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  • 讨论了正态分布标准方差的两个渐近正态估计量及它们之间的优良性的比较,利用相对渐近效准则作为比较的准则 。
  • 利用微积分和矩阵代数的基本知识,证明了n正态随机变量各分量的线性组合一定服从正态分布的结论。
  • 假设检验是已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法和P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。 总体...

    假设检验是在已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来对这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。
    总体均值的假设检验就是已知了一个均值的先验值,然后根据实验获取的数据对这个值进行验证是否接受它。根据是否已知总体的方差,又可细分为两种类型:方差已知和方差未知。

    1. 方差已知的

    在方差已知的情况下,检验统计量为:
    X ‾ − μ 0 σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/ \sqrt{n}}\sim N(0,1) σ/n Xμ0N(0,1)

    1.1. P值计算:

    1. 双边检验
      P ( ∣ Z ∣ ≥ ∣ z 0 ∣ ) P(|Z|\ge |z_0|) P(Zz0)
    2. 左侧检验
      P ( Z ≤ z 0 ) P(Z\le z_0) P(Zz0)
    3. 右侧检验
      P ( Z ≥ z 0 ) P(Z\ge z_0) P(Zz0)

    1.2. Python计算代码

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    def ztest_simple(xb, sigma,sample_num, mu0, side='both'):
        """
        参数:
            xb- 样本均值
            sigma- 样本的标准差
            sample_num- 样本容量
            mu0- H0假设的均值
            side取值
                'both'- 双边检验
                'left'- 左侧检验
        返回值: 字典形式的p_val
        """
        Z = stats.norm(loc=0, scale=1)
        z0=(xb-mu0)/(sigma/np.sqrt(sample_num))
        if side=='both':
            z0=np.abs(z0)
            tmp = Z.sf(z0)+Z.cdf(-z0)
            return {"p_val": tmp}
        elif side=='left':
            tmp = Z.cdf(z0)
            return {"p_val": tmp}
        else:
            tmp = Z.sf(z0)
            return {"p_val": tmp}
    

    1.3 应用实例

    例1: 为了了解A高校学生的消费水平,随机抽取了225位学生调查其月消费(近6个月的消费平均值),得到该225位学生的平均月消费1530元. 假设学生月消费服从正态分布, 标准差为 σ = 120 \sigma=120 σ=120.
    已知B高校学生的月平均消费为1550元.是否可以认为A高校学生的消费水平要低于B高校?
    解:
    H 0 : μ = μ 0 = 1550 H 1 : μ ≤ μ 0 H_0: \mu = \mu_0=1550 \quad H_1: \mu \le \mu_0 H0:μ=μ0=1550H1:μμ0
    所以该假设检验为左边检验,使用python代码计算时,要注意side参数设置为left.

    ztest_simple(1530, 120, 225, 1550, side='left')
    # 结果:
    {'p_val': 0.0062096653257761323}
    

    因此在显著性水平 α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05下,拒绝原假设,即认为A高校学生的生活水平低于B高校.

    例2:根据健康中心报告35至44岁的男性平均心脏收缩压为128, 标准差为15. 现根据某公司在35至44岁年龄段的72位员工的体检记录,计算得平均收缩压为126.07(mm/hg). 问该公司员工的收缩压与一般人群是否存在差异?(假设该公司员工与一般男子的心脏收缩压具有相同的标准差). ( α = 0.05 \alpha = 0.05 α=0.05
    解:
    H 0 : μ = μ 0 = 128 H 1 : μ ≠ μ 0 = 128 H_0: \mu=\mu_0=128 \quad H_1: \mu \neq \mu_0=128 H0:μ=μ0=128H1:μ=μ0=128
    所以该问题为双边检验问题。使用Python计算如下:

    ztest_simple(126.07, 15, 72, 128, side='both')
    # 结果:
    {'p_val': 0.27493294653328959}
    

    因为 0.27493294653328959>0.05, 因此接受原假设.

