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2021-08-03 10:47:44
一、单个正太总体的统计量的分布
从总体X中抽取容量为n的样本 X 1 , X 2 , . . . , X n , X_1,X_2,...,X_n, X1,X2,...,Xn,样本均值与样本方差分别是
X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i , S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i,S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\bar X\right)^2 Xˉ=n1∑i=1nXi,S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)2
定理1:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则样本均值 X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar X\sim N\left ( \mu ,\frac{\sigma ^2}{n} \right ) Xˉ∼N(μ,nσ2)
定理2:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则统计量 u = X ˉ − μ σ / n u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} } u=σ/nXˉ−μ服从标准正态分布N(0,1) ,即
u = X ˉ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) u=\frac{\bar X-\mu }{\sigma /\sqrt{n} } \sim N\left ( 0,1 \right ) u=σ/nXˉ−μ∼N(0,1)
定理3:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则统计量 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 σ21∑i=1n(Xi−μ)2 服从自由度为n的 χ 2 \chi^2 χ2分布,即 χ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 \sim \chi^2\left ( n \right ) χ2=σ21i=1∑n(Xi−μ)2∼χ2(n)
定理4:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则
(1)样本均值 X ˉ \bar X Xˉ与样本方差 S 2 S^2 S2相互独立;
(2)统计量 χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 \chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2} χ2=σ2(n−1)S2服从自由度为n-1的 χ 2 \chi^2 χ2分布,即
χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma^2}\sim \chi^2\left ( n-1 \right ) χ2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
定理5:设总体X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N\left ( \mu ,\sigma ^2 \right ) N(μ,σ2),则统计量 t = X ˉ − μ S / n t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} } t=S/nXˉ−μ服从自由度为n-1的t分布,即:
t = X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) t=\frac{\bar X-\mu }{S/\sqrt{n} }\sim t\left ( n-1 \right ) t=S/nXˉ−μ∼t(n−1)
二、两个正态总体的统计量的分布
从总体X中抽取容量为 n x n_x nx的样本 X 1 , X 2 , . . . , X n x X_1,X_2,...,X_nx X1,X2,...,Xnx,从总体Y中抽取容量为 n y n_y ny的样本 Y 1 , Y 2 , . . . , Y n y Y_1,Y_2,...,Y_ny Y1,Y2,...,Yny。假设所有的抽样都是相互独立的,由此得到的样本 X i ( i = 1 , 2 , . . . , n x ) X_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right ) Xi(i=1,2,...,nx) 与 Y i ( i = 1 , 2 , . . . , n x ) Y_i\left ( i=1,2,...,n_{x} \right ) Yi(i=1,2,...,nx) 都是相互独立的随机变量。把取自两个总体的样本均值分别记作
X ˉ = 1 n x ∑ i = 1 n x X i , Y ˉ = 1 n y ∑ i = 1 n y Y i \bar X=\frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}X_i, \bar Y= \frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}Y_i Xˉ=nx1i=1∑nxXi,Yˉ=ny1i=1∑nyYi
样本方差分别记作
S x 2 = 1 n x − 1 ∑ i = 1 n x ( X − X ˉ ) 2 , S y 2 = 1 n y − 1 ∑ j = 1 n y ( Y − Y ˉ ) 2 S_x^2=\frac{1}{n_x-1}\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X-\bar X \right )^2,S_y^2=\frac{1}{n_y-1}\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y-\bar Y \right )^2 Sx2=nx−11i=1∑nx(X−Xˉ)2,Sy2=ny−11j=1∑ny(Y−Yˉ)2
