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  • 在对正态总体n
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    2021-08-03 10:47:44

    一、单个正太总体的统计量的分布
    从总体X中抽取容量为n的样本 X 1 , X 2 , . . . , X n , X_1,X_2,...,X_n, X1,X2,...,Xn,样本均值与样本方差分别是
    X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i , S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i,S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\bar X\right)^2 Xˉ=n1i=1nXi,S2=n11i=1n(XiXˉ)2
    定理1:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则样本均值 X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar X\sim N\left ( \mu ,\frac{\sigma ^2}{n} \right ) XˉN(μ,nσ2)
    定理2:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则统计量 u = X ˉ − μ σ / n u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} } u=σ/n Xˉμ服从标准正态分布N(0,1) ,即
    u = X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} } \sim N\left ( 0,1 \right ) u=σ/n XˉμN(0,1)
    定理3:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则统计量 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 σ21i=1n(Xiμ)2 服从自由度为n的 χ 2 \chi^2 χ2分布,即 χ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 \sim \chi^2\left ( n \right ) χ2=σ21i=1n(Xiμ)2χ2(n)
    定理4:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则
    (1)样本均值 X ˉ \bar X Xˉ与样本方差 S 2 S^2 S2相互独立;
    (2)统计量 χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 \chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2} χ2=σ2(n1)S2服从自由度为n-1的 χ 2 \chi^2 χ2分布,即
    χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2}\sim \chi^2\left ( n-1 \right ) χ2=σ2(n1)S2χ2(n1)
    定理5:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则统计量 t = X ˉ − μ S / n t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} } t=S/n Xˉμ服从自由度为n-1的t分布,即:
    t = X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} }\sim t\left ( n-1 \right ) t=S/n Xˉμt(n1)
    二、两个正态总体的统计量的分布
    从总体X中抽取容量为 n x n_x nx的样本 X 1 , X 2 , . . . , X n x X_1,X_2,...,X_nx X1,X2,...,Xnx,从总体Y中抽取容量为 n y n_y ny的样本 Y 1 , Y 2 , . . . , Y n y Y_1,Y_2,...,Y_ny Y1,Y2,...,Yny。假设所有的抽样都是相互独立的,由此得到的样本 X i ( i = 1 , 2 , . . . , n x ) X_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right ) Xi(i=1,2,...,nx) Y i ( i = 1 , 2 , . . . , n x ) Y_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right ) Yi(i=1,2,...,nx) 都是相互独立的随机变量。把取自两个总体的样本均值分别记作
    X ˉ = 1 n x ∑ i = 1 n x X i , Y ˉ = 1 n y ∑ i = 1 n y Y i \bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i, \bar Y= \frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_i Xˉ=nx1i=1nxXi,Yˉ=ny1i=1nyYi
    样本方差分别记作
    S x 2 = 1 n x − 1 ∑ i = 1 n x ( X − X ˉ ) 2 , S y 2 = 1 n y − 1 ∑ j = 1 n y ( Y − Y ˉ ) 2 S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X-\bar X \right )^2,S_y^2=\frac{1}{n_y-1}\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y-\bar Y \right )^2 Sx2=nx11i=1nx(XXˉ)2,Sy2=ny11j=1ny(YYˉ)2
    定理6:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 U = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) σ 2 n x + σ 2 n y U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} } U=nxσ2+nyσ2 (XˉYˉ)(μxμy) 服从标准正态分布。
    U = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) σ 2 n x + σ 2 n y ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} }\sim N\left ( 0,1 \right ) U=nxσ2+nyσ2 (XˉYˉ)(μxμy)N(0,1)
    定理7:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 T = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) S w 1 n x + 1 n y T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} } T=Swnx1+ny1 (XˉYˉ)(μxμy)服从自由度为 n x + n y − 2 n_x+n_y-2 nx+ny2的t分布,即
    T = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) S w 1 n x + 1 n y ∼ t ( n x + n y − 2 ) T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} }\sim t\left ( n_x+n_y-2 \right ) T=Swnx1+ny1 (XˉYˉ)(μxμy)t(nx+ny2)
    其中: S w = ( n x − 1 ) S x 2 + ( n y − 1 ) S y 2 n x + n y − 2 S_w=\sqrt{\frac{\left ( n_x-1 \right )S_x^2+\left ( n_y-1 \right )S_y^2 }{n_x+n_y-2} } Sw=nx+ny2(nx1)Sx2+(ny1)Sy2
    定理8:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 F = ∑ i = 1 n x ( X i − μ x ) 2 / n x σ x 2 ∑ j = 1 n y ( Y i − μ y ) 2 / n y σ y 2 F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2} F=j=1ny(Yiμy)2/nyσy2i=1nx(Xiμx)2/nxσx2服从自由度为 ( n x , n y ) \left ( n_x,n_y \right ) (nx,ny)的F分布。即
    F = ∑ i = 1 n x ( X i − μ x ) 2 / n x σ x 2 ∑ j = 1 n y ( Y i − μ y ) 2 / n y σ y 2 ∼ F ( n x , n y ) F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2} \sim F\left ( n_x,n_y \right ) F=j=1ny(Yiμy)2/nyσy2i=1nx(Xiμx)2/nxσx2F(nx,ny)
    定理9:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 F = S x 2 / σ x 2 S y 2 / σ y 2 F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2} F=Sy2/σy2Sx2/σx2服从自由度为 ( n x − 1 , n y − 1 ) \left ( n_x-1,n_y-1 \right ) (nx1,ny1)的F分布,即
    F = S x 2 / σ x 2 S y 2 / σ y 2 ∼ N ( n x − 1 , n y − 1 ) F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2}\sim N\left ( n_x-1,n_y-1 \right ) F=Sy2/σy2Sx2/σx2N(nx1,ny1)

