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  • 一、引言 哈喽大家好,今天要讲的是图论中的一个经典的算法。是一种Dijkstra算法的东东。...连接线的数字就是两个地点间的距离。这样讲是不是很直观呢。好了,假如博主家A点,博主的女神家F点,有一天...

    一、引言

             哈喽大家好,今天要讲的是图论中的一个经典的算法。是一种叫Dijkstra算法的东东。这个算法是干什么用的呢。首先大家先看下面这幅图:        

            这个东西是什么呢。我们可以这样理解,假如AF表示6地点。那些连接线就是道路。连接线上的数字就是两个地点间的距离。这样讲是不是很直观呢。好了,假如博主家在A点,博主的女神家在F点,有一天博主想去女神家,就有很多条路线可以走。可是博主很懒诶,肯定就想走最短的路线。那么,怎么才能很快的就求解出最短的路线呢。Dijkstra算法就是用来解决这样的问题的。

    二、Dijkstra算法的思想

            Dijkstra算法的思想其实很直观,就是我从A点出发,发现可以走的路就只有CB了,那么我肯定就要走最近的那条路,也就是C(同时记录CA的距离)。接下来,我们从C点出发,可以走的路有BDE,再选择出最近的一条路,也就是B点(同时也记录CB的距离)。通过每次不断的走最短的路线。最后走到F的路线也肯定是最短的。这就是Dijkstra算法的思想。当然讲起来很简单,计算起来有时候也会遇到一些其他因素。接下来我会尽可能通俗易懂的讲这个算法的过程讲清楚。

    三、Dijkstra算法步骤

            接下来的讲解, 可能有点生涩,我会先写出来再慢慢解释。

            首先,我们要先确定我们的起点。在这里我们定我们的起点为A。但这样还不够,我们要写成(端点,端点与起点之间的距离)的形式。因此,我们的A就要写为(A, 0)。

            准备工作做完了,我们开始吧。

            (1) 首先从(A, 0)开始,A端点所连接的两个点分别是(B, 5)和(C, 1)。我们先把(B, 5)和(C, 1)存到Box里,并且根据大小来排序(最小排左边)。如下图

             显然,(C, 1)是最小的,因此,A点到下一个点的最短路线点是(C, 1)。我们不妨再创建一个Box吧,称之为Box3吧。称Box3是因为有3行。第一行表示图上所有的地点,第二行表示对于第一行地点的前一个最短路线点,第三行表示第一行的地点与原点的距离。如下:

            大家可以看到, 第二行第一列,因为我们的A就是起点,在A之前并没有什么点,因此打×,下面的0表示无的意思。因为我们现在求出我们的(C, 1)是我们的下一个最短路线点,并且C是从A走过去的,故第二行第三列是A ,其下面的1表示从起点到C的最短距离为1。

            (2) 好了,现在,既然确定了(A, 0)的下一个点是(C, 1)。接下来,我们要从(C, 1)出发,我们看看,跟(C, 1)连接的点有(B, 3)点(注意,是3不是2,我们说过是与起点的距离,即A-C-B)和(D, 5)点以及(E, 9)。把其填入Box里面并排序。如下:

             咦,这时候你可能会有疑问,为什么(C, 1)不见了,而且有两个B,一个是(B, 3)一个是(B, 5)。别急,我正要讲。当我们确定好最短距离的点后,我们就将其从Box里面剔除掉,因为C已经被用过了。而至于为何有两个B。大家还记得,当我们直接从A到B的时候,距离是5;而当我们从A到C到B的时候,距离是3。因此就有两个了。现在,在这个Box里面我们找到最小的数,就是(B, 3)。这样我们就可以在Box3也填入我们的数,如下:

             (3) 好的,让我们继续,接下来我们从(B, 3)开始,由于B的连接点只剩(D, 4)(已经用过的点不能再用,故A和C不算。毕竟我们肯定不走回头路呀hhh)。填入Box并排序,可以得到(D, 4)是最小的数,填入Box3中。如下

             (4) 好了,接下来我们从(D, 4)出发,跟(D, 4)连接的有(E, 7)和(F, 10),填入Box并排序,可以得到(E, 7)是最小的数,填入Box3中。如下:

            (5) 好,接下来我们从(E, 7)出发,诶这时候发现,E已经没有可连接的点了。那Box里面只剩(F, 10)了。把Box3最后一列填完。那我们就找到了最短去博主女神家的路了。

            现在,我们知道从AF的最短路线和距离分别是A-C-B-D-F10。现在我们要谈谈Box3,当我们完成这个表后,我们不仅可以马上知道博主家到博主女神家的最短路线。还能知道任意点到起点的最短路线呢。比如说,我们想知从AE的最短路线。看Box3,E的上一点是D,D的上一点是B,B的上一点是C,C的上一点是A。这样就得到A-C-B-D-E是最短路线。而Box3中E最下方的7就表示最短距离值哦。现在你们是不是搞懂了呢~^_^。

    四、DijkstraMatlab实现

    function [distance, path] = dijkstra(A, sn, en)
    % [DISTANCE,PATH] = DIJKSTRA(A, SN, EN)
    % returns the distance and path between the start node and the end node.
    %
    % A: adjcent matrix
    % sn: start node
    % en: end node
    
