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  • 在两位数中最大的奇数是多少
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    2020-02-11 18:54:06
    1. 寻找两个有序数组的中位数

    给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

    请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

    你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

    示例 1:

    nums1 = [1, 3]
    nums2 = [2]

    则中位数是 2.0
    示例 2:

    nums1 = [1, 2]
    nums2 = [3, 4]

    则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

    来源:力扣(LeetCode)
    链接:https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
    著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。

    PS:

    这道题让我们求两个有序数组的中位数,而且限制了时间复杂度为O(log (m+n)),看到这个时间复杂度,自然而然的想到了应该使用二分查找法来求解。那么回顾一下中位数的定义,如果某个有序数组长度是奇数,那么其中位数就是最中间那个,如果是偶数,那么就是最中间两个数字的平均值。这里对于两个有序数组也是一样的,假设两个有序数组的长度分别为m和n,由于两个数组长度之和 m+n 的奇偶不确定,因此需要分情况来讨论,对于奇数的情况,直接找到最中间的数即可,偶数的话需要求最中间两个数的平均值。为了简化代码,不分情况讨论,我们使用一个小trick,我们分别找第 (m+n+1) / 2 个,和 (m+n+2) / 2 个,然后求其平均值即可,这对奇偶数均适用。加入 m+n 为奇数的话,那么其实 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等,相当于两个相同的数字相加再除以2,还是其本身。

    这里我们需要定义一个函数来在两个有序数组中找到第K个元素,下面重点来看如何实现找到第K个元素。首先,为了避免产生新的数组从而增加时间复杂度,我们使用两个变量i和j分别来标记数组nums1和nums2的起始位置。然后来处理一些边界问题,比如当某一个数组的起始位置大于等于其数组长度时,说明其所有数字均已经被淘汰了,相当于一个空数组了,那么实际上就变成了在另一个数组中找数字,直接就可以找出来了。还有就是如果K=1的话,那么我们只要比较nums1和nums2的起始位置i和j上的数字就可以了。难点就在于一般的情况怎么处理?因为我们需要在两个有序数组中找到第K个元素,为了加快搜索的速度,我们要使用二分法,对K二分,意思是我们需要分别在nums1和nums2中查找第K/2个元素,注意这里由于两个数组的长度不定,所以有可能某个数组没有第K/2个数字,所以我们需要先检查一下,数组中到底存不存在第K/2个数字,如果存在就取出来,否则就赋值上一个整型最大值。如果某个数组没有第K/2个数字,那么我们就淘汰另一个数字的前K/2个数字即可。有没有可能两个数组都不存在第K/2个数字呢,这道题里是不可能的,因为我们的K不是任意给的,而是给的m+n的中间值,所以必定至少会有一个数组是存在第K/2个数字的。最后就是二分法的核心啦,比较这两个数组的第K/2小的数字midVal1和midVal2的大小,如果第一个数组的第K/2个数字小的话,那么说明我们要找的数字肯定不在nums1中的前K/2个数字,所以我们可以将其淘汰,将nums1的起始位置向后移动K/2个,并且此时的K也自减去K/2,调用递归。反之,我们淘汰nums2中的前K/2个数字,并将nums2的起始位置向后移动K/2个,并且此时的K也自减去K/2,调用递归即可。

    ——一位大佬留下的(奥里给!!!)

    class Solution {
        public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
            int m = nums1.length;
            int n = nums2.length;
            int left = (m + n + 1) / 2;
            int right = (m + n + 2) / 2;
            return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
        }
        //i: nums1的起始位置 j: nums2的起始位置
        public int findKth(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k){
            if( i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];//nums1为空数组
            if( j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];//nums2为空数组
            if(k == 1){
                return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
            }
            int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
            int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
            if(midVal1 < midVal2){
                return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j , k - k / 2);
            }else{
                return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2 , k - k / 2);
            }        
        }
    }
    
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    本文摘自:http://blog.csdn.net/friendbaby/article/details/6822690刚才百度知道上看见一个网友问int型的数最大能存多少。这个问题其实计算机系统结构里有讲解。首先,我们要知道计算机里怎么存储数字的。...

