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  • 四种思想方法,让你轻松掌握高中数学
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    2021-01-17 13:46:42

    学习一门知识,究其核心,主要是学其思想和方法,这是学习的精髓。学数学亦如此,分学数学思想和数学方法。

    数学思想是指客观世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。

    数学方法是指用数学语言表述事物的状态、关系和过程,并加以推导、演算和分析,以形成对问题的解释、判断和预言的方法。

    高中数学的四种思想方法:

    1.函数与方程思想

    1.1 函数思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

    函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼。在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用。

    1.2 方程思想是分析数学中的等量关系,去构建方程或方程组,通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

    方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。

    2.数形结合思想

    数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面。

    数与形在一定的条件下可以转化,数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

    如某些代数问题、三角问题往往有几何背景,可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题。而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

    在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系。在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。

    数形结合中,选择、填空题侧重考查数到形的转化。在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。

    3.分类与整合思想

    分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法。

    分类的原则:分类不重不漏。

    分类的步骤:①确定讨论的对象及其范围;②确定分类讨论的分类标准;③按所分类别进行讨论;④归纳小结、综合得出结论。

    分类讨论问题的关键是化整为零,通过局部讨论以降低难度。常见的类型:

    3.1 由数学概念引起的的讨论,如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论;

    3.2 由数学运算引起的讨论,如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;

    3.3 由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论,如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;

    3.4 由图形位置的不确定性引起的讨论,如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

    3.5 由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论,如二次函数中字母系数对图象的影响,二次项系数对图象开口方向的影响,一次项系数对顶点坐标的影响,常数项对截距的影响等。

    4.化归与转化思想

    化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。

    数形结合的思想体现了数与形的转化。

    函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化。

    分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。

    所以,以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

    转化包括等价转化和非等价转化。

    等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的。

    不等价转化就只有一种情况,因此,结论要注意检验、调整和补充。

    转化的原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的和已经解决的问题。将抽象的问题转化为具体的和直观的问题。将复杂的转化为简单的问题。将一般的转化为特殊的问题。将实际的问题转化为数学的问题等等,使问题易于解决。

    常见的转化方法:

    4.1 直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

    4.2 换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

    4.3 数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径。

    4.4 等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的。

    4.5 特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题,使结论适合原问题。

    4.6 构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题。

    4.7 坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。

    学习高中数学,从总体上分为两个层次:

    表层知识:如知识点概念、性质、法则、公式、公理、定理等等基本内容。

    深层知识:主要指数学思想和方法。

    在学习概念、性质、公式的过程中应不断渗透相关的数学思想方法。题海战术只会事倍功半,如果题目条件一变化,你就不知所措,说明你忽视了数学思想方法的培养。

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    千次阅读 2022-03-05 12:26:30
    极限问题的初等模型 细菌繁殖问题 最值问题的初等模型 海报设计问题 工人上班效率问题 最大利润问题 积分问题的初等模型 商品的贮存费问题 车辆平均行驶速度问题 经济问题的初等模型 经济问题的基本函数 ...

    以下针对数学建模中的一些常用的初等模型进行详细介绍,希望对初入数学建模的小伙伴能够起到点金之用,通过建模举例对数学建模的基本思想和步骤有一个初步的了解。好了,话不多说,进入正文,小葵花课堂开课了,赶紧搬好等着做好了。。。。


    目录

    分蛋糕问题

    出租车收费问题

    蚂蚁逃跑问题 

    极限、最值、积分问题的初等模型

    极限问题中的初等模型

    细菌繁殖问题

    最值问题中的初等模型

    海报设计问题

     工人上班效率问题

    最大利润问题

    积分问题中的初等模型

    商品的贮存费问题

    车辆平均行驶速度问题 

    经济问题中的初等模型

    经济问题中的基本函数

    示例说明

    线性代数模型

    人、狗、鸡、米过河问题

    常染色体遗传模型


    分蛋糕问题

    问题:

    妹妹过生日,妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕,哥哥也想吃,妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说,你能过这一点切一刀,使得切下 的两块蛋糕面积相等,就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题, 你知道他用的是什么办法吗?

