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  • 有不少小伙伴后台留言希望多讲讲假设检验和置信区间的内容,同学们的关注表示感谢,同时,我们也会尽力加快推文速度。首先,简单回顾一下,抽样分布是针对样本统计量而言的,比如样本均数。同一个总体中,...

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    前文我们解释了正态分布和抽样分布,今天终于要开始讲解置信区间了。有不少小伙伴在后台留言希望多讲讲假设检验和置信区间的内容,在此对同学们的关注表示感谢,同时,我们也会尽力加快推文速度。

    首先,简单回顾一下,抽样分布是针对样本统计量而言的,比如样本均数。在同一个总体中,重复多次抽取样本量为n的多组样本,每一组样本均可计算出一个样本均数,将这些样本均数汇集在一起就获得了所谓的样本均数的抽样分布。我们把样本均数看做一个新“随机变量”,研究它的性质,比如我们可以对这些样本均数再求平均数和标准差。

    一个简单但非常实用的规律是,无论X的分布如何,如果X的总体均数是

    标准差是
    ,则其样本均数服从正态分布N(
    )。需要注意的是,这里的样本要满足比较大的样本量。

    所谓“参数估计”,就是通过样本统计量估计总体参数。稍微了解过统计学的同学对“95%置信区间”这个说法肯定不会陌生,不过在此之前,我们先来看看点估计。


    1. 点估计

    何为点估计?上一篇我们提出抽样调查,指出样本虽然是我们的研究对象,但我们的目标却是总体,如何通过样本推测总体?最简单的就是用样本均数直接代替总体均数,这里的样本均数实际是称作总体均数的一个“点估计”。

    除了均数,我们还学习过中位数,经常听说当总体呈偏态分布时要用中位数描述,因此,中位数其实也是总体均数“点估计”的一种。那么问题来了,为什么从来没人说用中位数来估计总体呢?这里因为,即使是点估计,也是有要求的,为了保证估计更加精确,我们总是希望找到那个最好的“点”,而样本均数在某些方面就要强于中位数。

    简单而言,要成为一个好的点估计,至少需要满足三个条件:无偏性、有效性和一致性。所谓“无偏”就是要保证你的估计值是在真实的总体均值上下波动的。如果通过A样本计算的样本均数大于总体均数,通过B样本计算的小于总体均数,这就叫无偏。如果无论怎么抽样,获得的样本均数总是大于(或小于)总体均数,那就不叫无偏估计。有效性指的是估计量的方差尽可能小,而正是这一点样本均数优于中位数。最后一点,一致性是指随着样本量的增加,点估计要有逐步接近总体参数的趋势,换言之,大样本比小样本更加精确,这也是为什么我们总把“扩大样本量”挂在嘴边的原因。

    给大家简要介绍点估计及其三个性质是希望大家对估计有一个比较全面、专业的认识,便于后续区间估计和假设检验的学习。


    2. 抽样误差

    点估计很好理解,但却存在一个重大的缺陷——太过随机。以均数为例,前面我们说了,样本均数依赖于样本的变化,对于同一个总体,两拨样本可能得出两个差异比较大的样本均数,那到底哪个均数估计的更准呢?无从判断。因此,为了增加我们估计的信心,提高推测的把握度,我们还需引入一个新的量——误差。统计学中一般将总体均数与样本均数的差值称为“抽样误差”,用数学式表示即为:

    抽样误差=

    由此,如果我们知道了一个点估计值以及抽样误差的大小,按照上面的公式我们不就可以计算出总体均数吗?因此,所谓的“置信区间”,本质上是结合了点估计和抽样误差两个方面给出的更全面准确的估计。

    在正态分布那一讲中,我们提到过三个重要的百分数,也称“68-95-99.7”法则。以“95%”为例,这个法则告诉我们一个服从正态分布的变量,95%的值都在均数加减两个(更准确是1.96)标准差范围内。有了这个“法宝”,再加上样本均数的抽样分布近似正态的性质,我们就可以来构建置信区间了。


    3. 置信区间的构建

    前面我们讲了无论X的分布如何,如果X的总体均数是

    ,标准差是
    ,则其样本均数
    服从正态分布N(
    )。

    由此,结合上面提到的“68-95-99.7”法则,我们就知道,有95%的样本均数

    会在总体均数
    加减两个标准差(
    )的范围内(未免混淆,我们把样本均数的标准差称作“标准误”,即
    ),那么这个用概率怎么表达呢?还记的我们提及的正态分布查表求概率的方法吗?现在要派上用场了。

