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  • 线性平衡点求法,比较详细的讲义!对于初学非线性方程数值分析的同学有一定帮助
  • 非线性系统在平衡点处可通过线性化稳定性分析来判定系统平衡点处的稳定性。基于验证线性化稳定性分析方法线性时变系统中是否适用的目的,采用了线性化方法分析了一类线性时变系统的稳定性,并通过举例说明,...
  • 此基础上,运用输入输出线性化方法,通过选择不同的输出函数,设计了两种非线性转速控制器,并研究了控制器内动态的稳定性。仿真结果表明,直接选择电机转速为输出函数设计的控制器,无法将系统控制到期望平衡点,...
  • 非线性数学模型线性化

    万次阅读 2016-11-25 21:34:54
    非线性模型的线性化

    非线性模型的线性化

    1 小偏差线性化方法

    实际问题一定都是非线性的, 但是我们利用数学方法简化这种非线性模型为线性模型, 使得系统容易处理.
    小偏差线性化
    在它的平衡工作点附近, 它可以看成是线性的.

    • uf if 之间具有非线性关系.
    • 在A点附近 uf if , 近似满足线性关系
      ΔUf=tanα0ΔIf

    在数学上, 线性化的过程就是用泰勒公式在某一点展开的过程. 这个展开点的选取非常重要, 通常选取在系统平衡工作点附近, 这样才满足小偏差线性化的定义.

    1.1 平衡点附近泰勒级数展开:


    1. 将一个非线性函数 y=f(x) , 在其工作点 (x0,y0) 展开成泰勒级数.
      y=y(x0)+y˙(x0)(xx0)+y¨(x0)(xx0)2+...
    2. 忽略二次以上高阶项, 得到线性划方程, 用来代替原来的非线性函数.
      yy(x0)+y˙(x0)(xx0)

      所以可以写成:
      yy0=K(xx0)

      其中: y0=y(x0) , K=y˙(x0) .

    注意:

    • 只有当 (xx0) 非常小时, 即展开点在系统稳定工作点附近处, 忽略二阶以后高阶项才有意义.
    • 选择展开点不一样, 线性化的结果也不一样.
    • 这是线性化的小偏差思想.

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  • 机械臂线性化系统.pdf

    2018-09-19 11:47:03
    机械臂线性化系统,介绍机械臂系统原理,功能,工作方式。介绍控制方法和各种控制器设计。
  • 而且远离不稳定平衡点或大噪声的情况下,控制也可以实现。该方法的特点是通过严格的状态转换和反馈方法,将非线性混沌系统线性化,从而可以应用熟知的线性控制方法。仿真结果证实了该方法的有效性。
  • 滑模控制-反馈线性化积分滑模控制

    千次阅读 2019-11-26 19:26:42
    滑模控制的学习笔记,参考国防工业出版社的《非线性多关节机器人系统滑模控制》。...李雅普诺夫意义下的稳定性意味着从距离平衡点附近的点出发的系统轨迹总能保持距离平衡点任意近的位置上。 因此需...

    滑模控制的学习笔记,参考国防工业出版社的《非线性多关节机器人系统滑模控制》。

    • 2019.11.25
    • 2019.11.26
    • … …

    滑模控制-反馈线性化积分滑模控制

    1.李雅普诺夫稳定性理论

    1.1 函数的正定性分析

    正定函数、半正定函数、负定函数、半负定函数

    1.2 稳定性定义

    李雅普诺夫意义下的稳定性意味着从距离平衡点附近的点出发的系统轨迹总能保持在距离平衡点任意近的位置上。
    因此需要渐近稳定性!
    吸引域、指数收敛

    1.3 稳定性定理

    局部稳定性定理、全局稳定性定理、全局指数稳定性定理

    1.4 李雅普诺夫函数选择方法

    到目前为止,没有通用的有效方法来寻找李雅普诺夫候选函数,一般采用试探法。常见的构造方法有:
    1.Krasovskii方法、(Krasovskii定理推广)
    2.待定梯度法:
    以上两种不适用与复杂动力学系统
    3.基于物理概念的构造方法:选择其动能与势能之和作为系统的李雅普诺夫候选函数比较方便。
    4.经验和试探相结合的构造方法:结合其他控制方法。

    2.反馈线性化基本理论

    2.1 微分几何基本知识

    矢量场、李代数和李括号、分布:多个矢量场的情况

    2.2 反馈线性化方法

    单输入单输出系统、多输入多输出系统
    反馈线性化方法通过状态反馈把非线性系统转化为线性系统,可用于SISO和MIMO的镇定问题和跟踪问题。
    缺陷:(1)不能应用所有非线性系统;
    (2)全部状态必须可测;
    (3)当有不确定参数或未建模动态时,不能保证鲁棒性。针对这个问题,一般引进鲁棒控制和自适应控制来解决。