    %% 初始化
    %节点的数量n
    n = length(A);
    %以sn为起点的矩阵(distance vector)
    D = A(sn,:);
    
    vi = ones(1, n);    %让节点都可见
    vi(sn) = 0;         %起点节点是不可见的 
    
    %parent:即Box3中的第二行
    parent = zeros(1, n);
    
    %% 计算最短距离
    
    for i = 1: n-1
        temp = zeros(1, n);
        count = 0;
        %把distance vector里面非顶点的距离值放进temp,以便后续比大小取出最短距离
        for j = 1: n
            if(vi(j))
                temp = [temp(1: count) D(j)];
            else
                temp = [temp(1: count) inf];
            end
            count = count + 1;
        end
        
        %找出最短距离的点,并设定为下次路径的顶点
        [~, index] = min(temp);
        vi(index) = 0;%让顶点不可见
        for k = 1: n
            if A(index, k) + D(index) < D(k)
                D(k) = A(index, k) + D(index);
                parent(k) = index;  %算出k的上一层最短路径点,即Index
            end
        end
    end
    %%迭代完成后,distance矩阵的数值都是相对应的最短距离
    distance = D(en);
    
    %%求出最短路径
    
    path = [];
    t = en; path(1) = t; count = 1;
    while t ~= sn && t > 0
        p = parent(t);
        path = [p path(1:count)];    %从path里面 不断往左边放路径点,最右边是终点
        t = p;
        count = count + 1;
    end
    path(1) = sn;
    path = path(1: count);

            验证一下,我们根据这篇的图例写出邻接矩阵(这里我当大家知道什么是邻接矩阵,不知道的自己百度一下哈)。得到如下:

    A = [0 5 1 5 9 inf;
         5 0 2 1 inf inf;
       1 2 0 4 8 inf;
       inf 1 4 0 3 6;
       inf inf 8 3 0 inf;
       inf inf inf 6 inf 0];        
    

            然后,因为我们要算AF的最短距离,因此sn = 1, en = 6。故在matlab中输入:

    [distance, path]=dijkstra(A, 1, 6)
    

      最后就得到如下结果:

    distance =
        10
    path =
         1     3     2     4     6
    

            1-3-2-4-6翻译过来也就是A-C-B-D-F。跟我们前面分析的一致。故正确。

    转载于:https://www.cnblogs.com/Qling/p/9310263.html

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  • L0 norm是求向量里非0的元素个数,主要用稀疏表示,我们希望多数元素为0,这个时候L0就有用了。 L1 norm 也曼哈顿距离。 当p是无穷的时候,我们将其展开,向量中最大元素的无穷次幂远大于其他元素,因此Lp ...

    1. Norm

    在这里插入图片描述
    L0 norm是求向量里非0的元素个数,主要用在稀疏表示上,我们希望多数元素为0,这个时候L0就有用了。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    L1 norm 也叫曼哈顿距离。
    当p是无穷的时候,我们将其展开,向量中最大元素的无穷次幂远大于其他元素,因此Lp norm即是向量中的最大元素。
    在这里插入图片描述

    为什么L1Norm的等高线是菱形?
    L1 Norm每条线上的横纵坐标之和相同。L2同理。
    在这里插入图片描述

    2. Tenor

    Tensor的含义
    可见:https://www.wukong.com/question/6531498435785261325/
    在这里插入图片描述

    二维Tensor
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3. 行列式

    在这里插入图片描述
    含义:二维矩阵的行列式的值即为两向量构成的平行四边形的面积,三维则为立方体体积

    4. 特征值和特征向量

    在这里插入图片描述

    5. 奇异值分解

    在这里插入图片描述

    6. Jacobian matrix & Hessiam matrix

    在这里插入图片描述
    分别为矩阵的一阶导数和二阶导数

    7. 凸函数

    在这里插入图片描述
    集合内任意两点之间的线上的元素在集合内 则为凸集合

    激活函数一般用凸函数,便于优化找最值

    8. 概率

    客观概率: 基于重复 采样得到的频率、频次
    主观概率:对事情不确定的度量

    在这里插入图片描述

    贝叶斯

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二项分布

    在这里插入图片描述

    n趋于无穷大的时候,二态分布就变成了正态分布

    期望

    在这里插入图片描述
    期望就是求均值,但是取值的可能性可能不同,因此取所有概率下的均值,
    函数的期望相当于函数取值乘以其分布。

    方差

    在这里插入图片描述
    标准差:数据对期望距离的平均值
    在这里插入图片描述
    中间点为均值,上下界为标准差

    协方差

    在这里插入图片描述
    协方差大于0:X和Y是正相关的
    等于0:相互独立
    小于0:负相关

    联合概率分布

    在这里插入图片描述

    边缘概率:在X方向求加和,相当于求Y的分布
    在这里插入图片描述

    概率密度分布

    在这里插入图片描述

    伯努利分布

    在这里插入图片描述

    二项分布

    在这里插入图片描述

    多项式分布

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    伽马分布

    在这里插入图片描述

    beta分布

    在这里插入图片描述
    通过调整α和β来调整0-1之间的曲线

    泊松分布

    在这里插入图片描述
    期望是λ

    高斯分布(正态分布)

