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  • 正态总体区间估计

    2020-10-13 11:24:54
    之前已经写过关于正态总体下区间估计的计算方式,其中包括单正态总体和双正态总体两种,本篇文章主要围绕非正态总体下如何进行区间估计。 上期补充 单侧置信区间 定义 总体x的分布函数为F(x;θ),其中θ是未知参数...

    非正态总体区间估计

    前期摘要

    之前已经写过关于正态总体下区间估计的计算方式,其中包括单正态总体和双正态总体两种,本篇文章主要围绕非正态总体下如何进行区间估计。

    上期补充

    单侧置信区间

    定义

    总体x的分布函数为F(x;θ),其中θ是未知参数(待估量),X1,X2,K,Xn为总体X的样本,给定概率α(0<α<1),如果存在统计量θ1=(X1,X2,K,Xn),能够满足P{θ>θ1}=1-α,则称(θ1, +∞)为θ的置信水平为1-α的单侧置信区间。θ1为置信下界,上界情况同理!。

    计算

    计算过程和双侧的本质上是一样的,需要改动的地方仅仅在于需要修改分位数,因为对应的概率是调整了的,具体计算可跳转至正态总体下区间估计的计算方式

    核心(大数定理)

    当n充分大的时候,可近似认为:
    XˉE(X)D(X)nN(0,1) \frac{\bar{X}-E(X)}{\sqrt{\frac{D(X)}{n}}}-N(0,1)
    注:因为此时只有一个式子,所以只能求出单总体、单参数的分布(如果非要求多参数的,那么只能是只有一个参数未知,其他参数已知的时候才能进行求解)

    计算

    0-1分布

    XB(1,p)E(X)=pD(X)=p(1p)Xˉpp(1p)nN(0,1)P{μ(1α2)Xˉpp(1p)nμ(1α2)}Xˉpp(1p)nμ(1α2)(n+μ(1α2)2)p2(2nXˉ+μ(1α2)2)p+nXˉ<0p1=12a(bb24ac)p1=12a(b+b24ac) X-B(1,p)\\ E(X)=p\\ D(X)=p(1-p)\\ 故:\\ \frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}-N(0,1)\\ P\{-\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\le\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\le\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\}\\ |\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}|\le\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\\ (n+\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}^2)p^2-(2n\bar{X}+\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}^2)p+n\bar{X}\lt0\\ 解得:\\ p_1=\frac{1}{2a}(-b-\sqrt{b^2-4ac})\\ p_1=\frac{1}{2a}(-b+\sqrt{b^2-4ac})\\

    于是得到p的近似的置信度为(1-α),置信区间为:(p1,p2)

    二项分布

    注:x-B(N,p),有两个参数,N和p,故必须我们只有在知道一个参数的前提下,才能去估计另一个参数的区间。N是实验次数,n是样本容量,这个也是需要注意区分

    泊松分布

    XP(λ)E(X)=λD(X)=λXˉλλnU(1α2) X-P(\lambda)\\ E(X)=\lambda\\ D(X)=\lambda\\ 具体解法同上:|\frac{\bar{X}-\lambda}{\sqrt{\frac{\lambda}{n}}}|\le{U_{(1-\frac{\alpha}{2})}}\\

    指数分布

    2nλXˉχ2(2n)χα22(2n)2nλXˉχ(1α2)2(2n) 2n\lambda\bar{X}-\chi^2(2n)\\ \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(2n)\le2n\lambda\bar{X}\le\chi_{(1-\frac{\alpha}{2})}^2(2n)\\ 解法同上,同时这个计算也是简化了很多

    注意事项

    α题目没有给出的时候,默认是0.05,计算时候,先看清分布,然后带具体的公式进去便可求解

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  • 正态总体参数检验

    2020-10-27 13:26:29
    将非正态总体分布大样本的前提下,通过大数定理转化为正态分布/卡方分布,然后再利用上述表格构造参数并进行检验的一个过程。 非正态总体的均值检验(大样本前提) 当D(X)=σ2\sigma^2σ2已知时:(课本P87) u=Xˉ−μ...