    3. 机器人反馈线性化积分滑模控制

    机器人控制系统的任务一般分为:镇定控制和跟踪控制。

    分类设计目标举例
    镇定控制构造镇定器,使机器人闭环系统的状态被镇定到平衡点附近机械臂的位置控制
    跟踪控制构造跟踪器,使机器人系统的输出跟踪一条给定的时变轨迹机械臂画出给定曲线

    3.1 反馈线性化设计

    状态矢量、跟踪误差

    3.2 滑模控制设计

    机器人实际工作情况:(1)不确定扰动项≠0
    (2)负载随时变化,导致模型参数变化
    在反馈线性化基础上,设计滑模控制,用于补偿参数变化和扰动。
    滑模控制系统运动:(1)系统状态由任意初始状态向滑模面运动,直到进入并到达滑模面。s≠0。
    (2)系统进入滑模面并沿着滑模面运动。s=0,使此时的等效运动具有期望的性能。
    滑模控制系统设计:(1)设计滑模面。(2)设计滑模控制率。
    采用趋近律改善趋近运动的动态品质,典型的趋近律有:一般趋近律、等速趋近律、幂次趋近律、指数趋近律。

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  • 与 s 函数块一起使用的非线性模型构建,以及用于不稳定平衡点线性化的文件
  • 非本质非线性:光滑连续的部分可以局部线性化(如光滑连续曲线可以取某工作的切线代替),是非线性数学模型线性化研究的对象 本质非线性:工作曲线不光滑,甚至不连续,无法线性化 本质非线性具有以下特性: (1)...

    1.非线性系统分类

    • 非本质非线性:光滑连续的部分可以局部线性化(如光滑连续曲线可以取某工作点的切线代替),是非线性数学模型线性化研究的对象
    • 本质非线性:工作曲线不光滑,甚至不连续,无法线性化 本质非线性具有以下特性:
      (1)饱和特性(理想运算放大器)
      (2)死区特性在这里插入图片描述(3)继电器特性
      (4)回环特性

    2.线性化条件

    • 系统有一个固定的工作点
    • 系统正常工作时偏离工作点很小
    • 给定的区间内,变量的各阶导数存在(用切线去代替曲线是将输入输出表达式展开成泰勒级数,就要求变量各阶导数存在)
      (1)单输入单输出
      对于非线性系统,输入x(t),输出y=f(x),给定工作点y0=f(x)处各阶导数都存在,在y=f(x0)附近展开成泰勒级数:
      y = f ( x 0 ) + [ d f ( x ) d x ] x 0 ( x − x 0 ) + 1 2 ! [ d 2 f ( x ) d x 2 ] x 0 ( x − x 0 ) 2 + … … y=f(x_0)+[\frac{df(x)}{dx}]_{x_0}(x-x_0)+\frac 1{2!}[\frac{d^2f(x)}{dx^2}]_{x_0}(x-x_0)^2+…… y=f(x0)+[dxdf(x)]x0(xx0)+2!1[dx2d2f(x)]x0(xx0)2+
      忽略二次以上项,有
      y = f ( x 0 ) + [ d f ( x ) d x ] x 0 ( x − x 0 ) y=f(x_0)+[\frac{df(x)}{dx}]_{x_0}(x-x_0) y=f(x0)+[dxdf(x)]x0(xx0)
      Δ y = [ d f ( x ) d x ] x 0 Δ x \Delta y=[\frac{df(x)}{dx}]_{x_0}\Delta x Δy=[dxdf(x)]x0Δx
      几何含义:用切线代替曲线,曲率越小(曲线越直),在很大的范围内误差Δy都比较小,偏差Δx取值范围越大。
      (2)两个输入一个输出
      输入x1(t),x2(t),输出y=f(x),工作点y0=f(x10,x20)
      展开成泰勒级数,并忽略二次项:
      y = f ( x 10 , x 20 ) + ( ∂ f ∂ x 1 ) x 10 ( x − x 10 ) + ( ∂ f ∂ x 2 ) x 20 ( x − x 20 ) y=f(x_{10},x_{20})+(\frac{\partial f}{\partial x_1})_{x_{10}}(x-x_{10})+(\frac{\partial f}{\partial x_2})_{x_{20}}(x-x_{20}) y=f(x10,x20)+(x1f)x10(xx10)+(x2f)x20(xx20)
      Δ y = k 1 Δ x 1 + k 2 Δ x 2 \Delta y=k_1\Delta x_1+k_2\Delta x_2 Δy=k1Δx1+k2Δx2
    • 注意:
      (1)只适用于不太严重的非线性系统(曲线曲率比较小),其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的(非本质非线性)
      (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近,且变量只能在小范围内变化。
      (3)不同静态工作点得到的方程是不同的
      (4)对于严重的非线性如继电器特性,因处处不满足泰勒级数展开的条件,故不能作线性化处理
    展开全文
  • GAMS系列分享20—GAMS电力系统—目标函数增量线性化