    2. 方差未知

    在方差未知的情况下, 检验统计量为:
    X ‾ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) S/n Xμ0t(n1)

    2.1. P值计算

    1. 双边检验
      P ( ∣ T ∣ ≥ ∣ t 0 ∣ ) P(|T|\ge |t_0|) P(Tt0)
    2. 左侧检验
      P ( T ≤ t 0 ) P(T\le t_0) P(Tt0)
    3. 右侧检验
      P ( T ≥ t 0 ) P(T\ge t_0) P(Tt0)

    2.2 python计算代码

    scipy库中,有一个专门用来进行t检验的函数:
    stats.ttest_1samp(a, popmean, axis=0, nan_policy='propagate')
    使用该函数时一定要注意,默认计算的是双边检验

    2.3 应用实例

    例1: 可乐制造商为了检验可乐在贮藏过程中其甜度是否有损失,请专业品尝师对可乐贮藏前后的甜度进行评分.10位品尝师对可乐贮藏前后甜度评分之差为:
    2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3
    问:这些数据是否提供了足够的证据来说明可乐贮藏之后的甜度有损失呢?设总体服从正态分布,标准差未知.
    解:
    H 0 : μ = 0 H 1 : μ > 0 H_0: \mu=0 \quad H_1: \mu\gt 0 H0:μ=0H1:μ>0
    该问题为右侧检验,使用python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data = np.array([2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3])
    _, pval = stats.ttest_1samp(data, 0)
    # 结果为
    pval = 0.024526312420683691 # 这是双边检验的结果
    pval = pval/2 = 0.012263156210341845
    
    • 如果显著水平取α=0.05,则有充分的理由拒绝原假设。
    • 如果显著水平取α=0.01, 则还没有充分的理由拒绝原假设.

    例 2:某批次矿砂的5个样品的镍含量,经测定为(%):
    3.25 3.27 3.24 3.25 3.24
    假设测定值服从正态分布,但是参数均未知。问在 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25.
    解:
    H 0 : μ = μ 0 = 3.25 H 1 : μ ≠ 3.25 H_0: \mu= \mu_0=3.25\quad H_1: \mu \neq3.25 H0:μ=μ0=3.25H1:μ=3.25
    该问题为左双边检验, python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats 
    
    data = np.array([3.25, 3.27, 3.24, 3.25, 3.24])
    stats.ttest_1samp(data, 3.25)
    # 结果
    pval = 1.0 
    

    因为 p v a l = 0.1 > α = 0.01 pval=0.1 \gt \alpha=0.01 pval=0.1>α=0.01, 所以可以接受该批矿砂镍含量均值为3.25

    3. 成对数据的t检验

    配对研究的数据是一对一对地收集得到的, 所以也称为成对数据的研究. 由于配对研究采用了比较的思想, 比通常的单个样本推断更让人信服. 这种方法在医学和生物研究领域中广泛存在, 成对数据检验的基本思想是将两样本问题转为单样本问题.

    • 假设成对数据 ( X 1 , Y 1 ) , . . . , ( X n , Y n ) (X_1, Y_1), ..., (X_n, Y_n) (X1,Y1),...,(Xn,Yn)
    • 设差值 D i = X i − Y i , i = 1 , . . . , n D_i = X_i - Y_i, i=1,...,n Di=XiYi,i=1,...,n
    • 差值可以看成来自正态总体 N ( μ D , σ D 2 ) N(\mu_D, \sigma_D^2) N(μD,σD2)的样本
      基于上述处理,我们可以把成对数据均值的检验,使用方差未知的t检验完成。

    3.1 实例

    例1: 为了试验两种不同谷物种子的优劣,选取了十块土质不同的土地,并将每块土地分为面积相同的两部分,分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。
    • 种子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28
    • 种子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27
    问:这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异(取显著性水平为0.05)?
    解: H 0 : μ D = 0 H 1 : μ D ≠ 0 H_0: \mu_D=0 \quad H_1:\mu_D \neq 0 H0:μD=0H1:μD=0
    这样该问题即转换为方差未知的情况下,对均值的双边检验。Python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data1 = np.array([23, 35, 29, 42, 39, 29, 37, 34, 35, 28])
    data2 = np.array([26, 39, 35, 40, 38, 24, 36, 27, 41, 27])
    delta = data1-data2
    _, pval = stats.ttest_1samp(delta, 0)
    # 结果
    pval = 0.88992115341674716
    