    对于服从标准正态分布的变量Z,我们知道:P (-2≤Z≤2) = 0.95,这里的-2和2是通过标准正态分布的均数(

    )加减两个标准差(
    )计算得出的,即

    把这个规律延伸至样本均数的抽样分布,我们可以得到下式:

    这里的“2”实际上是“1.96”的近似,更为准确的表达式是:

    根据上式,有95%的

    满足如下不等式:

    反复提醒,不要被这里复杂的表达式给吓着,这里的

    就是
    的标准差(也称标准误)。进一步,我们把总体均数求解出来,就得到了:

    最终,我们得到了95%置信区间。因此,当我们抽取一个样本,求出样本均数,在总体标准差(

    )已知的情况下,利用上式就就可以估计出总体均数95%的置信区间。

    简单回顾一下以上的过程:因为样本均数是服从正态分布的,依据95%法则,我们知道有95%的样本均数是在总体均数加减大概1.96个标准差范围内的,把这句话用概率的数学表达式写出来,稍作整理就得到了总体均数的95%置信区间。


    4. 95%如何理解

    明白了置信区间的推导,下面我们来看如何理解这里的95%。还得从样本均数的抽样分布讲起,对于一个固定的总体,我们每抽取一个样本,按照上面的计算方法,就可以获得一个95%置信区间,这些区间不完全相同,并且有的可能包括总体均数、有的可能不包括(注意:总体均数虽然未知,但它是确定的,变化的是区间)。

    假设我们重复抽样100次,手头就有了100个区间,95%置信区间的含义就是:在这100个区间里,我们几乎可以断定里面会有95个区间是包括总体均数的,因此,如果我们从这100个区间中随机抽取一个,这个区间包括总体均数的概率不就是95%?(想象有100个球,95个黑球,随机抽取的一个球是黑球的概率——95%)。

    下面通过一个案例进行更详细的说明。

    某公司想知道顾客对自己的满意程度,采用简单随机抽样调查了100名顾客对公司的满意度得分(0-100)。该样本的平均满意度得分为82,按照以往的经验,满意度得分的标准差稳定在20分上下,意味着总体标准差为20。现在想要估计总体顾客的平均满意度得分。

    这是一个典型的由样本均数推测总体均数的例子,根据上面的公式我们可以得出总体均数的95%置信区间:[82±3.92],其中3.92=1.96*20/10(注意20是原变量X的总体标准差,不是样本均数的标准差,样本均数标准差是2,也称标准误),这个区间将有95%的可能性包括总体均值。

    所谓“包括总体均值”,从区间的角度理解就是样本均数与总体均数的差值要尽可能小。如下图,假设抽取了三组样本,计算了三个样本均数(x1, x2, x3),结合已知的总体标准差(20)我们构造了三个置信区间,所以这三个样本均数与总体均数的误差均为3.92(这里总体标准差已知,而三组样本量n相同,因此三个误差都相同)。

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    仔细看图,不难发现,由x1和x2构造的区间包括了总体均数;而由x3构造的区间就没有包括。这两者的区别在于x3离均值距离太远(大于3.92),总图中看,即使x3减去了一定的误差后仍大于总体均数,所以由x3构造的95%置信区间不包括总体均数。

    因此,置信区间的核心在于样本均数与总体均数距离的远近,如果抽中的样本所计算的样本均数落在下图的阴影部分,则根据该样本得到的95%置信区间都会包括总体均值(x3属于一个临界值,大于x3的那些点构造的置信区间均不会包含总体均数)。


    以上,我们以总体标准差已知的情形讲解了总体均数置信区间构建的逻辑。现实情况下,更多时候总体标准差未知而采用样本值代替,但计算思路完全一致。

    最后,我们再次总结一下:通过样本构造总体均数的置信区间,目的是尽可能准确地掌握总体均数的信息,即要让构造的区间包括总体均数,而“包括与否”很大程度上在于你获得的样本均数与总体均数之间的距离远近。

    很显然,如果人为地扩大这个“距离”,置信区间就越可能包括总体均数,可是扩大距离,意味着区间变长,有时会让所估计的区间变的毫无意义。

    比如,某个身高样本的样本均数是1.73米,现在估计这个样本所在总体的均数,如果把误差(与总体均数的距离)设为1米,从而置信区间是[0.73, 2.73]。可以断定这个区间一定能包含总体均数(置信度100%),可是它却提供不了有价值的信息,因为人类的身高都处在这个范围。