    千次阅读 热门讨论 2020-04-17 16:45:20
    了解如何用GAMS编写增量线性化程序

          对发电机的成本曲线进行线性化  

                       6节点电力系统

                                   发电机成本,进行增量线性化

           

    目录

    1,物理模型

    2,数学模型

    3,增量线性化模型

    4,程序

    5,难点解读

    5.1 程序书写规范

    5.2 程序中的难点


                                       

    1,物理模型

              看程序就能看出来,偷个懒。

    2,数学模型

             很简单,看原来的分享就知道了

    3,增量线性化模型

             具体的参考文献,程序里面有。

                                                                 

     

    4,程序

     

    $title
    $ontext
    
    
             只有电网数据的
             ****
             对电网目标函数进行线性化
    
             采用方法  增量线性化
             增量线性化原理参考文献:  天然气网络和电源、电网联合规划的方法研究
    
    
             注意点:sbase 在电网的编程中非常重要,
              1)涉及到节点功率平衡的时候,和线路潮流计算的时候,都要除以SBase ,进行标幺值
              2)涉及到发电机运行成本的时候,都需要进行*sbase计算,得到实际的运行成本
    
              **你要问能不能不标幺,给的数据,branch中的数据‘x’,就是标幺值。。
              计算潮流的时候就是标幺值,你说能不能不标幺
    $offtext
    $oneolcom
    $eolcom       //
    Option Limrow=20;
    *---------------------------------------------------------------------------------------------------
    set  bus /1*6/
         slack(bus)  /1 /
         gen /g1*g3/
         ;
    alias(bus,node);
    set genbus(gen,bus)     // 发电机和母线的连接关系
      /  g1 .  1
         g2 .  2
         g3 .  6  /  ;
    set  k   /1*100/ ;      //线性化添加分段集合
    *---------------------------------------------------------------------------------------------------
    Scalar Sbase  /100/ ;   //这个在写电网节点功率平衡的时候很重要,一定不能用有名值。要用标幺值。
    table  busdata(bus,*)
            pd        ratio    hd
    1       0         0        0
    2       0         0        340.9454725
    3       51.2      0.2      0
    4       102.4     0.4      0
    5       102.4     0.4      0
    6       0         0        169.2663901  ;
    
    table  gendata(gen,*)
           bus     pmax      pmin      a         b        c          RU     RD
    g1     1       220       100       0.0004    13.51    176.95     55     55
    g2     2       100       10        0.001     32.63    129.97     50     50
    g3     6       20        10        0.005     17.7     137.41     20     20   ;
                                                  ;
    
    table   branch(bus,node,*)
              x         limit
    1 . 2    0.17       200
    1 . 4    0.258      100
    2 . 3    0.037      100
    2 . 4    0.197      100
    3 . 6    0.018      100
    4 . 5    0.037      100
    5 . 6    0.140      100  ;
    
    branch(bus,node,'x')$(branch(node,bus,'x')) = branch(node,bus,'x');         //参数对称
    branch(bus,node,'limit')$(branch(node,bus,'limit')) = branch(node,bus,'limit');
    
    branch(bus,node,'bij')$branch(bus,node,'x')= 1/branch(bus,node,'x') ;        //bij赋值
    
    parameter connex(bus,node);
    connex(bus,node)$(branch(bus,node,'x')) =1 ;
    
    display   connex,branch ;
    
    ** 损耗线性化添加的参数
    parameter liner_ele_data(gen,k,*);
    liner_ele_data(gen,k,'x')= (gendata(gen,'pmin')+ (ord(k)-1)*((gendata(gen,'pmax')-gendata(gen,'pmin'))/(card(k)-1)))/sbase;
    liner_ele_data(gen,k,'f')= liner_ele_data(gen,k,'x')*liner_ele_data(gen,k,'x')*gendata(gen,'a')*sbase*sbase
                                    +liner_ele_data(gen,k,'x')*gendata(gen,'b')*sbase+gendata(gen,'c');
    
    
    
    display liner_ele_data;
    *---------------------------------------------------------------------------------------------------
    variables
             of
             EC
    
             pg(gen)
             delta(bus)
             pij(bus,node)
    
             ksi(gen,k) ; //  线性化添加的变量
    
    binary variables
             yita(gen,k)
               ;
    *---------------------------------------------------------------------------------------------------
    equations    obj
                 CE2,CE3,
                 CEL1,CEL2,CEL3,CEL4;
    
    obj..  of =e= EC  ;
    
    
    *CE1..     EC=e=sum(gen,gendata(gen,'a')*pg(gen)*pg(gen)*Sbase*Sbase+gendata(gen,'b')*pg(gen)*Sbase+gendata(gen,'c')); //
    