    因为 p v a l > α = 0.05 pval\gt\alpha=0.05 pval>α=0.05, 所以接受原假设。

    4. 参考文献

    • 《概率论与数理统计》浙大
    • numpy and scipy documents

    5. 交流联系

    • email: hflag@163.com
    • qq: 532843488
      本人一直从事《概率论与数理统计》的教学,欢迎遇到问题的童靴们联系我。
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  • n正态分布

    千次阅读 2019-07-14 10:14:44
  • 区间估计简介Python求解单个正态总体参数的置信区间参考区间估计简介假定参数是射击靶上 10 环的位置,作一次射击,打靶心 10 环的位置上的可能性很小,但打靶子上的可能性就很大,...
    • 区间估计简介

    • Python求解

      • 单个正态总体参数的置信区间

    • 参考

    区间估计简介

    假定参数是射击靶上 10 环的位置,作一次射击,打在靶心 10 环的位置上的可能性很小,但打在靶子上的可能性就很大,用打在靶上的这个点画出一个区间,这个区间包含靶心的可能性就很大,这就是区间估计的基本思想。

    在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间, 其中区间的最小值称为置信下限,最大值称为置信上限。由于统计 学家在某种程度.上确信这个区间会包含真正的总体参数,所以给它取名为置信区间。原因是,如果抽取了许多不同的样本,比如说抽取 100 个样本,根据每一个样本构造一个置信区间,这样,由 100 个样本构造的总体参数的 100 个置信区间中,有 95%的区间包含了总体参数的真值,而 5%则没包含,则 95%这个值称为置信水平。一般地,如果将构造置信区间的步骤重复多次,置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。

    从上图不难看出,当样本量给定时,置信区间的宽度随着置信系数的增大而增大,从直觉上说,区间比较宽时,才会使这一区间有更大的可能性包含参数的真值;当置信水平固定时,置信区间的宽度随样本量的增大而减小,换言之,较大的样本所提供的有关总体的信息要比较小的样本多。

    • 对置信区间的理解,有以下几点需要注意:

    1. 如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值,5% 的区间不包含总体参数的真值,那么,用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样,其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述。

    2. 总体参数的真值是固定的、未知的,而用样本构造的区间则是不固定的。若 抽取不同的样本,用该方法可以得到不同的区间,从这个意义上说,置信区间是一个随机区间,它会因样本的不同而不同,而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。一个置信区间就像是为捕获未知参数而撒出去的网,不是所有撒网的地点都能捕获到参数。

    3. 在实际问题中,进行估计时往往只抽取一个样本,此时所构造的是与该样本 相联系的一定置信水平( 比如95%)下的置信区间。由于用该样本所构造的区间是一个特定的区间,而不再是随机区间,所以无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个,但.它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。比如,从一个总体中抽取20个随机样本,得到总体均值u的20个估计区间,如下图所示。图中每个区间中间的点表示p的点估计,即样本均值x。可以看出20个区间中只有第8个区间没有包含总体均值μ。如果这是95%的置信区间,最后只有5%的区间没有包含μ

    Python求解

    单个正态总体参数的置信区间

    已知 的置信区间

    例题1:用天平称量某 物体的质量9次,得平均值为x=15.4(g),已知天 平称量结果为正态分布,其标准差为0.1(g).试求该物体质量的0.95置信区间.

    import numpy as np
    import pandas as pd
    from scipy import stats
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline
    
    
    mean=15.4
    std=0.1/3  
    interval=stats.norm.interval(0.95,mean,std)  
    print('该物体质量的95%的置信区间是{}'.format(interval))
    
    该物体质量的95%的置信区间是(15.334667867181999, 15.465332132818002)
    

    未知 的置信区间

    例题2:假设轮 胎的寿命服从正态分布.为估计某种轮胎的平均寿命,现 随机地抽12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:

    4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70

    试求平均寿命的0.95置信区间.

    l=[4.68 ,4.85, 4.32, 4.85, 4.61, 5.02, 5.20, 4.60, 4.58, 4.72, 4.38, 4.70]
    
    
    x=np.array(l)
    mean=x.mean()
    tsem=stats.tsem(x)    #注意这里使用的修正因子是n/(n-1)
    
    
    interval=stats.t.interval(0.95,len(l)-1,mean,tsem)
    print('平均寿命的95%的置信区间是{}'.format(interval))
    
    平均寿命的95%的置信区间是(4.551601078721146, 4.866732254612187)
    