    问题归结为如证明题:

    已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线,P是曲线所围图形上任一点,求证:一定存在一条过P的直线,将这图形的面积二等分。

    若S1≠ S2  不妨设S1>S2 (此时l与x轴正向的夹角记为),以点P为旋转中心,将l按逆时针方向旋转,面积S1,S2就连续依赖于角的变化,记为

     

     由零点定理得证。


    出租车收费问题

    问题:

    某城市出租汽车收费情况如下:起价10元(4km以内),行 程不足15km,大于等于4km部分,每公里车费1.6元;行程 大于等于15km部分,每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。

    例如,当行驶路程x(km)满足 12≤x<12.5时,按12.5km计价;当 12.5 ≤x<13时,按13km计价; 例如,等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时,按2.5min计价收费0.8元; 当5≤t<25 ,按5min计价

    请回答下列问题

    • 假设行程都是整数公里,停车时间都是2.5min的整数倍,请建立车费与行程的数学模型。
    • 若行驶12km,停车等候5min,应付多少车费?
    • 若行驶23.7km,停车等候7min,应付多少车费?

    模型建立:

    设车费为y元,其中行程车费为y1元,停车费为y2元,行程为x km,x∈z+,停车时间为t min,t ∈z+,则

     数学模型为


    蚂蚁逃跑问题 

    问题:

    一块长方形的金属板,四个顶点的坐标分别是(1,1), (5,1),(1,3),(5,3),在坐标原点处有一个火 焰,它使金属板受热,假设板上任意一点处的温度与该点到 原点的距离成反比,在(3,2)处有一只蚂蚁,问这只蚂蚁 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点?

    模型建立:

    假设板上任一点(x,y)处的温度为

     那么


    极限、最值、积分问题的初等模型

    极限问题中的初等模型

    细菌繁殖问题

    问题:

    某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时,与当时已有的数量成正比,即,V=KA0(K>0为比例常数)。

    1.建立细菌繁殖的数学模型。

    2.假设一种细菌的个数按指数方式增长,下表是收集到的近似数据。

    求:开始时细菌个数可能是多少?若继续以现在的速度增长下去,假定细菌无死亡,60天后细菌的个数大概是多少?

    模型建立:

    由于细菌的繁殖时连续变化的,在很短的时间内数量变化得很小,繁殖速度可近似看做不变。

    将时间间隔t分成n等分,在第一段时间\left [ 0,\frac{t}{n} \right ]内,细菌繁殖的数量为,在第一段时间末细菌的数量为,同样,第二段时间末细菌的数量为  ;以此类推,最后一段时间末细菌的数量为 ,经过时间t后,细菌的总数是

     

     设细菌的总数为y,则所求的数学模型为:

     


    最值问题中的初等模型

    海报设计问题

    问题:

    现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为128平方分米,上下空白个2分米,两边空白个1分米,如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小?

    模型建立:

    这个问题可用求一元函数最值的方法解决

    使得以下式子达到最小

     

    其中

     令此式对x的导数为0,解得: x=16,此时y=8,可使空白面积最小。

     工人上班效率问题

    问题:

    对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明,一个中等水平的工人早上8:00开始工作,在t小时之后,生产出 Q(t)=-t^3+9t^2+12t 个晶体管收音机。 问:在早上几点钟这个工人的工作效率最高?

    模型建立:

    工作效率最高,即生产率最大,此题中,工人在t时刻的生产率为产量Q关于时间t的变化率:Q’(t),则问题转化为求Q’(t)的最大值

    工人的生产率为

     

     比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时,即上午11:00,工人的工作效率最高。

    最大利润问题

    问题:

    一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁,当地牌子进价每听30美分,外地牌子的进价每听40美分。店主估计,如果当地牌子的每听卖x美分,外地牌子卖y美分,则每天可卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁,80+6x-7y听外地牌子的果汁。问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?

    模型建立:

    每天的总收益为二元函数:

    令  ,,则有驻点x=53,y=55 判断可知(53,55)为最大值点。


    积分问题中的初等模型

    商品的贮存费问题

    问题:

    一零售商收到一船共10000公斤大米,这批大米以常量每月2000公斤运走,要用5个月 时间,如果贮存费是每月每公斤0.01元,5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元?