    由此,我们常说的95%实际上决定了“误差距离”的概念。对照上图,如果把阴影部分向中心挤压,缩小其面积,则样本均数与总体均数距离缩小,获得的置信区间一定更加精确,可是由于阴影部分面积减少,概率降低,置信水平就会下降。因此,置信区间实际上是在“把握性(包括总体均数)”和“估计精确度”之间做的权衡。

    对本文的透彻理解,需要熟练掌握正态分布和样本均数抽样分布的基础知识,相关文章可参考本平台发布的“一文搞懂“正态分布”所有需要的知识点”和"抽样好懂,抽样分布却是在说啥"。

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  • 假设检验是已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法和P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。 总体...

    假设检验是在已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来对这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。
    总体均值的假设检验就是已知了一个均值的先验值,然后根据实验获取的数据对这个值进行验证是否接受它。根据是否已知总体的方差,又可细分为两种类型:方差已知和方差未知。

    1. 方差已知的

    在方差已知的情况下,检验统计量为:
    Xμ0σ/nN(0,1)\frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/ \sqrt{n}}\sim N(0,1)

    1.1. P值计算:

    1. 双边检验
      P(Zz0)P(|Z|\ge |z_0|)
    2. 左侧检验
      P(Zz0)P(Z\le z_0)
    3. 右侧检验
      P(Zz0)P(Z\ge z_0)

    1.2. Python计算代码

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    def ztest_simple(xb, sigma,sample_num, mu0, side='both'):
        """
        参数:
            xb- 样本均值
            sigma- 样本的标准差
            sample_num- 样本容量
            mu0- H0假设的均值
            side取值
                'both'- 双边检验
                'left'- 左侧检验
        返回值: 字典形式的p_val
        """
        Z = stats.norm(loc=0, scale=1)
        z0=(xb-mu0)/(sigma/np.sqrt(sample_num))
        if side=='both':
            z0=np.abs(z0)
            tmp = Z.sf(z0)+Z.cdf(-z0)
            return {"p_val": tmp}
        elif side=='left':
            tmp = Z.cdf(z0)
            return {"p_val": tmp}
        else:
            tmp = Z.sf(z0)
            return {"p_val": tmp}
    

    1.3 应用实例

    例1: 为了了解A高校学生的消费水平,随机抽取了225位学生调查其月消费(近6个月的消费平均值),得到该225位学生的平均月消费1530元. 假设学生月消费服从正态分布, 标准差为σ=120\sigma=120.
    已知B高校学生的月平均消费为1550元.是否可以认为A高校学生的消费水平要低于B高校?
    解:
    H0:μ=μ0=1550H1:μμ0H_0: \mu = \mu_0=1550 \quad H_1: \mu \le \mu_0
    所以该假设检验为左边检验,使用python代码计算时,要注意side参数设置为left.

    ztest_simple(1530, 120, 225, 1550, side='left')
    # 结果:
    {'p_val': 0.0062096653257761323}
    

    因此在显著性水平α=0.05\alpha = 0.05下,拒绝原假设,即认为A高校学生的生活水平低于B高校.

    例2:根据健康中心报告35至44岁的男性平均心脏收缩压为128, 标准差为15. 现根据某公司在35至44岁年龄段的72位员工的体检记录,计算得平均收缩压为126.07(mm/hg). 问该公司员工的收缩压与一般人群是否存在差异?(假设该公司员工与一般男子的心脏收缩压具有相同的标准差). (α=0.05\alpha = 0.05
    解:
    H0:μ=μ0=128H1:μμ0=128H_0: \mu=\mu_0=128 \quad H_1: \mu \neq \mu_0=128
    所以该问题为双边检验问题。使用Python计算如下:

    ztest_simple(126.07, 15, 72, 128, side='both')
    # 结果:
    {'p_val': 0.27493294653328959}
    

    因为 0.27493294653328959>0.05, 因此接受原假设.