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  • 单个正态总体参数的假设检验 1、关于正态总体均值μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0​的假设检验 (1)已知σ=σ0\sigma=\sigma_0σ=σ0​,统计量u=Xˉ−μ0σ0/nN(0,1)u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n} }\sim N\left ...

    单个正态总体参数的假设检验
    1、关于正态总体均值 μ = μ 0 \mu=\mu_0 μ=μ0的假设检验
    (1)已知 σ = σ 0 \sigma=\sigma_0 σ=σ0,统计量 u = X ˉ − μ 0 σ 0 / n ∼ N ( 0 , 1 ) u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n} }\sim N\left ( 0,1 \right ) u=σ0/n Xˉμ0N(0,1)
    (2)未知 σ \sigma σ,统计量 u = X ˉ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) u=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n} }\sim t\left ( n-1 \right ) u=S/n Xˉμ0t(n1)
    在这里插入图片描述
    用途:用于判断总体均值的是否变化以及变化趋势。
    2、关于正态总体方差 σ 2 = σ 0 2 \sigma^2=\sigma_0^2 σ2=σ02的假设检验
    (1)已知 μ = μ 0 \mu=\mu_0 μ=μ0,统计量 χ 1 2 = 1 σ 0 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ 0 ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi_1^2=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu_0 \right )^2\sim \chi ^2\left ( n \right ) χ12=σ021i=1n(Xiμ0)2χ2(n)
    (2)未知 μ \mu μ,统计量 χ 2 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi_2^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma_0^2}\sim \chi ^2\left ( n-1 \right ) χ22=σ02(n1)S2χ2(n1)
    在这里插入图片描述
    用途:用途:用于判断总体方差的是否变化以及变化趋势,可判断机床精度。
    两个正态分布总体参数的假设检验
    3、关于两个正态总体均值 μ x = μ y \mu_x=\mu_y μx=μy的假设检验
    (1)已知 σ x 2 \sigma_x^2 σx2 σ y 2 \sigma_y^2 σy2 ,统计量
    U = X ˉ − Y ˉ σ x 2 n x + σ y 2 n y ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{\frac{\sigma_x^2}{n_x} +\frac{\sigma_y^2}{n_y} } }\sim N\left ( 0,1 \right ) U=nxσx2+nyσy2 XˉYˉN(0,1)
    (2)未知 σ x 2 \sigma_x^2 σx2 σ y 2 \sigma_y^2 σy2 ,假定 σ x 2 \sigma_x^2 σx2= σ y 2 \sigma_y^2 σy2,统计量
    T = X ˉ − Y ˉ S w 1 n x + 1 n y ∼ t ( n x + n y − 2 ) T=\frac{\bar X-\bar Y}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x} +\frac{1}{n_y} } }\sim t\left ( n_x+n_y-2 \right ) T=Swnx1+ny1 XˉYˉt(nx+ny2),其中,
    S w = ( n x − 1 ) S x 2 + ( n y − 1 ) S y 2 n x + n y − 2 S_w=\sqrt{\frac{\left ( n_x-1 \right )S_x^2 +\left ( n_y-1 \right )S_y^2 }{n_x+n_y-2} } Sw=nx+ny2(nx1)Sx2+(ny1)Sy2
    在这里插入图片描述
    4、关于两个正态总体方差 σ x 2 = σ y 2 \sigma_x^2=\sigma_y^2 σx2=σy2 的假设检验