    模型建立:

    令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数,则Q(t)=10000-2000t

    将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间,任取第j个小区间\left [ t_{j}, t_{j+1}\right ],区间长度为t_{j+1}-t_{j}=\bigtriangleup t,在这个小区间中,每公斤贮存费用=0.01△t

     第j个小区间的贮存费=0.01Q(tj)△t

     总的贮存费=

    由定积分定义:

    总贮存费=

    车辆平均行驶速度问题 

     问题:

    某公路管理处在城市高速公路出口处,记录了几个星期内平均车连行驶速度,数据统计表明:一个普通工作日的下午1:00至6:00之间,次口在t时刻的平均车辆行驶速度为:                       S(t)=2t^3-21t^2+60t+40(km/h) 左右,试计算下午1:00至6:00内的平均车辆行驶速度?

    模型建立:

    此题是求函数s(t)在区间[1, 6]内的平均值

    一般地,连续函数在区间上的平均值,等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。

    平均车辆行驶速度为


    经济问题中的初等模型

    经济问题中的基本函数

    设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0,可变成本为c1.

    (1)总成本函数:

    (2)供给函数:

    (3)需求函数:

    (4)价格函数:

    (5)收益函数:

    (6)利润函数:

    (7)边际成本函数:

    (8)边际收益函数:

    (9)边际利润函数:

    示例说明

    示例1:

    某品牌收音机每台售价90元,成本为60元,厂家为鼓励 销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多 订购一台,售价就降低1分(例如某商行订购300台,订购量 比100台多200台,于是每台就降价0.01×200=2元,商行可 按每台88元的价格购进300台)。但最低价格为75元/台。

    (1)建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。

    将售价与订购量归纳为如下的数学模型:  

    (2)建立利润L与订购量x的数学模型。

    每台利润是实际售价p与成本60元之差,所以 L=(p-60)x

    (3)当一商行订购了1000台时,厂家可获利润多少?

    当x≤100时,每台售价90元;当订购量超过1600台时,每台售价75元;当订购量在100到1600台之间时,每台售价为90-(x-100) ×0.01

    示例2:

    一房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180 元时,公寓会全部租出去,当租金每月增加10元时,就有一 套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费。

    (1)建立总收入R与租金x之间的数学模型。

    总收入R等于租出的公寓数 50-((x-180) /10)乘以每套公寓的纯利润x-20

    (2)当房租定为多少时可获得最大收入?

     得x=350(元/月)

    示例3:

    某不动产商行能以5%的年利率借得贷款,然后它又把 此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成 反比(利率太高无人借贷)。

    (1)建立年利率x与利润p间的数学模型。

    贷出的款额为k/x^2,k>0为常数,商行可获得利润:

    (2)当以多大的年利率贷出时,能使商行获得利润最大?

    求当x取何值时,p最大。

     得x=0.1,即贷出年利率为10%时,商行获得利润最大。

    线性代数模型

    所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下,系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能,如果可以转移的话,应如何具体实现?

    人、狗、鸡、米过河问题

    问题:

    这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河,但小船除需要人划外,最多只能载一物过河,而当人不在场时,狗要咬鸡、鸡要吃米,问此人应如何过河。

    模型建立:

    在本问题中,可采取如下方法:一物在此岸时相应分量为1,而在彼岸时则取 为0,例如(1,0,1,0)表示人和鸡在此岸,而狗和米则在对岸。

    • (i)可取状态

    根据题意,并非所有状态都是允许的,例如(0,1,1,0)就是一个不可取的状态。本题中可取状态(即系统允许的状态)可以用穷举法列出来,它们是:

    •  (ii)可取运算:状态转移需经状态运算来实现。

    在实际问题中,摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量(转移向量),用它来反映摆渡情况。例如 (1,1,0,0)表示人带狗摆渡过河。根据题意,允许使用的转移向量只能有(1,0,0,0,)、(1,1,0,0)、 (1,0,1,0)、(1,0,0,1)四个。

    规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与 转移向量之和为一新的状态向量,其运算为对应分量相加,   且规定0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0。

    在具体转移时,只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为:

    由初始状态(1,1,1,1)出发,经奇数次上述运算转化为(0,0,0,0)的转移过程。

    可以如下进行分析  :

    (第一次渡河)

     (第二次渡河)

    以下可继续进行下去,直至转移目的实现。上述分析实际 上采用的是穷举法,对于规模较大的问题是不宜采用的。

    常染色体遗传模型

    在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因时,基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基  因A和a控制的,(A、a为表示两类基因的符号)那么就有三种基因对,记为AA,Aa,aa。

    下面给出双亲体基因型的所有可能的结合,以及其后代形成每种基因型的概率

     示例:

    农场的植物园中某种植物的基因型  为AA,Aa和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后,  这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何?