    CE2(bus,node)$connex(bus,node)..pij(bus,node)=e=branch(bus,node,'bij')*(delta(bus)-delta(node));     // 线路潮流
    
    
    CE3(bus).. sum(gen$genbus(gen,bus),pg(gen))-busdata(bus,'pd')/Sbase=e=sum(node$connex(bus,node),pij(bus,node)); //节点功率平衡
    
    CEL1  ..  EC=e= sum(gen,gendata(gen,'a')*gendata(gen,'pmin')*gendata(gen,'pmin') +gendata(gen,'b')*gendata(gen,'pmin')
                            +gendata(gen,'c'))  + sum((gen,k)$(ord(k)<card(k)),(liner_ele_data(gen,k+1,'f')-liner_ele_data(gen,k,'f'))*ksi(gen,k));
    
    CEL2(gen)  .. pg(gen)=e=gendata(gen,'pmin')/sbase+ sum(k$(ord(k)<card(k)),(liner_ele_data(gen,k+1,'x')-liner_ele_data(gen,k,'x')) *ksi(gen,k)   );
    
    CEL3(gen,k)$(ord(k)<card(k)-1)   ..    yita(gen,k)  =l= ksi(gen,k);
    
    CEL4(gen,k)$(ord(k)<card(k)-1)   ..    yita(gen,k)  =g= ksi(gen,k+1);
    
    
    *---------------------------------------------------------------------------------------------------
    model only_e  /all/   ;
    
    pg.up(gen) = gendata(gen,'pmax')/Sbase ;
    pg.lo(gen) = gendata(gen,'pmin')/Sbase ;
    
    
    delta.up(bus)   = pi/2 ;
    delta.lo(bus)   =-pi/2 ;
    delta.fx(slack) = 0    ;    //这个一定放在delta赋值的最后
    
    
    pij.up(bus,node)$connex(bus,node) =  branch(bus,node,'limit')/Sbase ;
    pij.lo(bus,node)$connex(bus,node) = -branch(bus,node,'limit')/Sbase ;
    
    ksi.up(gen,k) = 1 ;
    ksi.lo(gen,k) = 0 ;
    
    solve only_e using mip   min   of ;
    
    display of.l,pg.l,pij.l;

    5,难点解读

    5.1 程序书写规范

             程序一定要按,

                                  1)集合,

                                  2)数据,

                                   3)变量,

                                   4)方程,

                                  5)模型,变量约束及变量初值,求解

      有了这样的范式,写什么程序就是往这几个模块里面添加内容就行了。

     

        要写这个模型,首先,我先写了6节点的最优潮流程序,

                                 接着,看懂增量线性化方法

                                  又根据上边的范式,一点点网集合里加东西,往数据中加东西,往变量中加东西。

    5.2 程序中的难点

       1) Sbase 的使用 

              程序中有标注

       2) ord(k)<card(k)-1)

       这一类的表达,也要好好注意

     


    增量线性化程序如何编写就到这里了

     

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    https://wk.baidu.com/view/aae87102caaedd3383c4d3ca?pcf=2&bfetype=new
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  • SVM解释:四、线性不可分的情况

    万次阅读 多人点赞 2018-07-23 08:41:42
    之前的博客介绍了数据为线性可分的情况下,如何用SVM对数据集训练,从而得到一个线性分类器,也就是超平面WX+b=0WX+b=0WX + b = 0. 但是我已经强调过多次,线性可分的情况有相当的局限,所以SVM的终极目标还是要...
  • 第一个稳定实际上数学上对应的是算子的有界性 初值确定时,特征值包含极点,有的特征值可能会因为不可控不可观而不出现极点中。如果可控可观,则相等。可以说是状态稳定和输出稳定之别,也可说是内稳定和外...
  • 针对一类既不可反馈线性化也不仿射于控制输入的高阶随机非线性系统, 研究其状态反馈镇定问题. 利用 齐次占优和反推技术, 所设计的状态反馈控制器使得整个闭环系统[0,+∞) 上几乎处处有唯一解, 并使得闭环系...
  • MATLAB求解线性规划问题

    万次阅读 多人点赞 2019-05-23 18:35:59
    示例一:利润最大问题 某工厂生产三种产品,下面的表是这三种产品的利润和原料消耗,据此制定一个总利润最大的生产计划 我们假设这三种产品的产量分别为x1,x2,x3,则其总利润的表达式为: 产品的产量不能小于0,...
  • 考虑具有非线性及时滞的传染率为 * 传染病模型的动力学行为*首先, 借助于 Dulac函数和线性化方法, 获得无时滞情形 * 的各个平衡点的全局稳定性; 其次, 应用线性化系统的方法证明系统的局部稳定性; 最后, 利用 ...

空空如也

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在平衡点处线性化