    本文摘自:http://blog.csdn.net/friendbaby/article/details/6822690

    刚才在百度知道上看见一个网友问int型的数最大能存多少。这个问题其实计算机系统结构里有讲解。

    首先,我们要知道在计算机里怎么存储数字的。在计算机里,对数字编码有3种方式:原码、补码、反码。原码其实就是10进制数直接转2进制数的结果。比如:十进制的18,在二进制里是10010。那这里的10010就是原码。我们可以sizeof一下我们自己的电脑上int型占几个字节。我的是4个字节,也就是说只有32个位。如果一个十进制数转位二进制数位数大于32,就溢出,其实也就是存不下了。

    我们存数不仅仅有正数还有负数,在计算机里如何区分正数负数?我们规定最高位是符号位。为0是正,为1负。所以最高位是不可以参加计算的。比如二进制数1000最高位是符号位的话,转十进制不是8,而是-0,对就是负0(正0的二进制形式是0000)。如果给一个十进制形式的负数,如何计算它的补码?

    1.计算这个数绝对值的二进制表示。

    2.把2^n写成二进制形式减去这个数,得到的就是补码。

    比如:-5,

    1. 5的二进制形式是:0101.最高位是符合位,为0是正。

    2. 1111-101,二进制的减法,补码就是1010.最高位是符合位,为1是负。

    反码不常用,我没有细心学。

    所以,int占32位的时候,最大可以赋值为:2147483647。也就是0x7fffffff。注意:7的二进制形式最高位为0,如果你对2147483647+1.输出的就是-2147483648。这个数是负数中最大的数,也就是int型可以表示的最小的负数。它的十六进制表示为:0x8fffffff,8的二进制形式最高位是符号位,是1,为负。

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  • 如何找到个数组的中位数

    千次阅读 多人点赞 2019-08-19 12:13:11
    大数组的长度是奇数(11),中位数显然是位于正中的第6个元素,也就是元素5 上面的例子是奇数个元素的情况。那么偶数的元素是什么样呢?让我们来看另一个例子: 上图这个给定数组A和B,长度都是5,归并之后的大数...

    在这里插入图片描述

    什么意思呢?让我们来看两个例子:
    在这里插入图片描述
    上图这两个给定数组A和B,一个长度是6,一个长度是5,归并之后的大数组仍然要保持升序,结果如下:
    在这里插入图片描述
    大数组的长度是奇数(11),中位数显然是位于正中的第6个元素,也就是元素5

    上面的例子是奇数个元素的情况。那么偶数的元素是什么样呢?让我们来看另一个例子:
    在这里插入图片描述
    上图这两个给定数组A和B,长度都是5,归并之后的大数组如下:
    在这里插入图片描述
    大数组的长度是偶数(10),位于正中的元素有两个,分别是6和7,这时候的中位数就是两个数的平均值,也就是6.5。
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    或许这听起来有点绕,我们仍然用刚才的例子来说明:
    在这里插入图片描述
    如上图所示,对于偶数长度的数组,可以根据中位数分成长度相等的两部分,左半部分最大元素(6),永远小于等于右半部分的最小元素(7)

    对于奇数长度的数组,同样可以根据中位数分成两部分:
    在这里插入图片描述
    如上图所示,对于奇数长度的数组,如果把中位数本身归入左半部分,则左半边长度 = 右半边长度+1。

    左半部分最大元素(5),永远小于等于右半部分的最小元素(6)。
    在这里插入图片描述
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    什么意思呢?大数组被中位数等分的左右两部分,每一部分根据来源又可以再划分成两部分,其中一部分来自数组A的元素,另一部分来自数组B的元素:
    在这里插入图片描述
    如图所示,原始数组A和B,各自分成绿色和橙色两部分。其中数值较小的绿色元素组成了大数组的左半部分,数值较大的橙色元素组成了大数组的右半部分。

