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  • 算法数学---卡特兰(解析+代码实现)

    万次阅读 多人点赞 2020-09-05 11:01:13
    总结一下碰到的关于卡特兰的问题,方便后续复习。

      卡特兰数又称卡塔兰数,是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。

    一、简单介绍

      卡特兰数是一个数列,其前几项为(从第零项开始) : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
    卡特兰数满足如下递推关系:

    在这里插入图片描述
    其中 C n C_{n} Cn表示数列的第n项。根据上述第一个式子我们可以推出:
    在这里插入图片描述
    第二个推导式用于编程实现卡特兰数。

    二、应用

    2.1进出栈问题

    【问题描述】
      1, 2, 3, 4依次进栈,则可能的一种进出栈顺序为:
    1in->2in->2out->3in->4in->4out->3out->1out,所以出栈顺序为:2431,那么请问按照1, 2, 3, 4,…, n依次进栈,出栈顺序种数h(n)为多少?
    【问题分析】
      对n个数,假设数k最后一个出栈,k有n种可能,即每一个数都有可能最后出栈,我们算出每一种可能各有多少种情况,最后相加即可。
      因为k最后一个出栈,而进栈顺序又是从小到大来的,所以k前面的k-1个数在k进栈以前就已经全部出栈了,我们把前面k-1个数看出一个整体,那么全面k-1个数的出栈情况实际上就有h(k-1)种。
      在k进栈之后,比k大的n-k个数才能进栈,但是它们又比k早出栈,把这n-k个数同样看成一个整体,共有h(n-k)种可能。 二者综合一下,当数k最后出栈时,一共有h(k-1)h(n-k)种可能,k从1取到n,再把每种可能相加即得到最终答案:

    在这里插入图片描述
      简而言之就是数k把这段序列分成了两部分:比k大的部分和比k小的部分。因为中间有k隔着,而它们又必须按照从小到大的次序进栈,所以这两部分进出栈是相互不影响的。
      很明显可以看出,该表达式就是卡特兰数的递推式。

    2.2排队方式

    【问题描述】
      n个人手拿5元,n个人手拿10元,他们去排队买东西,东西价值5元,老板没有零钱(老板必须用收取的5元钞票给支付10元的顾客找零钱),请问一共有多少种排队方式?
    【问题分析】
      将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈, 实际上也就转换成了进出栈问题,答案也为h(n)。

    2.3二叉树生成问题

    【问题描述】
      有n个结点,请问总共能构成多少种不同的二叉树?
    【问题分析】
      假设采用中序遍历,根节点第k个被访问,则根的左子树共有k-1个结点,右子树共有n-k个结点,k同样可以取1-n,这就与进出栈问题分析思路一致了,所以一共h(n)种。

    2.4凸多边形三角形划分

    【问题描述】
      一个凸的n边形,用直线连接它的两个顶点使之分成多个三角形,每条直线不能相交,问一共多少种方案?
    比如凸六边形的划分情况为:
    在这里插入图片描述
    h(6)=14。
    【问题分析】
      我们将凸多边形顶点从p1一直编号到pn,以p1pn这条边为基准,任选一个数k(2<=k<=n-1),将p1,pk以及pn三点连接,构成了一个三角形。该三角形把该凸边形划分成了两个凸边形,一边顶点为1 ~ k-1,另一边为k+1 ~ n,于是又回到了进出栈问题,所以答案依旧为:h(n)。

    2.5括号匹配问题

    【问题描述】
    由1对括号,可以组成一种合法括号序列:()。
    由2对括号,可以组成两种合法括号序列:()()、(())。
    由n对括号组成的合法括号序列一共有多少种?
    【问题分析】
      考虑n对括号时的任意一种配对方案,最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号,于是有唯一的表示A(B),其中A和B也是合法的括号匹配序列。
      假设S(n)为n对括号的正确配对数目,那么有递推关系S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +…+S(n-1)S(0),显然S(n)是卡特兰数。

    2.6满二叉树个数

    【问题描述】
      n+1个叶子的满二叉树个数为多少?
    【问题分析】
      不再分析,答案为h(n)。

    2.7圆划分问题

    【问题描述】
      在圆上选2n个点,讲这些点成对连接起来,保证所有直线不相交,问一共多少种可能?
    【问题分析】
      答案为h(n)。

    2.8填充问题

    【问题描述】
      n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图像方法数为多少?
    【问题分析】
      答案为h(n)。

    代码实现:

    #include<bits/stdc++.h>
    typedef long long ll;
    using namespace std;
    
    const int maxn = 20;
    int n;
    ll f1[maxn], f2[maxn];
    ll f[maxn * 2][maxn];
    
