非正态总体区间估计
前期摘要
之前已经写过关于正态总体下区间估计的计算方式，其中包括单正态总体和双正态总体两种，本篇文章主要围绕非正态总体下如何进行区间估计。
上期补充
单侧置信区间
定义
总体x的分布函数为F(x;θ)，其中θ是未知参数(待估量)，X1，X2，K，Xn为总体X的样本，给定概率α(0<α<1)，如果存在统计量θ1=(X1,X2,K,Xn)，能够满足P{θ>θ1}=1-α，则称(θ1, +∞)为θ的置信水平为1-α的单侧置信区间。θ1为置信下界，上界情况同理!。
计算
计算过程和双侧的本质上是一样的，需要改动的地方仅仅在于需要修改分位数，因为对应的概率是调整了的，具体计算可跳转至正态总体下区间估计的计算方式。
核心(大数定理)
当n充分大的时候,可近似认为:

$\frac{\bar{X}-E(X)}{\sqrt{\frac{D(X)}{n}}}-N(0,1)$

注：因为此时只有一个式子，所以只能求出单总体、单参数的分布（如果非要求多参数的，那么只能是只有一个参数未知，其他参数已知的时候才能进行求解）
计算
0-1分布
$X-B(1,p)\\
E(X)=p\\
D(X)=p(1-p)\\
故：\\
\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}-N(0,1)\\
P\{-\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\le\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\le\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\}\\
|\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}|\le\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\\
(n+\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}^2)p^2-(2n\bar{X}+\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}^2)p+n\bar{X}\lt0\\
解得：\\
p_1=\frac{1}{2a}(-b-\sqrt{b^2-4ac})\\
p_1=\frac{1}{2a}(-b+\sqrt{b^2-4ac})\\$
于是得到p的近似的置信度为(1-α)，置信区间为:(p1,p2)
二项分布
注：x-B(N,p)，有两个参数，N和p，故必须我们只有在知道一个参数的前提下，才能去估计另一个参数的区间。N是实验次数，n是样本容量，这个也是需要注意区分
泊松分布
$X-P(\lambda)\\
E(X)=\lambda\\
D(X)=\lambda\\
具体解法同上：|\frac{\bar{X}-\lambda}{\sqrt{\frac{\lambda}{n}}}|\le{U_{(1-\frac{\alpha}{2})}}\\$
指数分布
$2n\lambda\bar{X}-\chi^2(2n)\\
\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(2n)\le2n\lambda\bar{X}\le\chi_{(1-\frac{\alpha}{2})}^2(2n)\\
解法同上，同时这个计算也是简化了很多$
注意事项
α题目没有给出的时候，默认是0.05,计算时候，先看清分布，然后带具体的公式进去便可求解

非正态总体参数检验
本质
将非正态总体分布在大样本的前提下，通过大数定理转化为正态分布/卡方分布，然后再利用上述表格构造参数并进行检验的一个过程。
非正态总体的均值检验(大样本前提)
当D(X)=$\sigma^2$已知时:(课本P87)

$u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

当D(X)=$\sigma^2$未知时，则使用它的无偏估计$\frac{nS^2}{n-1}$或$S_*^2$代替$\sigma^2$的位置(课本P87)

$u=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n-1}}=\frac{\bar X-\mu_0}{S_*/\sqrt{n}}$

总体服从0-1分布
构造统计量(课本P88)

$u=\frac{\bar X-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}-N(0,1)$
总体服从泊松分布
构造统计量(课本P89)

$u=\frac{\bar X-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}$
总体服从指数分布
构造统计量(课本P90)

$\chi^2=2n\lambda\bar X=2\lambda\sum_{i=1}^{n}X_i=\chi^2(2n)$

1.单个正态总体方差的卡方检验



python实现：
#备择假设sigma2>0.016
from scipy import stats
def ka2(n,s2,sigma2):
    k_value=(n-1)*s2/sigma2
    p_value=1-stats.chi2.cdf(k_value,n-1) 
    return p_value
ka2(25,0.025,0.016) 

Out[22]: 0.03898179833314719

2.两个正态总体方差比的F检验

由中心极限定理可知，许多随机变量的概率分布都是服从或近似服从正态分布的，因此正态分布在概率统计中显然有着极为重要的地位。以下给出一些关于正态分布的结论和定理：
设$X_1,X_2,...,X_n$为来自总体为$X$的容量为$n$的一个样本，样本均值与样本方差分别为$\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2$则有：


设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则样本均值$\overline X$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，即：$\overline X\sim(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则统计量$u=\frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}$服从标准正态分布$N(0,1)$，即：$u=\frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\sim N(0,1)$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则统计量$\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2$服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布，即：$\chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2\sim \chi^2(n-1)$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则
(1). 样本均值$\overline X$与样本方差$S^2$相互独立。

(2).统计量$\chi^2=(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}$服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布，即$\chi^2=(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$

(3).统计量$t=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}$服从自由度为$n-1$的$t$分布，即$t=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu_1,\sigma^2_1)$，总体$Y$服从正态分布$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则统计量$U=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}$服从标准正态分布，即：$U=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}\sim N(0,1)$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu_1,\sigma^2)$，总体$Y$服从正态分布$N(\mu_2,\sigma^2)$，则$T=\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_\omega \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$其中$S_\omega=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu_1,\sigma_1^2)$，总体$Y$服从正态分布$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则$F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/n_1\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/n_2\sigma^2_2}$服从自由度为$(n_1-1,n_2-1)$的$F$分布，即$F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/(n_1-1)\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/(n_2-1)\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$


设总体$X$服从正态分布$N(\mu_1,\sigma_1^2)$，总体$Y$服从正态分布$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则统计量$F=\frac{S_1^2/\sigma^2_1}{S_2^2/\sigma^2_2}$服从自由度为$(n_1-1,n_2-1)$的$F$分布，即$F=\frac{S_1^2/\sigma^2_1}{S_2^2/\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$


添加内容：
感谢@思春的虫子(๑¯ํ ³ ¯ํ๑  的指正，现将原定理3的“服从自由度为n的卡方分布”修改为“服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布”，定理7也做了修改。附证明：
定理3证明：
$\begin{aligned}
\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 & =  \frac{n-1}{\sigma^2} · \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 \\
 & = \frac{n-1}{\sigma^2}S^2 \\
  & = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \overline X}{\sigma})^2 \\
\end{aligned}$又，因为$X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$

则有：$\frac{X_i - \overline X}{\sigma} = \frac{X_i - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$即，可得：$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 = \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n-1)$
定理7证明：

根据$F$分布的定义$F = \frac{X/n_1}{Y/n_2}$其中$X\sim \chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2)$

由定理3可知：$\frac{1}{\sigma_1^2}\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\mu_1)^2\sim\chi^2(n_1-1)$$\frac{1}{\sigma_2^2}\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\mu_2)^2\sim\chi^2(n_2-1)$即可得：$F=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline X)^2/(n_1-1)\sigma^2_1}{\sum_{i=1}^{n_2}(X_i-\overline X)^2/(n_2-1)\sigma^2_2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$