    2. 方差未知

    在方差未知的情况下, 检验统计量为:
    Xμ0S/nt(n1)\frac{\overline X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)

    2.1. P值计算

    1. 双边检验
      P(Tt0)P(|T|\ge |t_0|)
    2. 左侧检验
      P(Tt0)P(T\le t_0)
    3. 右侧检验
      P(Tt0)P(T\ge t_0)

    2.2 python计算代码

    scipy库中,有一个专门用来进行t检验的函数:
    stats.ttest_1samp(a, popmean, axis=0, nan_policy='propagate')
    使用该函数时一定要注意,默认计算的是双边检验

    2.3 应用实例

    例1: 可乐制造商为了检验可乐在贮藏过程中其甜度是否有损失,请专业品尝师对可乐贮藏前后的甜度进行评分.10位品尝师对可乐贮藏前后甜度评分之差为:
    2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3
    问:这些数据是否提供了足够的证据来说明可乐贮藏之后的甜度有损失呢?设总体服从正态分布,标准差未知.
    解:
    H0:μ=0H1:μ>0H_0: \mu=0 \quad H_1: \mu\gt 0
    该问题为右侧检验,使用python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data = np.array([2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3])
    _, pval = stats.ttest_1samp(data, 0)
    # 结果为
    pval = 0.024526312420683691 # 这是双边检验的结果
    pval = pval/2 = 0.012263156210341845
    
    • 如果显著水平取α=0.05,则有充分的理由拒绝原假设。
    • 如果显著水平取α=0.01, 则还没有充分的理由拒绝原假设.

    例 2:某批次矿砂的5个样品的镍含量,经测定为(%):
    3.25 3.27 3.24 3.25 3.24
    假设测定值服从正态分布,但是参数均未知。问在α=0.01\alpha=0.01下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25.
    解:
    H0:μ=μ0=3.25H1:μ3.25H_0: \mu= \mu_0=3.25\quad H_1: \mu \neq3.25
    该问题为左双边检验, python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats 
    
    data = np.array([3.25, 3.27, 3.24, 3.25, 3.24])
    stats.ttest_1samp(data, 3.25)
    # 结果
    pval = 1.0 
    

    因为 pval=0.1>α=0.01pval=0.1 \gt \alpha=0.01, 所以可以接受该批矿砂镍含量均值为3.25

    3. 成对数据的t检验

    配对研究的数据是一对一对地收集得到的, 所以也称为成对数据的研究. 由于配对研究采用了比较的思想, 比通常的单个样本推断更让人信服. 这种方法在医学和生物研究领域中广泛存在, 成对数据检验的基本思想是将两样本问题转为单样本问题.

    • 假设成对数据 (X1,Y1),...,(Xn,Yn)(X_1, Y_1), ..., (X_n, Y_n)
    • 设差值 Di=XiYi,i=1,...,nD_i = X_i - Y_i, i=1,...,n
    • 差值可以看成来自正态总体 N(μD,σD2)N(\mu_D, \sigma_D^2)的样本
      基于上述处理,我们可以把成对数据均值的检验,使用方差未知的t检验完成。

    3.1 实例

    例1: 为了试验两种不同谷物种子的优劣,选取了十块土质不同的土地,并将每块土地分为面积相同的两部分,分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。
    • 种子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28
    • 种子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27
    问:这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异(取显著性水平为0.05)?
    解: H0:μD=0H1:μD0H_0: \mu_D=0 \quad H_1:\mu_D \neq 0
    这样该问题即转换为方差未知的情况下,对均值的双边检验。Python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data1 = np.array([23, 35, 29, 42, 39, 29, 37, 34, 35, 28])
    data2 = np.array([26, 39, 35, 40, 38, 24, 36, 27, 41, 27])
    delta = data1-data2
    _, pval = stats.ttest_1samp(delta, 0)
    # 结果
    pval = 0.88992115341674716
    

    因为pval>α=0.05pval\gt\alpha=0.05, 所以接受原假设。

    4. 参考文献

    • 《概率论与数理统计》浙大
    • numpy and scipy documents

    5. 交流联系

    • email: hflag@163.com
    • qq: 532843488
      本人一直从事《概率论与数理统计》的教学,欢迎遇到问题的童靴们联系我。
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  • 1.为什么正太分布自然界如此常见? (1)n个独立同分布随机变量,根据中心极限定律,当n趋于无穷时,其平均值服从正太分布(高斯分布)。一个指标受到若干因素影响,但是单个因素又指标构不成决定性影响,则该...

    1.为什么正态分布在自然界如此常见?