    假设令n=0,1,2,…

    (i)设a_{n},b_{n}c_{n}分别表示第n代植物中,基因型 为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比  。令x^{(n)}为第n代植物的基因型分布:(表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布))

     显然有

     (ii)第n代的分布与 第n-1代的分布之间的关系是通过表确定的。

    建模

    根据假设(ii),先考虑第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型;第n-1代的Aa型与AA型结合,后代是AA型的可能性为 1/2,而 第n-1代的aa型与AA型结合,后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时

    将(2)、(3)、(4)式相加,得 

     根据假设(I),可递推得出:

     对于(2)式、(3)式和(4)式,采用矩阵形式简记为

     其中(这里M为转移矩阵的位置)

     由(5)式递推,得

    (6)式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出M^{n},我们将M对角化,即求出可逆矩 阵P和对角库D,使M=PDP^{-1},因而有M^{n}=PD^{n}P^{-1}

    其中

     这里\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}是矩 阵M的三个特征值。对于 (5)式中的M,易求得它的特征值和特征向量:

    \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=\frac{1}{2},\lambda _{3}=0

    因此

     所以  

     

    通过计算,P^{-1}=P,因此有

     所以有

     

     

     即在极限的情况下,培育的植物都是AA型。 若在上述问题中,不选用基因AA型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三种基因型的概率如下

     并且,其中

     M的特征值为

     通过计算,可以解出与\lambda _{1}\lambda _{2}相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2,及与相对应的特征向量e3:

     因此

     

     

     解得:

     

     

     所以

     

     全文共4945个字,码字总结不易,老铁们来个三连:点赞、关注、评论

    作者:左手の明天

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  • 数学建模常用模型和算法介绍

    千次阅读 多人点赞 2021-08-19 12:11:00
    这里总结了一些数学建模的常用模型和算法,我们给出了相应的模型(算法)描述、相关内容的网页链接,部分模型(算法)给出了全国大学生数学建模竞赛使用该模型(算法)的优秀论文的例子。 模型和算法汇总目录常见...

    这里总结了一些数学建模的常用模型和算法,我们给出了相应的模型(算法)描述、相关内容的网页链接,部分模型(算法)给出了全国大学生数学建模竞赛中使用该模型(算法)的优秀论文的例子。

    常见模型

    微分方程模型

    模型描述:
    微分方程模型是指,在机理分析的基础上,建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程(方程组),通过求解,得到未知变量的变化情况的模型。
    在建立微分方程的时候,可以利用已知的物理定律(例如:牛顿加热定理)、平衡或增长关系(人口增长规律)等,常见的例子有:传染病模型、经济增长模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用、人口预测和控制、烟雾的扩散与消失、万有引力定律的发现等。
    参考网页:
    百度文库.
    https://wenku.baidu.com/view/601e0a3ef56527d3240c844769eae009591ba26c.html
    百度文库,以四个例子讲解.
    https://wenku.baidu.com/view/884af5c69ec3d5bbfd0a744a.html
    道客巴巴,以多个例子讲解.
    http://www.doc88.com/p-0751499527286.html
    优秀论文实例:
    2019年 A240 高压油管压力波动的稳定控制 一文:针对问题一,利用燃油压力与密度关系式,推导燃油密度变化,通过燃油压力与密度关系式推得压力变化,使微小时段无穷逼近于零,建立微分方程模型。