    //公式1:
    int solve1() {
        f1[0] = f1[1] = 1;
        cin >> n;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 0; j < i; j++) {
                f1[i] += (f1[j] * f1[i-j-1]);   //f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+...+f(n-1)f(0)  
            }
        }
        printf("%lld\n",f1[n]);
        return 0;
    }
    
    //公式2:
    int solve2() {
        f2[0] = f2[1] = 1;
        cin >> n;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            f2[i] += f2[i - 1] * (4 * i - 2) / (i + 1);  //f(n)=f(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
        }
        printf("%lld\n", f2[n]);
        return 0;
    }
    
    //公式3:
    int solve3() {
    	cin >> n;
        for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
            f[i][0] = f[i][i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; j++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];     //f(n)=c(2n,n)/(n+1)
            }
        }
        printf("%lld",f[2 * n][n] / (n + 1));
        return 0;
    }
    
    int main() {
    	solve1();
    	solve2();
    	solve3();
    	return 0;
    } 
    
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  • 其实就是数学中的组合问题。以前仅仅做的是关于求出组合的情况,这个很简单,用递归就可以求解。这题要求列举出所有情况。网上进行一阵狂搜,最后找到了一个比较好理解的算法,叫“二进制置换算法”,先姑且这样...

    今天,遇到一个同事的问题,要求给定从给定的5个不重复的数字中,取出3个数字,输出所有的组合情况。其实就是数学中的组合问题。以前仅仅做的是关于求出组合的情况数,这个很简单,用递归就可以求解。这题要求列举出所有情况。在网上进行一阵狂搜,最后找到了一个比较好理解的算法,叫“二进制置换算法”,先姑且这样叫吧。算法思想如下:

    1、先定义一个数组,用1和0进行组合。其中1和0的总数为5个(即M),1表示命中(或被选中),所以1的总数为3(N)个。

    2、那么初始状态可以设置为11100,称为一个状态码。

    3、对初始状态是5选3的一种状态,再对这种状态进行后续分析。

    4、分析如下:

           a.从左到右,遇到第一次出现的10组合时,将其置为01。

           b.判断最左边的第1位,如果为1,继续重复a步骤。如果为0,则将置换点之前的1移动到最左边。然后,再重复a步骤。

          c.所有情况置换结束的条件是不再出现10组合,即表示已经得到了所有的情况。

    5、根据第4步得到的所有状态码进行分析,将所有为1的位置,输出数组中对应的信息,即可得到一个数组的所有情况。

    例如:

    1 1 1 0 0

    1 1 0 1 0

    1 0 1 1 0

    0 1 1 1 0

    1 1 0 0 1

    1 0 1 0 1

    0 1 1 0 1

    1 0 0 1 1

    0 1 0 1 1

    0 0 1 1 1//该状态码中不再出现10信息,即置换结束

    代码如下:    

       

    public class Util {
    	//构造2进制字符串
    		public static String stringConstruction(int m,int n){
    			String testsString="";
    			for(int i=1;i<=m;i++){
    				if(i>n)
    					testsString=testsString+"0";
    				else 
    					testsString=testsString+"1";
    			}
    			return testsString;
    		}
    		
    		//二进制置换算法
    		public static List<String> allConditons(String s){
    			List<String> list = new ArrayList<String>();
    			list.add(s);
    			//;
    			while(true){
    				int length = list.size()-1;
    				//标志位
    				int flag = list.get(length).indexOf("10");
    				if(flag<0)
    					break;
    				//先取最后一个元素
    				String last =list.get(length);
    				//判断该元素第1位字符
    				if(last.indexOf("0")>0){
    					list.add(last.replaceFirst("10", "01"));
    				}
    				else {
    					//先将10变成01
    					String ss = last.replaceFirst("10", "01");
    					//将10前面的内容反置
    					String before = last.substring(0,last.indexOf("10"));
    					StringBuffer sb = new StringBuffer(before);
    					String after=sb.reverse().toString();
    					list.add(ss.replaceFirst(before, after));
    				}
    			}
    
    			return list;
    		}
    		//通过置换算法获取自由组合
    		public static List<String> result(String[] r,List<String> list){
    			List<String> ttList =new ArrayList<String>();
    			
    			for(int i=0;i<list.size();i++){
    				String eleString = list.get(i);
    				String temp="";
    				for(int j=0;j<eleString.length();j++){
    					if(eleString.charAt(j)=='1')
    						temp=temp+r[j]+" ";
    				}
    				ttList.add(temp);
    			}
    			//ttList去重操作,通过HashSet去重
    			HashSet<String> hs = new HashSet<String>(ttList);
    			ttList.clear();
    			ttList.addAll(hs);
    			return ttList;
    		}
    }
    

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  • 学习高数多年,昨天被朋友问到n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数,一时间倒也不知道如何回答,发现似乎自己从来没注意过这个问题,因此打算好好思考一下。 文章目录一、定义1、微分方程2、微分方程的阶3、...