    (1)已知 μ x = μ y \mu_x=\mu_y μx=μy,统计量 F 1 = m a x { σ ^ x 2 , σ ^ y 2 } m i n { σ ^ x 2 , σ ^ y 2 } ∼ F ( n 分 子 , n 分 母 ) F_1=\frac{max\left \{ \hat{\sigma}_x^2, \hat{\sigma}_y^2\right \} }{min\left \{ \hat{\sigma}_x^2, \hat{\sigma}_y^2\right \}} \sim F\left ( n分子,n分母 \right ) F1=min{σ^x2,σ^y2}max{σ^x2,σ^y2}F(n,n)其中n分子,n分母分别表示统计量F1的分子与分母的样本容量
    说明: F = ∑ i = 1 n x ( X i − μ x ) 2 / n x ∑ j = 1 n y ( Y j − μ y ) 2 / n y = σ ^ x 2 σ ^ y 2 ∼ F ( n x , n y ) F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu_x \right )^2/n_x }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_j-\mu_y \right )^2/n_y}=\frac{\hat{\sigma}_x^2 }{\hat{\sigma}_y^2} \sim F\left ( n_x,n_y \right ) F=j=1ny(Yjμy)2/nyi=1nx(Xiμx)2/nx=σ^y2σ^x2F(nx,ny)
    σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 σ^2=n1i=1n(Xiμ)2
    (2)未知 μ x 及 μ y \mu_x及\mu_y μxμy,统计量
    F 2 = m a x { S x 2 , S y 2 } m i n { S x 2 , S y 2 } ∼ F ( n 分 子 − 1 , n 分 母 − 1 ) F_2=\frac{max\left \{ S_x^2,S_y^2 \right \} }{min\left \{ S_x^2,S_y^2 \right \}} \sim F(n分子-1,n分母-1) F2=min{Sx2,Sy2}max{Sx2,Sy2}F(n1n1)
    在这里插入图片描述
    思考题:某灯泡厂在采用一项新工艺的前后,分别抽取10个灯泡进行寿命试验。计算得到:采样新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460h,样本标准差为56h;采用新工艺后灯泡的样本均值为2550h,样本标准差为48h。设灯泡的寿命服从正态分布,试着回答:
    (1)判断 σ x 2 = σ y 2 \sigma _x^2=\sigma _y^2 σx2=σy2,及两个总体的方差是否有显著差异性?
    (2)是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01)?
    答案:
    (1) σ x 2 = σ y 2 \sigma _x^2=\sigma _y^2 σx2=σy2,两个总体无显著差异性。
    (2)采用新工艺后灯泡的平均寿命显著提高了。

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    6.3.2正态总体下的抽样分布

    定理

    定理6.6

    针对一个正态总体
    在这里插入图片描述

    第二个和第三个定理

    这个定理由上一个定理推得,由于标准化后一间服从标准正态分布了,所以标准正态分布的平方和服从卡方分布可以推出
    在这里插入图片描述

    定理6.7

    这里卡方分布自由度就是n 因为这里就是一个标准正态分布,标准正态分布的平方和等于卡方分布,卡方分布的自由度由前面标准正态分布的变量个数决定

    在这里插入图片描述
    与第二个定理的区别

    • 第二个定理用的是样本均值,而定理6.7用的是总体期望而样本均值是1/n(x1 + … +xn)这相对于原本的总体期望来说,可以简单理解为多了一个约束条件;这个约束条件导致自由未知量少了一个,所以变成了n - 1

    说人话就是,我们在线性代数解线性方程组的时候,是要把自由位置量移到右边的,原本矩阵行数越多,移到等号右边的未知量就越少,通解含有的未知量就越少

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    下面的定理针对两个正态总体
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    总览

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    例题

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