    最重要的是,绿色元素和橙色元素的数量是相等的(偶数情况),而且最大的绿色元素小于等于最小的橙色元素

    假设数组A的长度是m,绿色和橙色元素的分界点是i,数组B的长度是n,绿色和橙色元素的分界点是j,那么为了让大数组的左右两部分长度相等,则i和j需要符合如下两个条件:

    i + j = ( m + n + 1 ) / 2 i + j = (m+n+1)/2 i+j=(m+n+1)/2
    之所以m+n后面要再加1,是为了应对大数组长度为奇数的情况

    M a x ( A [ i − 1 ] , B [ j − 1 ] ) ≤ M i n ( A [ i ] , B [ j ] ) Max(A[i-1],B[j-1]) \leq Min(A[i], B[j]) Max(A[i1],B[j1])Min(A[i],B[j])
    直白的说,就是最大的绿色元素小于等于最小的橙色元素

    由于m+n的值是恒定的,所以我们只要确定一个合适的i,就可以确定j,从而找到大数组左半部分和右半部分的分界,也就找到了归并之后大数组的中位数
    在这里插入图片描述
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    如何利用二分查找来确定i值呢?通过具体事例,让我们来演示一下:
    在这里插入图片描述
    第一步,就像二分查找那样,把 i i i 设在数组A的正中位置,也就是让 i = 3 i=3 i=3
    在这里插入图片描述
    第二步,根据 i i i 的值来确定 j j j 的值, j = ( m + n + 1 ) / 2 − i = 3 j=(m+n+1)/2 - i =3 j=(m+n+1)/2i=3
    在这里插入图片描述
    第三步,验证 i i i j j j,分为下面三种情况:

    1. B [ j − 1 ] ≤ A [ i ] &amp; &amp; A [ i − 1 ] ≤ B [ j ] B[j−1] \leq A[i] \quad \&amp;\&amp; \quad A[i−1] \leq B[j] B[j1]A[i]&&A[i1]B[j]
      说明 i i i j j j 左侧的元素都小于等于右侧,这一组 i i i j j j 是我们想要的

    2. A [ i ] &lt; B [ j − 1 ] A[i]&lt;B[j−1] A[i]<B[j1]
      说明 i i i 对应的元素偏小了, i i i 应该向右侧移动

    3. A [ i − 1 ] &gt; B [ j ] A[i−1]&gt;B[j] A[i1]>B[j]
      说明 i − 1 i-1 i1 对应的元素偏大了, i i i 应该向左侧移动

    显然,对于图中例子,属于情况2, A [ 3 ] &lt; B [ 2 ] A[3] &lt; B[2] A[3]<B[2],所以 i i i 应该向右移动

    第四步,在数组A的右半部分,重新确定 i i i 的位置,就像二分查找一样
    在这里插入图片描述
    第五步,同第二步,根据 i i i 的值来确定 j j j 的值, j = ( m + n + 1 ) / 2 − i = 1 j=(m+n+1)/2 - i =1 j=(m+n+1)/2i=1
    在这里插入图片描述
    第六步,同第三步,验证 i i i j j j

    由于 A [ 5 ] ≥ B [ 0 ] A[5] \geq B[0] A[5]B[0] B [ 1 ] ≥ A [ 4 ] B[1] \geq A[4] B[1]A[4],所以这一组 i i i j j j 是合适的

    第七步,找出中位数

    如果大数组长度是奇数,那么

    中 位 数 = M a x ( A [ i − 1 ] , B [ j − 1 ] ) 中位数 = Max(A[i-1],B[j-1]) =Max(A[i1],B[j1])
    也就是大数组左半部分的最大值

    如果大数组长度是偶数,那么:
    中 位 数 = ( M a x ( A [ i − 1 ] , B [ j − 1 ] ) + M i n ( A [ i ] , B [ i ] )   ) / 2 中位数 = (Max(A[i-1],B[j-1]) + Min(A[i], B[i]) \ )/2 =Max(A[i1],B[j1])+Min(A[i],B[i]) )/2
    也就是大数组左半部分的最大值和大数组右半部分的最小值取平均

    在本例中,大数组长度是奇数,所以中位数=Max(8,1) = 8

    在这里插入图片描述
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    1. 数组A的长度远大于数组B
      在这里插入图片描述
      也就是m远大于n,这时候会出现什么问题呢?