定理6:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 U = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) σ 2 n x + σ 2 n y U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} } U=nxσ2+nyσ2(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy) 服从标准正态分布。
U = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) σ 2 n x + σ 2 n y ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{\sqrt{\frac{\sigma ^2}{n_x}+ \frac{\sigma ^2}{n_y}} }\sim N\left ( 0,1 \right ) U=nxσ2+nyσ2(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)∼N(0,1)
定理7:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 T = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) S w 1 n x + 1 n y T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} } T=Swnx1+ny1(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)服从自由度为 n x + n y − 2 n_x+n_y-2 nx+ny−2的t分布,即
T = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ x − μ y ) S w 1 n x + 1 n y ∼ t ( n x + n y − 2 ) T=\frac{\left ( \bar X-\bar Y \right )-\left ( \mu _x-\mu _y \right ) }{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x}+ \frac{1}{n_y}} }\sim t\left ( n_x+n_y-2 \right ) T=Swnx1+ny1(Xˉ−Yˉ)−(μx−μy)∼t(nx+ny−2)
其中: S w = ( n x − 1 ) S x 2 + ( n y − 1 ) S y 2 n x + n y − 2 S_w=\sqrt{\frac{\left ( n_x-1 \right )S_x^2+\left ( n_y-1 \right )S_y^2 }{n_x+n_y-2} } Sw=nx+ny−2(nx−1)Sx2+(ny−1)Sy2
定理8:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 F = ∑ i = 1 n x ( X i − μ x ) 2 / n x σ x 2 ∑ j = 1 n y ( Y i − μ y ) 2 / n y σ y 2 F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2} F=∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2服从自由度为 ( n x , n y ) \left ( n_x,n_y \right ) (nx,ny)的F分布。即
F = ∑ i = 1 n x ( X i − μ x ) 2 / n x σ x 2 ∑ j = 1 n y ( Y i − μ y ) 2 / n y σ y 2 ∼ F ( n x , n y ) F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu _x \right )^2/n_x\sigma _x^2 }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_i-\mu _y \right )^2/n_y\sigma _y^2} \sim F\left ( n_x,n_y \right ) F=∑j=1ny(Yi−μy)2/nyσy2∑i=1nx(Xi−μx)2/nxσx2∼F(nx,ny)
定理9:设总体X服从正态分布 N ( μ x , σ x 2 ) N\left ( \mu_x ,\sigma_x ^2 \right ) N(μx,σx2),总体Y服从正态分布 N ( μ y , σ y 2 ) N\left ( \mu_y ,\sigma_y ^2 \right ) N(μy,σy2),则统计量 F = S x 2 / σ x 2 S y 2 / σ y 2 F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2} F=Sy2/σy2Sx2/σx2服从自由度为 ( n x − 1 , n y − 1 ) \left ( n_x-1,n_y-1 \right ) (nx−1,ny−1)的F分布,即
F = S x 2 / σ x 2 S y 2 / σ y 2 ∼ N ( n x − 1 , n y − 1 ) F=\frac{S_x^2/\sigma _x^2}{S_y^2/\sigma _y^2}\sim N\left ( n_x-1,n_y-1 \right ) F=Sy2/σy2Sx2/σx2∼N(nx−1,ny−1)更多相关内容 -
正态总体参数的假设检验
2021-08-09 16:35:01单个正态总体参数的假设检验 1、关于正态总体均值μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0的假设检验 (1)已知σ=σ0\sigma=\sigma_0σ=σ0,统计量u=Xˉ−μ0σ0/n∼N(0,1)u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n} }\sim N\left ...单个正态总体参数的假设检验
1、关于正态总体均值 μ = μ 0 \mu=\mu_0 μ=μ0的假设检验
(1)已知 σ = σ 0 \sigma=\sigma_0 σ=σ0,统计量 u = X ˉ − μ 0 σ 0 / n ∼ N ( 0 , 1 ) u=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n} }\sim N\left ( 0,1 \right ) u=σ0/nXˉ−μ0∼N(0,1)