    前言:

    学习高数多年,昨天被朋友问到n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数,一时间倒也不知道如何回答,发现似乎自己从来没注意过这个问题,因此回炉重造一下,倒是有一些新的收获。

    一、定义

    要解决n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数这个问题,先来回顾一些定义:

    1、微分方程

    含有未知函数的导函数的方程称为微分方程。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    其中, y y y是关于自变量 x x x的函数。特别的,如果 y y y只是一个变量 x x x的函数,则这类方程称为常微分方程。上图就是一个常微分方程。

    2、微分方程的阶

    微分方程中出现的导函数的最高阶数,叫微分方程的阶, 如:
    x 3 y ( 3 ) x 2 y ′ ′ = 3 x x^3 y^{(3)}x^2y^{''} = 3 x x3y(3)x2y=3x
    是三阶微分方程。一般的:
    在这里插入图片描述

    3、微分方程通解

    微分方程通解有如下定义:
    在这里插入图片描述
    好了,观察该定义,我们回到主题:

    • (1): 为什么是 n n n个任意常数?
    • (2): 为什么这几个任意常数是独立的?

    要回答这两个问题,我们需要引入一些特别观点。

    二、求导是一种线性函数

    对函数 f f f求导,即求导的 D D D算子作用于 f f f上,而对 D D D算子,有
    D ( x + y ) = D ( x ) + D ( y ) , D ( c x ) = c D ( x ) D(x+y)=D(x)+D(y), D(cx)=cD(x) D(x+y)=D(x)+D(y),D(cx)=cD(x)
    因此 D D D算子是线性函数,同理有
    D n ( x + y ) = D n ( x ) + D n ( y ) , D n ( c x ) = c D n ( x ) D^n(x+y)=D^n(x)+D^n(y), D^n(cx)=cD^n(x) Dn(x+y)=Dn(x)+Dn(y),Dn(cx)=cDn(x)
    因此 D n D^n Dn算子也是线性函数,因此不同阶导数的 D D D算子组合 L \mathcal{L} L是一种线性函数

    L = a 0 D 0 + a 1 D 1 + a 2 D 2 + . . . + a n D n \mathcal{L}=a_0D^0+ a_1D^1+a_2D^2+ ... + a_nD^n L=a0D0+a1D1+a2D2+...+anDn

    三、微分方程与L

    为了简单期间,我们这里只讨论线性微分方程

    对于任意的齐次线性微分方程,我们都可以找到对应的 L \mathcal{L} L, 并将其表示为 L ( y ) = 0 \mathcal{L}(y)=0 L(y)=0。比如 x 2 y ′ ′ − x y ′ + y = 0 x^2y''-xy'+y=0 x2yxy+y=0, 我们可以有:
    L = x 2 D 2 − x D 1 + 1 D 0 \mathcal{L}=x^2D^2-xD^1+1D^0 L=x2D2xD1+1D0

    由于 L \mathcal{L} L是线性函数,这样要求解 y y y, 就可以放在线性空间中进行讨论。这样微分方程的通解就对应了 L ( y ) = 0 \mathcal{L}(y)=0 L(y)=0的解空间。经过高等代数的讨论(笔者现在也看不懂), y y y存在的解空间是 n n n维的,因此由 n n n个常数决定,而不同维度的空间坐标一定是独立的。

    如果是非齐次线性微分方程 L ( y ) = f ( x ) \mathcal{L}(y)=f(x) L(y)=f(x), 从矩阵角度理解,其实也就相当于从解 A x = 0 Ax=0 Ax=0到解 A x = b Ax=b Ax=b的过渡,也是同样的结论。

    这样我们就能理解【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。

    而在笔者和朋友的讨论过程中,朋友给出了一个很精辟的直观理解:
    【n阶微分方程其实等价于一个n元线性微分方程组,相当于给了n维空间一个质点速度和位移满足的关系,需要确定的只是初始位置,是个n维向量】 本质上也就是这个意思。