      当我们设定了 i i i 的初值,也就是数组A正中间的元素,再计算 j j j 的时候有可能发生数组越界。

      因此,我们可以提前把数组A和B进行交换,较短的数组放在前面, i i i 从较短的数组中取。
      这样做还有一个好处,由于数组A是较短数组, i i i的搜索次数减少了。

    2. 无法找到合适的i值

      什么情况下会无法找到合适的i值呢?有两种情况:

      数组A的长度小于数组B,并且数组A的所有元素都大于数组B。
      在这里插入图片描述
      这种情况下,无法通过二分查找寻找到符合 B [ j − 1 ] ≤ A [ i ] &amp; &amp; A [ i − 1 ] ≤ B [ j ] B[j−1] \leq A[i] \&amp;\&amp; A[i−1] \leq B[j] B[j1]A[i]&&A[i1]B[j] i i i 值,一直到 i = 0 i=0 i=0 为止。

      此时我们可以跳出二分查找的循环,所求的中位数是B[j-1]。(仅奇数情况)

      数组A的长度小于数组B,并且数组A的所有元素都小于数组B。
      在这里插入图片描述

      这种情况下,同样无法通过二分查找寻找到符合 B [ j − 1 ] ≤ A [ i ] &amp; &amp; A [ i − 1 ] ≤ B [ j ] B[j−1] \leq A[i] \&amp;\&amp; A[i−1] \leq B[j] B[j1]A[i]&&A[i1]B[j] i i i 值,一直到 i = ( 数 组 A 长 度 − 1 ) i=(数组A长度-1) i=(A1)为止。

      此时我们可以跳出二分查找的循环,所求的中位数是Max(A[i-1],B[j-1])。(仅奇数情况)
      在这里插入图片描述

    public static double findMedianSortedArrays(int[] arrayA, int[] arrayB) {
            int m = arrayA.length;
            int n = arrayB.length;
            //如果数组A的长度大于等于数组B,则交换数组
            if (m > n) {
                int[] temp = arrayA;
                arrayA = arrayB;
                arrayB = temp;
                int tmp = m;
                m = n;
                n = tmp;
            }
            int start = 0;
            int end = m;
            int mid = (m + n + 1) / 2;
            while (start <= end) {
                int i = (start + end) / 2;
                int j = mid - i;
                if (i < end && arrayB[j - 1] > arrayA[i]) {
                    //i偏小了,需要右移
                    start = i + 1;
                } else if (i > start && arrayA[i - 1] > arrayB[j]) {
                    //i偏大了,需要左移
                    end = i - 1;
                } else {
                    //i刚好合适,或i已达到数组边界
                    int maxLeft;
                    if (i == 0) {
                        maxLeft = arrayB[j - 1];
                    } else if (j == 0) {
                        maxLeft = arrayA[i - 1];
                    } else {
                        maxLeft = Math.max(arrayA[i - 1], arrayB[j - 1]);
                    }
                    if ((m + n) % 2 == 1) {
                        //如果大数组的长度是奇数,中位数就是左半部分的最大值
                        return maxLeft;
                    }
                    int minRight;
                    if (i == m) {
                        minRight = arrayB[j];
                    } else if (j == n) {
                        minRight = arrayA[i];
                    } else {
                        minRight = Math.min(arrayB[j], arrayA[i]);
                    }
                    //如果大数组的长度是偶数,取左侧最大值和右侧最小值的平均
                    return (maxLeft + minRight) / 2.0;
                }
            }
            return 0.0;
    
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] arrayB = new int[]{3, 5, 6, 7, 8, 12, 20};
        int[] arrayA = new int[]{1, 10, 17, 18};
        System.out.println(findMedianSortedArrays(arrayA, arrayB));
    }
    

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  • 寻找个有序数组的中位数(附上三种解法)

    千次阅读 多人点赞 2019-12-06 18:23:32
    这道题比较经典,我当时做的时候,想出了种解决方案,不过总感觉算法不够优美,所以找到了另一种我觉得非常精妙的解法,利用了K最小数的思想去解决这道题,很值得讲一下,不知道K最小数的,可以参考我另一篇文章...