(2)未知 σ \sigma σ,统计量 u = X ˉ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) u=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n} }\sim t\left ( n-1 \right ) u=S/nXˉ−μ0∼t(n−1)
用途:用于判断总体均值的是否变化以及变化趋势。
2、关于正态总体方差 σ 2 = σ 0 2 \sigma^2=\sigma_0^2 σ2=σ02的假设检验
(1)已知 μ = μ 0 \mu=\mu_0 μ=μ0,统计量 χ 1 2 = 1 σ 0 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ 0 ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi_1^2=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu_0 \right )^2\sim \chi ^2\left ( n \right ) χ12=σ021∑i=1n(Xi−μ0)2∼χ2(n)
(2)未知 μ \mu μ,统计量 χ 2 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi_2^2=\frac{\left ( n-1 \right )S^2 }{\sigma_0^2}\sim \chi ^2\left ( n-1 \right ) χ22=σ02(n−1)S2∼χ2(n−1)
用途:用途:用于判断总体方差的是否变化以及变化趋势,可判断机床精度。
两个正态分布总体参数的假设检验
3、关于两个正态总体均值 μ x = μ y \mu_x=\mu_y μx=μy的假设检验
(1)已知 σ x 2 \sigma_x^2 σx2及 σ y 2 \sigma_y^2 σy2 ,统计量
U = X ˉ − Y ˉ σ x 2 n x + σ y 2 n y ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{\frac{\sigma_x^2}{n_x} +\frac{\sigma_y^2}{n_y} } }\sim N\left ( 0,1 \right ) U=nxσx2+nyσy2Xˉ−Yˉ∼N(0,1)
(2)未知 σ x 2 \sigma_x^2 σx2及 σ y 2 \sigma_y^2 σy2 ,假定 σ x 2 \sigma_x^2 σx2= σ y 2 \sigma_y^2 σy2,统计量
T = X ˉ − Y ˉ S w 1 n x + 1 n y ∼ t ( n x + n y − 2 ) T=\frac{\bar X-\bar Y}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_x} +\frac{1}{n_y} } }\sim t\left ( n_x+n_y-2 \right ) T=Swnx1+ny1Xˉ−Yˉ∼t(nx+ny−2),其中,
S w = ( n x − 1 ) S x 2 + ( n y − 1 ) S y 2 n x + n y − 2 S_w=\sqrt{\frac{\left ( n_x-1 \right )S_x^2 +\left ( n_y-1 \right )S_y^2 }{n_x+n_y-2} } Sw=nx+ny−2(nx−1)Sx2+(ny−1)Sy2
4、关于两个正态总体方差 σ x 2 = σ y 2 \sigma_x^2=\sigma_y^2 σx2=σy2 的假设检验
(1)已知 μ x = μ y \mu_x=\mu_y μx=μy,统计量 F 1 = m a x { σ ^ x 2 , σ ^ y 2 } m i n { σ ^ x 2 , σ ^ y 2 } ∼ F ( n 分 子 , n 分 母 ) F_1=\frac{max\left \{ \hat{\sigma}_x^2, \hat{\sigma}_y^2\right \} }{min\left \{ \hat{\sigma}_x^2, \hat{\sigma}_y^2\right \}} \sim F\left ( n分子,n分母 \right ) F1=min{σ^x2,σ^y2}max{σ^x2,σ^y2}∼F(n分子,n分母)其中n分子,n分母分别表示统计量F1的分子与分母的样本容量
说明: F = ∑ i = 1 n x ( X i − μ x ) 2 / n x ∑ j = 1 n y ( Y j − μ y ) 2 / n y = σ ^ x 2 σ ^ y 2 ∼ F ( n x , n y ) F=\frac{\sum_{i=1}^{n_x}\left ( X_i-\mu_x \right )^2/n_x }{\sum_{j=1}^{n_y}\left ( Y_j-\mu_y \right )^2/n_y}=\frac{\hat{\sigma}_x^2 }{\hat{\sigma}_y^2} \sim F\left ( n_x,n_y \right ) F=∑j=1ny(Yj−μy)2/ny∑i=1nx(Xi−μx)2/nx=σ^y2σ^x2∼F(nx,ny)
σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_i-\mu \right )^2 σ^2=n1i=1∑n(Xi−μ)2
(2)未知 μ x 及 μ y \mu_x及\mu_y μx及μy,统计量
F 2 = m a x { S x 2 , S y 2 } m i n { S x 2 , S y 2 } ∼ F ( n 分 子 − 1 , n 分 母 − 1 ) F_2=\frac{max\left \{ S_x^2,S_y^2 \right \} }{min\left \{ S_x^2,S_y^2 \right \}} \sim F(n分子-1,n分母-1) F2=min{Sx2,Sy2}max{Sx2,Sy2}∼F(n分子−1,n分母−1)
思考题:某灯泡厂在采用一项新工艺的前后,分别抽取10个灯泡进行寿命试验。计算得到:采样新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460h,样本标准差为56h;采用新工艺后灯泡的样本均值为2550h,样本标准差为48h。设灯泡的寿命服从正态分布,试着回答:
(1)判断 σ x 2 = σ y 2 \sigma _x^2=\sigma _y^2 σx2=σy2,及两个总体的方差是否有显著差异性?