    元胞自动机模型

    模型描述:
    元胞自动机模型是网络动力学模型中最常用的一种。许多复杂的问题都可以通过元胞自动机来建立模型,元胞自动机实质上是定义在一个具有离散、有限状态的元胞组成的元胞空间上,并按照一定的局部规则,在离散的时间维度上演化的动力学系统。元胞又可称为单元、细胞,是元胞自动机的最基本的组成部分。元胞具有以下特点:1)元胞自动机最基本的单元。2)元胞有记忆贮存状态的功能。3)所有元胞状态都按照元胞规则不断更新。
    参考网页:
    讲解特别详细.
    https://max.book118.com/html/2015/0613/18964031.shtm
    B站,两个例子讲解.
    https://www.bilibili.com/read/cv4587910/
    CSDN,两个例子含代码.
    https://blog.csdn.net/weixin_43102634/article/details/102996254
    优秀论文实例:
    2019年 C137 基于系统模拟的机场出租车决策与安排模型 一文:针对上车点的设置问题,以乘车效率为优化目标,安全因素为约束条件,上车点数量为决策变量,建立单目标优化模型。通过合理制定机场出租车乘车区运行规则,利用元胞自动机的方法,进行计算机模拟,得到各方案对应的乘车效率。

    动态规划模型

    模型描述:
    动态规划方法属较科学有效的模型,它的基本思想是,把一个比较复杂的问题分解为一系列同类型的更易求解的子问题,便于应用计算机。整个求解过程分为两个阶段,先按整体最优的思想逆序地求出各个子问题中所有可能状态的最优决策与最优路线值,然后再顺序地求出整个问题的最优策略和最优路线。计算过程中,系统地删去了所有中间非最优的方案组合,从而使计算工作量比穷举法大为减少。
    参考网页
    道客巴巴,概念讲解全面.
    https://www.doc88.com/p-6896483301441.html?r=1
    道客巴巴,以一个例子讲解.
    https://www.doc88.com/p-272181986541.html?r=1
    CSDN,简单例子含代码.
    https://blog.csdn.net/qq_43649786/article/details/98843408
    优秀论文实例:
    2020年 B108 基于动态规划、统计分析、静态博弈的穿越沙漠游戏策略设计 一文:针对问题一,先将游戏机制转化为python程序,模拟后发现了对游戏状态及其转移规律的数学表示后论证了动态规划模型的合理性。

    决策树模型

    模型描述:
    决策树通过把实例从根节点排列到某个叶子节点来分类实例,叶子节点即为实例所属的分类。树上的每一个节点说明了对实例的某个属性的测试,并且该节点的每一个后继分支对应于该属性的一个可能值。
    决策树可以做分类、回归,数据从上往下在树中游走,叶子节点就是最终的预测值or回归值
    参考网页:
    豆丁网,讲解全面.
    https://www.docin.com/p-661084110.html
    博客园,以例子讲解.
    https://www.cnblogs.com/zhwa1314/p/12128769.html
    博客园,以例子讲解.
    https://www.cnblogs.com/listenfwind/p/10199720.html
    优秀论文实例:
    2020年 C109 基于梯度下降的决策树算法与非线性规划的信贷风险评估与信贷策略模型 一文:针对问题一,首先基于附件的交易票据数据挖掘出各企业的多项经营与财务指标,并进行筛选。之后对于传统的决策树模型进行改进,对于原模型添加正则项函数以抑制决策树的复杂性,利用集成学习思想将多个决策树模型进行叠加,基于梯度下降算
    法进行迭代优化,得到最终的集成模型。

    主成分分析

    模型描述:
    在实际问题研究中,多变量问题是经常会遇到的。变量太多,无疑会增加分析问题的难度与复杂性,而且在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的。 因此,人们会很自然地想到,能否在相关分析的基础上,用较少的新变量代替原来较多的旧变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息?
    主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。
    参考网页:
    知乎,讲解详细,SPSS应用为例子.
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/63139206
    百度文库.
    https://wenku.baidu.com/view/f19495b5001ca300a6c30c22590102020640f2d5.html
    豆丁网,一个例子讲解.
    https://www.docin.com/p-1023576770.html
    优秀论文实例:
    2020年 C142 银行对中小微企业的信贷策略 一文:在模型建立方面,对于问题一,本组建立了三级七类的企业风险衡量指标体系,并建立了基于主成分分析的信贷风险评价模型和基于非线性规划的最优信贷策略决策模型。