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    •写在前面

    •题目

    •解法一

    •解法二

    •解法三

    •结束


    •写在前面

    这道题比较经典,我当时在做的时候,想出了两种解决方案,不过总感觉算法不够优美,所以找到了另一种我觉得非常精妙的解法,利用了K最小数的思想去解决这道题,很值得讲一下,不知道K最小数的,可以参考我另一篇文章,点击这里跳转就可以了。下面我废话不多说,直接开始讲解。

    •题目

    首先先把题目呈上来,具体题目如下:

    给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个有序
    数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。你可以假
    设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
    测试用例:
    nums1 = [1, 3]
    nums2 = [2]
    测试结果:则中位数是 2.0

    •解法一

    怎么说解法一呢,其实可以把解法一当成暴力解法,对这道题进行硬解。但是如果仔细看要求的话就会发现,题目里要求了时间复杂度是O(log(m + n)),所以这种解法不能满足要求,不过因为我当时先看到的是没有O(log(m + n))要求的题目,所以就直接暴力解决了(对于有些题目,暴力不失为一种省力的好办法,小声bb)。这个解法没什么好讲的,我就大概说一下思路。

    具体思路就是,将两个数组使用归并的思想,进行整合,然后求解。(ps:别说直接合起来,然后排序,你要是这样做的话,算法老师的棺材板都压不住),直接上代码。当然啦,下面代码直接整合成了一个数组,其实我们也可以不用真的整合数组,只要通过不断比对,然后记录值就可以了(注意边界问题)。这种解法的时间复杂度是O(m + n)哦。

    public static double Test4S2(int[] nums1, int[] nums2) {
            List<Integer> array = new ArrayList<>(10);
    
            int size1 = nums1.length;
            int size2 = nums2.length;
            int index1 = 0;
            int index2 = 0;
    
            while(index1 != size1 || index2 != size2){
                if(index1 == size1){
                    for (int i = index2; i < size2; i++){
                        array.add(nums2[i]);
                    }
                    break;
                }else if (index2 == size2){
                    for (int i = index1; i < size1; i++){
                        array.add(nums1[i]);
                    }
                    break;
                }
                array.add(nums1[index1] < nums2[index2] ? nums1[index1] : nums2[index2]);
                if(nums1[index1] < nums2[index2]){
                    if(index1 < size1)
                        index1++;
                }
                else{
                    if(index2 < size2) index2++;
                }
            }
    
            int sizeArray = array.size() / 2;
            if(array.size() % 2 == 0) return (array.get(sizeArray - 1) +         array.get(sizeArray)) / 2.00;
            else return array.get(sizeArray);
        }

    •解法二

    在考虑题目时间复杂度O(log(m + n))的情况下,我换了一种解法,这种解法也没啥精妙的地方,主要是对中位数的概念理解好了,就容易想到。首先很多时候,我们看到了log一般就要想到二分法。

    具体思路,中位数的概念其实可以理解为,将数组整体分为两个部分,一边大于等于中位数,一边小于等于中位数。那么在这道题目中两个有序数组,我们可以将两个数组并排画一条线,这条线能正好划分左右两个部分,而我们的任务就是要找到这条线。可能形容起来比较吃力,话不多说,上图看。