    非正态总体参数检验

    本质

    将非正态总体分布在大样本的前提下,通过大数定理转化为正态分布/卡方分布,然后再利用上述表格构造参数并进行检验的一个过程。

    非正态总体的均值检验(大样本前提)

    当D(X)=σ2\sigma^2已知时:(课本P87)
    u=Xˉμ0σ/n u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
    当D(X)=σ2\sigma^2未知时,则使用它的无偏估计nS2n1\frac{nS^2}{n-1}S2S_*^2代替σ2\sigma^2的位置(课本P87)
    u=Xˉμ0S/n1=Xˉμ0S/n u=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n-1}}=\frac{\bar X-\mu_0}{S_*/\sqrt{n}}


    总体服从0-1分布

    构造统计量(课本P88)
    u=Xˉp0p0(1p0)/nN(0,1) u=\frac{\bar X-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}-N(0,1)

    总体服从泊松分布

    构造统计量(课本P89)
    u=Xˉλ0λ0/n u=\frac{\bar X-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}

    总体服从指数分布

    构造统计量(课本P90)
    χ2=2nλXˉ=2λi=1nXi=χ2(2n) \chi^2=2n\lambda\bar X=2\lambda\sum_{i=1}^{n}X_i=\chi^2(2n)

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  • 检验两个正态总体是否相等实际中是非常重要的。...检验统计量的第一类错误和检验功效进行了模拟分析,模拟研究表明提出的检验统计量控制第一类错误和检验功效方面都比N-P提出的方法表现得更好。
  • 正态总体方差的检验

    2020-03-30 17:32:35
    1.单个正态总体方差的卡方检验 python实现: #备择假设sigma2>0.016 from scipy import stats def ka2(n,s2,sigma2): k_value=(n-1)*s2/sigma2 p_value=1-stats.chi2.cdf(k_value,n-1) return p_value ka2...

    1.单个正态总体方差的卡方检验
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    python实现:

    #备择假设sigma2>0.016
    from scipy import stats
    def ka2(n,s2,sigma2):
        k_value=(n-1)*s2/sigma2
        p_value=1-stats.chi2.cdf(k_value,n-1) 
        return p_value
    ka2(25,0.025,0.016) 
    

    Out[22]: 0.03898179833314719
    2.两个正态总体方差比的F检验
    在这里插入图片描述

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  • 正态总体的抽样分布

    千次阅读 多人点赞 2018-11-21 21:55:20
    由中心极限定理可知,许多随机变量的概率分布...设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​为来自总体为XXX的容量为nnn的一个样本,样本均值与样本方差分别为X‾=1n∑i=1nXi\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=...

    由中心极限定理可知,许多随机变量的概率分布都是服从或近似服从正态分布的,因此正态分布在概率统计中显然有着极为重要的地位。以下给出一些关于正态分布的结论和定理:

    X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n为来自总体为XX的容量为nn的一个样本,样本均值与样本方差分别为X=1ni=1nXi\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_iS2=1n1i=1n(XiX)2S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2则有:

    1. 设总体XX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2),则样本均值X\overline X服从正态分布N(μ,σ2n)N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),即:X(μ,σ2n)\overline X\sim(\mu,\frac{\sigma^2}{n})

    2. 设总体XX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2),则统计量u=Xμσ/nu=\frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}服从标准正态分布N(0,1)N(0,1),即:u=Xμσ/nN(0,1)u=\frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\sim N(0,1)

    3. 设总体XX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2),则统计量χ2=1σ2i=1n(XiX)2\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2服从自由度为n1n-1χ2\chi^2分布,即:χ2=1σ2i=1n(XiX)2χ2(n1)\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2\sim \chi^2(n-1)

    4. 设总体XX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2),则

      (1). 样本均值X\overline X与样本方差S2S^2相互独立。
      (2).统计量χ2=(n1)S2σ2\chi^2=(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}服从自由度为n1n-1χ2\chi^2分布,即χ2=(n1)S2σ2χ2(n1)\chi^2=(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)
      (3).统计量t=XμS/nt=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}服从自由度为n1n-1tt分布,即t=XμS/nt(n1)t=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)