    (1)n个独立同分布随机变量,根据中心极限定律,当n趋于无穷时,其平均值服从正太分布(高斯分布)。一个指标受到若干因素影响,但是单个因素又对指标构不成决定性影响,则该指标服从中心极限定律,收敛与正太分布——林徳伯格-费勒中心极限定理。

    (2)正太分布的信息墒最大

    (3)统计学三大分布:卡方分布,t分布,f分布都与正太分布有关

    (4)Everyone believes in the normal law, the experimenters because they imagine that it is a mathematical theorem, and the mathematicians because they think it is an experimental fact——法国物理学家

    (5)自然界最常见的分布并不是正太分布,而是长尾分布。自然界的各个变量之间往往是有关系的。

    2. backpropagation

    本质:通过改变网络权重(参数)来改变目标损失函数,最终转换为计算损失函数对权重的梯度,而损失函数对权重梯度公式最终由残差来表示。


    (1)forward propagation:输入训练数据,结合对应权值和激活函数,传遍整个网络,最后获得输出。计算:矩阵×矩阵 ,...,矩阵x矩阵,矩阵x向量




    (2)back propagation:根据网络输出的预测值和真实值获得惨差,把残差反向传遍整个网络(表现为各个权值的梯度)。计算:向量x矩阵,...,向量x矩阵——更高效!梯度的具体计算

    方法是:利用多元函数求导的链式法则。


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  • 也许,机遇不会出现前进的路上,但返回不是我们的方向。作者:泛音公众号:知识交点内容范围:正态分布,泊松分布,多项...如果伯努利试验独立重复n次则为n重伯努利试验。伯努利分布函数为:二项分布二项分布:...
    51edea266c903c3666c1ddf53d7c6a36.png也许,机遇不会出现在前进的路上,但返回不是我们的方向。005da61015e323149ec9c826c4cd6602.png

    作者:泛音

    公众号:知识交点

    内容范围:正态分布,泊松分布,多项分布,二项分布,伯努利分布

    简述:正态分布是上述分布趋于极限的分布,属于连续分布。其它属于离散分布。

    伯努利分布

    伯努利分布(两点分布/0-1分布):伯努利试验指的是只有两种可能结果的单次随机试验。如果对伯努利试验独立重复n次则为n重伯努利试验。

    伯努利分布函数为:

    14647599c888fc86d67dce72fe764829.png

    二项分布

    二项分布:二项分布是n重伯努利试验成功系数的离散概率分布。硬币正面朝上的概率为p,重复抛n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。

    二项分布概率分布函数:42837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 其中n是试验次数,x是试验结果为正的次数,q是试验结果为正的概率,1-q是试验结果为负的概率。

    均值:44837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ;方差:47837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ;标准差:49837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

    多项分布

    多项分布:多项分布是二项分布的推广。二项式做n次伯努利实验,规定了每次试验的结果只有两个,如果现在还是做n次试验,只不过每次试验的结果可以有多k个,且k个结果发生的概率互斥且和为1,则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。多项分布的联合概率函数为:4b837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 多项分布对其每一个结果都有均值和方差,分别为:50837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

    泊松分布

    泊松分布:适合用来描述单位时间/空间内随机事件发生的个数与其对应的概率。比如某医院平均每小时出生3个婴儿,在这种只知道平均数的情况下预测下一个小时会出生几个和其概率是多少。

    泊松分布概率分布函数:52837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 其中P表示概率,N表示一种函数关系,54837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg在这里表示是时间频率,t 在这里表示时间,n 表示数量,P(N(1) = 3) 表示的是1个小时内出生3个婴儿的概率。接下来两个小时,一个婴儿都不出生的概率为56837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,该事件的发生可能性十分小。

    均值:58837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ;方差:5a837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 

    指数分布

    指数分布:可以从泊松分布推断出来。如果t时间内没有任何婴儿出生,则:

    03632c6d38a0b8300512b6dbbfb02903.png

    ,事件在t之内发生的概率为1减上述的值,为:5e837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg ,例如,接下来15分钟,会有婴儿出生的概率是52.76%。

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    正态分布

    正态分布:概率密度函数为:64837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 当68837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg时称为标准正态分布,此时函数为:6a837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

    如何评判正态分布

    1. 图形感受法:建立直方图或者枝干图,看图像的形状是否类似正态曲线,既土墩形或者钟形,并且两端对称。

    2.计算区间6c837481-ba4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg,看落在区间的百分百是否近似于68%,95%,100%。

    3.求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s≈1.3。

    4. 建立正态概率图,如果近似正态分布,点会落在一条直线上。

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