(2)是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01)?
答案:
(1) σ x 2 = σ y 2 \sigma _x^2=\sigma _y^2 σx2=σy2,两个总体无显著差异性。
(2)采用新工艺后灯泡的平均寿命显著提高了。 -
第三节 两个正态总体的假设检验
2021-07-10 10:12:04 -
概率论笔记6.3.2正态总体下的抽样分布
2022-04-22 19:52:246.3.2正态总体下的抽样分布 定理 定理6.6 针对一个正态总体 第二个和第三个定理 这个定理由上一个定理推得,由于标准化后一间服从标准正态分布了,所以标准正态分布的平方和服从卡方分布可以推出 定理6.7 这里卡方...6.3.2正态总体下的抽样分布
定理
定理6.6
针对一个正态总体
第二个和第三个定理
这个定理由上一个定理推得,由于标准化后一间服从标准正态分布了,所以标准正态分布的平方和服从卡方分布可以推出
定理6.7
这里卡方分布自由度就是n 因为这里就是一个标准正态分布,标准正态分布的平方和等于卡方分布,卡方分布的自由度由前面标准正态分布的变量个数决定
与第二个定理的区别- 第二个定理用的是样本均值,而定理6.7用的是总体期望而样本均值是1/n(x1 + … +xn)这相对于原本的总体期望来说,可以简单理解为多了一个约束条件;这个约束条件导致自由未知量少了一个,所以变成了n - 1
说人话就是,我们在线性代数解线性方程组的时候,是要把自由位置量移到右边的,原本矩阵行数越多,移到等号右边的未知量就越少,通解含有的未知量就越少
下面的定理针对两个正态总体
总览
例题
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假设检验 正态总体方差的假设检验
2021-08-09 15:54:43目前 假设检验主要讨论的服从正态分布的对象 均值和方差的情况。 分为单个总体和两个总体的情况 例子来自 《概率论与数理统计》第八章 目录: 一 单个总体方差的情况 二 两个总体的情况 三 代码... -
F检验--两个正态总体方差检验
2022-03-19 10:18:03假设:样本X1,...,Xn1X_1,...,X_{n_1}X1,...,Xn1来自总体X∼N(μ1,σ12)X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)X∼N(μ1,σ12),样本Y1,...,Yn2Y_1,...,Y_{n_2}Y1,...,Yn2来自总体Y∼N(μ1,σ22)Y\sim N(\mu_1,\... -
正态总体的抽样分布
2018-11-21 21:55:20由中心极限定理可知,许多随机变量的概率分布...设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1,X2,...,Xn为来自总体为XXX的容量为nnn的一个样本,样本均值与样本方差分别为X‾=1n∑i=1nXi\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=... -
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2020-09-15 20:41:51正态总体的样本均值与样本方差的分布相关定理 -
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2020-07-09 14:44:19利用经验分布函数的理论知识,对本班女生的生活费的数据进行统计和分析。用python语言对女生生活费进行分析,从而得到结果,同学们能了解到疫情对我们学生在经济上的影响。 -
参数估计4 两个正态总体的区间估计
2021-04-30 17:40:42一 的区间估计,已知 置信区间为 二: 的区间估计,未知, 解: 置信区间为: 例1:比较两个型号的子弹枪口速度,随机选取型号1子弹10发,得到枪口速度的平均值 型号2 子弹20发,得到 总体近似可以看作正态分布,... -
python实现抽样分布两个正态总体模拟
2019-07-14 22:52:58定理一:设总体X服从正态分布N(μ1,σ12)N(\mu_{1},\sigma_{1}^2)N(μ1,σ12),设总体Y服从正态分布N(μ2,σ22)N(\mu_{2},\sigma_{2}^2)N(μ2,σ22),则统计量 U=(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)σ1n1+σ2n2U=\frac{...