    在这里插入图片描述

    对数正态分布

    在这里插入图片描述

    指数分布

    9. 过拟合

    在这里插入图片描述

    10. 维数的诅咒

    在这里插入图片描述

    11. 分类

    在这里插入图片描述

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  • 什么叫双曲线?来看看双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。结合动态演示,看看双曲线是怎么来的:通过动画演示,对双曲线就有直观形象的认识!|...

    c845c2c949d4c4d7b410b319b2843334.png

    什么叫双曲线?来看看双曲线的定义:

    平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。

    结合动态演示,看看双曲线是怎么来的:

    bd2bffbaf68f041cd6243ae3b0da49e0.gif

    通过动画演示,对双曲线就有直观形象的认识!

    |MF1|与|MF2|的差的绝对值为定值,这是怎么做到的呢?

    想明白这个问题,就有制作该作品的思路!

    “画双曲线”的制作思路

    1. 两线段的距离之差为定值,不妨考虑将两线段转化为在同一直线上
    2. 因为定值——可考虑,一个固定的圆,其半径为定值
    3. 等量的转化——考虑作中垂线,中垂线上的点,到线段两端点的距离相等

    1475390469ad688939be89b12d7ebf9b.png

    和“画椭圆”的制作思路极其相似!

    其中,最大的区别是所构造的圆大小不同!

    4f87439a563bf5bc1a8d98bd0f3fde3c.png

    根据制作思路,我们可以写出指令:

    efa7be4a92d2105c3fab717523e1da87.png

    我们采取快捷方法——把上述的指令复制,并粘贴到GeoGebra按钮的脚本里。单击按钮后,删除按钮即可。而要做到动态生成轨迹的效果,只需:

    1. 创建滑动条k',最小值为0,最大值为1;并在其更新脚本里输入:赋值(k,k')
    2. 将滑动条k的最大值改为:k'

    我们来看看拉动滑动条k'的效果:

    9c70f321b33571211b9074ed9fb014aa.gif

    由上图可见,画双曲线的效果有了。不过,如果能画完一支,再画另一支就更好了!

    如果想做到这个效果,请自行观察一下:k' 的取值,是怎样影响轨迹的形成。

    再根据这个观察,想办法完善这个作品!

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  • 一、学习目标1、理解绝对值定义(重点)2、理解绝对值的非负性,并能运用这一性质解决问题。...2、新课探究(1)绝对值定义:数轴,表示一个数的点到原点的距离这个数的绝对值。关键词“距离”。比如士2到原...

    一、学习目标

    1、理解绝对值定义(重点)

    2、理解绝对值的非负性,并能运用这一性质解决问题。(考点)。

    3、能利用绝对值的性质求一个数的绝对值

    (难点)(考点)

    二、教学过程

    1、复习引入

    (1)在数轴上描出下列各点(1)—2、2、

    (2)—3、3、(3)—1/2、1/2。

    (2)各组数的共同点是什么?

    e9a2955f6175086ae960f0c9287ca246.png

    2、新课探究

    (1)绝对值定义:在数轴上,表示一个数的点到原点的距离,叫这个数的绝对值。关键词“距离”。比如士2到原点的距离都是2个单位,则土2的绝对值都是2。表示为丨2丨=2

    丨—2丨=2。

    (2)数a的绝对值表示为丨a丨

    (3)丨a丨≥0(距离都大于或等于0)

    例1:若丨a—1丨+|b+2丨=0求a、b值(常见考 题类型)

    86bae5562e4ae167d4d481e4d8daf63b.png

    解:因为丨a—1丨≥0 丨b+2l≥0

    丨a—1丨+丨b—2丨=0

    所以a—1=0 b+2=0

    所以a=1 b=—2

    (4)一个正数的绝对值等于它本身,一个负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0。

    符号表示:若丨a丨=a则 a≥0

    若丨a|=—a则 a≤0

    例2(常见题型)(1)求下列各数的绝对值

    —1/2、0.32 、0、—1.25 、 1000

    (2)若丨X丨=12,则x=?(12或—12)

    (3) 若x<1,则丨x—1丨=?(1—x,因 为 x—1<0 ,负数的绝对值等于它的相反数)

    若a>—2,则丨a+2丨=?(a+2,a+2>0正 数的绝对值等于它本身)

    (4)若丨a—5丨=a—5则a的取值范围是什么

    (a≥5)

    3、课堂练习,见教材

    aebc0802ab578e4d1fc443bb7b991ad2.png

    本节应注意问题:

    1、绝对值指表示数的点到原点的距离。距离都大于或等于0,所以丨a丨≥0

    2如果几个非负数的和为0,则每个数都为0

    3绝对值等于它本身的数是大于或等于0的数,绝对值等于它的相反数的是小于或等于0的数

    4要求一个数的绝对值一定要先判断清楚是正数、负数、0。

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在数学上什么叫距离