    就是为了找到i,j连起来的线,能够正好将两个数组划分成左右两个部分,划分好了之后,只需要记录左边最大的值和右边最小的值,通过这两个值求解中位数就可以了,研究之后你就会发现i和j的关系是

    i + j = m - i  + n - j

    因为左边部分和右边部分的数量要相等,有了这个之后,我们只要最开始随机确定i(直接在小数组中间取i),然后通过左右移动i(j移动的方向和i相反)找到我们要的那条线。不过一定要小心边界问题,对于边界要进行处理好哦。代码如下

    public static double Test4S3(int[] nums1, int[] nums2) {
            int m = nums1.length;
            int n = nums2.length;
            if (m > n) {
                return Test4S3(nums2,nums1); // 保证 m <= n
            }
            int iMin = 0, iMax = m;
            while (iMin <= iMax) {
                int i = (iMin + iMax) / 2;
                int j = (m + n + 1) / 2 - i;
                if (j != 0 && i != m && nums2[j-1] > nums1[i]){ // i 需要增大
                    iMin = i + 1;
                }
                else if (i != 0 && j != n && nums1[i-1] > nums2[j]) { // i 需要减小
                    iMax = i - 1;
                }
                else { // 达到要求,并且将边界条件列出来单独考虑
                    int maxLeft = 0;
                    if (i == 0) { maxLeft = nums2[j-1]; }
                    else if (j == 0) { maxLeft = nums1[i-1]; }
                    else { maxLeft = Math.max(nums1[i-1], nums2[j-1]); }
                    if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; } // 奇数的话不需要考虑右半部分
    
                    int minRight = 0;
                    if (i == m) { minRight = nums2[j]; }
                    else if (j == n) { minRight = nums1[i]; }
                    else { minRight = Math.min(nums2[j], nums1[i]); }
    
                    return (maxLeft + minRight) / 2.0; //如果是偶数的话返回结果
                }
            }
            return 0.0;
        }

    •解法三

    最激动人心的解法来了,我当时看到这个解法的时候,感叹连连,解法非常的精妙有容易理解,利用第K小数的思想,使用递归二分法进行解决。

    具体思路,中位数其实就是第(总长度)/2小的数(奇偶我就不多说了,为了方便我就直接用奇数了),以为两个数组都是有序的,所以我们每次通过循环排除K的一半,直到最后找到K。看图看图,已这个例子为例,我们要找的K是7.

    这个时候K/2等于3,然后我们比较两个数组的第三个位置上的数,就可以排除小的那一边的三个数一定不是第K小,然后我们这个时候将排除的数标记。

    这个时候因为我们已经排除了3个数,接下来我们只要在新的两个数组中,找到K-3也就是第4小的数就可以了,同样的,将K比较K一半为止的数,重复如此

    所以我们采用递归的思路,为了防止数组长度小于 k/2,所以每次比较 min(k/2,len(数组) 对应的数字,把小的那个对应的数组的数字排除,将两个新数组进入递归,并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k=1 或者其中一个数字长度是 0 了。直接上代码。

        private static int kMinNum(int start1, int end1, int[] nums1, int start2, int end2, int[] nums2, int k){
            int len1 = end1 - start1 + 1;
            int len2 = end2 - start2 + 1;
            if(len1 > len2) return kMinNum(start2, end2, nums2, start1, end1, nums1, k);
            if(len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];
            if(k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);
            int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
            int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;
    
            if(nums1[i] > nums2[j]){
                return kMinNum(start1, end1, nums1, j + 1, end2, nums2,k - (j - start2 + 1));
            }else{
                return kMinNum(i + 1, end1, nums1, start2, end2, nums2, k - (i - start1 + 1));
            }
        }
    
        public static double Test4S1(int[] nums1, int[] nums2) {
            int n = nums1.length;
            int m = nums2.length;
            int left = (n + m + 1) / 2;
            int right = (n + m + 2) / 2;
            return (kMinNum(0, n - 1, nums1, 0, m - 1, nums2, left) + kMinNum(0, n - 1, nums1, 0, m - 1, nums2, right)) * 0.5;
        }

    •结束

    第三种解法真的感觉相当的精妙,这种思路很值得去吃透理解。

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