    图论和网路模型

    模型描述:
    图论作为优化问题的一个分支,是通过优化方法来解决图或网络中出现的诸如最短路径问题,最小生成树,最大流,最小流问题等。除了传统意义上的图,很多问题都可以转化为图论问题。比如图像拼接问题,就是将图像按照边缘的吻合度来进行拼接。可以将每个图像碎片视为图的节点,将碎片边缘的吻合度作为图中节点之间的距离,从而将图像拼接问题转化为图论问题。
    参考网站:
    百度文库.
    https://wenku.baidu.com/view/41ff73a06d175f0e7cd184254b35eefdc9d31575.html
    豆丁网.
    https://www.docin.com/p-2142865988.html
    CSDN,含详细代码实现.
    https://blog.csdn.net/weixin_41213648/article/details/92802864

    排队论模型

    模型描述:
    排队论又称为随机服务系统。抽象地说,可以将有输入和输出的一个整体称为一个系统,将进入该系统希望得到某种服务的人或物称为顾客,提供某种服务的人或设施称为服务台。顾客进入到系统后等待接受服务,当其需要的服务得到满足后离开该系统。由于顾客达到该系统般都是随机的,到达后接受服务的时间也是随机的,所以也称排队论为随机服务系统理论,并可将排队论看成概率与统计研究的种具体的问题。该理论要研究的是排队系统运行的效率以及如何改进排队系统使得顾客接受服务的质量得到提升。
    参考网站:
    (CSDN,代码和数学公式)https://blog.csdn.net/weixin_43102634/article/details/102996193
    (百度文库,PPT)https://wenku.baidu.com/view/35cd84768762caaedc33d430.html
    (豆丁网,书本详细讲解)https://www.docin.com/p-487580791.html

    时间序列分析

    模型描述:
    研究时间序列主要目的:进行预测,根据已有的时间序列数据预测未来的变化。时间序列预测关键:确定已有的时间序列的变化模式,并假定这种模式会延续到未来。预测步骤:
    第一步:确定时间序列所包含的成分,确定时间序列的类型。第二步:找出适合此类时间序列的预测方法。第三步:对可能的预测方法进行评估,以确定最佳预测方案。第四步:利用最佳预测方案进行预测。
    参考网页:
    CSDN,详细讲解.
    https://blog.csdn.net/mengjizhiyou/article/details/82683448
    百度文库.
    https://wenku.baidu.com/view/b39e7778168884868762d68c.html
    豆丁网,详细讲解.
    https://www.docin.com/p-681357029.html

    常用算法:

    模拟退火算法

    算法描述:
    模拟退火算法是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法,其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法从某一较高初温出发,伴随温度参数的不断下降,结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解,即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。
    原理:模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(-ΔE/(kT)),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
    步骤:
    模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:
    第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
    第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。
    第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropolis准则: 若ΔT<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-ΔT/T)接受S′作为新的当前解S。
    第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
    参考网页:
    博客园,内容浅显易懂.
    https://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html
    CSDN,以实例说明,含代码.
    https://blog.csdn.net/qq_34554039/article/details/90294046
    知乎,含详细代码注释.
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/23094323

    优秀论文实例:
    2019年 B136 齐心舞动“同心鼓”,齐力牵起“协力绳”——同心鼓运动模型的理论分析与策略研究 一文:对于问题四,针对给定排球偏斜竖直方向运动的特殊情况,分析调整鼓面倾角与倾向的解决方法,并以此建立多目标规划的最佳策略模型,基于模拟退火算法的相关思想,通过分析约束条件及目标函数,针对团队协作策略的有效性与协调性进行全局优化。
    2020年 A212 回焊炉温曲线优化控制 一文:对于问题三,以题目中的界限以及各温度区设定温度值和传送带过炉速度的范围限制为约束条件,以炉温曲线超1℃到峰值温度所覆盖的面积为优化目标,建立单目标优化模型来求取面积的最小值,利用模拟退火算法迭代20000次进行求解,得到最优方案。