    5. 设总体XX服从正态分布N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma^2_1),总体YY服从正态分布N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2),则统计量U=(XY)(μ1μ2)σ12n1+σ22n2U=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}服从标准正态分布,即:U=(XY)(μ1μ2)σ12n1+σ22n2N(0,1)U=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}\sim N(0,1)

    6. 设总体XX服从正态分布N(μ1,σ2)N(\mu_1,\sigma^2),总体YY服从正态分布N(μ2,σ2)N(\mu_2,\sigma^2),则T=(XY)(μ1μ2)Sω1n1+1n2t(n1+n22)T=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_\omega \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)其中Sω=(n11)S12+(n21)S22n1+n22S_\omega=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}

    7. 设总体XX服从正态分布N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2),总体YY服从正态分布N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2),则F=i=1n1(XiX)2/n1σ12i=1n2(XiX)2/n2σ22F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/n_1\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/n_2\sigma^2_2}服从自由度为(n11,n21)(n_1-1,n_2-1)FF分布,即F=i=1n1(XiX)2/(n11)σ12i=1n2(XiX)2/(n21)σ22F(n11,n21)F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/(n_1-1)\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/(n_2-1)\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)

    8. 设总体XX服从正态分布N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2),总体YY服从正态分布N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2),则统计量F=S12/σ12S22/σ22F=\frac{S_1^2/\sigma^2_1}{S_2^2/\sigma^2_2}服从自由度为(n11,n21)(n_1-1,n_2-1)FF分布,即F=S12/σ12S22/σ22F(n11,n21)F=\frac{S_1^2/\sigma^2_1}{S_2^2/\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)

    添加内容:

    感谢@思春的虫子(๑¯ํ ³ ¯ํ๑ 的指正,现将原定理3的“服从自由度为n的卡方分布”修改为“服从自由度为 n1n-1 的卡方分布”,定理7也做了修改。附证明:

    定理3证明:

    1σ2i=1n(XiX)2=n1σ21n1i=1n(XiX)2=n1σ2S2=i=1n(XiXσ)2 \begin{aligned} \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 & = \frac{n-1}{\sigma^2} · \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 \\ & = \frac{n-1}{\sigma^2}S^2 \\ & = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \overline X}{\sigma})^2 \\ \end{aligned} 又,因为XiN(μ,σ2)X_i\sim N(\mu, \sigma^2)
    则有:XiXσ=XiμσN(0,1)\frac{X_i - \overline X}{\sigma} = \frac{X_i - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)即,可得:1σ2i=1n(XiX)2=i=1n(Xiμσ)2χ2(n1)\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n-1)

    定理7证明:
    根据FF分布的定义F=X/n1Y/n2F = \frac{X/n_1}{Y/n_2}其中Xχ2(n1),Yχ2(n2)X\sim \chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2)
    由定理3可知:1σ12i=1n1(Xiμ1)2χ2(n11)\frac{1}{\sigma_1^2}\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\mu_1)^2\sim\chi^2(n_1-1)1σ22i=1n2(Xiμ2)2χ2(n21)\frac{1}{\sigma_2^2}\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\mu_2)^2\sim\chi^2(n_2-1)即可得:F=i=1n1(XiX)2/(n11)σ12i=1n2(XiX)2/(n21)σ22F(n11,n21)F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/(n_1-1)\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/(n_2-1)\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)

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  • 我个人似然比检验这个问题的研究是从数学课上老师留的...尽管两正态总体的该方法并非我们期末考试范围,我还是翻了图书馆的相关书籍,一本《近代统计方法》(师义民著)中找到了两正态总体的均值和方差的检验方法。
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  • 正态总体的样本均值与样本方差的分布相关定理
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  • 定理一:设总体X服从正态分布N(μ1,σ12)N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)N(μ1​,σ12​),设总体Y服从正态分布N(μ2,σ22)N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)N(μ2​,σ22​),则统计量 U=(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)σ1n1+σ2n2U=\frac{...
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  • 正态总体的方差σ2\sigma^2σ2未知的情况下,总体均值μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0​进行显著水平α\alphaα下的双侧假设检验,检验统计量X‾−μ0S/n\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}S/n​X−μ0​​~t(n−1)t(n-...
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空空如也

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