    四、结语

    本文纯属自己理解,很不严谨,但是思想是没问题的。核心思想就是:
    【求导,就是一个线性函数】 所以最后 D , D 2 , . . . , D n D,D^2, ..., D^n DD2,...,Dn的组合 L \mathcal{L} L也是线性函数,而线性微分方程可以等价表示为 L ( y ) \mathcal{L(y)} L(y),这就可以把解线性微分方程放到线性函数的范畴里面去讨论。最后就能理解为什么【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。

    五、遗憾

    笔者不是数学专业,只是恰巧一个朋友问到这个问题,因此查了查资料,结合自己对线性代数的理解写下这篇文章,只是说明了【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】。如果把线性去掉, 就不知道怎么理解了。有点虎头蛇尾的意思,不过目前水平有限,只能到这里了。

    六、参考

    [1] 马同学:高等数学
    [2] 代数学引论(第二卷) (俄罗斯)斯科特利金。P274-P276

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  • 希腊字母在数学计算中表示的含义

    千次阅读 2020-09-02 12:34:23
    希腊字母在数学计算中表示的含义 序号 大写 小写 英语音标注音 英文 汉语名称 常用指代意义 1 Α α /'ælfə/ alpha 阿尔法 角度、系数、角加速度、第一个、电离度、转化率 ...

    希腊字母在数学计算中表示的含义

    序号大写小写英语音标注音英文汉语名称常用指代意义
    1Αα/'ælfə/alpha阿尔法角度、系数、角加速度、第一个、电离度、转化率
    2Ββ

    /'bi:tə/ 或 /'beɪtə/

    beta

    贝塔

    磁通系数、角度、系数
    3Γγ/'gæmə/gamma

    伽玛

    电导系数、角度、比热容比
    4Δδ/'deltə/delta

    得尔塔

    变化量、焓变、熵变、屈光度、一元二次方程中的判别式、化学位移
    5Εε/'epsɪlɒn/epsilon艾普西隆对数之基数、介电常数、电容率
    6Ζζ/'zi:tə/zeta泽塔系数、方位角、阻抗、相对黏度
    7Ηη/'i:tə/eta

    伊塔

    迟滞系数、机械效率
    8Θθ/'θi:tə/theta西塔温度、角度
    9Ιι/aɪ'əʊtə/iota约(yāo)塔微小、一点
    10Κκ/'kæpə/kappa卡帕介质常数、绝热指数
    11λ/'læmdə/lambda拉姆达波长、体积、导热系数
    12Μμ/mju:/mu磁导率、微、动摩擦系(因)数、流体动力黏度、货币单位,莫比乌斯函数
    13Νν/nju:/nu磁阻系数、流体运动粘度、光波频率、化学计量数
    14Ξξ

    希腊 /ksi/

    英美 /ˈzaɪ/ 或 /ˈsaɪ/

    xi

    克西

    随机变量、(小)区间内的一个未知特定值
    15Οο

    /əuˈmaikrən/

    或 /ˈɑmɪˌkrɑn/

    omicron奥米克戎高阶无穷小函数
    16π/paɪ/pi圆周率、π(n)表示不大于n的质数个数、连乘
    17Ρρ/rəʊ/rho电阻率、柱坐标和极坐标中的极径、密度、曲率半径
    18σ,ς/'sɪɡmə/sigma西格马总和、表面密度、跨导、正应力、电导率
    19Ττ

    /tɔ:/ 或 /taʊ/

    tau时间常数、切应力、2π(两倍圆周率)
    20Υυ

    /ˈipsɪlon/

    或 /ˈʌpsɪlɒn/

    upsilon宇普西龙位移
    21Φφ/faɪ/phi

    磁通量、电通量、角、透镜焦度、热流量、电势、直径、空集,欧拉函数
    22Χχ/kaɪ/chi统计学中有卡方(χ^2)分布
    23

    Ψ

    ψ/psaɪ/psi普西角速、介质电通量、ψ函数、磁链
    24Ωω

    /'əʊmɪɡə/

    或 /oʊ'meɡə/

    omega

    奥米伽

    欧姆、角速度、角频率、交流电的电角度、化学中的质量分数、不饱和度

    转载:https://blog.csdn.net/WASEFADG/article/details/90407312
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  • LaTeX 插入数学公式

    万次阅读 多人点赞 2019-05-03 11:15:19
    一、常用的数学符号 1、小写希腊字母 下面的都要上面这个案例一样才有用。为了方便书写,以下两边都只写了一个$,而实际上两边要写 $$才有用, 如: 对应 α \alpha α 2、大写希腊字母  大写希腊字母只需要将小写...
  • 离散数学n元素上的各种关系数目推导