    的置信区间

    例题3:某厂生产的零件重量服从正态分布N(μ, ),现从该厂生产的 零件中抽取9个,测得其质量(单位:g)为 45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差 的0. 95置信区间.

    l=[ 45.3 ,45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6]
    
    
    x=np.array(l)
    mean=x.mean()
    var=9*x.var()
    
    
    a=stats.chi2.interval(0.95,len(l)-1)
    b=np.array(a)
    
    
    print('方差95%的置信区间是{}'.format((var/b)[::-1]))
    
    方差的95%的置信区间是[0.01482787 0.11928079]
    

    参考

    [1]茆诗松《概率论与数理统计》



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  • 函数sigma2Interval(详见博文《单个正态总体方差的双侧区间估计》)稍作修改,就可得到计算总体参数σ2\sigma^2σ2单侧置信上限或下限的函数。 from scipy.stats import chi2 #导入chi2分布 def sigma2Bound(s2, ...

    对函数sigma2Bounds(详见博文《单个正态总体方差的双侧区间估计》)稍作修改,就可得到计算总体参数 σ 2 \sigma^2 σ2单侧置信上限或下限的函数。

    from scipy.stats import chi2                    #导入chi2分布
    def sigma2Bound(d, df, confidence, low=True):   #定义函数
        alpha=1-confidence                          #计算置信度中的alpha
        if low:                                     #若为下限
            b=chi2.isf(alpha, df)                  	#chi2的单侧右分位点
        else:                                       #若为上限
            b=chi2.ppf(alpha, df)                  	#chi2的单侧左分位点
        return d/b
    

    与函数sigma2Bounds相比,sigma2Bound的多了一个分辨计算的是下限或上限的参数low,其默认值为True,表示计算置信下限。若传递给它False,则计算置信上限。第3行计算置信度 1 − α 1-\alpha 1α中的 α \alpha α。第4~7行的if-else语句根据low的取值决定计算 χ 2 ( n − 1 ) \chi^2(n-1) χ2(n1)分布的右分位点(第5行)或左分位点(第7行),详见博文《卡方分布分位点计算》。第8行将计算所得的置信上限或下限作为返回值返回。
    例1 某大学数学测验,抽得20个学生的分数的样本均值为72,样本方差为16。假设分数 X X X~ N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2),分别计算 μ \mu μ的置信度为98%的置信下限, σ 2 \sigma^2 σ2的置信度为98%的置信上限。
    解: 下列代码完成本例的计算。

    n=20											#样本容量
    mean=72											#样本均值
    s2=16											#样本方差
    confidence=0.98									#置信水平
    d=np.sqrt(s2/n)									#mu的置信下限因子
    b=muBound(mean, d, confidence, df=n-1)			#mu的置信下限
    print('mu>=%.4f'%b)
    d=(n-1)*s2										#sigma^2的置信上限分子
    b=sigma2Bound(d, n-1, confidence, low=False)	#sigma^2的置信上限
    print('sigma^2<=%.4f'%b)
    

    第6行调用计算总体均值 μ \mu μ的单侧区间估计的函数muBound(详见博文《单个正态总体均值的单侧区间估计》),计算 μ \mu μ的置信水平为0.98的置信下限(参数low取缺省值True)。由于总体参数 σ 2 \sigma^2 σ2未知,故传递给参数df的是 t t t分布的自由度n-1。第9行调用函数sigma2Bound,需向参数low传递False,这是因为我们需要计算的是置信上限。运行程序,输出

    mu>=70.0281
    sigma^2<=35.4849
    

    例2 随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差 s = 11 m / s s=11m/s s=11m/s。设炮口速度 X X X~ N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)。求这种炮弹的炮口速度的标准差 σ \sigma σ的置信度为0.95的置信下限。
    解: 下列代码完成本例的计算。

    import numpy as np					#导入numpy
    n=9									#样本容量
    s2=11**2							#样本方差
    d=(n-1)*s2							#sigma^2置信下限分子
    confidence=0.95						#置信水平
    b=sigma2Bound(d, n-1, confidence)	#sigma^2的置信下限
    b=np.sqrt(b)						#sigma的置信下限
    print('sigma>=%.2f'%b)
    

