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  • 在x点连续
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    2018-06-06 09:16:00

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    https://www.zybang.com/question/1e243c73143fcc884ed7fd58ea8374ae.html

     

    呵呵,其实很简单,想法来源于Dirichlet函数,就是
    当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,
    显然这函数处处不连续.
    那么我们对其做一点修改,就可以满足只在一点连续了,改法为:
    当x为有理数时f(x)=x-a,当x为无理数时f(x)=0,
    其中a为有理数.
    那么f(x)就只在a点连续了.
    具体证明你想想就知道了.
    类似地,我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数.只需把有理点上的f(x)=x-a换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数.

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    z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义, 当x从x0 取.PPT

    微积分 第四章 多元函数微积分 制作:山东经济学院统计与数学学院 李勇 设函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义, 当 x 从 x0 取得增量 ?x(?x≠0),而 y = y0 保持不变时,函 数 z 的增量为: §4.3、偏导数与全微分 一、偏导数的定义及其计算(Ⅰ) ?xz = f(x0+?x, y0) - f(x0, y0) 称为 f(x, y) 对于 x 的偏增量。 类似地,定义 f(x, y) 对于 y 的偏增量为: ?yz = f(x0, y0+?y) - f(x0, y0) 对于自变量 x, y 分别从 x0, y0 取得增量 ?x, ?y 时,函 数 f(x, y) 相应的增量 ?z = f(x0+?x, y0+?y) - f(x0, y0) 称为函数 f(x, y) 的全增量。 设函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义, 如果极限 存在,则称此极限值为函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的 偏导数。记作: 如果极限 存在,则称此极限值为函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处对 y 的 偏导数。记作: 定义4.5 若函数 z = f(x, y) 在平面区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x (或 y) 的偏导数都存在,则称函数 f(x, y) 在 D 内有对 x (或 y) 的偏导函数,简称偏导数。记作: 二元函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的偏导数的几何意义: M0(x0, y0 , z0) 为曲面 z = f(x, y)上一点。 过 M0 的平面 y = y0 与曲面 的交线是 y = y0 平面上的曲线 f(x, y0)。则偏导数 f?x(x0, y0) 就 是一元函数 f(x, y0) 在 x = x0 处 的导数,亦表示曲线 z =f(x, y0) 在点 M0 处的切线 Tx 对 x 轴的 斜率。 同理,偏导数 f?y (x0, y0) 就是一元函数 f(x0, y) 在 y = y0 处的导数,亦表示曲线 z =f(x0, y) 在点 M0 处的 切线 Ty 对 y 轴的斜率。 由偏导数的定义可知,求偏导数的问题本质 上是一元函数的求导问题。 只要把 y 暂时看成常量,对 x 求导数 即可。 只要把 x 暂时看成常量,对 y 求导数 即可。 有关偏导数的几点说明: 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。 1、偏导数 是一个整体记号,不能拆分。 例1:求函数 f(x, y) = x3 + 2x2y - y3 在点 (1, 3) 处的 偏导数。 解: f?x(x, y) = 3x2 + 4xy f?y(x, y) = 2x2 – 3y2 f?x(1, 3) = 3×12 + 4×1×3 = 15 f?y(1, 3) = 2×12 – 3×32 = – 25 例2:求函数 f(x, y) = exy + x2y 的偏导数。 解: f?x(x, y) = (exy)?x + (x2y)?x = yexy + 2xy f?y(x, y) = (exy)?y + (x2y)?y = xexy + x2 例3:设 z = xy (x > 0, x≠1)。 证: 求证: 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 把 y, z 看作是常数,得: 例4:求三元函数 u = sin(x + y2 – e z) 的偏导数。 解: 把 x, z 看作是常数,得: 把 x, y 看作是常数,得: 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续。 偏导数存在 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续。 连续。 连续。 二元函数 f(x, y) 的二阶偏导数有如下几种: 二阶混合偏导数 二、高阶偏导数 高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数。 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 同样可以定义三阶、四阶以及 n 阶偏导数: 例1: 解: 问题: 混合偏导数都相等吗?

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    3.设函数 f ( x ) 在 x 0 的 邻 域 U ( x 0 , δ ) f(x)在x_0的邻域U(x_0,\delta) f(x)x0U(x0,δ)内有定义,如果极限 lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0} limx0xx0f(x)f(x0)存在,则称函数在该点可导。

    ∵ \because 函数连续,有 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) limxx0f(x)存在.即函数连续 ⟹ \Longrightarrow 极限存在,
    反之若函数在某点极限存在,其在该点的函数值不一定存在,或者与极限值不相等。
    ∵ \because 函数在某点可导,极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 )   x − x 0 \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)-f(x_0) \over \ x-x_0} limxx0 xx0f(x)f(x0)存在,又 ∵ lim ⁡ x → x 0   x − x 0 \because \lim_{ x\rightarrow x_0}\ x-x_0 limxx0 xx0=0。有 lim ⁡ x → x 0 ( f ( x ) − f ( x 0 ) ) = 0 \lim_{x\rightarrow x_0}({f(x)-f(x_0)})=0 limxx0(f(x)f(x0))=0通过极限运算有 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) limxx0f(x)=f(x0),有函数连续,即函数可导 ⟹ \Longrightarrow 函数连续
    若函数连续,则有 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y = 0 , lim ⁡ Δ x → 0 Δ x = 0 \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0,\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x=0 limΔx0Δy=0,limΔx0Δx=0有无穷小量的知识可以知道 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta y \over \Delta x} limΔx0ΔxΔy的值有三种情况,为0,c,无穷大(此时极限不存在)所以函数在某点连续,其不一定在该点可导
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