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  • 2020-02-29 01:08:09

    哈喽,鉴于上一篇博文出现问题,此处特地开一篇,我也是一脸蒙蔽。

    很多博文只会求得矩阵特征分解的特征值和特征向量,而从没有进行验证,验证方法两个

    1  A*v=lam*v                    lam是特征值

    2 det(A-lam*I)=0              I是单位阵

    我随机产生的矩阵求特征值发现有复数产生,为了方便,网上找了不是复数的矩阵。

    错误方法复现

    >>> A
    array([[-1,  1,  0],
           [-4,  3,  0],
           [ 1,  0,  2]])
    lamba,va=np.linalg.eig(A)
    
    #the first validation
    >>> np.dot(A,va)
    array([[ 0.        ,  0.40824829,  0.40824829],
           [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
           [ 2.        , -0.40824829, -0.40824829]])
    >>> np.dot(np.diag(lamba),va)
    array([[ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
           [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
           [ 1.        , -0.40824829, -0.40824829]])
    
    #服不服?这是错的
    
    #the second validation
    >>> np.linalg.det(A-np.diag(lamba))
    -2.0
    
    #崩溃不
    
    
    

    且不说上面有个特征值是重复的。

    原因是加转置就正确了,公式是公式,实际操作就是不一样,不服就错。

    【其实原因是v是特征向量,而求得是矩阵,lam是标量,得到的是向量,按照给定的1式验证,需要验证3次,而加转置只需验证一次即可】

    笨方法验证:

    >>> np.dot(A,va[:,0])
    array([0., 0., 2.])
    >>> lamba[0]*va[:,0]
    array([0., 0., 2.])
    >>> np.dot(A,va[:,1])
    array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])
    >>> lamba[1]*va[:,1]
    array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])
    >>> np.dot(A,va[:,2])
    array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])
    >>> lamba[2]*va[:,2]
    array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])

    第二个验证错误的原因有两个

    1)lam是向量,2式中是标量,

    2)单位矩阵不是全为1的矩阵,而只有对角线上为1

    【纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行】

    只有当用到的时候才知道,至于除法则是求逆矩阵即可,线性代数模块有直接的inv和pinv伪逆

    不再验证了,拜拜

     

    另外有相关问题可以加入QQ群讨论,不设微信群

    QQ群:868373192 

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    f7a28a54e5436f20ec4e724a6c608132.png

    介绍过python矩阵的乘法运算,numpy库中虽然乘法是矩阵运算的主要运算,但是numpy作为python中实现矩阵运算的好工具,也是可以轻松实现除法计算的,本文python中矩阵除法的三种实现方法:1、x/y计算对应元素相除(矩阵点除);2、np.devide()计算对应元素相除(矩阵点除);3、借助乘法np.mat方法处理。

    方法一:x/y计算对应元素相除(矩阵点除)import numpy as np

    a = np.array([4,2,3])

    b = np.array([2,5,7])

    f = a/b

    print("除%s" % f)

    方法二:np.devide()计算对应元素相除(矩阵点除)import numpy as np

    a=np.array([[1.,2.],[3.,4.]])

    c=np.divide(a,a) #矩阵点除

    print("[矩阵点除]divide(a,a)=\n",c)

    A=np.mat([[1.,2.],[3.,4.]])

    C=np.divide(A,A) #矩阵点除

    print("[矩阵点除]divide(A,A)=\n",C)

    方法三:借助乘法np.mat方法处理import numpy as np

    a  = np.asmatrix(np.ones([2,3]))

    b = np.asmatrix(np.ones([3,3]))

    b[1,1] = 5

    b[0,2]=3

    b[2,2] = 2

    print(b)

    print(a,b.I)

    以上就是python矩阵中各种除法的计算,希望能对你有所帮助哦~更多python学习推荐:python教程。

    展开全文
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    本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习。