    千次阅读 多人点赞 2020-03-29 17:10:39
    离散数学n元素上的各种关系数目写开头关系的解释 写开头 本着熟悉知识+经验分享的精神而作,如果有任何疑问可以联系博主,相互学习。 文章材料部分(图像)来自互联网,如有侵权请联系博主删除! 关系的解释 ...
  • 平均 平均的概念很简单,不再详述,直接给出其公式: 对于n个数字x1、x2…xn,其平均公式为: 加权平均 什么是权,就是重要性,在数学中就是一个表示其所占比重的数值。 ...
  • Markdown 在数学公式插入文字

    千次阅读 2018-07-11 21:35:50
    Markdown公式插入文字的写法 # {\text{这里写要插入的文字}} # eg: {\text{整数集合}}Z=\{X|x \in N {\text{或}} -x \in N^+ \} 显示为 整数集合Z={X|x∈N或−x∈N+}整数集合Z={X|x∈N或−x∈N+} {\...
  • n数中选取m个的所有组合

    千次阅读 2020-06-04 21:27:04
    n1,2,...,n,从这n数中任意选m个,输出所有不同组合,共有C(n,m)种不同组合。 如n=4,m=2,会产生如下输出: 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 如n=5,m=3,会产生如下输出: 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1...
  • 何谓自幂,即n位正整数,各位的n次幂相加还等于这个...这其实深究上升到了数学黑洞的概念——对于数学黑洞,无论怎样设值,规定的处理法则下,最终都将得到固定的一个值,再也跳不出去了,就像宇宙的黑洞可...
  • 在n选取m个数中进行全排列

    千次阅读 2017-03-05 15:55:11
    ) 从n数中选取 m 个 void rank( int m ) 对 m 个进行全排列 */ #include #include void select ( int n, int m ); void rank( int k, int m ); void swap( int x , int y , int data[]...
  • 春天是鲜花的季节,水仙花就是其中最迷人的代表数学上有个水仙花,它是这样定义的:“水仙花”是指一个3位数,它的各位数字的立方和等于其本身。 1. 现在要求输入m和n,输出所有m和n范围内的水仙花。 2. ...
  • 如何markdown插入数学公式

    千次阅读 2018-02-06 11:41:46
    一些扩展的Markdown语法支持采用LaTex语法写数学公式,而网页使用Mathjax插件来显示数学公式。 本教程介绍如何Markdown书写数学公式。 插入数学公式 Markdown插入数学公式的语法是$数学公式$和$$数学...
  • m个数中n的组合

    千次阅读 2013-05-30 01:51:58
    #include ...// 从m个数中,取出n的组合 void Combination(int m, int n) { int i, j; for (i = m; i >= n; i--) { a[n] = i;// 最后一个位置的元素可以取m,m-1,m-2.....n if (n > 1) {
  • 问题 B: 第N个智慧

    千次阅读 2018-12-15 12:26:43
    一个正整数如果能表示成了两个正整数的平方差,则称这个为“智慧数”,比如16就等于5的平方减去3的平方,所以16就是一个智慧,从1开始的自然数列,将“智慧数”从小到大编号为1,2,3,„„,n。现输入一个正...
  • LaTeX插入数学公式

    千次阅读 2018-09-06 10:44:54
    论文写作的过程,手动进行文字排版是一件繁琐的事情,我们可以使用LaTeX进行文字的排版以及数学公式的插入,可以很大地节省时间,专注于论文内容的写作.上篇博客介绍了LateX的安装. LaTeX公式基础 这里的基础嫌烦...
  • 如何Markdown数学公式?

    千次阅读 2019-05-10 16:29:38
    一些扩展的Markdown语法支持采用LaTex语法写数学公式,而网页使用Mathjax插件来显示数学公式。 本博客主要介绍如何Markdown书写数学公式。 一、插入数学公式 Markdown插入数学公式的语法是数学公式数学...
  • 数学上最大的是多少?

    千次阅读 2018-01-05 11:04:08
    数学上最大的是多少? 怪罗科普 收藏(282) | 阅读(117678) 人类已经使用长达千年之久。普遍认为,的概念最先...我们甚至还给没有极限的起了专门的称法,那数学中最大的是多少? 不那么明显 那么,...
  • 二进制在数学中的妙用

    万次阅读 多人点赞 2011-08-24 22:17:14
    十八世纪初,莱布尼茨发明了二进制,当时的他肯定没有预料到二进制信息时代会有着如此广泛的应用。...计算机科学和大量应用数学领域,二进制记数法是必不可少的。趣味数学方面,同样也有广泛的应用。 让

空空如也

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在数学中n代表什么数