    程序的第6行调用sigma2Bound函数计算 σ 2 \sigma^2 σ2的置信下限(参数low取缺省值),第7行计算 σ \sigma σ的置信下限。运行程序,输出

    sigma>=7.90
    

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  • 总体均值的区间估计 (正态总体: σ2 已知实例)总体均值的区间估计(正态总体:σ2已知实例)【1】某种零件 2解:已知X~N(μ,0.15 ) , ⎯x =2.14, n=9,长度服从正态分 1-α= 0.95,Z =1.96α/2...
  • (1)已知σ=σ0\sigma=\sigma_0σ=σ0​,统计量u=Xˉ−μ0σ0/nN(0,1)u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n} }\sim N\left ( 0,1 \right )u=σ0​/n​Xˉ−μ0​​∼N(0,1) (2)未知σ\sigmaσ,统计量u=Xˉ−μ0...
  • 是的numpy可以帮助您:有一个^{}函数接受类似数组的输入:import numpy as npmeans = np.arange(10) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]stddevs = np.ones(10) # [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]samples = np.random....
  • 而1/√(2*π)∫{-∞,+∞}j*u*e^(j*u*x-x²/2)dx = j*u*1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)dx = j*u*C(u) ② 注意到C(u)u求导得 C’(u) =1/√(2*π)∫{-∞,+∞} j*x*e^(j*u*x-x²/2)dx, 故1/√(2*π)∫{-∞,+∞}...
  • Xˉ=1n∑i=1nXi,S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i,S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\bar X\right)^2Xˉ=n1​∑i=1n​Xi​,S2=n−11​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)
  • 获取一系列多变量观测值,并计算每个观测值的对数似然,这些观测值是具有均值 mu 和协方差 Sigma 的高斯分布。
  • 数理统计基础 正态总体抽样分布

    千次阅读 2020-11-01 16:24:29
    目录 ... 抽样分布 ...参数统计推断问题中,经常需要利用总体的样本构造出合适的统计量,并使其服从或渐近地服从已知的确定分布,统计学中泛称统计量的分布为抽样分布。 正态分布性质 设随机变量XXX服
  • 目标:计算 计算: 计算: 合起来
  • 贝叶斯理论多元正态分布推导-求协方差元素时分子为什么是n-1不是n备忘 参考博客 备忘
  • 单个、双个正态分布区间估计--R code

    千次阅读 2017-12-21 18:21:56
    #本程序利用R分布别做出单个、双个正态分布总体 #区间估计的均值和双侧、单侧置信区间 #包含4个函数 #code by Vac 2017.12.8 #*****************#单个正态分布 #u的区间估计,sigma已知 onenorm_u_sigma(X,sigma,a
  • 正态总体方差的检验

    2020-03-30 17:32:35
    1.单个正态总体方差的卡方检验 python实现: #备择假设sigma2>0.016 from scipy import stats def ka2(n,s2,sigma2): k_value=(n-1)*s2/sigma2 p_value=1-stats.chi2.cdf(k_value,n-1) return p_value ka2...
  • python中画正态分布图像的实例

    千次阅读 2020-12-08 00:11:03
    1.正态分布简介正态分布(normal distribtution)又叫做高斯分布(Gaussian distribution),是一个非常重要也非常常见的连续概率分布。...python中画正态分布直方图先直接上代码import numpy as npim...
  • 学习高斯判别分析(Gaussian discriminant analysis)时,出现了n正态分布的密度函数,函数中出现了矩阵,弄得大家一头雾水。其实这个公式大部分概率论书籍中都没有提到,不过,简要推导一下,就可以得到结果...
  • 正态总体的抽样分布

    万次阅读 多人点赞 2018-11-21 21:55:20
    由中心极限定理可知,许多随机变量的概率分布都是服从或近似服从正态分布的,因此正态分布概率统计中显然有着极为重要的地位。以下给出一些关于正态分布的结论和定理: 设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,....
  • n=input(‘请输入标准差:’); t=input(‘请输入数据长度:’); Y0=[]; x=[]; for i=1:t a=rand; b=rand; X1(i)=sqrt((-2)log(a))cos(2pib); X2(i)=sqrt((-2)log(a))sin(2pib); Y1=X1n+m; Y2=X2n+m; x=[x i]; Y1=[Y0...

空空如也

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