连续 x0 称为 f(x) 的连续点 (此定义主要用于证明题) 定义二 设函数 f(x) 在点 x0 的某一邻域内有定义,且有 ​​​​​​ 则称函数 f(x) 在点 x0 处连续 x0 称为 f(x) 的...
  • 第5章 路径及形状处理工具;...工具组中各工具的主要功能 钢笔工具Pen Tool 自由钢笔工具Freeform Pen Tool 添加锚点工具Add Anchor Point Tool 删除锚点工具Delete Anchor Point Tool 转换工具Con
  • 函数连续

    2017-06-04 07:21:18
    设函数f(x)f(x)U(x0)U(x_0)内有定义,如果当自变量的增量Δx\Delta x趋于0时,相应的函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)也趋于0,即 ...则称函数f(x)f(x)在点x0x_0处连续
  • 个人理解,连续是个局部的概念,一般说函数某一点x0处,满足那样一个性质,就说这个函数x0连续。 同济第七版的定义是这个样子的: 表情包版本的定义是这个样子的: 定义的版本各种各样,但都是想要描述: 控制x...

空空如也

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在x点连续