    遗传算法

    算法描述:
    遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型,是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。
    其主要特点是直接对结构对象进行操作,不存在求导和函数连续性的限定;具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力;采用概率化的寻优方法,不需要确定的规则就能自动获取和指导优化的搜索空间,自适应地调整搜索方向。
    遗传算法以一种群体中的所有个体为对象,并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。其中,选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作;参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定五个要素组成了遗传算法的核心内容。
    参考网页:
    简书,算法步骤详细.
    https://www.jianshu.com/p/ae5157c26af9
    CSDN,讲解生动.
    https://blog.csdn.net/u010451580/article/details/51178225
    CSDN,代码详细.
    https://blog.csdn.net/weixin_41122036/article/details/99621870
    优秀论文实例:
    2020年 A195 基于一维热传导方程的回焊炉炉温模型 一文:根据问题三要求与制程界限约束,将该问题转换为关于温区温度和过炉速度的单目标多变量最优化问题并使用遗传算法(Genetic Algorithn)求解。基于MATLAB的GA工具箱进行算法的编程实现。

    BP神经网络

    算法描述:
    BP网络是一种多层前馈神经网络,它的名字源于在网络训练中,调整网络权值的训练算法是反向传播算法(即BP学习算法).
    BP网络是一种具有三层或者三层以上神经元的神经网络,包括输入层,隐含层和输出层,上下层之间实现全连接,而同一层的神经元之间无连接,输入层神经元和隐含层神经元之间的是网络的权值,即两个神经元之间的连接强度.隐含层或输出层任一神经元将前一层所有神经元传来的信息进行整合,通常还会在整合的信息中添加一个阈值.当一对学习样本提供给输入神经元后,神经元的激活值(该层神经元输出值)从输入层经过各隐含层向输出层传播,在输出层的各神经元获得网络的输入响应,然后按照减少网络输出与实际输出样本之间误差的方向,从输出层反向经过各隐含层回到输入层,从而逐步修正各隐含权值,这种算法称为误差反向传播算法,即BP算法。
    参考网页:
    CSDN,代码实例.
    https://blog.csdn.net/sunyueqinghit/article/details/81703931
    百度文库.
    https://wenku.baidu.com/view/ca5041bc178884868762caaedd3383c4ba4cb45e.html
    CSDN,数学原理讲解.
    https://blog.csdn.net/fanxin_i/article/details/80212906
    优秀论文实例:
    2020年 C142 银行对中小微企业的信贷策略 一文:对于问题二,建立了基于BP神经网络的信誉评价指数预测模型。

    插值和拟合算法

    算法描述:
    插值和拟合是数学建模中,处理数据时常常用到的方法。插值:求过已知有限个数据点的近似函数。拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者的数学方法上是完全不同的。插值的方法多种多样,拟合问题除了用最小二乘,还可以用机器学习、深度学习算法来实现,但要注意过拟合问题。
    参考网页:
    CSDN,详细数学推导.
    https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179
    CSDN,两个例子,简单代码实现.
    https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/99779464
    百度文库.
    https://wenku.baidu.com/view/5c7c38a6b04e852458fb770bf78a6529657d3571.html

    聚类分析算法

    算法描述:
    聚类分析是一种定量方法,从数据分析的角度看,它是对多个样本进行定量分析的多元统计分析方法,可以分为两种:对样本进行分类称为Q型聚类分析,对指标进行分类称为R型聚类分析。从数据挖掘的角度看,又可以大致分为四种:划分聚类,层次聚类,基于密度的聚类和基于网格的聚类。无论是从那个角度看,其基本原则都是:希望族(类)内的相似度尽可能高,族(类)间的相似度尽可能低(相异度尽可能高)。实现聚类分析的算法有很多,可以参考下面的网页。
    参考网页:
    CSDN,详细分类.
    https://blog.csdn.net/qq_39422642/article/details/78821812
    CSDN,代码详解.
    https://blog.csdn.net/qq_45149408/article/details/107168874
    CSDN,SPSS聚类分析方法.
    https://blog.csdn.net/qq_40875849/article/details/103987505

    展开全文
  • 依据客观事实建立机器学习模型中常用算法及数学思想理解的必备基础
  • 数学四大思想方法

    千次阅读 2021-01-17 13:46:43
    数学思想方法数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的...方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方...

    数学思想方法

    数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。

    数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;

    函数与方程

    函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。

    笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。

    函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。

    函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。

    等价转化

    等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。

    著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

    等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。

    在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。

    分类讨论

    在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。

    引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:

    ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

    ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

    ③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

    另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。

    进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

    解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。

    数形结合

    中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。

    数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

    恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。

    数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

    数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

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空空如也

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在数学中如何培养模型思想