    本章主要介绍有关矩阵的知识,主要包括矩阵的基本运算(加法、数乘、乘法、乘幂、迹、转置),其中乘法最为重要,在计算机图形学中具有大量的应用。如果矩阵的行数和列数很大,计算起来不方便,我们就可以对该矩阵进行分块,把对大矩阵的运算转换为对子块的运算。在高中阶段,我们所说的四则运算包括加法、减法、乘法、除法。而矩阵是没有除法运算的,对应于数的除法,矩阵有求逆的运算。在求矩阵的逆矩阵的过程中,我们引入了初等方阵的概念,可利用初等方阵来求矩阵的逆矩阵以及求解矩阵方程。最后我们又讨论了方阵的行列式以及矩阵的LU分解。本章相对于第一章线性方程组就有一些难度了,希望大家好好复习,把基本概念和方法搞明白。

    推荐两个学习线性代数的资源:

    1. 麻省理工公开课 Linear Algebra

    • https://www.bilibili.com/video/av15463995/
    • 相较于国内老师从行列式入手,MIT老师从几何空间的角度,更加直观揭示线代的内核。

    2. 线性代数的本质

    • https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
    • 通过直观的动画演示来理解线性代数的大部分核心概念。

    关注本公众号并回复“资料下载”可以获取MIT线性代数公开课英文教材和中文笔记一份,以方便大家学习。


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    知识结构


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  • matlab矩阵运算 乘、、乘方

    一、矩阵

    1. 矩阵是线性代数的基本单元
    2. 矩阵含有M行N列数值
    3. 矩阵中的元素可以是实数或复数
    4. 矩阵相关的基本运算:加、减、内积、逆矩阵、转置、线性方程式、特征值、特征向量、矩阵分解

    二、矩阵的运算

    2.1、矩阵的乘法运算

    运算符:

    *          %矩阵乘法
    .*         %矩阵对应元素相乘(数组运算)
    
    A*B      %矩阵A与矩阵B相乘. 若A是m行n列,B是n行k列,则其相乘之后的矩阵C为m行k列
    a.*b     %矩阵a与矩阵b各个元素相乘
    a.*b.*c
    a.^2     %矩阵a中各个元素的平方 
    a./b     %矩阵a中各个元素除以矩阵b中各个元素
    a.\b     %矩阵b中各个元素除以矩阵a中各个元素
    

    注:矩阵的乘法运算中没有乘法交换律

    2.2、矩阵的除法运算

    运算符:

    /  %矩阵左除
    \  %矩阵右除
    ./ %矩阵点左除(数组运算)
    .\ %矩阵点右除(数组运算)
    

    *注:
    x=B/A是方程x
    A=B的解。即x=A的逆矩阵乘矩阵B
    x=A\B是方程A
    x=B的解。即x=B的逆矩阵乘矩阵A
    若A为非奇异矩阵,则B/A和A\B可如下获得:

    B/A=B*inv(A) %inv为逆矩阵的指令
    A\B=inv(A)*B*
    

    矩阵除法运算的应用:
    求解线性方程组:
    2x1-x2+3x3=5
    3x1+x2-5x3=5
    4x1-x2+x3=9

    A=[2,-1,3;3,1,-5;4,-2,1];
    B=[5;5;9];
    X=A\B  %或X=inv(A)*B
    

    在这里插入图片描述

    2.3、矩阵的乘方运算

    运算符:

    ^   %表示乘方
    .^  %表示矩阵中每一个数的乘方
    

    ^的运算规则:
    A为方阵,P为>0的整数时,A^P表示A自乘P次
    P为<0的整数时,A^P表示A的逆矩阵的|P|次方
    即:A^-3=inv(A) ^3

    .^ 的运算规则:
    1、A.^P表示矩阵中每个元素的P次乘方
    2、维度相同的A、B矩阵求A.^B,表示矩阵A中对矩阵B中对应元素求幂,即求取矩阵A和矩阵B之点乘。结果矩阵与原矩阵维度相同。

    展开全文
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